祖冲之的算法

1. 祖冲之还创造了“开差幂”、“开差立”等的算法是怎么样的

祖冲之还创造了“开差幂”、“开差立”等的算法。“开差幂”是已知长方形的面积及长宽之差求其长及宽。“开差立”是已知长方体的体积及最短棱与其他两棱之差求其长、宽、高。这分别相当于解二次方程x(x+a)=A和三次方程x(x+a)(x+b)=V。他还和儿子祖日恒一道，在世界上最早发现了“等积原理”。

2. 我国古代的数学家祖冲之当年是怎样计算圆周率的

圆周率并不是通过先作圆，然后量周长和直径，最后算出来的。因为这样做的误差很大，测量误差不可避免。事实上，古代数学家在很长一段时间里都是用几何方法来计算圆周率。

祖冲之在刘徽割圆术的基础上，算到了正24576边形，并根据刘徽圆周率不等式，确定了圆周率的下限（肭数）为3.1415926，上限（盈数）为3.1415927。并且，祖冲之还顺便给出了圆周率的一个近似分数355/113，其前六位都是正确的。

3. 数学家祖冲之是怎样求出圆周率的

祖冲之在数学上的杰出成就，是关于圆周率的计算．秦汉以前，人们以"径一周三"做为圆周率，这就是"古率"．后来发现古率误差太大，圆周率应是"圆径一而周三有余"，不过究竟余多少，意见不一．直到三国时期，刘徽提出了计算圆周率的科学方法--"割圆术"，用圆内接正多边形的周长来逼近圆周长．刘徽计算到圆内接96边形，求得π=3.14，并指出，内接正多边形的边数越多，所求得的π值越精确．祖冲之在前人成就的基础上，经过刻苦钻研，反复演算，求出π在
3.1415926与3.1415927之间．并得出了π分数形式的近似值，取为约率，取为密率，其中取六位小数是3.141929，它是分子分母在1000以内最接近π值的分数．祖冲之究竟用什么方法得出这一结果，现在无从考查．若设想他按刘徽的"割圆术"方法去求的话，就要计算到圆内接16，384边形，这需要化费多少时间和付出多么巨大的劳动啊！由此可见他在治学上的顽强毅力和聪敏才智是令人钦佩的．祖冲之计算得出的密率，外国数学家获得同样结果，已是一千多年以后的事了．为了纪念祖冲之的杰出贡献，有些外国数学史家建议把π=叫做"祖率"．
古人计算圆周率，一般是用割圆法。即用圆的内接或外切正多边形来逼近圆的周长。Archimedes用正96边形得到圆周率小数点后3位的精度；刘徽用正
3072边形得到5位精度；Ludolph
Van
Ceulen用正262边形得到了35位精度。这种基于几何的算法计算量大，速度慢，吃力不讨好。随着数学的发展，数学家们在进行数学研究时有意无意地发现了许多计算圆周率的公式。下面挑选一些经典的常用公式加以介绍。除了这些经典公式外，还有很多其它公式和由这些经典公式衍生出来的公式，就不一一列举了。

4. 祖冲之是怎么算出圆周率的

在祖冲之之前，中国数学家刘徽提出了计算圆周率的科学方法——“割圆术”，用圆内接正多边形的周长来逼近圆周长，用这种方法，刘徽计算圆周率到小数点后4位数。

祖冲之在前人的基础上，经过刻苦钻研，反复演算，将圆周率推算至小数点后7位数（即3.1415926与3.1415927之间），并得出了圆周率分数形式的近似值。

祖冲之究竟用什么方法得出这一结果，现在无从查考。如果设想他按刘徽的“割圆术”方法去求的话，就要计算到圆内接16000多边形，这需要花费多少时间和付出多么巨大的劳动啊！

(4)祖冲之的算法扩展阅读：

祖冲之认为自秦汉以至魏晋的数百年中研究圆周率成绩最大的学者是刘徽，但并未达到精确的程度，于是他进一步精益钻研，去探求更精确的数值。

祖冲之在圆周率方面的研究，有着积极的现实意义，他的研究适应了当时生产实践的需要。他亲自研究度量衡，并用最新的圆周率成果修正古代的量器容积的计算。

古代有一种量器叫做“ 釜 ”，一般的是一尺深，外形呈圆柱状，祖冲之利用他的圆周率研究，求出了精确的数值。他还重新计算了汉朝刘歆所造的“律嘉量”， 利用“祖率”校正了数值。以后，人们制造量器时就采用了祖冲之的“祖率”数值。

5. 祖冲之是怎么算出π的

祖冲之是和他儿子一起从事这项研究工作的，当时条件很差。他们在一间大屋的地上画了一个直径1丈的大圆。从内接正6边形开始计算，12边形，24边形，48边形的翻翻，一直算到96边形，计算的结果和刘徽的一样。接着，内接边数再逐次翻翻，边数每翻一次，要进行7次加减运算，2次乘方，2次开方，运算的数字都很大，很复杂，在当时的条件下，是十分困难的。祖冲之父子一直把边形算到24576边，得出了圆周率在3·1415926和3·1415927之间，精确到了小数点后7位。其近似分数是 355/113，被称为"密率"。德国数学家奥托在1573年重新得出这个近似分数。当时，欧洲人还不知道在一千多年之前祖冲之就己经算出来了。后来荷兰人安托尼兹也算出这个近似分数，于是欧洲人就把这个称为"密率"的近似分数叫着"安托尼兹率"。日本数学家认为应该恢复其本来面目，肯定祖冲之在圆周率方面研究的贡献，改称"祖率"才对。

6. 祖冲之如何求得圆周率

祖冲之算出圆周率（π）的真值在3.1415926和3.1415927之间，相当于精确到小数第7位，简化成3.1415926，祖冲之因此入选世界纪录协会世界第一位将圆周率值计算到小数第7位的科学家。祖冲之还给出圆周率(π)的两个分数形式：22/7（约率）和355/113（密率），其中密率精确到小数第7位。祖冲之对圆周率数值的精确推算值，对于中国乃至世界是一个重大贡献，后人将“约率”用他的名字命名为“祖冲之圆周率”，简称“祖率”。

东汉张衡推算出的圆周率值为3.162。三国时王蕃推算出的圆周率数值为3.155。魏晋的着名数学家刘徽在为《九章算术》作注时创立了新的推算圆周率的方法——割圆术，将圆周率的值为边长除以2，其近似值为3.14；并且说明这个数值比圆周率实际数值要小一些。刘徽以后，探求圆周率有成就的学者，先后有南朝时代的何承天，皮延宗等人。何承天求得的圆周率数值为3.1428，皮延宗求出圆周率值为22/7≈3.14。

祖冲之认为自秦汉以至魏晋的数百年中研究圆周率成绩最大的学者是刘徽，但并未达到精确的程度，于是他进一步精益钻研，去探求更精确的数值。

根据《隋书·律历志》关于圆周率（π）的记载：“宋末，南徐州从事史祖冲之，更开密法，以圆径一亿为一丈，圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正数在盈朒二限之间。密率，圆径一百一十三，圆周三百五十五。约率，圆径七，周二十二。”祖冲之把一丈化为一亿忽，以此为直径求圆周率。他计算的结果共得到两个数：一个是盈数（即过剩的近似值），为3.1415927；一个是朒

圆周率

数（即不足的近似值），为3.1415926。

盈朒两数可以列成不等式，如:3.1415926（*）<π（真实的圆周率）<3.1415927（盈），这表明圆周率应在盈朒 两数之间。按照当时计算都用分数的习惯，祖冲之还采用了两个分数值的圆周率。一个是355/113（约等于3.1415927），这一个数比较精密，所以祖冲之称它为“密率”。另一个是22/7（约等于3.14），这一个数比较粗疏，所以祖冲之称它为“约率”。

祖冲之在圆周率方面的研究，有着积极的现实意义，他的研究适应了当时生产实践的需要。他亲自研究度量衡，并用最新的圆周率成果修正古代的量器容积的计算。古代有一种量器叫做“ 釜 ”，一般的是一尺深，外形呈圆柱状，祖冲之利用他的圆周率研究，求出了精确的数值。他还重新计算了汉朝刘歆所造的“律嘉量”， 利用“祖率”校正了数值。以后，人们制造量器时就采用了祖冲之的“祖率”数值。

7. 祖冲之的割圆术求圆周率是否过于繁琐

公元263年，中国数学家刘徽在《九章算术注》中提出“割圆”之说，他从圆内接正六边形开始，每次把边数加倍，直至圆内接正96边形，算得圆周率为3.14或157/50，后人称之为徽率。书中还记载了圆周率更精确的值3927/1250（等于3.1416）。刘徽断言“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”。鲁道夫·范·科伊伦（Ludolph van Ceulen，1540年1月28日—1610年12月31日），荷兰数学家，生于德国希尔德斯海姆，后移居荷兰执教击剑和数学。1580年在荷兰代尔夫特（Ddlft）成为数学教师。1600年，他被莱顿大学聘认为第一位数学教授，后在莱顿去世。鲁道夫·科伊伦把他一生的大部分时间花在计算圆周率上。他运用的是1800年前阿基米德所适用的割圆法，将圆周率计算到小数点后第35位。他对自己的这个成就感到非常自豪，以致这个数被刻在他的墓碑上（可惜这块墓碑已经丢失）；直到今天，德国人还常常称这个数为“鲁道夫数”。他的计算成果就是这个数字：3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288。如果按照你的测量方法，估计拿根不变形的绳子绕地球赤道围一圈都算不出这35位数。而且赤道也不是理想的圆形，另外还有海拔的影响。圆是一种抽象实体，这个世界中并不存在完全标准的圆，只有无限近似于圆的物体。所有的圆锥曲线也是如此，直角，三角形，四面体，也是如此。你一旦使用几何概念，不管承认与否，你就进入了数学抽象的世界。

8. 祖冲之算法集的介绍

祖冲之算法集（ZUC算法）是由我国学者自主设计的加密和完整性算法，包括祖冲之算法、加密算法128-EEA3和完整性算法128-EIA3，已经被国际组织3GPP推荐为4G无线通信的第三套国际加密和完整性标准的侯选算法。由中国科学院信息工程研究所信息安全国家重点实验室和中国科学院数据与通信保护研究教育中心（DCS中心）联合主办的《第一届祖冲之算法国际研讨会》将于2010年12月2至3在北京召开。本次国际研讨会对于加强祖冲之算法研究分析成果的国内和国际交流，扩大祖冲之算法的公开平评估范围，加强祖冲之算法的安全性评估力度，进而推进祖冲之算法4G通信国际加密标准的进度具有重要的现实意义。

9. 祖冲之取得的成就有哪些

1、数学成就

祖冲之算出圆周率（π）的真值在3.1415926和3.1415927之间，相当于精确到小数第7位，简化成3.1415926，祖冲之因此入选世界纪录协会世界第一位将圆周率值计算到小数第7位的科学家。

祖冲之还给出圆周率(π)的两个分数形式：22/7（约率）和355/113（密率），其中密率精确到小数第7位。

祖冲之对圆周率数值的精确推算值，对于中国乃至世界是一个重大贡献，后人将“约率”用他的名字命名为“祖冲之圆周率”，简称“祖率”。

2、历法成就

祖冲之吸取了赵厞的理论，加上他自己的观察，认为十九年七闰的闰数过多，每二百年就要差一天，而赵厞六百年二百二十一闰也不十分准确。因此，祖冲之提出了391年144闰月的新闰法。

祖冲之的闰周精密程度极高，按照他的推算，一个回归年的长度为365.2428141日，与今天的推算值仅相差46秒。一直到南宋的《统天历》，才采用了比这更精确的数据。

3、天文成就

祖冲之对木、水、火、金、土等五大行星在天空运行的轨道和运行一周所需的时间，也进行了观测和推算，给出了更精确的五星会合周期。

木星398.903日（误差0.019日），火星780.031日（误差0.094日），土星378.070日（误差0.022日），金星583.931日（误差0.009日），水星115.880日（误差0.002日）。

4、机械制造

祖冲之设计制造过水碓磨、铜制机件传动的指南车、千里船、定时器等。祖冲之改良了水碓磨。在西晋初年，杜预改进发明了“连机碓”和“水转连磨”。

一个连机碓能带动好几个石杵一起一落地舂米；一个水转连磨能带动八个磨同时磨粉。祖冲之又在这个基础上进一步加以改进，把水碓和水磨结合起来，生产效率就更加提高了。

5、其他成就

着有《易义》《老子义》《庄子义》《释论语》等关于哲学的书籍，都已经失传了。文学作品方面他着有《述异记》，在《太平御览》等书中可以看到这部着作的片断。

参考资料来源：网络——祖冲之