最小生成树算法prim
1. 什么是Prim算法
Prim算法
Prim算法用于求无向图的最小生成树
设图G =（V，E），其生成树的顶点集合为U。
①、把v0放入U。
②、在所有u∈U，v∈V-U的边(u，v)∈E中找一条最小权值的边，加入生成树。
③、把②找到的边的v加入U集合。如果U集合已有n个元素，则结束，否则继续执行②。
其算法的时间复杂度为O(n^2)
Prim算法实现：
（1）集合：设置一个数组set[i](i=0,1,..,n-1),初始值为 0,代表对应顶点不在集合中（注意：顶点号与下标号差1）
（2）图用邻接阵表示，路径不通用无穷大表示，在计算机中可用一个大整数代替。
参考程序
/* Prim.c
Copyright (c) 2002, 2006 by ctu_85
All Rights Reserved.
*/
/* The impact of the situation of articulation point exists can be omitted in Prim algorithm but not in Kruskal algorithm */
#include "stdio.h"
#define maxver 10
#define maxright 100
int main()
{
int G[maxver][maxver],in[maxver]=,path[maxver][2];
int i,j,k,min=maxright;
int v1,v2,num,temp,status=0,start=0;
restart:
printf("Please enter the number of vertex(s) in the graph:\n");
scanf("%d",&num);
if(num>maxver||num<0)
{
printf("Error!Please reinput!\n");
goto restart;
}
for(j=0;j<num;j++)
for(k=0;k<num;k++)
{
if(j==k)
G[j][k]=maxright;
else
if(j<k)
{
re:
printf("Please input the right between vertex %d and vertex %d,if no edge exists please input -1:\n",j+1,k+1);
scanf("%d",&temp);
if(temp>=maxright||temp<-1)
{
printf("Invalid input!\n");
goto re;
}
if(temp==-1)
temp=maxright;
G[j][k]=G[k][j]=temp;
}
}
for(j=0;j<num;j++)
{
status=0;
for(k=0;k<num;k++)
if(G[j][k]<maxright)
{
status=1;
break;
}
if(status==0)
break;
}
do
{
printf("Please enter the vertex where Prim algorithm starts:");
scanf("%d",&start);
}while(start<0||start>num);
in[start-1]=1;
for(i=0;i<num-1&&status;i++)
{
for(j=0;j<num;j++)
for(k=0;k<num;k++)
if(G[j][k]<min&&in[j]&&(!in[k]))
{
v1=j;
v2=k;
min=G[j][k];
}
if(!in[v2])
{
path[i][0]=v1;
path[i][1]=v2;
in[v1]=1;
in[v2]=1;
min=maxright;
}
}
if(!status)
printf("We cannot deal with it because the graph is not connected!\n");
else
{
for(i=0;i<num-1;i++)
printf("Path %d:vertex %d to vertex %d\n",i+1,path[i][0]+1,path[i][1]+1);
}
return 1;
}
Prim算法。
设图G =（V，E），其生成树的顶点集合为U。
①、把v0放入U。
②、在所有u∈U，v∈V-U的边(u，v)∈E中找一条最小权值的边，加入生成树。
③、把②找到的边的v加入U集合。如果U集合已有n个元素，则结束，否则继续执行②。
其算法的时间复杂度为O(n^2)
参考程序
//Prim 算法 读入顶点数(n)、边数(m)，边的起始点和权值 用邻接矩阵储存
//例如
//7 12 (7个顶点12条边)
//1 2 2
//1 4 1
//1 3 4
//2 4 3
//2 5 10
//3 4 2
//4 5 7
//3 6 5
//4 6 8
//4 7 4
//5 7 6
//6 7 1
#include <stdio.h>
#include <string.h>
int main()
{
int m , n;
int a[201][201] , mark[201] , pre[201] , dist[201];
int s , t , w;
int i , j , k , min , tot;
freopen("Prim.txt" , "r" , stdin);
//读入数据
memset(a , 0 , sizeof(a));
scanf("%d %d" , &n , &m);
for (i = 0; i < m; i ++)
{
scanf("%d %d %d" , &s , &t , &w);
a[s][t] = w; a[t][s] = w;
}
//赋初值
memset(mark , 0 , sizeof(mark));
memset(pre , 0 , sizeof(pre));
memset(dist , 9999 , sizeof(dist));
dist[1] = 0;
//Prim
for (i = 1; i <= n; i ++)
{
min = 9999; k = 0;
for (j = 1; j <= n; j ++)
if ((mark[j] == 0) && (dist[j] < min)) {min = dist[j]; k = j;}
if (k == 0) break;
mark[k] = 1;
for (j = 1; j <= n; j ++)
if ((mark[j] == 0) && (a[k][j] < dist[j]) && (a[k][j] > 0))
{
dist[j] = a[k][j];
pre[j] = k;
}
}
tot = 0;
for (i = 1; i <= n; i ++) tot += dist[i];
printf("%d\n" , tot);
return 0;
}
2. Prim算法 最小生成树问题
你的图里有两条边权重一样，在实际计算前无法事先保证最小生成树的唯一性，即使是两个不同的Prim算法也可能产生不同的结果
当然，计算完之后情况会略有不同，下面会解释
Prim算法首先会依次选
E(1,2)=1
E(2,7)=2
E(2,3)=3
然后E(3,4)=E(7,6)=4，会面临两种选择
如果优先选E(3,4)这条边，那么下一步仍然会选E(7,6)，反过来也一样，所以这个图恰好没影响
继续下去最终得到
E(1,2)=1
E(2,7)=2
E(2,3)=3
E(3,4)=4
E(7,6)=4
E(4,5)=6
这样6条边构成唯一的最小生成树，总权重是20
（唯一性是因为总权重不超过20的其它子图确实都不连通）
既然最小生成树唯一，Kruskal算法当然也会产生同一棵树
3. 话说最小生成树的prim算法和kursual算法的区别
prim算法和kurskal算法解决的问题是相同的，都用来求最小生成树。从某一结点A出发，按照一定次序，经过中间结点集Q中的每一个结点，得到最短路径，称为最小生成树。
kurskal算法的核心思想就是“尽可能的选取短边”，按照长度从小到大依次加入生成树；prim算法引入一个概念——生长点（和非生长点），每次加入的最短边是与生长点相邻的最短边，初始状态下，唯一的一个点就是生长点，随着新边的加入，每次加入的边的末端就是生长点，若某一生长点已经没有相邻边可以加入，就回溯到上一级结点，加入新边，直到Q中的所有结点都加入图中。
一般教材编的都很清楚的，结合我这个，再看看书，相信你很快就会明白的。
4. 急！数据结构最小生成树prim算法C语言实现
Kruskal算法：
void Kruskal(Edge E[],int n,int e)
{
int i,j,m1,m2,sn1,sn2,k;
int vset[MAXE];
for (i=0;i<n;i++) vset[i]=i; //初始化辅助数组
k=1; //k表示当前构造最小生成树的第几条边,初值为1
j=0; //E中边的下标,初值为0
while (k<n) //生成的边数小于n时循环
{
m1=E[j].u;m2=E[j].v; //取一条边的头尾顶点
sn1=vset[m1];sn2=vset[m2]; //分别得到两个顶点所属的集合编号
if (sn1!=sn2) //两顶点属于不同的集合,该边是最小生成树的一条边
{
printf(" (%d,%d):%d/n",m1,m2,E[j].w);
k++; //生成边数增1
for (i=0;i<n;i++) //两个集合统一编号
if (vset[i]==sn2) //集合编号为sn2的改为sn1
vset[i]=sn1;
}
j++; //扫描下一条边
}
}
Prim算法：
void prim(MGraph g,int v)
{
int lowcost[MAXV],min,n=g.vexnum;
int closest[MAXV],i,j,k;
for (i=0;i<n;i++) //给lowcost[]和closest[]置初值
{
lowcost[i]=g.edges[v][i];
closest[i]=v;
}
for (i=1;i<n;i++) //找出n-1个顶点
{
min=INF;
for (j=0;j<n;j++) //在(V-U)中找出离U最近的顶点k
if (lowcost[j]!=0 && lowcost[j]<min)
{
min=lowcost[j];k=j;
}
printf(" 边(%d,%d)权为:%d/n",closest[k],k,min);
lowcost[k]=0; //标记k已经加入U
for (j=0;j<n;j++) //修改数组lowcost和closest
if (g.edges[k][j]!=0 && g.edges[k][j]<lowcost[j])
{
lowcost[j]=g.edges[k][j];closest[j]=k;
}
}
}
5. 什么是最小生成树的prim算法
/*
邻接矩阵存储图
测试数据
6 10
1 2 6
1 3 1
1 4 5
2 3 5
2 5 3
3 4 5
3 5 6
3 6 4
4 6 2
5 6 6
*/
#include <stdio.h>
#include <limits.h>
#define N 100
int p[N], key[N], tb[N][N];
void prim(int v, int n)
{
int i, j;
int min;
for (i = 1; i <= n; i++)
{
p[i] = v;
key[i] = tb[v][i];
}
key[v] = 0;
for (i = 2; i <= n; i++)
{
min = INT_MAX;
for (j = 1; j <= n; j++)
if (key[j] > 0 && key[j] < min)
{
v = j;
min = key[j];
}
printf("%d%d ", p[v], v);
key[v] = 0;
for (j = 1; j <= n; j++)
if (tb[v][j] < key[j])
p[j] = v, key[j] = tb[v][j];
}
}
int main()
{
int n, m;
int i, j;
int u, v, w;
while (scanf("%d%d", &n, &m))
{
for(i = 1; i <= n; i++)
{
for (j = 1; j <= n; j++)
tb[i][j] = INT_MAX;
}
while (m--)
{
scanf("%d%d%d", &u, &v, &w);
tb[u][v] = tb[v][u] = w;
}
prim(1, n);
printf("\n");
}
return 0;
}
6. 用Prim算法求最小生成树
7. 利用Prim（普里姆）算法 构造最小生成树 程序
算法同样是解决最小生成树的问题。
其算法为：在这n个点中的相通的边进行排序，然后不断地将边添加到集合中（体现了贪心的算法特点），在并入集合之前，必须检查一下这两点是不是在一个集合当中，这就用到了并查集的知识。直到边的集合达到了n-1个。
与prim算法的不同：prim算法为单源不断寻找连接的最短边，向外扩展，即单树形成森林。而Kruskal算法则是不断寻找最短边然后不断将集合合并，即多树形成森林。
复杂度的不同：prim算法的复杂度是O(n^2),其中n为点的个数。Kruskal算法的复杂度是O(e*loge)，其中e为边的个数。两者各有优劣，在不同的情况下选择不同的算法。
Prim算法用于求无向图的最小生成树
设图G =（V，E），其生成树的顶点集合为U。
①、把v0放入U。
②、在所有u∈U，v∈V-U的边(u，v)∈E中找一条最小权值的边，加入生成树。
③、把②找到的边的v加入U集合。如果U集合已有n个元素，则结束，否则继续执行②。
其算法的时间复杂度为O(n^2)
Prim算法实现：
（1）集合：设置一个数组set(i=0,1,..,n-1),初始值为 0,代表对应顶点不在集合中（注意：顶点号与下标号差1）
（2）图用邻接阵表示，路径不通用无穷大表示，在计算机中可用一个大整数代替。
{先选定一个点，然后从该点出发，与该点相连的点取权值最小者归入集合，然后再比较在集合中的两点与其它各点的边的权值最小者，再次进入集合，一直到将所有的点都归入集合为止。}
8. 最小生成树是什么
1.生成树从前述的深度优先和广度优先遍历算法知，对于一个拥有n个顶点的无向连通图，它的边数一般都大于n－1。生成树是指在连通图中，由n个顶点和不构成回路的n－1条边构成的树。若由深度优先遍历得到的生成树称为深度优先生成树，则由广度优先遍历得到的生成树称为广度优先生成树。再进一步分析可知，对于满足条件，连通图的n个顶点和不构成回路的n－1条边构成的生成树有多棵，换言之，图的生成树不唯一。2.最小生成树对于带权的图，其生成树的边也带权，在这些带权的生成树中必有一棵边的权值之和最小的生成树，这棵生成树就是最小（代价）生成树。
最小生成树在实际中具有重要用途，如在通信网的设计中，用顶点表示城市，用边表示两个城市之间的通信线路，边的权值表示建造通信线路的费用，这n个城市之间最多可以建n（n－1）／2条线路。如果要求在任意两个城市之间都有线路相连，且建设费用最少，即从n（n－1）／2条边中选取权值最小的n－1条，这就是最小生成树问题。2.构造最小生成树的基本原则（1）尽可能选取权值最小的边，但不能构成回路。
（2）选择n－1条边构成最小生成树。
常见的最小生成树算法有普里姆（Prim）算法和克鲁斯卡尔（kruskal）算法两种。
9. 最小生成树 prim
"prim不是这样描述的吗？从一个点出发，列出这个点所有邻接的边，选择最小的边假如到树中，然后从另一个端点开始，一样操作就可以嘛？"--------应该是“从一个点出发，列出这个点所有邻接的边，选择最小的边，将所连顶点到树中，再到剩余的点中找与这两点（其中之一）距离最小的点加入之中。”然后循环就行了