方程压缩

1. 压缩映射原理 数学老师告诉你压缩映射是什么

1、压缩映射法是不动点法中一种常用的方法。它的根据是压缩映射原理：设X是一个完备的距离空间，f是从X到X的一个压缩映射，那么f在X中必有且仅有一个不动点，而且从X的任何点x。出发作序列x1=f(x0)，x2=f(x1)，…，xn=f(xn-1)，…这序列一定收敛到f的那个不动点。称f是压缩映射，如果它把X中每两点的距离至少压缩k倍，这里k是一个小于1的常数，也就是说X中每两点x与y的像f(x)与f(y)的距离d(f(x)，f(y))不超过x与y的距离d(x，y)的k倍，即d(f(x)，f(y))≤kd(x，y)。

2、压缩映射原理是巴拿赫(S.Banach)在1922年给出的，这种思想可以追溯到皮卡用逐次逼近法求解常微分方程。该法能够提供许多种方程的解的存在性、唯一性及迭代解法，只要方程的解能转化为某个压缩映射的不动点。这一方法已经推广到非扩展映射、映射族、集值映射、概率度量空间等许多方面。

2. 水的压缩方程

假定水近似地符合弹性变形，依虎克定律，有

地下水动力学（第五版）

或

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式中：p为压强；V为水的体积；β为水的体积弹性压缩/膨胀系数。因为V随p的增大而减小，即 ，而β规定为正值，所以上两式右侧有一负号。

β的倒数称为体积弹性模量E，E值愈大，愈不易变形。β与E值也随温度而变化，但变化不大，一般可视为常数。β的单位是l/MPa，E的单位是MPa。当改变1个大气压时，水的体积只改变大约0.046‰。

对方程（2-2-3）式进行积分

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依照马克劳林级数

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故有

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考虑到β值很小，在压强变化不大的条件下，上式可近似取前两项，因此（2-2-4）式可改写为

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或

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该式就是水的压缩状态方程，它表征V与p间的关系。

水压p的变化引起水体积V的变化，但水的质量m是不变的。由m＝ρV的关系可知：若体积V增大，则密度ρ相应减小；反之，若体积V减小，则ρ增大。因此，由方程（2-2-3）式

也可引出ρ与p的关系。由于 ，有

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将此关系代入方程（2-2-3）式，得

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即

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