向量积运算法则

① 向量运算法则

向量的加法满足平行四边形法则和三毕拍角形法则。向量的加法OB+OA=OC。a+b=(x+x'，y+y')。a+0=0+a=a。向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。向量的减法：如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0。

向量是什么意思

在数学中，向量（也称为欧几里得向量、几何向量、矢量），指具有大小（magnitude）和方向的量。它可以形象化地表示为带箭头的线段。箭头所指：代表向量的方向；线段长度：代表向量的大小。与向量对应的量叫做数量（物理学中称标量），数量（或标量）只有大小，没有方向。

向量的记法：印刷体记作黑体（粗体）的字母（如a、b、u、v），书写时在字母顶上加一小箭头“→”。

如果给定向量的起点（如蚂A）和终点（B），可将向量记作AB（并于顶上加→）。在空间直角坐标系中，也能把向量以数对形式表示，例如xOy平面中(2,3)是一向量。

在物理学和工程学中，几何向量更常被称为矢量。许多物理量都是矢量，比如一个物体的位移，球撞向墙而对其施加的力手橡羡等等。与之相对的是标量，即只有大小而没有方向的量。一些与向量有关的定义亦与物理概念有密切的联系，例如向量势对应于物理中的势能。

几何向量的概念在线性代数中经由抽象化，得到更一般的向量概念。此处向量定义为向量空间的元素，要注意这些抽象意义上的向量不一定以数对表示，大小和方向的概念亦不一定适用。

因此，平日阅读时需按照语境来区分文中所说的"向量"是哪一种概念。不过，依然可以找出一个向量空间的基来设置坐标系，也可以透过选取恰当的定义，在向量空间上介定范数和内积，这允许我们把抽象意义上的向量类比为具体的几何向量。

② 向量乘法的运算法则是什么

向量a乘以向量b=（向量a得模长）乘以（向量b的模长野高）乘以cosα［α为2个向量的夹角］。向量a（x1,y1）向量b(x2,y2)，向量a乘以向量b=(x1*x2,y1*y2)。

向量的乘积公式：

向量a=(x1,y1),向量b=(x2,y2)。

a·b=x1x2+y1y2=|a||b|cosθ（θ是a,b夹角）。

PS:向量之间不叫＂乘积＂，而叫数量积。如a·b叫做a与b的数量积或a点乘b。

发展历史：

向量，最初被应用于物理学。很多物理量如力、速度、位漏磨移以及电场强度、磁感颂搜尺应强度等都是向量。大约公元前350年前，古希腊着名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量，两个力的组合作用可用着名的平行四边形法则来得到。

“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段。最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿。

③ 向量的加减法运算法则

向量的加减法运算法则如下：

向量加法满足平行四边形法则和三角形法则。向量加法的运算律有交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

向量减法的运算法则为：如果a、b是互为相反的向量，那么a-b=0。

在数学中，向量（也称为欧几里得向量、几何向量、凳升矢量），指具有大小（magnitude）和方向的量。它可以形象化地表示为带箭头的线段。

向量定义是既有大小，又有方向的量叫做向量（Vector）。在几何上，向量用有向线段来表示，有向线段长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向。其实有向线段本身也是向量，称为几何向量。今后我们将以它为代表来宽腊研究向量。

在实际问题中慎粗滑，有些向量与其起点有关，有些向量与其起点无关。由于一切向量的共性是它们都有大小和方向，所以在数学上我们只研究与起点无关的向量，并称这种向量为自由向量（以后简称向量），即只考虑向量的大小和方向，而不论它的起点在什么地方。

在只讨论自由向量的约定下，向量可以平行移动，所以两个向量相等的定义如下：定义如果两个向量大小相等，且方向相同，我们就说这两个向量是相等的。即：经过平行移动后能完全重合的向量是相等向量，或者说它们是同一个向量。

④ 向量运算法则是什么

①三角形定则：三角形定则主要是将各个向量依次按照首位顺序相互连接，最后得出的结果为第一个向量的起点指向最后一个向量的重点，这种解法则是被称之为三角形定则。

②平行四边形定则：而平行四边形定则则是选择以向量的两个边作为平行四边形，而结果则是作为公共起点的一个对角线，平行四边形定则还能解决向量的减法。

其中是将向量平移到公共起点上面，然后以向量的两个边作为平行四边形，最终由减向量的重点指向被减向量的重点，而这个平行四边形定则只是可以用来做两个非零非共线向量的加减。

相关定义

1、滑动向量

沿着直线作用的向量称为滑动向量。

2、固定向量

作用于一点的向量称为固定向量（亦称胶着向量）。

3、位置向量

对于坐标平面内的任意一点P，我们把向量OP叫做点P的位置向量，记作：向量P。

4、方向向量

直线l上的向量a以及与向量a共线的向量叫做直线l上的方向向量。

⑤ 向量的计算法则

1、向量的加法
向量的加法
向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则.
向量的加法OB+OA=OC.
a+b=(x+x',y+y').
a+0=0+a=a.
向量加法的运算律：
交换律：a+b=b+a；
结合律：(a+b)+c=a+(b+c).
2、向量的减法
如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.0的反向消伍量为0
向量的减法
AB-AC=CB.即“共同起点,指向被
向量的减法减”
a=(x,y)b=(x',y') 则a-b=(x-x',y-y').
3、数乘向量
实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣.
当λ＞0时,λa与a同方向；
向量的数乘
当λ＜0时,λa与a反方向；
向量的数乘当λ=0时,λa=0,方向任意.
当a=0时,对于任意实数λ,都有λa=0.
注：按定义知,如果λa=0,那么λ=0或a=0.
实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩.
当∣λ∣＞1时,表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；
当∣λ∣＜1时,表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或××反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍.
数与向量的乘法满足下面的运算律
结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb).
向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.
数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.
数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b.② 如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ.
4、向量的数量积
定义：已知两个非零向量a,b.作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π
定义：两个向量的数量积（内积、点积判手）是一个数量,记作a·b.若a、b不共线,则a·b=|a|·|b|·cos〈a,b〉；若a、b共线,则a·b=+-∣a∣∣b∣.
向量的数量积的坐标表示：a·b=x·x'+y·y'.
向量的数量积的运算律
a·b=b·a（交换律）；
(λa)·b=λ(a·b)(关于数乘法的结合律)；
（a+b)·c=a·c+b·c（分配律）；
向量的数量积的性质
a·a=|a|的平方.
a⊥b 〈=〉a·b=0.
|a·b|≤|a|·|b|.（该公式证明如下：|a·b|=|a|·|b|·|cosα| 因为0≤|cosα|≤1,所以|a·b|≤|a|·|b|）
向量的数量积与实数运算的主要不同点
1、向量的数量积不满足结合律,即：(a·b)·c≠a·(b·c)；例如：(a·b)^2≠a^2·b^2.
2、向量的数量积不满足消去律,即：由 a·b=a·c (a≠0),推不出 b=c.
3、|a·b|≠|a|·|b|
4、由 |a|=|b| ,推不出 a=b或a=-b.
5、向量的向量积
定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量,记作a×b（这里并不是乘号,只是一种表示方法,与“·”不同,也可记做掘桥嫌“∧”）.若a、b不共线,则a×b的模是：∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a,b〉；a×b的方向是：垂直于a和b,且a、b和a×b按这个次序构成右手系.若a、b共线,则a×b=0.
向量的向量积性质：
∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积.
a×a=0.
a垂直b〈=〉a×b=|a||b|.
向量的向量积运算律
a×b=-b×a；
（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）；
a×（b+c）=a×b+a×c.
注：向量没有除法,“向量AB/向量CD”是没有意义的.
6、三向量的混合积
向量的混合积
定义：给定空间三向量a、b、c,向量a、b的向量积a×b,再和向量c作数量积(a×b)·c,
向量的混合积所得的数叫做三向
量a、b、c的混合积,记作(a,b,c)或(abc),即(abc)=(a,b,c)=(a×b)·c
混合积具有下列性质：
1、三个不共面向量a、b、c的混合积的绝对值等于以a、b、c为棱的平行六面体的体积V,并且当a、b、c构成右手系时混合积是正数；当a、b、c构成左手系时,混合积是负数,即(abc)=εV（当a、b、c构成右手系时ε=1；当a、b、c构成左手系时ε=-1）
2、上性质的推论：三向量a、b、c共面的充要条件是(abc)=0
3、(abc)=(bca)=(cab)=-(bac)=-(cba)=-(acb)
4、(a×b)·c=a·(b×c)

⑥ 向量的运算包括哪几个公式

向量的运算的所有公式是：

1、加法：已知向量咐旅指AB、BC，再作向量AC，则向量AC叫做AB、BC的和镇巧，记作AB+BC，即有：AB+BC=AC。

2、减法：AB-AC=CB，这种计算法则叫做向量减法的三角形法则，简记为：共起点、连中点、指被减。

3、数乘：实数λ与向量a的积是一衡配个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa。当λ>0时，λa的方向和a的方向相同，当λ<0时，λa的方向和a的方向相反，当λ = 0时，λa=0。

向量代数规则：

1、反交换律：a×b=-b×a。

2、加法的分配律：a×（b+c）=a×b+a×c。

3、与标量乘法兼容：（ra）×b=a×（rb）=r（a×b）。

4、不满足结合律，但满足雅可比恒等式：a×（b×c）+b×（c×a）+c×（a×b）=0。

⑦ 关于向量（矢量）向量（矢量）的运算法则是什么特别是乘法!

一、向量的概念
日常中誉隐我们所遇到的量可以分为两类：一类量用一个数值便可以完全表示,比如面积、温度、时间或质量等都属于这一类,这一类质量称为数量（或标量）；另一类量,除了要用一个数以外,还要指明它的方向才能够完全表示,比如速度、加速度、力等都属于这一类,这一类的量称
为向量（或矢量）.
向量可以用一条有向线段形象地表示,线段的方向表示向量的方向,它的长度称为向量的模.向量常记为(a→),(b→)或a,b等,有时也用(A→B)表示一个向量,A是起点,B是终点.从A到B的指向表示(a→)的方向.向量(A→B)的模记作|(A→B)|.模等于零的向量叫做零向量,记作0或(0→).零向量的方向可以看作是任意的.模等于1的向量叫做单位向量.对于非零向量(a→),我们庆哪厅用(a(0)→)表示a同向的单位向量,简称为a的单位向量.在直角坐标系中,向量(O→M) 叫做点M的向径,记做r或(r→) .于是空间每一点M,对应着一个向径 ；反之,每一向径r,对应着一个确定的点M.两个向量的方向相同、模相等时,称它们是相等的向量,记作(a→) =(b→) .因此,一个向量经过平移后与原向量相等.与的模相同而方向相反的向量叫做 的缓激负向量,记作(a→)=-(c→) .
二、向量及运算
1、向量的加法
两向量(O→A) 与(O→B)的和,是以这两向量做相邻两边的平行四边形的对角线向量(O→C) ,记作(O→A)+(O→B)=(O→C)
这种方法叫做向量加法的平行四边形法则,由于平行四边形的对边平行且相等,我们还可以这样来作出两向量的和：作 (O→A)=(a→).以(a→)的终点为起点作(b→)=(A→C) ,连接OC ,就得(O→C) .这一方法叫做向量加法的三角形法则.向量的加法满足交换律、结合律.如设有向量(a→) ,(b→)
即有(a→)+(b→)=(b→)+(a→)
[(a→)+(b→)]+(c→)=(a→)+[(b→)+(c→)].
特别地,若(a→) 与(b→) 共线（平行或在同一条直线上）,则规定它们的和是这一个向量：当(a→) 与(b→) 的指向相同时,和向量的方向与原来两向量的方向相同,其模等于两向量的模的和；当(a→) 与(b→) 的指向相反时,和向量的方向与较长的向量的方向相同,而模等于较大向量的模减去较小向量的模.
2.向量的减法
减法是加法的逆运算,若(b→)+(c→)=(a→) ,则定义(c→) 为向量(a→) 与(b→) 之差,记作(c→)=(a→)-(b→).
由于(a→)+[-(b→)]=(a→)-(b→) ,所以由加法的法则可得减法的相应法则：以(a→)及-(b→) 为邻边作平行四边形,则对角线向量就是(c→) .若(a→) 与(-b→) 的起点相同,由(b→) 的终点到(a→) 的终点所成的向量也为(a→)-(b→).此法则称为减法的三角形法则.

⑧ 向量的加减乘除运算法则是什么

设a=（x,y）,b=(x',y').
加法
向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则.
向量的加法
OB+OA=OC.
a+b=(x+x',y+y').
a+0=0+a=a.
向量加法的运算律：
交换律：a+b=b+a；
结合律：(a+b)+c=a+(b+c).减法如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.0的反向量为0AB-AC=CB.即“共同起点,指向被
向量的减法
减”a=(x,y)b=(x',y')
则a-b=(x-x',y-y').如图：c=a-b
以b的结束为起点,a的结束为终点.数乘实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣.当λ>0时,λa与a同方向当λ1时,表示向量a的有向线段在原方向（λ>0）或反方向（λ

⑨ 向量的加减法运算法则

向量加法满足平行四边形法则和三角形法则。向量加法的运算律有交换律a+b=b+a；结合律(a+b)+c=a+(b+c)。向量的减法：如果a、b是互为相反的向量，a+b=0。

向量的加减法

向量加法的运算律

交换律：a+b=b+a；

结虚肢合律：(a+b)+c=a+(b+c)。减法如果a、b是互为相反的向量，那么粗侍a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0AB-AC=CB.即“共同起点，指向被

向量的减法

a=(x,y)，b=(x',y')， 则a-b=(x-x',y-y')。c=a-b，以b的结束为起点，a的结束为终点。数乘实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。当λ>0时，λa与a同方向当λ<0时，λa与a反方向。

向量加减定则

三角形定则

三角形定则解决向量加法的方法：将各个向量依次首尾顺次相接，结果为第一个向量的岩誉吵起点指向最后一个向量的终点。

平行四边形定则

平行四边形定则解决向量加法的方法：将两个向量平移至公共起点，以向量的两条边作平行四边形，结果为公共起点的对角线。

平行四边形定则解决向量减法的方法：将两个向量平移至公共起点，以向量的两条边作平行四边形，结果由减向量的终点指向被减向量的终点（平行四边形定则只适用于两个非零非共线向量的加减）。