比较式算法

A. 比较Dijkstra算法与Floyd算法。

（1）Dijkstra算法：在网络中用得多，一个一个节点添加，加一个点刷一次路由表。

Dijkstra算法是典型的算法。Dijkstra算法是很有代表性的算法。Dijkstra一般的表述通常有两种方式，一种用永久和临时标号方式，一种是用OPEN, CLOSE表的方式，这里均采用永久和临时标号的方式。注意该算法要求图中不存在负权边。

（2）Floyd算法：把所有已经连接的路径都标出来，再通过不等式比较来更改路径。

Floyd算法又称为插点法，是一种用于寻找给定的加权图中多源点之间最短路径的算法。该算法名称以创始人之一、1978年图灵奖获得者、斯坦福大学计算机科学系教授罗伯特·弗洛伊德命名。

B. 冒泡排序法和快速排序比较的算法

打你屁股，这么简单的问题都不认真研究一下。

冒泡排序是最慢的排序，时间复杂度是 O(n^2)。

快速排序是最快的排序。关于快速排序，我推荐你看看《代码之美》第二章：我编写过的最漂亮的代码。作者所说的最漂亮，就是指效率最高的。

--------------------------------摘自《代码之美》---------------

当我撰写关于分治（divide-and-conquer）算法的论文时，我发现C.A.R. Hoare的Quicksort算法（“Quicksort”，Computer Journal 5）无疑是各种Quicksort算法的鼻祖。这是一种解决基本问题的漂亮算法，可以用优雅的代码实现。我很喜欢这个算法，但我总是无法弄明白算法中最内层的循环。我曾经花两天的时间来调试一个使用了这个循环的复杂程序，并且几年以来，当我需要完成类似的任务时，我会很小心地复制这段代码。虽然这段代码能够解决我所遇到的问题，但我却并没有真正地理解它。
我后来从Nico Lomuto那里学到了一种优雅的划分（partitioning）模式，并且最终编写出了我能够理解，甚至能够证明的Quicksort算法。William Strunk Jr.针对英语所提出的“良好的写作风格即为简练”这条经验同样适用于代码的编写，因此我遵循了他的建议，“省略不必要的字词”（来自《The Elements of Style》一书）。我最终将大约40行左右的代码缩减为十几行的代码。因此，如果要回答“你曾编写过的最漂亮代码是什么？”这个问题，那么我的答案就是：在我编写的《Programming Pearls, Second Edition》(Addison-Wesley)一书中给出的Quichsort算法。在示例2-1中给出了用c语言编写的Quicksort函数。我们在接下来的章节中将进一步地研究和改善这个函数。
【示例】 2-1 Quicksort函数
void quicksort(int l, int u)
{ int i, m;
if (l >= u) return; 10
swap(l, randint(l, u));
m = l;
for (i = l+1; i <= u; i++)
if (x[i] < x[l])
swap(++m, i);
swap(l, m);
quicksort(l, m-1);
quicksort(m+1, u);
}
如果函数的调用形式是quicksort(0, n-1)，那么这段代码将对一个全局数组x[n]进行排序。函数的两个参数分别是将要进行排序的子数组的下标：l是较低的下标，而u是较高的下标。函数调用swap(i,j)将会交换x[i]与x[j]这两个元素。第一次交换操作将会按照均匀分布的方式在l和u之间随机地选择一个划分元素。
在《Programming Pearls》一书中包含了对Quicksort算法的详细推导以及正确性证明。在本章的剩余内容中，我将假设读者熟悉在《Programming Pearls》中所给出的Quicksort算法以及在大多数初级算法教科书中所给出的Quicksort算法。
如果你把问题改为“在你编写那些广为应用的代码中，哪一段代码是最漂亮的？”我的答案还是Quicksort算法。在我和M. D. McIlroy一起编写的一篇文章（"Engineering a sort function," Software-Practice and Experience, Vol. 23, No. 11）中指出了在原来Unix qsort函数中的一个严重的性能问题。随后，我们开始用C语言编写一个新排序函数库，并且考虑了许多不同的算法，包括合并排序（Merge Sort）和堆排序（Heap Sort）等算法。在比较了Quicksort的几种实现方案后，我们着手创建自己的Quicksort算法。在这篇文章中描述了我们如何设计出一个比这个算法的其他实现要更为清晰，速度更快以及更为健壮的新函数——部分原因是由于这个函数的代码更为短小。Gordon Bell的名言被证明是正确的：“在计算机系统中，那些最廉价，速度最快以及最为可靠的组件是不存在的。”现在，这个函数已经被使用了10多年的时间，并且没有出现任何故障。
考虑到通过缩减代码量所得到的好处，我最后以第三种方式来问自己在本章之初提出的问题。“你没有编写过的最漂亮代码是什么？”。我如何使用非常少的代码来实现大量的功能？答案还是和Quicksort有关，特别是对这个算法的性能分析。我将在下一节给出详细介绍。
2.2 事倍功半
Quicksort是一种优雅的算法，这一点有助于对这个算法进行细致的分析。大约在1980年左右，我与Tony Hoare曾经讨论过Quicksort算法的历史。他告诉我，当他最初开发出Quicksort时，他认为这种算法太简单了，不值得发表，而且直到能够分析出这种算法的预期运行时间之后，他才写出了经典的“Quicksoft”论文。
我们很容易看出，在最坏的情况下，Quicksort可能需要n2的时间来对数组元素进行排序。而在最优的情况下，它将选择中值作为划分元素，因此只需nlgn次的比较就可以完成对数组的排序。那么，对于n个不同值的随机数组来说，这个算法平均将进行多少次比较？
Hoare对于这个问题的分析非常漂亮，但不幸的是，其中所使用的数学知识超出了大多数程序员的理解范围。当我为本科生讲授Quicksort算法时，许多学生即使在费了很大的努力之后，还是无法理解其中的证明过程，这令我非常沮丧。下面，我们将从Hoare的程序开
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始讨论，并且最后将给出一个与他的证明很接近的分析。
我们的任务是对示例2-1中的Quicksort代码进行修改，以分析在对元素值均不相同的数组进行排序时平均需要进行多少次比较。我们还将努力通过最短的代码、最短运行时间以及最小存储空间来得到最深的理解。
为了确定平均比较的次数，我们首先对程序进行修改以统计次数。因此，在内部循环进行比较之前，我们将增加变量comps的值（参见示例2-2）。
【示例2-2】 修改Quicksort的内部循环以统计比较次数。
for (i = l+1; i <= u; i++) {
comps++;
if (x[i] < x[l])
swap(++m, i);
}
如果用一个值n来运行程序，我们将会看到在程序的运行过程中总共进行了多少次比较。如果重复用n来运行程序，并且用统计的方法来分析结果，我们将得到Quicksort在对n个元素进行排序时平均使用了1.4 nlgn次的比较。
在理解程序的行为上，这是一种不错的方法。通过十三行的代码和一些实验可以反应出许多问题。这里，我们引用作家Blaise Pascal和T. S. Eliot的话，“如果我有更多的时间，那么我给你写的信就会更短。”现在，我们有充足的时间，因此就让我们来对代码进行修改，并且努力编写出更短（同时更好）的程序。
我们要做的事情就是提高这个算法的速度，并且尽量增加统计的精确度以及对程序的理解。由于内部循环总是会执行u-l次比较，因此我们可以通过在循环外部增加一个简单的操作来统计比较次数，这就可以使程序运行得更快一些。在示例2-3的Quicksort算法中给出了这个修改。
【示例2-3】 Quicksort的内部循环，将递增操作移到循环的外部
comps += u-l;
for (i = l+1; i <= u; i++)
if (x[i] < x[l])
swap(++m, i);
这个程序会对一个数组进行排序，同时统计比较的次数。不过，如果我们的目标只是统计比较的次数，那么就不需要对数组进行实际地排序。在示例2-4中去掉了对元素进行排序的“实际操作”，而只是保留了程序中各种函数调用的“框架”。
【示例2-4】将Quicksort算法的框架缩减为只进行统计
void quickcount(int l, int u)
{ int m;
if (l >= u) return;
m = randint(l, u);
comps += u-l;
quickcount(l, m-1);
quickcount(m+1, u);
}
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这个程序能够实现我们的需求，因为Quichsort在选择划分元素时采用的是“随机”方式，并且我们假设所有的元素都是不相等的。现在，这个新程序的运行时间与n成正比，并且相对于示例2-3需要的存储空间与n成正比来说，现在所需的存储空间缩减为递归堆栈的大小，即存储空间的平均大小与lgn成正比。
虽然在实际的程序中，数组的下标（l和u）是非常重要的，但在这个框架版本中并不重要。因此，我们可以用一个表示子数组大小的整数(n)来替代这两个下标（参见示例2-5）
【示例2-5】 在Quicksort代码框架中使用一个表示子数组大小的参数
void qc(int n)
{ int m;
if (n <= 1) return;
m = randint(1, n);
comps += n-1;
qc(m-1);
qc(n-m);
}
现在，我们可以很自然地把这个过程整理为一个统计比较次数的函数，这个函数将返回在随机Quicksort算法中的比较次数。在示例2-6中给出了这个函数。
【示例2-6】 将Quicksort框架实现为一个函数
int cc(int n)
{ int m;
if (n <= 1) return 0;
m = randint(1, n);
return n-1 + cc(m-1) + cc(n-m);
}
在示例2-4、示例2-5和示例2-6中解决的都是相同的基本问题，并且所需的都是相同的运行时间和存储空间。在后面的每个示例都对这些函数的形式进行了改进，从而比这些函数更为清晰和简洁。
在定义发明家的矛盾（inventor's paradox）(How To Solve It, Princeton University Press)时，George Póllya指出“计划越宏大，成功的可能性就越大。”现在，我们就来研究在分析Quicksort时的矛盾。到目前为止，我们遇到的问题是，“当Quicksort对大小为n的数组进行一次排序时，需要进行多少次比较？”我们现在将对这个问题进行扩展，“对于大小为n的随机数组来说，Quichsort算法平均需要进行多少次的比较？”我们通过对示例2-6进行扩展以引出示例2-7。
【示例2-7】 伪码：Quicksort的平均比较次数
float c(int n)
if (n <= 1) return 0
sum = 0
for (m = 1; m <= n; m++)
sum += n-1 + c(m-1) + c(n-m)
return sum/n
如果在输入的数组中最多只有一个元素，那么Quichsort将不会进行比较，如示例2-6
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中所示。对于更大的n，这段代码将考虑每个划分值m（从第一个元素到最后一个，每个都是等可能的）并且确定在这个元素的位置上进行划分的运行开销。然后，这段代码将统计这些开销的总和（这样就递归地解决了一个大小为m-1的问题和一个大小为n-m的问题），然后将总和除以n得到平均值并返回这个结果。
如果我们能够计算这个数值，那么将使我们实验的功能更加强大。我们现在无需对一个n值运行多次来估计平均值，而只需一个简单的实验便可以得到真实的平均值。不幸的是，实现这个功能是要付出代价的：这个程序的运行时间正比于3n（如果是自行参考（self-referential）的，那么用本章中给出的技术来分析运行时间将是一个很有趣的练习）。
示例2-7中的代码需要一定的时间开销，因为它重复计算了中间结果。当在程序中出现这种情况时，我们通常会使用动态编程来存储中间结果，从而避免重复计算。因此，我们将定义一个表t[N+1]，其中在t[n]中存储c[n]，并且按照升序来计算它的值。我们将用N来表示n的最大值，也就是进行排序的数组的大小。在示例2-8中给出了修改后的代码。
【示例2-8】 在Quicksort中使用动态编程来计算
t[0] = 0
for (n = 1; n <= N; n++)
sum = 0
for (i = 1; i <= n; i++)
sum += n-1 + t[i-1] + t[n-i]
t[n] = sum/n
这个程序只对示例2-7进行了细微的修改，即用t[n]来替换c(n)。它的运行时间将正比于N2，并且所需的存储空间正比于N。这个程序的优点之一就是：在程序执行结束时，数组t中将包含数组中从元素0到元素N的真实平均值（而不是样本均值的估计）。我们可以对这些值进行分析，从而生成在Quichsort算法中统计比较次数的计算公式。
我们现在来对程序做进一步的简化。第一步就是把n-1移到循环的外面，如示例2-9所示。
【示例2-9】 在Quicksort中把代码移到循环外面来计算
t[0] = 0
for (n = 1; n <= N; n++)
sum = 0
for (i = 1; i <= n; i++)
sum += t[i-1] + t[n-i]
t[n] = n-1 + sum/n
现在将利用对称性来对循环做进一步的调整。例如，当n为4时，内部循环计算总和为：
t[0]+t[3] + t[1]+t[2] + t[2]+t[1] + t[3]+t[0]
在上面这些组对中，第一个元素增加而第二个元素减少。因此，我们可以把总和改写为：
2 * (t[0] + t[1] + t[2] + t[3])
我们可以利用这种对称性来得到示例2-10中的Quicksort。
【示例2-10】 在Quichsort中利用了对称性来计算
t[0] = 0
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for (n = 1; n <= N; n++)
sum = 0
for (i = 0; i < n; i++)
sum += 2 * t[i]
t[n] = n-1 + sum/n
然而，在这段代码的运行时间中同样存在着浪费，因为它重复地计算了相同的总和。此时，我们不是把前面所有的元素加在一起，而是在循环外部初始化总和并且加上下一个元素，如示例2-11所示。
【示例2-11】 在Quicksort中删除了内部循环来计算
sum = 0; t[0] = 0
for (n = 1; n <= N; n++)
sum += 2*t[n-1]
t[n] = n-1 + sum/n
这个小程序确实很有用。程序的运行时间与N成正比，对于每个从1到N的整数，程序将生成一张Quicksort的估计运行时间表。
我们可以很容易地把示例2-11用表格来实现，其中的值可以立即用于进一步的分析。在2-1给出了最初的结果行。
表2-1 示例2-11中实现的表格输出
N Sum t[n]
0 0 0
1 0 0
2 0 1
3 2 2.667
4 7.333 4.833
5 17 7.4
6 31.8 10.3
7 52.4 13.486
8 79.371 16.921
这张表中的第一行数字是用代码中的三个常量来进行初始化的。下一行（输出的第三行）的数值是通过以下公式来计算的：
A3 = A2+1 B3 = B2 + 2*C2 C3 = A2-1 + B3/A3
把这些（相应的）公式记录下来就使得这张表格变得完整了。这张表格是“我曾经编写的最漂亮代码”的很好的证据，即使用少量的代码完成大量的工作。
但是，如果我们不需要所有的值，那么情况将会是什么样？如果我们更希望通过这种来方式分析一部分数值（例如，在20到232之间所有2的指数值）呢？虽然在示例2-11中构建了完整的表格t，但它只需要使用表格中的最新值。因此，我们可以用变量t的定长空间来替代table t[]的线性空间，如示例2-12所示。
【示例2-12】 Quicksoft 计算——最终版本
sum = 0; t = 0
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for (n = 1; n <= N; n++)
sum += 2*t
t = n-1 + sum/n
然后，我们可以插入一行代码来测试n的适应性，并且在必要时输出这些结果。
这个程序是我们漫长学习旅途的终点。通过本章所采用的方式，我们可以证明Alan Perlis的经验是正确的：“简单性并不是在复杂性之前，而是在复杂性之后” ("Epigrams on Programming," Sigplan Notices, Vol. 17, Issue 9)。

C. 光强对比度的计算公式

光强对比度的算法公式：一副图像的亮度对比度调节属于图像的灰度线性变换，其公式如下:y = [x - 127.5 * (1 - B)] * k + 127.5 * (1 + B)；x为调节前的像素值，y为调节后的像素值。

其中B取值[-1,1]，调节亮度；k调节对比度，arctan(k)取值[1,89]，所以k = tan( (45 + 44 * c) / 180 * pi )；其中c取值[-1,1]。

对比度指的是一幅图像中明暗区域最亮的白和最暗的黑之间不同亮度层级的测量，差异范围越大代表对比越大，差异范围越小代表对比越小，好的对比率120:1就可容易地显示生动、丰富的色彩，当对比率高达300:1时，便可支持各阶的颜色。

视觉影响

对比度对视觉效果的影响非常关键，一般来说对比度越大，图像越清晰醒目，色彩也越鲜明艳丽；而对比度小，则会让整个画面都灰蒙蒙的。

高对比度对于图像的清晰度、细节表现、灰度层次表现都有很大帮助。在一些黑白反差较大的文本显示、CAD显示和黑白照片显示等方面，高对比度产品在黑白反差、清晰度、完整性等方面都具有优势。

相对而言，在色彩层次方面，高对比度对图像的影响并不明显。对比度对于动态视频显示效果影响要更大一些，由于动态图像中明暗转换比较快，对比度越高，人的眼睛越容易分辨出这样的转换过程。

D. 各种查找算法的比较

二分法平均查找效率是O(logn)，但是需要数组是排序的。如果没有排过序，就只好先用O（nlogn)的预处理为它排个序了。而且它的插入比较困难，经常需要移动整个数组，所以动态的情况下比较慢。

哈希查找理想的插入和查找效率是O(1)，但条件是需要找到一个良好的散列函数，使得分配较为平均。另外，哈希表需要较大的空间，至少要比O(n)大几倍，否则产生冲突的概率很高。

二叉排序树查找也是O(logn)的，关键是插入值时需要做一些处理使得它较为平衡（否则容易出现轻重的不平衡，查找效率最坏会降到O(n)），而且写起来稍微麻烦一些，具体的算法你可以随便找一本介绍数据结构的书看看。当然，如果你用的是c语言，直接利用它的库类型map、multimap就可以了,它是用红黑树实现的，理论上插入、查找时间都是O(logn)，很方便，不过一般会比自己实现的二叉平衡树稍微慢一些。

E. 跪求多项式遗传编程拟合曲线的代码！！！

http://www.51kaifa.com/jswz/read.php?ID=1326

多项式可用于非线性信号的拟合，关键在于求解其各项系数。对于任何非线性函数，文中提出都有一个规范化的拟合方法。相应有一个规范化的多项式。该规范化多项式是以整数n为底的幂级数，最大幂次 nmax是x坐标区间的等分数，其系数可用一个规范化的矩阵积得到。文中又给出了固体电子学中的两个应用实例。当x坐标区间分段拟合应用时，还讨论了函数及其导数计算值的连续性条件，并以正弦函数不同区间的展开为例，作了演示。
[关键词] 多项式拟合，非线性信号，规范化方法，规范化矩阵

物理或化学量之间的非线性关系已受到广泛的重视。比较广泛应用的拟合方法是最小二乘法〔1〕，还有神经网络法〔2〕, 遗传算法〔3〕，退火算法〔4〕等。都是针对某一实际问题采用的方法。其中最小二乘法又分为最佳拟合直线(最小二乘拟合直线，端点直线和零基准最小二乘拟合直线)和最佳多项式拟合曲线。前者的优点是用一个正比直线代替曲线给计算带来许多方便。后者的精度明显比前者高。因此精度要求比较高的场合通常采用多项式拟合。

1 基本原理
有一非线性信号y=f(x)可以用一个多项式来表示
通常取到n=4便可以是近似表达非剧变的非多极值的单值关系。即有
ε为小量。
如何得到多项式各个系数成为解决问题的关键。这就有上面所提到各种方法。对于式(2)来说，一般需要有4次测量值即曲线上的四个点(如图1所示)

方可得到 。时，便相应有

这里张量的右上角标指标代表方阶，第2个右下标则是列指标，两者相同。 取决于所测物理量的大小，与具体问题有关。因此求解便不能用一种标准化的方法。现在提出一种规范的方法，也就是说，不管什么问题， 都可以转化为一种规范化的同构矩阵及相应的逆矩阵。这为非线性的问题采用多项式拟合提供了极大的方便。
令xn=nx1 , (5)
n为整数。即有等分点被称为横坐标的缩尺。例如取n=4,则有x1=xmax/4。于是有 ：

可以得到下式：

其中n=x/x1,比较式(7)和 (10)可以得到
由式(2)，即 就是式(9)，可见这是一种标准算法，与x物理量无关，这是本文所追求的目标。与物理量有关的仅仅是其缩尺x1。

2. 应用实例
集成电路生产中经常要使用Van der Pauw和Rymaszewsk法测定薄层电阻。前者用下式[5]：

于是范德堡函数可以表示为

上式的曲线如图2所示，与ASTM中的曲线(图2中虚线)十分吻合[7]。式(14)在 ＝1到10的范围内的精度为

3. 讨论
上面已讨论了n=5时非线性函数展开式5阶多项式的情况。取5个等分点便可以实现精确的拟合。如果已得n=8等分点上非线性函数的单值。希望多项式展开到四阶，则分成二大段展开：
同样可以应用本文所介绍的多项式进行规范化拟合。可以看出，拟合的精度取决于非线性函数自身的光滑程度以及起伏变化的大小等分点的密集程度。等分点越密集，则规范化矩阵的阶数越高，求其逆矩阵越繁琐。因此，可以进行如上面所述的分段拟合，以降低矩阵的阶数。
3.1 分段计算时接合点上的函数连续性问题
只要 矩阵元的小数点位足够精确，在分段接合点 上，函数值肯定是连续的。即有：

证明从略。

3.2 分段计算时接合点上的导数的连续性问题

由4.1讨论可知y3、y4、y5， 可以严格保持原始值，导数在 (即x4点)的连续性就取决于他们的原始分布。图3中a、b、c表示出三种情况下y3、y4、y5的分布。除了第三种情况外，第一二两种情况是在一级近似下分段计算的导数是连续的。当要求导数在接合点连续时，拟合的相邻分段就应该有部分重叠。这时y(1)和y(2)做多项式拟合时横坐标就分成5或6等分。相应展开成5阶或6阶幂级数。在接合点x4上的导数在一级近似下就可取其左右两边的导数的平均值：

因此，即使出现了图3-c情况，导数也是连续的。为了说明上述做法的可行性，下面以非线性函数sin(x)及其导数为例来加以印证。将x坐标的等分点取为 这就代表一个起伏变化的函数，有推广应用价值。现让二分段有部分重叠，用上面介绍的规范化方法分别得到二分段的多项式拟合结果：

图4示出各拟合式的曲线与sin(x)曲线的比较，以观察两者接近情况以及接合点上函数连续情况。图5示出上述拟合式的导数与sin(x)ˊ=cosx 曲线的比较。可见导数也是连续的。总之，本文所提出的方法方便，简单，拟合精度高，标准规范的特点。当拟合点多时，为降低矩阵的阶数，可以分段拟合。只要逆矩阵元的小数位足够精确，接合点上拟合式肯定连续。当两段间有部分重叠时，导数也是连续的。

参考文献

[1] 孙以材，刘玉岭，孟庆浩，压力传感器的设计制造与应用，(北京)冶金工业出版社(2000)
[2] 王伟，人工神经网络原理，北京航空航天出版社(1995)
[3] Helena Szezerbicka and Matthias Becker,Genetic Algorithms : A tool for modeling simulation and optimization of complex system . Cybernetics and systems : An International Journal , 1998 , 29 : 639-659 .
[4] 姚姚，蒙特卡洛非线性反演方法及应用，(北京)冶金工业出版社(1997).
[5] L. J. van der pauw, Philips Research Reports 13(1958), 1.
[6] Rymaszewski R., Electron. Lett. , 3 (1967), 57.
[7] ASTM F76-68,1971 Annual book,part 8,P652-668