求幂算法

㈠ 分数幂怎么算

分子为幂次，分母为根次。
a^(n/m)
a的n次幂开m次方
例如(12/7)的0.4次幂
先将0.4换成2/3原式就是将12/7先平方再开3次方,分子、分母分开做相应的平方开3次方最后再做除法.
再比如2的3/5次幂，就先算2的3次幂，再开5次方
分数指数幂是正分数指数幂和负分数指数幂的统称。

分数指数幂是一个数的指数为分数，正数的分数指数幂是根式的另一种表示形式。负数的分数指数幂并不能用根式来计算，而要用到其它算法，是高中代数的重点。
am/n = ( am) 开n 次方 ， （a>0,m、n ∈Z且n>1）
证：
令 ( am) 开n 次方 = b
两边取 n次方，有
am = bn
am/n= am(1/n) = ( bn)(1/n) = b = am开n 次方
即 am/n = ( am) 开n 次方
规定：正数的正分数指数幂的意义是——a的n分之m次方=n√a的m次方（a>0,m、n属于正整数，n>1）
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂．
对于任意有理数r,s,均有下面的运算性质
(1)ar×as=a(r+s) (a>0,r,s∈Q)
(2) (ar)s=ars (a>0,r,s∈Q)
(3) (ab)r=ar×br (a>0,b>0,r∈Q)

㈡ 快速幂算法原理

快速幂
顾名思义，快速幂就是快速算底数的n次幂。其时间复杂度为 O(log2N)， 与朴素的O(N)相比效率有了极大的提高。

中文名
快速幂
外文名
Fast Power
时间复杂度
log(n)
性质
快速算底数的n次幂
快速
导航
实现

代码比较
原理
快速幂算法的核心思想就是每一步都把指数分成两半，而相应的底数做平方运算。这样不仅能把非常大的指数给不断变小，所需要执行的循环次数也变小，而最后表示的结果却一直不会变。
让我们先来看一个简单的例子：
3^10=3*3*3*3*3*3*3*3*3*3
3^10=(3*3)*(3*3)*(3*3)*(3*3)*(3*3)
3^10=(3*3)^5
3^10=9^5
9^5=（9^4）*（9^1）
9^5=（9^4）*（9^1）
9^5=（6561^1）*(9^1)
以下以求a的b次方来介绍[1]
把b转换成二进制数。
该二进制数第i位的权为
例如

11的二进制是1011

因此，我们将a11转化为算
实现
快速幂可以用位运算来实现
b and 1{也就是取b的二进制最低位(即第0位)判断b是否为奇数，是则为1}
b shr 1{就是去掉b的二进制最低位(即第0位)}
C++实现为
b & 1//取b二进制的最低位，判断和1是否相同，相同返回1，否则返回0，可用于判断奇偶
b>>1//把b的二进制右移一位，即去掉其二进制位的最低位
以下为pascal的实现：
var a,b,n:int64;
function f(a,b,n:int64):int64;
var t,y:int64;
begin
t:=1; y:=a;
while b<>0 do begin
if(b and 1)=1 then t:=t*y mod n;
y:=y*y mod n;{这里用了一个技巧,y*y即求出了a^(2^(i-1))不知道这是什么的看原理
a^(2^(i-1))*a^(2^(i-1))=a^(2^i)
而且一般情况下a*b mod c =(a mod c)*(b mod c) mod c}
b:=b shr 1;{去掉已经处理过的一位}
end;
exit(t);
end;
begin
read(a,b,n);{n是模}
writeln(f(a,b,n));
end.
[1]
以下为C的实现，为了方便与pascal的对照，变量全部与上面相同.可以对照查看。
递归版：[2]
ll pow(ll a,ll i){
if (i==0) return 1;
int temp=pow(a,i>>1);
temp=temp*temp%MOD;
if (i&1) temp=(ll)temp*a%MOD;
return temp%MOD;
}
非递归版：
ll f(ll a,ll b,ll n){
int t,y;
t=1; y=a;
while (b!=0){
if (b&1==1) t=t*y%n;
y=y*y%n; b=b>>1;
}
return t;
}

㈢ 什么是幂如何计算

乘方的结果叫做幂 （加法的结果叫和 相类似啊），任何数（零除外）的零次幂都得1

㈣ 同底数幂运算法则是什么

具体法则如下：

(1)任何不等于零的数的零次幂都等于1。

即(a≠0)。

(2)任何不等于零的数的-p（p是正整数）次幂，等于这个数的p次幂的倒数。

即(a≠0,p是正整数)。

（规定了零指数幂与负整数指数幂的意义，就把指数的概念从正整数推广到了整数。正整数指数幂的各种运算法则对整数指数幂都适用）。

1.同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

即（m,n都是有理数）。

2.幂的乘方，底数不变，指数相乘。

即（m,n都是有理数）。

3.积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。

即＝·(m,n都是有理数）。

4.分式乘方，分子分母各自乘方。

即（b≠0)。

㈤ 幂的运算

幂其实本身就是跟乘法有关系的，比如m的n次方就转化为n个m相乘。如图：

那么幂的乘法运算是如何计算的呢？进来具体的特例10的² × 10的三次方。有两种解答方法。第一种算出10的²等于100在算出10的三次方等于1000那么100×1000等于100,000。第二种方法就是把10的²转化为10×10，10的三次方转化成10×10×10最后再把它们一块乘起来。如图：那么10×10×10×10×10不就等于10的五次方吗？

那么10的五次方×10的八次方又等于多少呢？可以在用刚才的方法将10的五次方转化为10×10×10×10×10再乘10的八次方转化为10×10×10×10×10×10×10×10。将它们合并起来就是 10的13次方但这些例子他都是特例，他都是一个具体的数，那我们应该把它转换为代数式。变成10的M次方×10的N次方。那就是10 M相乘×10个N相乘那他们就可以变成10的M + N次方。但是你有没有发现我们研究的惩罚，他们都是同底数的。你换成五的² ×2的²他就不可以转换成10的M + N次方。因为5×5和2×2他们是无法结合到一起了。所以说幂的乘法运算是只包括在同底数之内。所以不同技术的秘的乘法运算是没有规律的，因此研究他就没有什么意义。

那经过刚刚的几个式子，从而可以得到同底数幂的乘法运算规律，以一个式子来解决：a的n次方✖️a的m次方等于a的n➕m次方。这是同底数幂的乘法运算。

乘法和除法秀关系的其实可以把所有除法算式转换为乘法算式，因为除以等于乘以它的倒数。还有就是乘除互逆。10的五次方，×10的三次方等于10的八次方。根据根据乘除互逆。那么10的八次方÷10的三次方应该就等于10的五次方。同底数幂的除法运算用一个式子表示：a的M次方除以a的N次方等于a的M减N次方。

幂的加法和减法都是没有规律的。 研究加减运算的意义不大。那还有一种运算叫做积的乘方。特例：（6²）的四次方。。6²被称之为积，合起来就是积的次方。那记得乘方该如何运算了就比如这个特例：（6²）的四次方。第一种算法是先将6²算出来。然后再乘方。但是有没有简便运算呢？我们可以把6²转化成6×6。然后再乘方。你把6✖️6当作一个整体。就是四个6×6相乘：6×6×6×6×6×6×6×6×，那再根据同底数幂的乘法可以把它转化成6的八次方。但我发现6的八次方和6的2次方的4次方他们之间的变化是因式的次方与积的次方相乘。但这是个特例，他不具有普遍性。我们把它换成a的M次方的²。还是M个A相乘再乘方，那积的乘方运算为：先把集中的因式分别乘方，再把所得的幂乘方。用式子表示就是a的M次方的等于a的MN次方。

幂的运算皆为此。

㈥ 幂运算所有的运算法则。

1、同底数幂的乘法：

aᵐ·aⁿ·aᵖ=aᵐ⁺ⁿ⁺ᵖ(m, n, p都是正整数)。

2、幂的乘方(aᵐ)ⁿ=a(ᵐⁿ)，与积的乘方(ab)ⁿ=aⁿbⁿ

3、同底数幂的除法：

（1）同底数幂的除法：aᵐ÷aⁿ=a（ᵐ⁻ⁿ）(a≠0, m, n均为正整数，并且m>n)

（2）零指数：a⁰=1 (a≠0)；

（3）负整数指数幂：a⁻ᵖ= (a≠0, p是正整数），当a=0时没有意义，0⁻²，0⁻²都无意义。

3、负指数幂

当底数n≠0时，由于n⁰÷nᵃ=1÷nᵃ=1/nᵃ，根据幂的运算规则可知，n⁰÷nᵃ=n⁰⁻ᵃ=n⁻ᵃ=1/nᵃ

因此定义负指数幂如下：a⁻ᵖ=1/aᵖ，a≠0。

㈦ 幂函数的算法

1、同底数幂的乘法：

搜狗问问

2、幂的乘方(a^m)^n=a^(mn)，与积的乘方(ab)^n=a^nb^n。
3、同底数幂的除法：
（1）同底数幂的除法：am÷an=a（m-n） (a≠0, m, n均为正整数，并且m>n)。
（2）零指数：a0=1 (a≠0)。
（3）负整数指数幂：a-p= (a≠0, p是正整数）①当a=0时没有意义，0-2, 0-3都无意义。
法则口诀：
同底数幂的乘法：底数不变，指数相加幂的乘方；
同底数幂的除法：底数不变，指数相减幂的乘方；
幂的指数乘方：等于各因数分别乘方的积商的乘方
分式乘方：分子分母分别乘方，指数不变。
(7)求幂算法扩展阅读
计算：x5·xn-3·x4-3x2·xn·x4
解：x^5·x^n-3·x^4-3x^2·x^n·x^4
分析：
①先做乘法再做减法
=x（5+n-3+4）-3x（2+n+4 ）
②运算结果指数能合并的要合并
=x（6+n）-3x（6+n）
③3x2即为3·(x2)
=(1-3)x6+n ④x 6+n，与-3x6+n是同类项，
=-2x 6+n合并时将系数进行运算(1-3)=-2。

㈧ 幂函数计算公式

1、同底数幂的乘法：

其中m,n，k∈N*，且m，n互质。特别，当n=1时为整数指数幂。

㈨ 矩阵的幂怎么算

有下面三种情况：

1、如果你所要求的是一般矩阵的高次幂的话，是没有捷径可走的，只能够一个个去乘出来。

至于低次幂，如果能够相似对角化，即：存在简便算法的话，在二阶矩阵的情况下简便算法未必有直接乘来得快，所以推荐直接乘。

2、如果你要求的是能够相似对角化的矩阵的高次幂的话，是存在简便算法的。

设要求矩阵A的n次幂，且A=Q^(-1)*Λ*Q，其中Q为可逆阵，Λ为对角阵。

即：A可以相似对角化。那么此时，有求幂公式：A^n=Q^(-1)*(Λ)^n*Q，而对角阵求n次方，只需要每个对角元素变为n次方即可，这样就可以快速求出二阶矩阵A的的高次幂。

3、如果矩阵可以相似对角化，求相似对角化的矩阵Q的具体步骤为：

求|λE-A|=0 (其中E为单位阵)的解，得λ1和λ2（不管是否重根），这就是Λ矩阵的对角元素。

依次把λ1和λ2带入方程（如果λ是重根只需代一次，就可求得两个基础解）[λE-A][x]=[0]，求得两个解向量[x1]、[x2]，从而矩阵Q的形式就是[x1 x2]。

接下来的求逆运算是一种基础运算，这里不再赘述。

下面可以举一个例子：

二阶方阵：

1 a

0 1

求它的n次方矩阵

方阵A的k次幂定义为 k 个A连乘: A^k = AA...A (k个)

一些常用的性质有：

1. (A^m)^n = A^mn

2. A^mA^n = A^(m+n)

一般计算的方法有：

1. 计算A^2,A^3 找规律, 然后用归纳法证明

2. 若r(A)=1, 则A=αβ^T, A^n=(β^Tα)^(n-1)A

注: β^Tα =α^Tβ = tr(αβ^T)

3. 分拆法: A=B+C, BC=CB, 用二项式公式展开

适用于 B^n 易计算, C的低次幂为零矩阵: C^2 或 C^3 = 0.

4. 用对角化 A=P^-1diagP

A^n = P^-1diag^nP

(9)求幂算法扩展阅读：

幂等矩阵的主要性质：

1.幂等矩阵的特征值只可能是0，1；

2.幂等矩阵可对角化；

3.幂等矩阵的迹等于幂等矩阵的秩，即tr(A)=rank(A)；

4.可逆的幂等矩阵为E；

5.方阵零矩阵和单位矩阵都是幂等矩阵；

6.幂等矩阵A满足：A(E-A)=(E-A)A=0；

7.幂等矩阵A：Ax=x的充要条件是x∈R(A)；

8.A的核N(A)等于(E-A)的列空间R(E-A),且N(E-A)=R(A)。考虑幂等矩阵运算后仍为幂等矩阵的要求，可以给出幂等矩阵的运算：

1）设 A1，A2都是幂等矩阵，则(A1+A2) 为幂等矩阵的充分必要条件为：A1·A2 =A2·A1=0，且有：R(A1+A2) =R (A1) ⊕R (A2)；N(A1+A2) =N(A1)∩N(A2)；

2）设 A1， A2都是幂等矩阵，则(A1-A2) 为幂等矩阵的充分必要条件为：A1·A2=A2·A1=A2，且有：R(A1-A2) =R(A1)∩N (A2)；N (A1- A2) =N (A1)⊕R (A2)；

3）设 A1，A2都是幂等矩阵，若A1·A2=A2·A1，则A1·A2为幂等矩阵，且有：R (A1·A2) =R(A1) ∩R (A2)；N (A1·A2) =N (A1) +N (A2)。

㈩ 不同底数幂的运算法则是什么

(a^m)*(b^m)=(ab)^m 这是积的乘方运算的逆运算。

若底数和指数都不同，则应先转化为底数或指数相同，然后运用法则计算。

若底数不同指数相同，则有(a^m)*(b^m)=(ab)^m

这是积的乘方运算的逆运算。

已知中的幂和要求的幂都是2为底，x＋1＝( x-1)＋2，根据同底数幂乘法公式的反向公式“指数相加等于幂相乘”就可以顺利求出最终结果，过程如下：一般的解法是先使用同底数幂乘法公式简化左边的式子，然后根据两个幂相等，如果底相等，那么指数也相等，列方程，最后解方程求出a的值。

(10)求幂算法扩展阅读：

（1）先弄清楚底数、指数、幂这三个基本概念的涵义。

（2）它的前提是“同底”，而且底可以是一个具体的数或字母，也可以是一个单项式或多项式，如：

(2x+y)2·(2x+y)3=(2x+y)5，底数就是一个二项式(2x+y)。

（3）指数都是正整数

（4）这个法则可以推广到三个或三个以上的同底数幂相乘，即am·an·ap....=am+n+p+... (m, n, p都是正整数)。

（5）不要与整式加法相混淆。乘法是只要求底数相同则可用法则计算，即底数不变指数相加，如：

x5·x4=x^（5+4）=x9；而加法法则要求两个相同；底数相同且指数也必须相同，实际上是幂相同系数相加，如-2x5+x5=(-2+1)x5=-x5，而x5+x4就不能合并。