不定方程算法

1. 不定方程的解法.例题:4x+9y=17.求详细的解答过程.

解不定方程4x+9y=17
4x+9y=17 (#1#）
一眼看出x=2,y=1是它的一组特解,当然还有其它的特解,如x=-7,y=5.
如看不出,可这样：
4z+y=1 注：将4的倍数集中到4x项,并改用新变量.
易见可令y=1 (z=0),于是立即得 x=2.复杂些的例子另见其它例题.
再看4x+9y=0 (#2#) 的通解是 x=9t,y=-4t
将#1#的任何一个特解与#2#的通解相加,即得到
#1#的通
x=2+9t,y=1-4t
或写成：
(x,y)=(2+9t,1-4t)
这种叠加方式,称为线性叠加(原理),在这里的解不定方程用到,另外,
解线性方程组（如二元一次方程组）、求解同余式组、解微分方程(组)、解插值多项式、求解线性递推式(递归方程),往往用到这个线性叠加原理.（中国剩余定理、拉格朗日插值法、常数变易法解微分方程及其它类似方法等,实际也都是这个原理）
外一则：
解#3#
x+2y=a
2x+3y=b
先解
#4#
x+2y=a
2x+3y=0
再解
#5#
x+2y=0
2x+3y=b
将#5,4#的解叠加即是#3#的解.
另题：求解不定方程36x+83y=1
36x+83y=1
36z+11y=1 注：将36的倍数集中到项36x上,并改用新变量
3z+11w=1 注：将11的倍数集中到11y上
易见可以z=-7,w=2,逆代即可求得特解x,y.
下面提出一种利于快速计算（特别是手算、口算心算）的细节算法
将上面三个式子中的两邻的进行比较得
x-z+2y=0
3z+y-w=0
故
y=-3z+w=23
x=z-2y=-53
x=-53+83t
y=23-83t
验证：
36x+83y=(36*(-53)+83*23)
将(36*(-53)+83*23)复制到内存剪贴板,运行windows计算器(开始菜单-运行-calc或calc.exe-可设置成科学型)
粘贴,得到值1
复杂的情况,请参见我的网络空间博文.
例如：377873x=1+499067y
网络搜索下面的关键字,或搜上面这个不定方程,可以找到.
中国剩余定理 不定方程新解法 乘率求法 wsktuuytyh
注：其中,关键字wsktuuytyh 来自我的现用名的五笔编码.wsk何 tuu冬 ytyh州
文章标题是：
中国剩余定理之我的改进和新记号[散见于博文与答题]-剩余倍分法的局限-不定方程新解法-乘率求法
其中,有比较简单的不定方程例子如
如 907x+731y=2107
907x+731y=1
103x=57+211y

2. 设计求解不定方程x1+2x2+3x3+4x4=0的一个算法

算法主要是运用错项相消和1+x+x^2+x^3+...+x^n=[x^(n+1)-1]/(x-1)的一个规律
如果楼主只是要算法可以不用看我下面的解答，我可是做了3个小时的。。。55555555555.............................. 从晚上9点鏖战到12点
方程变形得 x^2+2x^3+3x^4+4x^5=0*5=0
即 x^1+2x^2+3x^3+4x^4=0=x^2+2x^3+3x^4+4x^5
化简抵消，得 x^1+x^2+x^3+x^4=4x^5
此处要用到一个规律，即1+x+x^+x^3+...+x^n=[x^(n+1)-1]/(x-1)
根据规律 1+x^1+x^2+x^3+x^4=4x^5+1
[x^(4+1)-1]/(x-1)=4x^5+1
同时增加 [x^5-1](x-1)/(x-1)=4x5(x-1)+(x-1)
x^5-1=4x^6-4x^5+x-1
移项得 5x^5=4x^6+x
若方程的解为正数，则题目不成立；
若方程的解为0，则方程成立；
若方程的解的范围为（x<-1）,则│4x^6│必然大于│x│，又4x^6为偶次方，必定为正数，因此(4x^6+x)>0,但是5x^5小于零，方程不成立
若方程的解的范围是(-1<x<0)，则x不为0，可以将题目上的方程变形为
1+2x+3x^2+4x^3=0
原方程为 x+2x^2+3x^3+4x^4=0
相减得 4x^4-x^3-x^2-x-x=0
4x^4=x^3+x^2+x+1
用规律 4x^4=(4x^4-1)/(x+1)
去分母 4x^4(x+1)=4x^4-1
去括号 4x^5+4x^4=4x^4-1
4x^5=-1
x^5=-0.25
x=（-0.25的开五次方根）符合条件-1<x<0
综上所述，原方程有2组解：
x=0,x=(-0.25的开五次方根)

3. （高中数学）关于算法部分涉及的一道不定方程组问题···

x+y+z=30 ①
35x+25y+10z=680 ②
将②-10①
25x+15y=380→5x+3y=76
特解：(2,22)
∴通解x=2+3k(恒大于0)
y=22-5k
z=6+2k(恒大于0)
22-5k<0
k≥5时，此时x≥17，存在小于20的值
∴会出现负值，你的考虑是对的。
（如果按楼上知友的考虑，0≤x≤15就没问题）

4. 我国最早提出不定方程问题由什么引起的

我国最早提出不定方程问题，它由“五家共井”引起。古代，没有自来水，几家合用一个水井是常见的事。《九章算术》一书第8章第13题就是“五家共井”问题：

今有五家共井，甲二绠不足，如乙一绠；乙三绠不足，如丙一绠；丙四绠不足，如丁一绠；丁五绠不足，如戊一绠；戊六绠不足，如甲一绠。如各得所不足一绠，皆逮。问井深、绠长各几何！

用水桶到井中取水，当然少不了绳索，“绠”就是指“绳索”。原题的意思是：

五家共用一水井。井深比2条甲家绳长还多1条乙家绳长；比3条乙家绳长还多1条丙家绳长；比4条丙家绳长还多1条丁家绳长；比5条丁家绳长还多1条戊家绳长；比6条戊家绳长还多1条甲家绳长。如果各家都增加所差的另一条取水绳索，刚刚好取水。试问井深、取水绳长各多少？

虽然该问题是虚构的，它是最早的一个不定方程问题。

用现代符号，可设甲、乙、丙、丁、戊各家绳索长分别为x、y、z、u、v；并深为h。根据题意，可得

2x+y=h，

3y+z=h，

4z+u=h，

5u+v=h，

6v+x=h。

这是一个含有6个未知数、5个方程的方程组。未知数的个数多于方程个数的方程（或方程组）叫不定方程。用加减消元法可得

x=265721h，y=191721h，z=148721h，

u=129721h，v=76721h。

给定h不同的数值，就可得到x、y、z、u、v的各个不同的数值。只要再给定一些特定条件，就可得到确定的组解。原书中只给出一组解，是最小正整数解。

我国古代数学家在《九章算术》的基础上，对不定方程作出了辉煌的成绩。“五家共井”问题是后来百鸡术及大衍求一术的先声。

“五家共井”问题，曾引起世界上很多数学家的注视。在西方数学史书中，把最早研究不定方程的功绩归于希腊丢番都。其实，他在公元250年左右才研究这些问题，要比我国迟200多年。

公元6世纪上半期，张丘建在他的《张丘建算经》中有一个百鸡问题：今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏生，值钱一。凡百钱，买鸡百只。问鸡翁、母、雏各几何？

意思是，如果1只公鸡值5个钱；1只母鸡值3个钱；3只小鸡值1个钱。现用100个钱，买了100只鸡。问公鸡、母鸡、小鸡各多少？

设公鸡、母鸡、小鸡分别为x、y、z只，则可得不定方程消去z不难得出

5x+3y+13z=100

x+y+z=100

消去z不难得出

y=7x4

因为y是正整数，所以x必须是4的倍数。

设x＝4t，则y＝25－7t，z＝75＋3t

∵x＞0，∴4t＞0，t＞0；

又∵y＞0，∴25－7t＞0，t＜347

故t＝1，2，3。

∴原方程组有三组答案：

{x＝4，y＝18，z＝78{x＝8，y＝11，z＝81{x＝12，y＝4，z＝84

数学史家评论说，一道应用题有多组答案，是数学史上从未见到过的，百鸡问题开了先例。《张丘建算经》中没有给出解法，只说：“术曰：鸡翁每增四，鸡母每减七，鸡雏每益三，即得。”意思是：如果少买7只母鸡，就可多买4只公鸡和3只小鸡。因为7只母鸡值钱21，4只公鸡值钱20，两者相差3只小鸡的价格。只要得出一组答案，就可推出其余两组。但这解法怎么来的？书中没有说明。因此，所谓“百鸡术”即百鸡问题的解法就引起人们的极大兴趣。

稍后，甄鸾在《数术记遗》一书中又提出了两个“百鸡问题”，题目意思与原百鸡问题相同，仅数字有所区别。到了宋代，着名数学家杨辉在他的《续古摘奇算法》一书中，也引用了类似的问题：

“钱一百买温柑、绿桔、扁桔共一百枚。只云温柑一枚七文，绿桔一枚三文，扁桔三枚一文。问各买几何？”

到了明清时代，还有人提出了多于三元的“百鸡问题”。不过，各书均与《张丘建算经》一样，没有给出问题的一般解法。

7世纪时，有人对百鸡问题提出另一种解法，但只是数字的凑合。到了清代焦循在他的《加减乘除释》一书中指出其错误。之后，不断有人提出新的解法，但都没有完全得到普遍解决此类题目的通用方法。例如丁取忠在他的《数学拾遗》中给出一个比较简易的解法：先设没有公鸡，用100个钱买母鸡和小鸡共100只，得母鸡25只、小鸡75只。现在少买7只母鸡，多买4只公鸡和3只小鸡，便得第一组答案。同理可推出其余两组。直到19世纪，人们才把这类问题同“大衍求一术”结合起来研究。

百鸡问题是一个历史名题，在世界上有很大影响。国外常见类似的题目。

5. 简单的不定方程的解法。

我举一个简例。
题：求解不定方程36x+83y=1
解：
36x+83y=1
36z+11y=1 注：将36的倍数集中到项36x上，并改用新变量
3z+11w=1 注：将11的倍数集中到11y上
易见可以z=-7,w=2，逆代即可求得特解x,y。
下面提出一种利于快速计算（特别是手算、口算心算）的细节算法

将上面三个式子中的两邻的进行比较得
x-z+2y=0
3z+y-w=0
故
y=-3z+w=23
x=z-2y=-53
通解：
x=-53+83t
y=23-83t
验证：
36x+83y=(36*(-53)+83*23)
将(36*(-53)+83*23)复制到内存剪贴板，运行windows计算器(开始菜单-运行-calc或calc.exe-可设置成科学型)
粘贴，得到值1

复杂的情况，请参见我的网络空间博文。
例如：377873x=1+499067y

网络搜索下面的关键字,或搜上面这个不定方程，可以找到。

中国剩余定理 不定方程新解法 乘率求法 wsktuuytyh

注：其中，关键字wsktuuytyh 来自我的现用名的五笔编码。wsk何 tuu冬 ytyh州

文章标题是：
中国剩余定理之我的改进和新记号[散见于博文与答题]-剩余倍分法的局限-不定方程新解法-乘率求法
其中，有比较简单的不定方程例子如
如 907x+731y=2107
907x+731y=1
103x=57+211y

6. 不定方程的解法。例题:4x+9y=17。求详细的解答过程。

解不定方程4x+9y=17
解：
4x+9y=17 (#1#）
一眼看出x=2,y=1是它的一组特解，当然还有其它的特解，如x=-7,y=5。
如看不出，可这样：
4z+y=1 注：将4的倍数集中到4x项，并改用新变量。
易见可令y=1 (z=0)，于是立即得 x=2. 复杂些的例子另见其它例题。

再看4x+9y=0 (#2#) 的通解是 x=9t, y=-4t
将#1#的任何一个特解与#2#的通解相加，即得到
#1#的通解：

x=2+9t, y=1-4t
或写成：
(x,y)=(2+9t,1-4t)

这种叠加方式，称为线性叠加(原理)，在这里的解不定方程用到，另外，
解线性方程组（如二元一次方程组）、求解同余式组、解微分方程(组)、解插值多项式、求解线性递推式(递归方程)，往往用到这个线性叠加原理。（中国剩余定理、拉格朗日插值法、常数变易法解微分方程及其它类似方法等，实际也都是这个原理）

外一则：
解#3#
x+2y=a
2x+3y=b
先解
#4#
x+2y=a
2x+3y=0
再解
#5#
x+2y=0
2x+3y=b
将#5,4#的解叠加即是#3#的解。

另题：求解不定方程36x+83y=1
解：
36x+83y=1
36z+11y=1 注：将36的倍数集中到项36x上，并改用新变量
3z+11w=1 注：将11的倍数集中到11y上
易见可以z=-7,w=2，逆代即可求得特解x,y。
下面提出一种利于快速计算（特别是手算、口算心算）的细节算法

将上面三个式子中的两邻的进行比较得
x-z+2y=0
3z+y-w=0
故
y=-3z+w=23
x=z-2y=-53
通解：
x=-53+83t
y=23-83t
验证：
36x+83y=(36*(-53)+83*23)
将(36*(-53)+83*23)复制到内存剪贴板，运行windows计算器(开始菜单-运行-calc或calc.exe-可设置成科学型)
粘贴，得到值1

复杂的情况，请参见我的网络空间博文。
例如：377873x=1+499067y

网络搜索下面的关键字,或搜上面这个不定方程，可以找到。

中国剩余定理 不定方程新解法 乘率求法 wsktuuytyh

注：其中，关键字wsktuuytyh 来自我的现用名的五笔编码。wsk何 tuu冬 ytyh州

文章标题是：
中国剩余定理之我的改进和新记号[散见于博文与答题]-剩余倍分法的局限-不定方程新解法-乘率求法
其中，有比较简单的不定方程例子如
如 907x+731y=2107
907x+731y=1
103x=57+211y

7. 求解不定方程,2021x+2023y=7,求x,y都是整数的解

因为数字很大，要用到特定方法可以解决它：