复合运算法则

① 复合运算法则是什么

(1)你已理解,"从证明过程看是需要的".这就对了!事实上,这种需要,是为了不失一般性,为了符合"极限的定义"之需要,并不是g（x）不符合这个条件就不成立了的那种需要.而极限这样定义,却是为了研究那些趋于x0而不达到x0之问题,至于达到x0的情况,是比达不到的情况更简单的.
(2)具体说,你不可能举出反例.因为当g（x）等于u0时,结论必真.
(3)这样理解:是为了符合极限定义中"(x-x0)的绝对值>0"之要求,当不符合>0时,极限仍成立,用"连续"的情况来理解:见同济第五版《高等数学》P61的前7行,再参看P66定理3定理4,应该可以想明白了.

② 复合函数极限运算法则里的条件

梳理如下：
第一个问题：一定要有条件“ψ(x)≠u0”。
例①，ψ(x)=1 (x∈R)，
f(u)为分段函数：当u≠1时，f(u)=u；当u=1时，f(u)=2，
取x0=1，则u0=1，【ψ(x)=u0】=1，lim(u→1)f(u)=1=A，lim(x→1)f(ψ(x))=f(1)=2，2≠1，
即lim(x→1)f(ψ(x))≠A，即定理1的结论不成立。

第二个问题：关于例子x*sin(1/x)，
首先，这个函数是由两个函数的乘积构成的：f(x)= x，g(x)=sin(1/x)：f(x)*g(x)=x*sin(1/x)，
而不是由两个函数的复合构成的。
仅从这一点来说，把这个例子用在这里并不合适。
不过，这其中的第二个函数sin(1/x)是由两个函数的复合构成的：ψ(x)=1/x，f(u)=sinu。
其次，函数x*sin(1/x)当x→0时的极限确定是0，这是因为一个无穷小量乘以一个有界量还是无穷小量。
这个也可以通过x*sin(1/x)的图像来理解。
所以，关于例子x*sin(1/x)，无论你取 x等于或不等于1/nπ，只要x→0，它的极限就是0。
对此，原问题中的陈述不正确。
从这一点来说，把这个例子用在这里也不合适。
合适的例子是上面的例①。

第三个问题：细化一下，
在定理1中是说，“在x0的某去心邻域内ψ(x)≠u0”，
也就是说，是在x0的附近成立ψ(x)≠u0就可以。
例如，ψ(x)=sinx (x∈R)，
取x0=0，则u0=0，
【ψ(x)≠u0在x0的某去心邻域内成立，比如在去心邻域（-1/2π，1/2π）成立】
【而在x0的以远，比如在去心邻域（-2π，2π），ψ(x)≠u0就不成立】
这种情况属于符合定理1中的条件“在x0的某去心邻域内ψ(x)≠u0”。
如果不存在这样的邻域，则就不符合条件。

③ 你好，可以和讲解一下极限的复合运算法则吗。我实在是看不懂。谢谢了！

极限代表的是一种趋向性，函数f(x)在x=x0处的极限与f(x)在x=x0处的函数值无关（假设f(x)在x=x0处有定义），所以函数极限定义用的是x0的去心邻域，因为当x=x0时，|f(x)-a|=|f(x0)-a|<ε就不一定成立了，比如f(x)=0(当x≠0时),f(x)=1(当x=0时)，lim(x->0)f(x)=0,而f(0)=1,而f(x)在x=x0处的极限与f(x)在x=x0处的函数值的统一依靠连续性实现的。所以书上一般不说复合函数的极限运算，而是给出复合函数的连续性，因为复合函数的极限运算是有条件的。先给个例子：
当u=0时，y=f(u)=0,当u≠0时，y=f(u)=1,u=g(x)=x*sin(1/x)（x≠0）
显然有lim(x->0)g(x)=0,lim(u->0)f(u)=1,但是f(g(x))在x=0处没有极限。
因为在0的任意小的去心邻域内都有存在ξ,使得g(ξ)=0.
这样在0的任意小的去心邻域内，f(g(x))=0和f(g(x))=1都可以取到，f(g(x))在x=0处没有极限。
所以满足lim(x->x0)g(x)=u0,且x0的任意小的去心邻域内都有g(x)≠u0,lim(u->u0)f(u)=a.
才可以证明lim(x->x0)f(g(x))=a.证明如下：
因为lim(u->u0)f(u)=a,所以对任意ε>0,存在δ1>0,当u满足：0<|u-u0|<δ1时，|f(u)-a|<ε,
又因为lim(x->x0)g(x)=u0,所以对上述的δ1>0,存在δ2>0，当x满足：0<|x-x0|<δ2时，|g(x)-u0|<δ1,
又x0的任意小的去心邻域内都有g(x)≠u0,所以当x满足：0<|x-x0|<δ2时，0<|g(x)-u0|<δ1,
于是对任意ε>0,存在δ2>0,当x满足：0<|x-x0|<δ2时，有0<|g(x)-u0|<δ1，进而有|f(g(x))-a|<ε,
这就证明了lim(x->x0)f(g(x))=a.(如果没有条件“x0的任意小的去心邻域内都有g(x)≠u0”，则只能有“|g(x)-u0|<δ1”，而不能进一步得到“0<|g(x)-u0|<δ1”，就会出现像上面一样的反例。)

④ 复合函数的极限运算法则

设limf（x），limg（x）存在，且令

（其中e=2.7182818……，是一个无理数，也就是自然对数的底数）

二、极限的性质

1、唯一性：若数列的极限存在，则极限值是唯一的，且它的任何子列的极限与原数列的相等。

2、有界性：如果一个数列’收敛‘（有极限），那么这个数列一定有界。但是，如果一个数列有界，这个数列未必收敛。例如数列 ：“1，-1，1，-1，……，(-1)n+1”.

⑤ 复合运算与混合运算的区别

混合运算是指同一个算式里包含了多种运算符，如加减乘除乘方开方等。混合运算的规则是把运算分为三种优先级，加减运算为第一级运算，乘除为第二级运算，乘方和开方为第三级运算。如果算式中有不同级的运算出现，则先计算高级的运算，然后计算低级的运算，如果有括号，则先计算括号里面的运算。

复合运算是指将多个运算嵌套起来，通常这些运算都是同种类型的。例如函数的复合运算

f(g(x)),

指数的复合运算

,

等等。复合运算的法则是按从里向外的顺序依次计算。

⑥ 复合函数极限运算法则怎么理解

复合函数的极限运算法则是函数f(x)在x=x0处的极限与f(x)在x=x0处的函数值无关，即假设f(x)在x=x0处有定义。

复合函数通俗地说就是函数套函数，是把几个简单的函数复合为一个较为复杂的函数。复合函数中不一定只含有两个函数，有时可能有两个以上，如y=f(u)，u=φ(v)，v=ψ(x)，则函数y=f{φ[ψ(x)]}是x的复合函数，u、v都是中间变量。

求函数的定义域主要应考虑以下几点：

1、当为整式或奇次根式时，R的值域。

2、当为偶次根式时，被开方数不小于0（即≥0）。

3、当为分式时，分母不为0；当分母是偶次根式时，被开方数大于0。

4、当为指数式时，对零指数幂或负整数指数幂，底不为0。

⑦ 复合导数运算法则

复合函数求导法则 y=f(u(x)) 对x求导 y ' = u(x)' * f(u(x))',f(u(x))‘ 要把括号里的u(x)看做整体求导,你问的等式中2就是（2x+3）对x求导的结果,再把（2x+3）看做一个整体对其5次方进行求导.
y=【（2x+5）的5次方】’ =2[（2x+5）的5次方]=2*5*[（2x+5）的4次方].

⑧ 三角函数与反三角函数复合运算规则是什么

sin(arcsinx)=sinx； sin(arccosx)=根号下1－x2； tan(arcsinx)=(x)/(根号下1－x2)； cos(arccosx)=x； cos(arcsinx)=根号下1－x2 tan(arccosx)=1/(根号下1－x2)。

⑨ 复合四则运算公式

第一个是复合函数,第二个是四则运算
根号即1/2次方,是幂函数,幂函数形式是x^a,现在的x是一个二次函数代替了,所以是复合函数
第二个里是幂函数,三角函数对数函数相乘.
复合函数那个不知道有没有说清楚,.,

⑩ 复合函数的极限运算法则通俗解释

简单的说，f(g(x))在x=4处的极限就是f(x)在x=g(3)时候的极限。

注意证明中第一行的【要证…】★ 以及第五行的【由于】 其中★是要【证极限】其中☆是在【用极限】 是要对任一任意小的正数证明极限定义成立。

☆是已知对【任一个】任意小的正数都有极限定义成立，从而对【这一个g】也有极限定义成立。退一步说，在情况☆，既然对任意小的都行，那么，即使g不是那么小也行。或者，如果g不是那么小，想取一个足够小的d比g小，证明也行得通。都行，不影响本质。