反问题新算法

① 联合反演的定义

正演问题是根据一个模型计算其响应。反演问题则希望能够从观测到的响应中推导出实际模型。这正是解释的基本功能，即根据地震观测确定地球内部物理特性的分布（问题的参数）。解释时通常采用反演算法。

由于地球物理数据局限性和不精确性，涉及方程组解常常不存在精确的唯一解答或不能用稳定收敛的数值方法求得其精确解。这时只能依据某种推测求出反问题的一个可以接受的解估计，常把这种求反问题的解估计统称为广义反演方法。

反演并没有唯一解，也就是说，不同模型可能得到同一种观测结果。原因可能是反演方法不完善，也可能是存在不确定性因素。不确定性存在的结果是：无数个模型都常常能得到同一种观测结果，这一点会使对反演的作用产生怀疑。不过，加入约束条件通常可以限制物理特性参数的取值范围，这样可将局限于一个很窄的范围内。仔细地建立模型一般可消除大部分的不唯一性。

关于联合反演的定义，不同的专家学者有不同的定义。美·谢里夫认为是综合应用各种类型的数据，得到地下地质情况更合理的解释，减少解释的多解性。

研究认为，非震—地震间的联合反演是综合应用不同岩石物性的地球物理数据（在盆地勘探初期，利用重磁电、地质、地震、测井等资料），得到地下地质情况更合理的解释。为满足所已有的地球物理数据的最终大地模型，利用地震资料解释作为约束条件，模拟及主观解释以建立与各种地球物理资料数据一致的地质模型，利用不同物性之间有相关的内在联系，平面推断反演，反复迭代、核实验证，使界面模型解释趋于合理，接近实际。方法有同步反演、顺序反演、剥离法反演、伸展反演等。

根据合肥盆地地质特点，本课题应用顺序反演方法。其定义：一种单独的数据结果为另一种数据反演提供初始模型或作为另一种数据输入。此次采用顺序反演法中的一种-剥离法，其应用条件：上下界面物性差异显着；剥离的界面已由另一种方法确定。根据本区地球物理场特征，揭示各主要界面间存在比较大的物性差异，符合了该方法的适应条件。

（一）重力填层正反演方法的应用

布格重力异常是综合异常，是地下所有剩余密度体所产生的重力值之和。为了获得深部目标层的构造所产生的重力异常，须从布格重力异常中消去目标层系以外的所有已知的剩余密度构造体所产生的重力值。为此，项目组开发应用了剥（填）层技术。

所谓剥层方法，就是利用已知构造的深度和密度（差），用重力正演计算出构造层产生的重力异常值，原始布格重力异常值与构造层重力异常值之和或差值，消除了这些构造体影响后的剩余重力异常，该异常的特征反映了未知密度体的特征。

根据不同的地质——地球物理特征，剥皮可采用剥层与填层两种方式。剥层方式是通过重力正演和叠加的计算、将已知构造层物质变为空气（密度为零）的等效过程。通常，当密度构造由浅到深，形态变缓时，采用此种方式较为适宜；填层方式虽同样是重力正演和叠加计算，但其最终是使构造面之上物质的密度转换成构造面之下物质的密度。在采用这种方式时，即使已知的深层构造较浅部构造更为复杂，亦能看出填层后消除已知构造的效果。合肥盆地的地质构造特征是深部构造较浅部构造更为复杂，所以采用填层方式更为适宜。

鉴于实际分布中地层经常会有缺失，即浅部的密度为σ₁的地层直接与深部的密度为σ_n的地层相接触，而缺失了密度为σ₂，σ₃，等地层，其时，界面的密度差应为Δσ_1，n=σ_n-σ₁，但为了便于正演计算，利用纯数学的等效原理，界面的密度差可改为：Δσ_1，n=σ_n-σ₁=σ_n-σ₃+σ₃-σ₂+σ₂-σ₁=Δσ_3，n+Δσ_2，3+Δσ_1，2。

由此可见，当进行重力填层计算时所说的某地某深度有某地层时，有可能实际并不存在该地层（如上述的σ₂和σ₃地层），这些实际缺失地层的出现，是由地层密度差通过纯数学分解而得出来的。

根据重力场的理论与实践可知，地面各点的重力观测值与质量源的距离的平方成反比。在空间域中，密度界面埋藏较浅时，重力异常的特征为场值大，异常梯度陡；而深源场则表现为场值小、异常梯度缓。根据上述原理，利用滑动平均法，可以分离不同深度界面间的场，即实现背景场的分离。

在反演合肥盆地结晶基底时，首先利用滑动平均法，去掉结晶基底面以下的重力异常。背景场分离掉以后，局部异常是结晶基底以上各密度界面的综合反映，要反演结晶基底，首先要分离出结晶基底的重力异常。由于结晶基底以上各个密度界面，已通过地震资料解释清楚，利用重力填层原理，即可分离出结晶基底层的重力异常；利用长方体U函数法，反演求的结晶基底的深度。

（二）线性剖面联合反演

胜利油田物探研究院于2001年初引进了美国的LCT重磁震处理解释一体化软件系统，为合肥盆地的重磁电震联合反演提供了技术保障。

根据探区实际情况，此次为获得比较合理的地质模型，采用了以下反演基本技术路线：建立地震地质模型—计算重、磁等场数据的理论正演曲线—理论正演曲线与野外实测数据进行对比—修改和校正地质模型，修正模型的物性参数，再次拟合，反复多次，当两者基本重合时，所设计的地质模型可较好地反映地下地质结构和地层物性特征。

（三）平面外推—统计推断联合反演

概率-统计方法是以数理统计、概率论和随机过程等理论为工具，根据相当数量的反演问题解具有概率性质而提出的一些数理统计的模式识别方法。

联合反演的目的在于，利用迭代方法，根据观测到的地震记录推断产生这些记录的物理特性参数的空间分布。反演常被线性化，即假设各个参数满足线性关系。但是，许多问题本质上是非线性的，通常的做法是利用逐次线性近似来解决。首先给定一个起始模型（可以是均一的半无限空间）。然后利用误差场来修改模型，使误差场变小，再利用新的误差场修改模型，不断循环进行这个过程，目的就是缩小误差场。重复迭代直到误差场小于某个门限值或相继两次迭代结果的误差小于一个门限值为止。

1.方法原理

根据场论，重磁异常函数f（x，y，z）（g（x，y，z）或T（x，y，z））作为物理场位函数，显然

合肥盆地中新生代构造演化与油气地质特征

在其定义的空间域D内是无限连续可微的，并可展成三维空间的泰勒（B.Taylor）级数：

合肥盆地中新生代构造演化与油气地质特征

特别当（x₀，y₀，z₀）=（0，0，0）∈D时，f（x，y，z）又可展成三维空间的麦克劳伦（C.Maelaurin）级数。

根据调和函数性质，在区域纬度变化不大的条件下，研究三维空间的f（x，y，z）的问题又可简化为常用的研究二维空间的f（x，y）的问题，其泰勒、麦克劳伦级数展开为

合肥盆地中新生代构造演化与油气地质特征

勘探初期当缺少物性参数或物性参数样品不够多的情况下，怎样进行重磁震联合反演呢?

重磁力分别可用表达形式相似的库仑定律、万有引力定律计算，其对应的重磁场、重磁位尽管有标量与矢量之分，但用统一的场论在同母体分布的条件下也可将二者用泊松公式统一起来，用重力场的引力位势梯度表达磁力场的位势，反之亦然。

等效地质体的假定：在误差允许并保持目标层重磁异常及其反演界面深度不变的基础上，将反演上（下）界面当作由目标层上挤（下压）而构成的纵向地层厚度为单位厚度、横向均质体积元（面元）为可数个的等效地质体——特殊等效界面，使得按目标层体积元连续计算与按特殊等效界面面元离散计算的正演重磁异常及反演上（下）界面深度是一致的。一是可把特殊等效界面的“密度、磁化率”称作综合反映目标地层密度与磁性的等效密度、磁化率；二是可把目标层简化成特殊等效界面可数个面元（网格）的建模反演研究。对于以上假定，从万有引力、库仑定律出发，不难建立其对应的方程组，以证明等效地质体的存在。当目标层层厚大大小于顶、底深度时，等效密度、磁化率则可视为目标层层段厚度加权的密度、磁化率。

独立母体分布的假定：泛指被分离的地质异常体应属同一概率分布的假定；为的是保证重磁异常场原函数、逆函数及其复合函数在其定义域内具有无限连续可微的特性，以便将其在空间域内予以级数展开，进行场源分离，以及实施重磁震反演建模。一般来讲，依坳陷、凹陷、洼陷等顺序，利用重磁差值趋势面场源分离技术，采用从深到浅、从大到小，渐次缩小到目标层系母体分布范围的方法，逐级进行精细分解，提取目标地层重磁异常及其极值重磁异常。而高次趋势面剩余异常，则主要用于提取断裂系统、划分独立母体分布范围；除含测量、计算误差外，大多为断裂、火成岩等地质突发事件所产生的随机异常，是在其比例尺度内滤波滤不掉、趋势面拟合不去的特殊信息。

2.运算公式

不失一般性，假定每一地质异常体皆可分解为可数个密度与磁性独立母体分布的地质异常体，从万有引力、库仑定律易知，其深度（距离）h及其对应的重力异常g、磁力异常t，以及密度σ、磁化率τ所构成的逆函数h=H_重（g，σ）、h=H_磁（t，τ），与重磁异常场原函数一样，同样在其有意义的定义域内，也是无限连续可微的函数。并且，因在已知h与g、t的条件下必然也可求出属于同一母体分布的密度、磁化率函数：σ=σ（h，g）、τ=τ（t，h），进而又可将h=H_重（g，σ）、h=H_磁（t，τ）简化为仅有两个独立变量的函数：h=H_重（g）、h=H_磁（t）。用泰勒（傅立叶）级数在空间（波数）域内予以展开，建立重磁异常g、t与h的一元多项式（三角函数关系式），以避开中浅层统层难度大及密度、磁化率测试分析少的矛盾。从而，便可用泰勒级数在空间域内对一般并非有解析解的重震、磁震反演逆函数直接予以展开，分别建立重震、磁震随机反演理论模型，并给出表征逼近模型程度的拟合度：

合肥盆地中新生代构造演化与油气地质特征

重力g与磁力t之间具有相关性，其简化的逆函数h=f_重（g）、h=f_磁（t）叠合所构成的新函数，应是保持无限连续可微的复合函数：h=f（g，t），同样可用泰勒（傅立叶）级数在空间（波数）域内予以展开，把h=f（g，t）的复杂求解问题简化为多项式（三角函数）的最优逼近问题。而具有特大样品的重磁震信息，正是求解h=f（g，t）多项式（三角函数）系数的理想基础。

同样，对于任一具有独立母体分布的地质异常体来说，不难从数学上建立重磁力场强度与位势的微积分关系，把重磁单向转换的泊松公式，拓展成为重力强度、位势与磁力强度、位势间双向转换的关系式。近几年高分辨率重磁协同地震技术已在西方地球物理公司大范围推广应用，不得不更新有无密度与磁性界面及高精度重磁所解决油气勘探问题的传统概念。重磁之间的这种特殊相关性，随着重磁技术的迅速发展，对重震、磁震、重磁震反演建模更具有实用价值。由重磁逆函数h=H_重（g）、h=H_磁（t）所构成的重磁震联合反演叠加逆函数h=H（g，t），虽然仍为无限连续可微的函数，但是由于重磁间并非简单线型关系、磁性与密度并非为均匀分布；因此，在建模时则不应是不消除重磁线型相关性的简单叠加函数，而应是保持重磁相对独立性的复合逆函数。这样，便可用泰勒级数在空间域内将重磁震联合反演复合逆函数h=H（g，t）予以展开，建立保持重磁相对独立性的重磁震随机反演理论模型，并给出表征逼近模型程度的拟合度：

合肥盆地中新生代构造演化与油气地质特征

其中：公式（4-3）、（4-5）、（4-8）式中的余项为（m+1）阶无穷小量，当m足够大时呈正态分布；但三式中的m所表达的阶数并不一定相同。

利用已知地震解释、重磁场源分离提供的h与g、t的样品，把密度、磁化率（严格地讲，剩余密度、磁化率）当作隐含在系数之中的待估参数，求解最优逼近公式（4-5）→公式（4-8）的一元m次趋势面方程式，分别建立实际应用的重震、磁震统计推断联合反演模型；求解保持重磁相对独立的最优逼近公式（4-9）→公式（4-10）的二元m次趋势面方程式，建立重磁震统计推断联合反演模型，以及检验、控制反演模型精度的深度误差正态分布模式与深度概率分布模式。

3.技术方法实现

数据采样：根据提供的31条地震测线资料解释成果，提取两大主要地质界面（印支面和结晶基底）的深度数据和断层数据。

重磁场频率域转换与场源分离界面拾取：重磁力异常的频率（波数）域转换过程是：首先对异常资料进行傅立叶正变换得到异常资料的频谱；而后把异常的频谱与转换相应的频率响应函数点积，得到处理后异常的频谱；最后对处理后异常的频谱进行傅立叶反变换，从而得到处理后的异常。

重磁力场是综合场，重磁力异常是地下各层密度界面、磁性体及地质体的综合反映。它是多因素（场源值、观测误差等）、多深度（浅层及深层的密度界面）、全空间（地下半空间）重磁力场的总和。这种场的特点是它既提供了划分不同密度界面的可能性，但亦形成了重磁力异常解释的多解性。

对布格重力异常而言，由于地壳厚度变化引起的大区域场；由基底起伏及以上各密度界面引起的沉积岩异常；由基底岩性不同造成密度差异产生的基岩岩性异常。如何分离相互叠加的重磁力异常是首要解决的问题，也是重磁电震联合反演的基础。

在场源分离的基础上，按照趋势面拟合度及拟合度速率变化曲线分析识别与地震解释的目标层系深度（印支面-盆地基底和结晶基底）相关度最佳的趋势面次数。从统计角度看，拐点多出现在中低次趋势面分析的拟合度急剧上升变化阶段，而平缓点则一般出现在高次趋势面分析的拟合度平缓变化阶段，是确定趋势面次数、剔除随机异常及选择差值趋势面次数、分离复合与叠合地质体场源异常的理论依据与重要参数（图4-11）。根据合肥盆地地层发育特征及周缘露头采样获取的岩石物性参数，进行概率统计分析。

重力异常场数据分析结果：8次趋势面与结晶基底的相关度最高，15次趋势面与盆地基底的相关度最高；磁力异常场数据分析结果：7次趋势面与结晶基底的相关度最高，18次趋势面与盆地基底的相关度最高。

图4-11 异常趋势面拟合度速率图

在保持深度与重磁异常不变的条件下，把15次重力、18次磁力趋势面视作由印支面下伏地层上挤而构成的单位厚度的等效地质异常体的重磁异常，进一步利用重、磁趋势面分析分南、北、西北区剔除其背景异常，提取出与深度一一对应的极值重磁异常。

按封闭区分重磁将h=f_重（g）、h=f_磁（t）用泰勒（傅立叶）级数在空间（波数）域内予以展开，建立g、t与h的一元多项式（三角函数关系式），分别选择重磁差值趋势面最佳次数，并取其相关系数作为重磁的权函数：R_重、R_磁。

数据加权处理：按现有的差值趋势面软件，对h（地震解释层数据）、g（重力）、t（磁力）首先按封闭区进行数据标准化，然后再对重磁加权处理：g=|R_重|g，t=|R_磁|t。

地质模型建立：模型建立过程包括很多内容，首先是确定模型的适用性即不但满足地质研究需要，而且于实际工作中具可行性。如果选择的网格太细，例如允许包括不能检测到的非常薄的异常层，会大大地增加计算量，如果网格太粗，平滑效应就非常严重，使结果缺少应用价值。

由于探区面积大，地质差异明显，界面起伏变化剧烈。因此，分不同区带，针对区块差异性建立了多个重、磁、震、电反演模型。

在模型建立过程中，主要采用了模式识别技术。模式识别是一种特殊形式的标定方法，即多参数标定方法。模式识别就其本意来讲，它是利用计算机或其他分析仪器来模拟人类认识外部世界信息的能力的一门新兴学科中的重要组成部分，也是一门应用相当广泛、且具相对独立性的实用技术。

模式识别的主要步骤包括：① 确立已知模式；② 提取特征参数；③ 对黑箱式映射的模拟或进行标准样本学习；④ 根据模拟或学习得到的推理规则，对其他样本作判别分类；⑤ 对判别分类结果作地质解释并验证。

地球物理观测到的数据通常由三部分组成，即区域地球物理异常信号、局部地球物理异常信号以及由表层不均匀性、观测误差和地球物理场中未被处理模型考虑的变异等构成的干扰。通常假定满足相加模型。

所谓的信号检测是判断观测数据中有无信号存在的问题；所谓的信号估计则是在确定信号存在于观测数据中的情况下估计信号参数的问题。

在地球物理数据处理中，使用信号检测与估计的方法遵循了下列基本原则：①根据研究对象的地质-地球物理模型提出相应的数学模型；②对异常信号与干扰的频谱特征和相关特征要作详细研究；③根据不同准则选择适当的滤波器，对异常的存在与否作出统计判定；④对所选方法的处理质量和信号检测的可靠性作出合理评价。

② 反演方法分类与进展

反演水文地质参数的方法可根据正演计算所用的方法分为解析法和数值法。解析法主要以泰斯（Thies）公式为代表，具体又有配线法、直线图解法等。数值法求参按其求解方法又可分为试估-校正法和最优化计算方法。

试估-校正法的优点是能充分利用水文地质工作者对一个地区水文地质条件的各种认识，达到识别参数的目的。但是，该方法无收敛判别准则，很难达到最优识别，工作量比较大。使用该方法，结果的可靠性和花费时间的多少取决于调参者的经验和技巧。

最优化方法是将水文地质参数识别归结为求极值问题。即求水文地质参数使得误差评价函数达到最小。

在实际应用时，解析法求参的配线法和直线图解法等很难应用于数值法的反演问题中，但数值法反演的各种方法均可用于解析法的反演求参之中，因此严格的分类是不存在的。

Neuman^［2］按求参使用的判别原则将反演方法分为两类，直接解法和间接解法。

直接解法是从联系水头和水文地质参数的偏微分方程或其离散形式出发，把水头的实际观测值作为已知数，把水文地质参数作为待求的未知数直接来解。具体方法有局部直接求逆法、数学规划法等。实际上，利用裘布衣公式或蒂姆公式计算渗透系数也是一种直接解法。直接解法由于计算上稳定性差，在实际计算中应用较少。

间接解法利用正问题的解是适定的这一重要性质，把解逆问题化为解一系列的正问题。其基本思想是先假设一组水文地质参数作为初值，用数值法计算水头。求出水头的计算值和实测值之间的误差，不断修改水文地质参数，反复计算水头，直到水头的计算值和实测值很好拟合时为止。此时的水文地质参数值就是所求的水文地质参数值。

设共有n个水文地质参数，用符号p₁，p₂，…，p_n来代表。同时假设在j号观测点上i 时刻的计算水头为（t_i），实测水头为（t_i），比较的观测点总数为 N 个，比较的时间段为 M 个。通常用平均误差绝对值及平均误差平方和来表示拟合的程度。称为评价函数（也称目标函数）E。显然，E 是所给出的参数值的函数。评价函数的表达式如下：

含水层参数识别方法

由上面二式很易看出，目标函数愈小，拟合得愈好。只要改变水文地质参数p₁，p₂，…，p_n的值，可得出不同的目标函数值。解逆问题实质上就是寻找一组水文地质参数，使目标函数为极小。一般而言，（1-15）式拟合判别准则最好，（1-16）式拟合判别准则次之。

无论是直接方法或间接方法求参，最终的问题均归结为如何调整参数使得评价函数E达到极小值。到目前为止探索出的各种方法很多，William W-G Yeh在1986年综述了参数反演方法。表1-1和表1-2是他列出的直接方法和间接方法参数识别的研究成果。从已有文献看，用于识别水文地质参数的最优化方法主要有：最速下降法、逐个修正法、Gauss Newton法、Powell方法、单纯形法、线性规划法、二次规划法、拟线性化方法和罚函数法等。

表1-1 直接法参数识别模型

地下水系统的参数估计方法可分为方程误差准则法和输出误差准则法^［11］，逆问题的这种分类方法最初来源于Neuman的直接方法和间接方法分类^［2］。方程误差准则方法在一般的逆边值问题中将模型参数作为独立的变量。逆问题的求解方法包括能量衰减法^［12］，线性规划法^［13］，误差流最小模方法^［14］，多目标决策过程^［2］，Galerkin方法^［15］，代数逼近法^［12］，归纳法^［16］，线性规划和二次规划法^［17］，罚函数法^［18］，结合Kriging法的广义逆矩阵法^［19］。表1-1给出了方程误差准则法的一个总结。

输出误差准则法进行参数估计是基于逆问题的优化或控制模型。优化模型的目标是最小化输出误差。参数估计的目的是在参数上下限的范围内，尽可能地满足含水层系统的水量或水质方程。参数值不断地更新直到模型的响应最有效地逼近历史的观测数据。

基于拟线性化^［20］的控制技术已用来求解含水层参数问题。算法包括拟线性化^{［21，22］}，优化控制法^{［23，24］}，Kalman滤波技术^{［25，26］}。

表1-2 间接方法参数识别模型

续表

数学规划技术已广泛应用于水文地质和石油工程的参数识别问题。梯度寻求法^［27］，多水平优化方法^［28］，线性规划^［29］，二次规划^［29］，Gauss-Newton法^［30］，修正的Gauss-Newton法^{［31，32］}，Newton-Raphson方法^［33］，共轭梯度法^［34］等均属此类方法。输出误差准则法见表1-2。

近年来，禁忌搜索算法、模拟退火算法、遗传算法、人工神经网络法等近代优化方法不断发展，其中部分研究成果已用来求解地下水逆问题。Harrouni等^［35］用简单二进制遗传算法和边界元结合进行地下水边界和参数识别，Morshed等^［36］用简单二进制遗传算法和神经网络结合进行渗透系数估计，金菊良等^［37］用加速二进制遗传算法求解的泰斯（Thies）模型的逆问题，姚姚^［38］分别用模拟退火方法和二进制遗传算法讨论了地球物理反演问题，石琳珂用二进制遗传算法讨论了地球物理反演问题，并对遗传算法进行了部分改进，这些方法均可对水文地质反演求参起到很好的引导作用。

③ 地球物理学中的反演计算

反演是地球物理中的重要领域。依据地球表面观测到的各种地球物理场资料，通过计算去推断地球内部的结构、物质组成和动力学过程。可以说地球物理学从诞生起便踏着反演的进步路径在发展。

1.地球物理反演理论的发展

地球物理学中的反演问题最早主要是针对地球内部结构的探索。1907年赫格罗斯（Herglotz）首先由地球物理资料的定量分析提出了地震波走时数据的反演；1909年莫霍洛维奇（MohorovicicA.）发现地壳与地幔之间的一级不连续面；1912年古登堡（Guten-berg）发现古登堡面；1923年康拉德（Conrad）发现地壳中间界面；1935年莱曼（Leh-mann）发现地球内核和外核的分界面。这些人在地球物理学发展史上均写下了不朽的篇章，对地球物理反演学术思想的形成和发展起到极大的推动作用。

20世纪50年代前后，随着观测技术的不断提高，人们对地球内部的认识不断深化，地球内部圈层有了基本模型。由于电子计算机的使用，使得已发展起来的试错法和拟合法可以通过计算机来实现。到了60年代地球物理工作者已可以利用电子计算机对地球模型参数进行自动的修正反演，即发展为自动拟合法或最优化法。

1970年以前地球物理反演研究的主要特点：

（1）采用均匀各向同性地球模型；

（2）反演问题在数学上仅涉及微积分或古典积分方程；

（3）观测数据与假定模型正演计算结果等同；

（4）对解的不唯一性未做深入分析，而是以观测数据与用推测模型求得结果进行类比；

（5）在计算技术上仅涉及了初等数值分析，如数值微积分、最小二乘法解超定方程组等。

20世纪60年代由于各类运用于计算的新算法不断涌现，快速傅里叶（Fourier）变换和高速褶积的广泛应用，基于二次曲面分割的地球模型已不能满足新的要求，而迫使地球物理反演计算必须提高分辨率。因此反演理论在70年代前后发展迅速，并做出了重要贡献（Backusetal.，1967，1968，1970）。

巴库斯和吉伯特（一位是地球物理学家，另一位是数学家）的地球物理反演理论（BG理论）是建立在模型为连续的情况下，故必导致方程组欠定，难于在快速电子计算机上实现。为此，维津斯（Wiggins，1972）和杰克逊（Jackson，1972）先后提出了与BG理论相应的广义反演方法。后经帕克（Parker，1976）等人的整理与推广，使BG理论在20世纪70年代后期得到广泛应用。

基于勘探地球物理学的快速发展，20世纪80年代以来的偏微分方程反演进一步得到发展。20世纪90年代以来，非线性理论在自然科学各个领域均得到极大重视，当然这要比线性反演复杂得多。

我国在地球物理反演理论和方法研究方面起步较晚。BG理论于20世纪70年代引入我国，并在解决某些地球物理数据分析中得以应用。

2.地球物理反演中解的不唯一性原因分析

地球物理学可以根据地面或者高空的观测资料（如来自深部的地震波、电磁场、热流、重力场等）来推断地下的结构、构造和物质属性等情况，即地球物理学中的反演或反问题（InversionProblem）。在各种地球物理场（重、磁、电、热）给出的数据中，虽然含有地下各种物性结构的信息，但在对数据进行计算与解释（即反演）的过程中，即便是使用同样的资料，所得的答案却不尽相同。这是反演的多解性，或解的非唯一性。

造成反演多解的原因，有数学上的问题，如解法不稳定、观测误差等，但其根本的原因是不可能得到地球深部直接的观测数据，而仅靠地面的观测资料，其“信息”量是不够的。地震波虽然可以穿透地球，带来深部的三维信息，但地震图震相识别仍有很大的不确定性。为此，不论是一维、二维还是三维或四维反演，减少多解性都需要对各种地质地球物理资料进行综合分析，加强对地震图记录的震相识别，需要依据丰富的资料，即在多因素约束下提出科学而又合理的初始模型，并对反演进行约束。反演问题是地球物理学中理论与方法核心问题之一。

④ 反函数的算法

均值不等式
F最小=2根号下(1500*15)=300

⑤ 资料处理与反演解释

高密度电阻率法的测量系统在施工现场采集到大量关于地电断面结构特征的地质信息，并以数字的形式保存在随机存储器中。将其传入微机进行数据转换、处理与解释，然后生成供推断解释用的各类图件。图1.4.6为高密度电阻率法资料处理与解释系统框图，实际工作中可根据具体情况的需要选用其中某些过程。

图1.4.6 高密度电阻率法数据处理与解释流程框图

1.4.3.1 滤波处理方法

三电位电极系中，偶极和微分排列所测视电阻率曲线随着水平极距的加大，曲线由单峰变为双峰。绘成断面图时，除了和地质对象相对应的主异常外，一般还会出现强大的伴随异常。为消除或减弱三电位电极系视电阻率曲线中振荡成分的影响，简化异常形态，可以采用数字滤波方法，并将这种滤波称为扩展偏置滤波。

扩展偏置滤波器有4个非零的权系数：0.12，0.38，0.38，0.12。在滤波计算中，无论间隔系数为几的剖面测量结果，都应把滤波系数置于4个活动电极所对应的点上，在电极之间插入和电位相同的零系数。例如，n=2，滤波器长度为7，相应的权系数依次是：0.12，0，0.38，0，0.38，0，0.12。图1.4.7为二维地电模型正演模拟曲线的滤波处理结果。由图可见，未经滤波的剖面曲线随间隔系数的增大，曲线形态复杂；经滤波处理后的剖面曲线，形态大为简化，伴随异常的幅值减小并远离主极值。

图1.4.7 二维地电模型正演模拟曲线的滤波处理

点画线为滤波前原始曲线；实线为滤波后的结果

1.4.3.2 视比值参数

(1)T_s比值

高密度电阻率法的野外观测结果除了可以绘制相应装置的视电阻率断面图外，根据需要还可绘制两种比值参数图。考虑到三电位电极系中三种视电阻率异常的分布规律，选择了温纳β装置和温纳γ装置两种装置的测量结果为基础的一类比值参数。该比值参数的计算公式为

电法勘探

由于温纳β和温纳γ这两种装置在同一地电体上所获得的视电阻率总是具有相反的变化规律，因此用T_s参数绘制的比值断面图，在反映地电结构的分布形态方面，远比相应装置的视电阻率断面图清晰和明确的多。

图1.4.8 是对所谓地下石林模型的正演模拟结果。模型的电性分布如图1.4.8 c所示，其中温纳a装置的

拟断面图(图1.4.8a)几乎没有反映，而T_s比值断面图(图1.4.8b)则清楚地反映了上述模型的电性分布。

图1.4.8 模型上方视电阻率和比值参数T_s等值线断面图

(2)λ_s比值

另一类比值参数是利用联合三极装置的测量结果为基础组合而成的，其表达式为

电法勘探

式中：ρ_s(i)和ρ_s(i+1)分别表示剖面上相邻两点视电阻率值，计算结果示于i和i+1 点之间。

根据前面所学知识，有

电法勘探

则

lgλ_s(i，i+1)=lgF^A(i)-lgF^B(i+1)

而lgF^A的差商为

电法勘探

令Δx=1，则lg λ_s为lg F^A曲线的差商，或者说lg λ_s描述了岐离带曲线剖面水平方向的变化率。

图1.4.9表征比值参数λ_s在反映地电结构能力方面所作的模拟实验。视电阻率

断面图(图1.4.9a)只反映了基底的起伏变化，而λ_s比值断面图(图1.4.9b)却同时反映了基底起伏中的低阻构造。

图1.4.9 模型上方视电阻率和比值参数λ_s等值线断面图

1.4.3.3 统计处理

统计处理包括以下内容：

(1)利用滑动平均计算视电阻率的有效值，例如，三点平均

ρ_x(i)=[(ρ_s(i-1)+ρ_s(i)+ρ_s(i+1)]/3

式中：ρ_x(i)为i点的视电阻率有效值，i=1，2，3，…。

(2)计算统计参数

平均值：

=

·

ρ_x(i)(N 为断面上的总测点数)

标准差：σ_A=∑

(3)计算电极调整系数

电法勘探

式中：

(L)为电极距为L时全部视电阻率观测数据平均值。

(4)计算相对电阻率

电法勘探

通过计算相对电阻率，可以在一定程度上消除背景影响，相对视电阻率等值线断面图更能明显地反映地电体沿剖面的横向变化。

(5)对视参数分级

为了对视参数进行分级，首先必须按平均值和标准差关系确定视参数的分级间隔。间隔太小，等级过密，间隔太大，等级过稀，这都不利于反映地电体的分布。一般情况下，以采用五级制为宜，即根据平均值和标准差的关系划分四个界限

电法勘探

利用上述视参数的分级间隔，可将断面上各点的ρ_s(i)或ρ_y(i)划分成不同的等级，用不同的符号或灰阶表示时，便得到视参数异常灰度图。例如，ρ_s(i)＜D₁，低阻；ρ_s(i)=D₁～D₂，较低阻；ρ_s(i)=D₂～D₃，中等；ρ_s(i)=D₃～D₄，较高阻；ρ_s(i)＞D₄，高阻。

视参数的等级断面图在一定条件下能比较直观和形象反映地下介质的电性分布特征。当然，我们也可用不同的颜色来表示不同的等级，得到视参数异常色谱图。

统计处理原则上适应于三电位电极系中各种电极排列的测量结果，只是在考虑视电阻率参数图示时，由于偶极和微分两种排列的异常和地电体之间具有复杂得对应关系，因此一般只对温纳a装置的测量结果进行统计处理。温纳-斯伦贝尔格热装置的测量结果也可进行统计处理。

1.4.3.4 高密度电阻率法二维反演

在地球物理学中，地球物理反演是利用在地球表面观测到的物理数据推测地球内部介质物理状态的空间变化及物性结构。如果把地球物理问题分为资料采集、数据处理和反演解释三个阶段的话，那么，资料采集是基础，数据处理是手段，反演解释才是地球物理工作最终目的。

在高密度电阻率法中，仅根据高密度电阻率法的视参数等值线断面图(ρ_s、T_s、λ_s)或视参数分级灰度图来进行定性解释显然是很不够的。为了获得地下介质电性分布更为精确的电性结构与空间分布，目前最常用的方法是进行视电阻率断面二维反演。

(1)二维反演的基本原理

二维反演同一维反演的数学实质相同，都是要寻找一个地电模型，使其对应的理论计算值与实测视电阻率在一定法则下重合最好。数学上将求解这类问题的方法称为最优化方法。

用计算机对物探异常进行定量解释的最优化算法，实际上是求解多元函数极值的一种方法。最优化算法种类很多，如最速下降法(高斯法)、共轭梯度法、牛顿法、变尺度法(拟牛顿法)、最小二乘法、阻尼最小二乘法(马奎特法)、单纯性法等。

在电法资料定量解释中，最优化算法的基本步骤可归结为：

1)给出实测视电阻率离散值。

2)根据已知物性资料、地质资料和定性解释成果，确定地电模型，即给出地电模型初值。

3)通过正演计算得到地电断面的理论值。

4)评定理论计算值和实测视电阻率的拟合程度，即通过计算拟合差来判定拟合程度。

5)若拟合差不符合要求，则修改模型参数值，并根据修改后的地电模型参数重新计算理论值。

6)再次评定拟合程度，反复修改地电模型参数，直至拟合差达到事先给定精度为止。

7)此时地电模型参数即为解释结果。

完成上述过程的关键是用何种方法来评定拟合程度，以及如何修改模型参数。

评定拟合程度时，由于精确的地球模型我们并不知道，只能用方差来衡量它的质量，通常采用理论计算值和实测视电阻率两者偏差平方来作为衡量标准，即

电法勘探

式中：ε(x)为目标函数；δ_k(x)为偏差函数；E_k为实测数据；f_k(x)为理论计算值；k为离散点之顺序；m为采样点数；x为理论模型参量。

式(1.4.4)的意思是，建立一个目标函数，使总误差恰好是向量δ(x)的欧几里得长度的平方。在数学上，范数经常作为长度或大小的某种度量，并且用一组双竖直线段来表示。如

即为向量e的范数。以向量元素的n次幂之和为基础的范数是最常用的，并且称之为L_n，如

L₁范数：

电法勘探

L₂范数：

电法勘探

随着幂次的逐步提高，e的最大元素的权也逐步增大。最小二乘法系用L₂范数来定量表示长度。这里有一个问题，为什么采用L₂范数而不是采用其他范数呢?这要看数据的特性。依据前述可知，幂次不同，对不同大小的误差所加的权也不同。换句话说，低阶范数对不同尺度给予的权相差不大，而高阶范数对大误差给予优惠。当数据服从高斯分布时，此时应用L₂范数解是最合理的。然而，虽然高斯分布的数据在地球物理测量中是很常见的，但是大多数据集中总有那么几个“坏”数据，它们的存在说明数据并不完全服从高斯分布的统计性质。在反演之前不曾把这些坏数据去掉的话，那么最好用使L₁范数最小化的反演方法，如线性规划法等，因为这时最小二乘法给予坏数据的权仍然过大。

如果给定初值x⁽⁰⁾，修正量为Δx，修正后的参量为x⁽¹⁾，则有

x⁽¹⁾=x⁽⁰⁾+Δx

参量修正后使目标函数ε(x)为最小值，即

电法勘探

此时拟合程度最佳。这就是最小二乘法意义下的最优化方法，即最小二乘法。最小二乘法实际上是一种反问题的长度解法，由于其简单易行，在电法资料解释中得到广泛应用。

如何求取修正参量Δx很重要。求取方法有多种，但不管那种算法都是通过不同途径修正Δx大小和方向，以达到拟合最佳的目的。

(2)二维断面反演的阻尼最小二乘法

设在被研究的地电断面Ω域上，待求的地电模型参数为M个(即M个待求的电阻率ρ₁，ρ₂，…，ρ_M)。通常，我们是将Ω域按一定法则剖分，例如，可按照图1.4.10进行剖分(变网格)，每个网格单元对应一个电阻率。这些单元中的模型参量，可用向量ρ=(ρ₁，ρ₂，…，ρ_M)表示。实测视电阻率拟断面上，取N个视电阻率采样值(即

，i=1，2，…，N)。

图1.4.10 二维断面反演网格剖分示意图

二维拟断面反演是不断修改地电模型的电阻率参数，使理论模型拟断面向实测拟断面逼近。在理论计算值(

，i=1，2，…，N)向实测视电阻率

逼近过程中，通过不断改变电阻率值ρ，使理论计算的

与实测视电阻率

之间的误差尽可能小(一般＜5%)，以此作为衡量实测视电阻率

和理论计算

间拟合程度。通常采用对数型拟合方差F作为拟合视电阻率的目标函数(注意，以下的对数运算均系对电阻率的数值{ρ_i}_Ω·m进行)，但简化记为

电法勘探

式(1.4.6)中

是根据初始模型参数正演计算的结果，它是地电断面参数ρ和电极距的函数，即

=

(ρ，d_i)(d_i为与电极距有关的量)。目标函数F反映了实测拟断面数据与理论拟断面数据间的拟合程度，是模型参数的函数。二维视电阻率拟断面反演的目的就是要找到一组模型参数ρ=(ρ₁，ρ₂，…，ρ_M)，使目标函数取得最小值，即

电法勘探

由于理论计算的

(ρ，d_i)是模型函数ρ的非线性函数，故式(1.4.7)被称为非线性最小二乘问题，求取模型参数ρ拟合过程相当于数学上求多元函数极小值问题。对于非线性函数F直接求出ρ是很困难的，为此需要对非线性函数进行线性化近似处理。对假定的地电断面，给出一组模型参数初值ρ⁰=

(

，

，…，

)，将ln

(ρ，d_i)在初值ρ⁰附近做泰勒级数展开，将二阶和二阶以上的偏导数项略去，展开式的结果如下

电法勘探

令

电法勘探

电法勘探

则式(1.4.8)可写为

电法勘探

将式(1.4.11)代入式(1.4.6)，可得到目标函数F的近似表达式

电法勘探

将式(1.4.12)右端记为

，则非线性最小二乘问题式(1.4.7)即可转换为线性最小二乘问题

电法勘探

根据极值存在的必要条件，使F达到最小的Δρ_j(j=1，2，…，M)，应满足下列方程组

电法勘探

整理后得

电法勘探

将式(1.4.15)写成矩阵形式

A^TAΔρ=A^TΔG (1.4.16)

式(1.4.16)即为目标函数(式(1.4.13))的法方程。其中：N×M矩阵A称为雅可比矩阵，其元素由式(1.4.9)来确定；ΔG为列向量，其元素为

电法勘探

求解方程式(1.4.16)，可得出模型参数的修正量Δρ，取ρ¹=ρ⁰+Δρ作为新的模型近似值，若

F(ρ¹)＜F(ρ⁰)

且F(ρ¹)＜ε(ε为给定精度)，则ρ¹作为二维地电断面的反演解释结果。若达不到精度，则以ρ¹取代ρ⁰重复以上过程，直至求出符合精度要求的模型参数为止。

以上求解过程的特点是将非线性最小二乘问题(式(1.4.7))转化为求解一系列最小二乘问题——式(1.4.13)，虽然每一步求得的Δρ只是

=min的极小元，还不能使F(ρ¹+Δρ)达到极小，但只要模型参数初值ρ⁰选取得当，这种逐步线性化的过程是收敛的。

法方程组的系数矩阵A^TA，一般病态十分严重，甚至奇异。为保证反演过程收敛，增强法方程线的数值稳定性，可采用改进的阻尼最小二乘法(马奎特法)

(A^TA+λS)Δρ=A^TΔG (1.4.18)

式中：λ为阻尼因子；S为对角矩阵。

总结以上阻尼最小二乘法的反演思路我们可将其归纳为以下四个主要步骤：

1)给出初值；

2)计算理论拟断面(用2.5维数值模拟方法作正演计算)；

3)解法方程：(A^TA+λS)Δρ=A^TΔG；

4)让ρ¹=ρ⁰+Δρ作为新模型参数，重新迭代反演。

可以看出，阻尼最小二乘法的主要计算工作量是解法方程，而要解法方程组，关键在于求出系数矩阵A(雅可比矩阵，Jacobian Matrix)，A中元素用式(1.4.9)来计算。可见雅可比矩阵的计算是反演成像计算中很重要的一步。

计算雅克比矩阵的方法有很多种。均匀介质模型是最为理想化的初始模型，利用这个理想化的模型，就可用解析的方法来计算偏导数值雅可比矩阵，这样就可以节约大量的机时，这里我们不再进行讨论。

1.4.3.5 高密度电阻率法的应用

(1)野外工作技术

A.测网布置

地球物理工作的测区一般是由地质任务确定的，总的原则与剖面法和测深法相同。对主要应用于工程及环境地质调查中的高密度电法而言，按工程地质任务所给出的测区往往是非常有限的，我们只能在需要解决工程问题的有限范围内布设测线、测网，可供选择的余地往往有限，这是一般工程物探经常遇到的情况。测网布设除了建立测区的坐标系统外，还包含了技术人员试图以多大的网度和怎样的工作模式去解决所遇到的工程地质问题。在这里，经验和技巧非常重要。特殊情况下，高密度电阻率法可布设不规则的测线和测网，尽可能在有限的测区内获得更多的测量数据。

B.装置选择

通常使用的装置还如上述四种类型(温纳、偶极-偶极、三极和温纳-斯伦贝尔格热装置)。不同厂家的测量系统基本上以这几种装置为主，但也各有特点。有的高密度电阻率仪提供了十多种装置以供选择。不同装置可联合使用，也可根据需要单独使用某一种装置。在高密度电阻率法中，合理地选择工作装置或其组合装置，可以提高采集数据对目标体的敏感度，放大异常，从而提高分辨率。选择一个合适的工作装置应考虑以下方面因素：探测目标的特性、探测深度、有效探测范围、信号强度、装置对地下电阻率水平或垂向变化分辨能力、场地噪声本底水平以及仪器灵敏度等。

当一个排列布好后，应尽量多地采集几个装置数据，以供后续处理和解释之用；同时，在一个地区工作时，除特殊情况外，应尽可能保持装置类型的一致，这样做的目的也是为了剖面的连接和解释的方便。

C.最小电极间距和排列长度的选择

最小电极间距和排列长度的选择取决于地质对象的大小和埋藏深度。要保证有足够的横向分辨率，探测目标体横向上至少要有2～3根电极通过。同时，由于高密度电阻率法实际上是一种二维测深剖面方法，所以在保证最大极距能够探测到主要地质对象的前提下，还要考虑围岩背景也能在二维断面图中得到充分的反映。如对小而深的探测目标体，要求较小的电极间距和较多的电极数。

对于长剖面，可以通过电极的移动来获得连续的断面数据。图1.4.11是温纳-斯伦贝尔格热装置通过两次移动来获得18a剖面长度的例子。一般地，在剖面对接时要重叠3～4个点，重叠点的数据取两次测量的平均值。

图1.4.11 温纳-斯伦贝谢装置移动测量示意图

(2)高密度电阻率法在工程与环境地质中的应用

近年来，高密度电阻率法在场地勘察、公路及铁路隧道勘查、坝基及桥墩选址、采空区和溶洞探测、地裂缝调查以及水库渗漏研究等领域得到广泛应用，取得了明显的地质效果和显着的经济效益。下面用几个高密度电阻率法的实际例子来说明该方法的应用效果。

A.在煤气管道勘查中的应用

场地地形有较小起伏，测线左侧是水田，右侧是砂石路。煤气管道包裹石棉网并涂有沥青，为高阻反映。实测时，最小电极间隔Δx=0.3 m，电极数为N=30，n_max=9。图1.4.12是经过地形改正后的ρ_s等值线断面图，图1.4.13是经过地形改正后并进行比值计算得到的视参数T_s等值线断面图，两图的高值等值线圈位置与管道位置相符，但T_s等值线断面图比ρ_s等值线等面图异常明显，这一结果与探地雷达探测结果一致，并与开挖后实际情况相符。

图1.4.12 煤气管道ρ_s等值线断面图

B.在水库坝体探测中的应用

中坊水库位于江西省广昌县境内，该水库建于20世纪50年代初期，坝体主要用素填土筑成。1989年初发现左坝肩背水面漏水，漏水位置位于土坝体与左坝肩接触面不远。当时发现渗水时渗水量很小，看不到明水。后来渗水量越来越大，到1998年渗水量达2 373.8 m³/d。如不采取措施，将影响坝体的安全。为了确定漏水通道及为续后灌浆加固处理提供资料，我们采用了高密度电阻率法和自然电场法进行了综合勘查。

图1.4.13 煤气管道T_s等值线断面图

以坝体与左坝肩接触面为中心，沿着坝体走向布置了一条高密度电阻率法剖面。最小电极间隔Δx=1 m，电极总数P_sum=60。设第一根电极处x=0，接触面位置在x=29.5 m处。图1.4.14是经二维反演后得到的温纳a装置电阻率等值线断面图，图中清晰地反映了坝体与左坝肩接触面位置。

图1.4.14 横穿坝体与左坝肩接触面高密度剖面电阻率等值线断面图

通过本次工作(综合高密度电法、自然电场法以及水文地质调查结果)，基本查清水库漏水地段及漏水通道位置。观察结果表明，土坝体是完整的，从土坝与山体的接触面(接触面向坝体一侧倾斜)起一直延伸到山体内的范围内是渗水区。山体为花岗斑岩、风化程度比较高，裂隙发育，土坝体与山体的接触面及山体是漏水的通道，为后续打钻灌浆加固处理提供了依据。

近年来，在重大场地的工程地质调查、坝基及桥墩选址、采空区及地裂缝探测等方面，高密度电阻率法均取得较好的地质效果，实例很多。

⑥ 数学模型反演解法概述

数值模拟反问题常常转化为优化问题，函数优化就是求一个函数的最优值以及达到该最优值的最优点，而最优化算法本质上是一个最优值的搜索过程。经典的优化算法如牛顿法、单纯形法、共轭方向法、最速下降法和罚函数法等，一般对目标函数要求连续、可微甚至于高阶可微、单峰等；需要对函数求一阶、二阶导数；受初值影响较大，算法容易陷入局部最小值，对于多峰函数优化问题具有较大局限性。

20世纪80年代初期以来，地下水水流与溶质迁移模型和数值优化方法相结合越来越普遍，目前常用的主要有以下两种方法。

3.4.7.1 数学规划方法

主要包括线性规划（LP），该方法广泛应用于线性目标函数及流量约束的地下水管理问题，解线性规划的软件主要有AQMAN，MODMAN，MODOFC，MODFLIP；非线性规划（NLP）；混合整数线性规划（MILP）；混合整数非线性规划（MINLP）。其中线性规划法计算效率较高，但仅适用于承压含水层，通常不能有效地处理溶质运移问题。非线性规划与动态规划的应用较广泛，计算效率上有优势，但需要计算目标函数对决策变量的导数即梯度，因此，该方法又被称为梯度法，在目标函数很复杂，而且为非线性时，结果往往会陷于一个局部最优解而不能识别全局最优解。

3.4.7.2 全局优化方法

主要以启发式搜索技术为根据的一类优化方法，包括模拟退火法、遗传算法、禁忌搜索法、人工神经网络法、外围近似法等，这些方法有识别全局或接近全局范围内最优解的能力。全局优化法能够模仿一定的自然系统，通常计算量很大。本书主要介绍4种现阶段应用广泛发展较为迅速的优化算法。

遗传算法（Genetic Algorithms，GA）是一类借鉴生物界自然选择（Natural Selection）和自然遗传机制的随机搜索算法（Random Searching Algorithms），求解问题一般包括编码、计算适应度、选择、交叉、变异、循环回到计算适应度，反复进行直到满足终止条件。该算法是处理一般非线性数学模型优化的一类新的优化方法，对模型是否线性、连续、可微等不作限制，也较少受优化变量数目和约束条件的束缚，其本质是一种高效、并行、全局搜索的方法，能在搜索过程中自动获取和积累相关搜索空间的知识，并自适应地控制搜索过程以求得最优解。目前已广泛用于函数优化、参数辨识、机器学习、神经网络训练、结构设计和模糊逻辑系统等方面。常用的GA计算程序有MGO（Molar Groundwater Optimizer），模块化地下水优化程序，该程序是地下水水质管理的通用优化模型。将水流和迁移模拟程序与遗传算法相结合，能适应非线性复杂目标函数，能够处理水头、梯度、水流以及浓度等约束条件。SOMOS程序，实现了包括遗传算法和人工神经网络的优化算法，能处理经济、环境以及地下水管理体积等问题，同时SOMOS可以将MODFLOW和MT3DMS作为模型的组成部分进行运算。但是目前遗传算法的应用还存在明显的不足，主要表现为以下几点：

1）GA的算法设计和关键控制参数选择对优化性能的影响明显，直接影响算法的搜索效率和优化性能，甚至导致“早熟”收敛；

2）参数识别研究中的编码方案以二进制编码为主，计算量和存储量大。

人工神经网络（Artificial Neural Network，ANN）是由大量神经元通过极其丰富和完善的联结而构成的自适应非线性动态系统，它使用大量简单的相连的人工神经元来模仿生物神经网络的能力，从外界环境或其他神经元获得资讯，同时加以简单的运算，将结果输出到外界或其他人工神经元。神经网络在输入资讯的影响下进入一定状态，由于神经元之间相互联系以及神经元本身的动力学特性，这种外界刺激的兴奋模式会自动地迅速演变成新的平衡状态。人工神经网络是一种计算系统，包括软件与硬件，它使用大量简单相连的人工神经元来模仿生物神经网络的能力。人工神经网络是生物神经元的简单模拟，它从外界环境或者其他神经元取得资讯，同时加以非常简单的运算，输出其结果到外界环境或者其他人工神经元。人工神经网络系统反映了人脑功能的许多基本特性，但它并不是人脑神经系统的真实写照，而只是对其作某种简化、抽象和模拟，这也是当前的现实情况。是目前对人脑神经及其智能机理的研究水平所能做到的，对人脑智能机理的简化、抽象和模拟是人工神经网络研究的基本出发点。

支持向量机是基于统计学理论的VC维理论和结构风险最小化原理而提出的一种新的机器学习方法。与传统的神经网络学习方法相比，支持向量机从结构风险最小化原则出发，求解的是一个二次规划问题而得到全局最优解，有效地解决了模型选择与过学习问题、非线性和维数灾难以及局部极小等问题，在解决小样本、非线性、高维模式识别问题中表现出许多特有的优势。

模拟退火算法是对固体退火过程的模拟。在金属热加工工艺中，将金属材料加热到某一高温状态后，让其慢慢冷却，随着温度的降低，物质的能量将逐渐趋近于一个较低的状态，并最终达到某种平衡。模拟退火算法是基于金属退火的机理而建立的一种全局最优化方法，它能够以随机搜索技术从概率的意义上找出目标函数的全局最小点。模拟退火算法的主要缺点是解的质量与求解时间之间存在矛盾，该算法对于多应力期模型和大量水文地质参数的反演，收敛缓慢，得不到满意的结果。

⑦ 省考行测：反算法

在广东省考行测资料分析题目中，经常会遇到一些列式之后和一个比较整的数据比较大小的题目，此时我们可以化除为乘，化减为加，不用计算很多不整的数据，从而简化运算。

例1：2017年粮食产量为a，2016年为b。问：增长率是否超过20%?

中公解析：粮食产量增长率超过20%，即(a-b)÷b>20%。将除法转乘法，得到a-b>0.2b，即a-b>0.2b时，2017年增长率超过20%。

这种方法就叫反算法，通过分析题干特点，将题目进行巧妙转化从而简化计算。

可以利用反算法的题型一般会具有以下特点：题干要求满足某个或某些条件的指标个数，通常是指两数之比或增长率在某个范围内，给出的比值一般简单易算。

具体使用方法可以总结为以下三步：

第一步：将除法转化为乘法;

第二步：检验“>”或“<”关系是否成立;

第三步(视情况而定)：若正而计数个数较多，可先从反面计数，再用总数相减。

我们再通过几道例题练习一下。

例2：2017年第一季度，某省农林牧渔业增加值361.78亿元，比上年同期增长5.9%，高于上年同期0.2个百分点，具体情况如下：

该省种植业增加值119.21亿元，比上年同期增长8.2%。林业增加值34.84亿元，比上年同期增长8.3%。畜牧业增加值176.64亿元，比上年同期增长4.2%，增速比上年同期加快2.1个百分点。渔业增加值9.22亿元，比上年同期增长4.5%。农林牧渔服务业增加值21.87亿元，比上年同期增长3.8%。

问题：2017年第一季度，该省占农林牧渔业增加值比重超过三成的包括：

A.种植业、渔业

B.林业、畜牧业

C.种植业、畜牧业

D.农林牧渔服务业、林业

【答案】C。中公解析：根据题干信息判断考查现期比重。比重超过三成，即部分/整体>30%。计算每个指标所占的比重比较耗时，可直接使用反算法，简化计算过程。

首先得到2017年第一季度该省农林牧渔业增加值的三成，为361.78×30%≈362×0.3=108.6亿元。再查找材料中超过该值的只有种植业和畜牧业，分别为l19.21亿元、176.64亿元。故本题选C。

例3：

⑧ 计票反算法

摘要 例】(判断正误)24304÷(1+23%)超过了2万。

⑨ 百度问答请讨论为什么对于现实问题的反问题考虑数据和模型的不确定性很重要

摘要 不确定性:

⑩ 如何理解神经网络里面的反向传播算法

反向传播算法（BP算法）主要是用于最常见的一类神经网络，叫多层前向神经网络，本质可以看作是一个general nonlinear estimator，即输入x_1 ... x_n 输出y，视图找到一个关系 y=f(x_1 ... x_n) （在这里f的实现方式就是神经网络）来近似已知数据。为了得到f中的未知参数的最优估计值，一般会采用最小化误差的准则，而最通常的做法就是梯度下降，到此为止都没问题，把大家困住了很多年的就是多层神经网络无法得到显式表达的梯度下降算法！

BP算法实际上是一种近似的最优解决方案，背后的原理仍然是梯度下降，但为了解决上述困难，其方案是将多层转变为一层接一层的优化：只优化一层的参数是可以得到显式梯度下降表达式的；而顺序呢必须反过来才能保证可工作——由输出层开始优化前一层的参数，然后优化再前一层……跑一遍下来，那所有的参数都优化过一次了。但是为什么说是近似最优呢，因为数学上除了很特殊的结构，step-by-step的优化结果并不等于整体优化的结果！不过，好歹现在能工作了，不是吗？至于怎么再改进（已经很多改进成果了），或者采用其他算法（例如智能优化算法等所谓的全局优化算法，就算是没有BP这个近似梯度下降也只是局部最优的优化算法）那就是新的研究课题了。