级数运算法则

‘壹’ 幂级数的运算法则是什么

1/(1-x) = 1+x+x^2+...+x^n+...

integral from 0 to x,

ln(1-x) = x+x^2/2+...+x^n/n+...

lnx = ln(1-(1-x)) = (1-x)+(1-x)^2/2 + ... + (1-x)^n/n + ...

Answer: lnx = -(x-1)+(x-1)^2/2 + ...+ (-1)^n(x-1)^n/n+..., n from 1 to infinity

根据对数换底公式lgx=lnx/ln10

常用展开式ln(1+x)=∑(1,∞)[(-1)^n-1·x^n]/n

成立区间(-1,1]

lgx=lnx/ln10=ln[1+(x-1)]/ln10

用(x-1)替换上面常用展开式中的x即可得到结果

成立区间-1＜x-1≤1 即(0,2]

(1)级数运算法则扩展阅读：

数项级数式（4）可能收敛，也可能发散。如果数项级数式（4）是收敛的，称为函数项级数（1）的收敛点；如果数项级数式（4）是发散的，称函数项级数（1）的发散点。函数项级数式（1）的所有收敛点的集合称为其收敛域，所有发散点的集合称为其发散域。

对于收敛域上的每一个数x，函数项级数（1）都是一个收敛的常数项级数，因而有一确定的和。因此，在收敛域上函数项级数的和是x的函数，称为函数项级数的和函数，记作s（x）。

‘贰’ 幂级数和函数公式

求幂级数的和函数的方法，通常是：

1、或者先定积分后求导，或先求导后定积分，或求导定积分多次联合并用；

2、运用公比小于1的无穷等比数列求和公式。

需要注意的是：运用定积分时，要特别注意积分的下限，否则将一定出错。

(2)级数运算法则扩展阅读

幂级数它的结构简单 ，收敛域是一个以为中心的区间（不一定包括端点），并且在一定范围内具有类似多项式的性质，在收敛区间内能进行逐项微分和逐项积分等运算。例如幂级数∑(2x)^n/x的收敛区间是[-1/2,1/2]，幂级数∑[(x-21)^n]/(n^2)的收敛区间是[1，3]，而幂级数∑(x^n)/(n!)在实数轴上收敛。

柯西准则

级数的收敛问题是级数理论的基本问题。从级数的收敛概念可知，级数的敛散性是借助于其部分和数列Sm的敛散性来定义的。

因此可从数列收敛的柯西准则得出级数收敛的柯西准则 ：∑un收敛<=>任意给定正数ε，必有自然数N，当n>N，对一切自然数 p，有|u[n+1]+u[n+2]+…+u[n+p]|<ε，即充分靠后的任意一段和的绝对值可任意小。

‘叁’ e的x次方级数公式

e^x=1+x/1!+x^2/2!+...x^n/n!....

a^x=e^(xlna)

将xlna代入上式中的x即可

原式=e^xlna=1+xlna/1!+x^2/2!+...x^n/n!....

每项比前项的比值较小，部分和也就增加较少而较倾向于有界，因此正项级数又有比值判别法。事实上，这都在于断定un的大小数量级。

不定积分的公式

1、∫ a dx = ax + C，a和C都是常数

2、∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且 a ≠ -1

3、∫ 1/x dx = ln|x| + C

4、∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且 a ≠ 1

5、∫ e^x dx = e^x + C

6、∫ cosx dx = sinx + C

7、∫ sinx dx = - cosx + C

8、∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C

‘肆’ 极限四则运算法则是什么

极限四则运算法则：在极限都存在的情况下，和差积商的极限，等于极限的和差积商。

极限四则运算法则的前提是两个极限存在，当有一个极限本身是不存在的，则不能用四则运算法则。极限的思想是近代数学的一种重要思想，数学分析就是以极限概念为基础、极限理论(包括级数)为主要工具来研究函数的一门学科。

极限存在与否的判断：

1、结果若是无穷小，无穷小就用0代入，0也是极限。

2、若是分子的极限是无穷小，分母的极限不是无穷小，答案就是0，整体的极限存在。

3、如果分子的极限不是无穷小，而分母的极限是无穷小，答案不是正无穷大，就是负无穷大，整体的极限不存在。

4、若分子分母各自的极限都是无穷小，就必须用罗毕达方法确定最后的结果。

‘伍’ 级数公式是什么

级数公式如下图：

级数是指将数列的项依次用加号连接起来的函数。典型的级数有正项级数、交错级数、幂级数、傅里叶级数等。

级数理论是分析学的一个分支；它与另一个分支微积分学一起作为基础知识和工具出现在其余各分支中。二者共同以极限为基本工具，分别从离散与连续两个方面，结合起来研究分析学的对象，即变量之间的依赖关系──函数。

作用：

级数是研究函数的一个重要工具，在理论上和实际应用中都处于重要地位，这是因为：一方面能借助级数表示许多常用的非初等函数，微分方程的解就常用级数表示；另一方面又可将函数表为级数，从而借助级数去研究函数，例如用幂级数研究非初等函数，以及进行近似计算等。

‘陆’ 极限运算法则是什么

运算法则是：设{xn}为一个无穷实数数列的集合。如果存在实数a，对于任意正数ε（不论其多么小），都∃N>0，使不等式|xn-a|<ε在n∈(N,+∞)上恒成立，那么就称常数a是数列{xn} 的极限，或称数列{xn}收敛于a。

极限的思想是近代数学的一种重要思想，数学分析就是以极限概念为基础、极限理论(包括级数)为主要工具来研究函数的一门学科：

所谓极限的思想，是指“用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想”。运算法则是：设{xn}为一个无穷实数数列的集合。如果存在实数a，对于任意正数ε（不论其多么小），都∃N>0，使不等式|xn-a|<ε在n∈(N,+∞)上恒成立，那么就称常数a是数列{xn} 的极限，或称数列{xn}收敛于a。

‘柒’ 加减乘除是怎样分级的

有理数加减乘除的运算级别规定：

加减是第一级运算，乘除是( 第二级 )运算，乘方是( 第三级 )运算．在混合运算中应先算较高级别的运算，出现同级运算时，按从( 左到右的 )顺序进行，如果有括号，则先算( 小括号内的 )再算中括号内的，最后算( 大括号内的 )。

此外，乘除法混合运算规则：先算前面的。加减法按顺序。乘除法按顺序。加法和乘法在一起先算乘法。加减法为一级，乘除法为二级。同级时按顺序，如果混合先算二级。

四则混合运算法则

1、同级运算时，从左到右依次计算。

2、两级运算时，先算乘除，后算加减。

3、有括号时，先算括号里面的，再算括号外面的。

4、有多层括号时，先算小括号里的，再算中括号里面的，再算大括号里面的，最后算括号外面的。

5、要是有乘方，最先算乘方。在混合运算中，先算括号内的数 ，括号从小到大，如有乘方先算乘方，然后从高级到低级。

‘捌’ 幂级数展开的计算公式

常用的全面的幂级数展开公式：f(x)=1/(2+x-x的平方)

因式分解

={1/(x+1)+1/[2(1-x/2)]}/3

展开成x的幂级数

=(n=0到∞)∑[(-x)^n+

(x/2)^n/2]

收敛域-1<x<1

绝对收敛级数：

一个绝对收敛级数的正数项与负数项所组成的级数都是收敛的。一个条件收敛级数的正数项与负数项所组成的级数都是发散的。

对于任意给定的正数tol，可以找到合适的区间(譬如坐标绝对值充分小)，使得这个区间内任意三个点组成的三角形面积都小于tol。

‘玖’ 化学反应级数怎么算

在不同级数的速率方程中，速率常数k的单位不一样，一般为Ln-1·mol1-n·s-1，n为反应的反应级数。

基元反应和简单反应的反应级数n可以是整数一、二、三级（只有少数反应为三级），而复杂反应的反应级数n也可以是分数、负数和零级（光化反应、表面催化反应一般是零级）。

负数级表示增加该物质的浓度反而使反应速率下降。但反应速率方程不具有简单的浓度乘积形式者，反应级数的概念就失去了意义。

(9)级数运算法则扩展阅读

一级反应应用：

实验时，首先设计在药物制剂的各类降解反应中，尽管有些药物的降解反应机制十分复杂，但多数药物及其制剂可按零级、一级、伪一级反应处理。

实验温度与取样时间，然后将样品放入各种不同温度的恒温水浴中，定时取样测定其浓度(或含量），求出各温度下不同时间药物的浓度变化。以药物浓度或浓度的其他函数对时间作图，以判断 反应级数。若lgC对t作图得一直线，则为一级反应。

再由直线 斜率求出各温度下的速度常数，然后按前述方法求出 活化能和t0.9。要想得到预期的结果，除了精心设计实验外，很重要的问题是对实验数据进行正确的处理。

化学动力学参数(如反应级数、k、E、t1/2）的计算，有图解法和统计学方法，后一种方法比较准确、合理，故近年来在 稳定性的研究中广泛应用

‘拾’ 极限的四则运算法则是什么

极限四则运算法则的前提是两个极限存在，当有一个极限本身是不存在的，则不能用四则运算法则。设limf(x)和limg(x)存在，且令limf(x)=A，limg(x)=B。

四则运算是指加法、减法、乘法和除法四种运算。四则运算是小学数学的重要内容，也是学习其它各有关知识的基础。

极限四则运算的前提条件是：

两个极限存在，当有一个极限本身是不存在的，则不能用四则运算法则。

设limf（x）和limg（x）存在，且令limf（x）=A，limg（x）=B，才能进行极限四则运算法则。

极限四则运算法则的前提是两个极限存在，当有一个极限本身是不存在的，则不能用四则运算法则。极限的思想是近代数学的一种重要思想，数学分析就是以极限概念为基础、极限理论(包括级数)为主要工具来研究函数的一门学科。

所谓极限的思想，是指“用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想”。

“极限”是数学中的分支——微积分的基础概念，广义的“极限”是指“无限靠近而永远不能到达”的意思。

数学中的“极限”指：某一个函数中的某一个变量，此变量在变大（或者变小）的永远变化的过程中，逐渐向某一个确定的数值A不断地逼近而“永远不能够重合到A”（“永远不能够等于A，但是取等于A‘已经足够取得高精度计算结果）的过程中。

此变量的变化，被人为规定为“永远靠近而不停止”、其有一个“不断地极为靠近A点的趋势”。极限是一种“变化状态”的描述。此变量永远趋近的值A叫做“极限值”（当然也可以用其他符号表示）。