数学压缩映像

Ⅰ 介绍函数不动点

函数的不动点，在数学中是指被这个函数映射到其自身一个点
不动点原理
不动点原理是数学上一个重要的原理，也叫压缩映像原理或Banach不动点定理，完整的表达：完备的度量空间上，到自身的一个压缩映射存在唯一的不动点。用初等数学可以这么理解：连续映射f的定义域包含值域，则存在一个x使得f(x)=x 不动点的概念可以推广到一般的拓扑空间上。 假设X是拓扑空间， f:X→X是一个连续映射， 且存在x∈X， 使得f(x)=x, 就称x是不动点
不动点应用
1 利用f(x)的不动点解方程（牛顿切线法）
2 利用f(x)的不动点求函数或多项式的解析式
3 利用f(x)的不动点讨论n-周期点问题
4 求解数列问题（求解一阶递归数列的通项公式）
5 求解一阶递归数列的极限

Ⅱ 数学分析关于压缩映像原理的一道题目！！

如图所示，用到中学的递推数列求通项公式的方法也可以哦

Ⅲ 是压缩映像原理还是压缩映射原理

是压缩映像原理

Ⅳ 函数问题。证明：若f[f(x)]存在唯一不动点,则f(x)也存在唯一不动点

设a是f(f(x))的唯一不动点，f(f(a))=a。

设f(a)=b，则f(b)=f(f(a))=a，f(f(b))=f(a)=b。

所以b也是f(f(x))的不动点。由唯一性，得到b=a，所以f(a)=a，从而a是f(x)的不动点。

如果f有其它的不动点c，则c也是f(f(x))的不动点，由唯一性得c=a，所以a是f(x)的唯一不动点。

原理

不动点原理是数学上一个重要的原理，也叫压缩映像原理或巴拿赫不动点定理，完整的表达：完备的度量空间上，到自身的一个压缩映射存在唯一的不动点。

用初等数学可以这么理解：连续映射f的定义域包含值域，则存在一个x使得f(x)=x。不动点的概念可以推广到一般的拓扑空间上。 假设X是拓扑空间， f:X→X是一个连续映射， 且存在x∈X， 使得f(x)=x, 就称x是不动点。

Ⅳ f(x)=x的根是f(x)的不动点,怎么理解这句话,它的几何意义是什么

不动点
函数的不动点，在数学中是指被这个函数映射到其自身一个点。例如，定义在实数上的函数f，
f(x) = x2 -3x + 4，
则2 是函数f的一个不动点，因为 f (2) = 2。
也不是每一个函数都具有不动点。例如 f(x) = x + 1就没有不动点。因为对于任意的实数，x永远不会等于x + 1。用画图来说，不动点意味着点 (x,f(x)) 在直线y = x上，或者换句话说，函数f的图像与那根直线有共点。这个例子的情况是，这个函数的图像与那根直线是一对平行线。

不动点原理是数学上一个重要的原理，也叫压缩映像原理或Banach不动点定理，完整的表达：
完备的度量空间上，到自身的一个压缩映射存在唯一的不动点。
用初等数学可以这么理解：
连续映射f的定义域包含值域，则存在一个x使得f(x)=x

不动点的概念可以推广到一般的拓扑空间上。

假设X是拓扑空间， f: : X→X是一个连续映射， 且存在x∈X， 使得f(x) = x, 就称x是不动点。

Ⅵ 证明压缩映像原理

f的绝对值不大于a
若a=1
则f的绝对值不大于1
则f在[-1，1]之间啊
则f存在不动点。

Ⅶ 压缩映射原理求极限

压缩映射原理是泛函分析中最基本的存在性定理.本文通过对考研中数列极限的典型例题的解析，归纳总结出适合压缩映射原理求极限数列的一般形式，展示压缩映射原理在解决递推数学列极限中的优越性.

关键词: 压缩映射原理 极限 递推数列

压缩映射原理是着名的波兰数学家Stefan Banach在1922年提出的，它是整个分析科学中最常用的存在性理论，应用非常广泛，如隐函数存在性定理、微分方程解的存在唯一性.这里我们主要研究压缩映射原理在数列极限中的应用.许多参考资料都讲过这个方面的应用，如文献[1-3].在前人的基础上，笔者结合自己的教学体会，系统归纳总结了压缩映射原理在一类递推数列极限中的应用，进一步展示其优越性.

1.基本概念和定理

为了结构的完整和叙述的方便，我们给出文献中的几个概念和定理.

定义1.1设(X，ρ)为一个度量空间，T是X到X的映射，若存在0<α<1，使得,坌x，y?X，有ρ(Tx，Ty)?αρ(x，y)，则称T是X到X的一个压缩映射.

定理1.2(压缩映射原理)设(X，ρ)为一个完备的距离空间，T是X到X的一个压缩映射，则T在X上存在唯一的不动点，即存在唯一的x?X，使得Tx=x.

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事实上，这两个结果在一般的实数R上也成立，有如下结果.

2.应用

类型一:直接应用定理型

下面我们看一道竞赛试题.

由于压缩映射原理在许多教材中没有给出，但其实用性很强，因此在教学过程可以补充给出，让学有余力的学生自己查阅相关文献.这类题目常见于考研试题和竞赛试题，只要出现迭代数列形式，就可以尝试利用压缩映射原理来考虑，问题的关键是确定函数是否为压缩函数，同时一定要注意函数的定义域.我们可以把这类问题归结为如下形式.

类型二:先转化再应用型

这类问题中虽然没有明显的迭代条件，但可以先考虑通常的方法，如单调有界定理、柯西收敛逐准则及夹逼定理等，也可以尝试往压缩映射原理条件上去凑，或许有意外的收获.以上几个例子都是数列极限中常见的典型例题，但几乎所有的教学参考书籍都没有提及利用压缩映射原理解决该问题，事实上，利用该方法解决上述例题更简洁.数学分析中很多问题的解决都得益于把已知条件往解决方法原理的条件上“凑”，这种“凑”是一种技巧、策略，它是解决数学分析中问题的常见策略，初学者需要仔细体会.

数列极限的求解方法多种多样，每种方法都有其条件要求和适用范围，需要灵活运用.压缩映射原理也不例外，在应用是时一定要注意条件的验证，同时要注意其使用范

Ⅷ 如果一个函数的导数几乎处处小于1，那么这个函数是压缩映射吗

有这样一个定理：若函数f(x)在[a,b]上
可导
且|f`(x)|<1,则函数f(x)是压缩映射
证明如下：
对任意的x,y∈[a,b]，且x≠y，由
微分中值定理
有：存在ζ，使|f(x)-f(y)|=|f(ζ)||x-y|<|x-y|
所以f(x)是一个压缩映像。

Ⅸ 什么是不动点

动点,是一个函数术语,在数学中是指“被这个函数映射到其自身一个点”.
不动点原理是数学上一个重要的原理,也叫压缩映像原理或巴拿赫（Banach）不动点定理,完整的表达：完备的度量空间上,到自身的一个压缩映射存在唯一的不动点.用初等数学可以这么理连续映射f的定义域包含值域,则存在一个x使得f(x)=x 不动点的概念可以推广到一般的拓扑空间上.假设X是拓扑空间,f:X→X是一个连续映射,且存在x∈X,使得f(x)=x,就称x是不动点.

Ⅹ 大学生数学竞赛

解：知道“压缩映像”原理吗？

不管怎样先介绍一下压缩映像原理：

对于任一数列{xn}而言，若存在常数r，使得对于任一的n∈N，有：

|x(n+1)-x(n)|≤r|x(n)-x(n-1)|,0＜r＜1.(括号里的数表示下标)

则数列{xn}收敛。

证明如下：

因为|x(n+p)-x(n)|≤∑|x(k)-x(k-1)|（n+1≤k≤n+p）

≤∑r^(k-1)|x(1)-x(0)|

=|x(1)-x(0)|·[r^n-r^(n+p)]/(1-r)

二当n趋向于正无穷时，[r^n-r^(n+p)]/(1-r)趋向于0。

由柯西收敛准则知{xn}收敛。

下面证明本题：

因为x(n+2)-x(n+1)=ε{sin[x(n+1)]-sin[x(n)]}

由中值定理有：ε{sin[x(n+1)]-sin[x(n)]}

=ε·[x(n+1)-x(n)]cos(x′) (x′介于x(n)和x(n+1)之间)

所以有|x(n+2)-x(n+1)|=ε·|x(n+1)-x(n)||cos(x′)|

≤ε·|x(n+1)-x(n)| 0＜ε＜1

利用压缩映像原理可知收敛。

即limξ存在，设limξ=x。

那么就有x=a+ε·sin(x),即x是方程x=a+ε·sin(x)的唯一根。

若有两个根则与极限唯一性矛盾。