普林斯顿算法

Ⅰ NP完全问题

网络名片 NP完全问题 NP完全问题，是世界七大数学难题之一。 NP的英文全称是Non-deterministic Polynomial的问题，即多项式复杂程度的非确定性问题。简单的写法是 NP=P？，问题就在这个问号上，到底是NP等于P，还是NP不等于P。 目录 基本简介 问题详解 搜索方法 近邻法(nearest neighbor) 插入法(insertion) 模拟退火算法(Recuit Algorithm) 遗传算法 神经网络算法 难度结果 基本简介 问题详解 搜索方法 近邻法(nearest neighbor) 插入法(insertion) 模拟退火算法(Recuit Algorithm) 遗传算法 神经网络算法 难度结果 展开 编辑本段基本简介 数学上着名的NP问题，完整的叫法是NP完全问题，也即“NP COMPLETE”问题，简单的写法，是 NP=P？的问题。问题就在这个问号上，到底是NP等于P，还是NP不等于P。证明其中之一，便可以拿百万美元大奖。 多流水线调度实际上是一个NP完全问题 这个奖还没有人拿到，也就是说，NP问题到底是Polynomial，还是Non-Polynomial，尚无定论。 NP里面的N，不是Non-Polynomial的N，是Non-Deterministic，P代表Polynomial倒是对的。NP就是Non-deterministic Polynomial的问题，也即是多项式复杂程度的非确定性问题。 美国麻州的克雷(Clay)数学研究所于2000年5月24日在巴黎法兰西学院宣布了一件被媒体炒得火热的大事：对七个“千僖年数学难题”的每一个悬赏一百万美元。以下是这七个难题。 “千僖难题”之一： P (多项式算法)问题对NP (非多项式算法)问题 “千僖难题”之二： 霍奇(Hodge)猜想 “千僖难题”之三： 庞加莱(Poincare)猜想 “千僖难题”之四： 黎曼(Riemann)假设 “千僖难题”之五： 杨－米尔斯(Yang-Mills)存在性和质量缺口 “千僖难题”之六：纳维叶－斯托克斯(Navier-Stokes)方程的存在性与光滑性 “千僖难题”之七：贝赫(Birch)和斯维讷通－戴尔(Swinnerton-Dyer)猜想 NP完全问题排在百万美元大奖的首位，足见他的显赫地位和无穷魅力。 编辑本段问题详解 NP就是Non-deterministic Polynomial的问题，也即是多项式复杂程度的非确定性问题。 什么是非确定性问题呢？有些计算问题是确定性的，比如加减乘除之类，你只要按照公式推导，按部就班一步步来，就可以得到结果。但是，有些问题是无法按部就班直接地计算出来。比如，找大质数的问题。有没有一个公式，你一套公式，就可以一步步推算出来，下一个质数应该是多少呢？这样的公式是没有的。再比如，大的合数分解质因数的问题，有没有一个公式，把合数代进去，就直接可以算出，它的因子各自是多少？也没有这样的公式。 这种问题的答案，是无法直接计算得到的，只能通过间接的“猜算”来得到结果。这也就是非确定性问题。而这些问题的通常有个算法，它不能直接告诉你答案是什么，但可以告诉你，某个可能的结果是正确的答案还是错误的。这个可以告诉你“猜算”的答案正确与否的算法，假如可以在多项式时间内算出来，就叫做多项式非确定性问题。而如果这个问题的所有可能答案，都是可以在多项式时间内进行正确与否的验算的话，就叫完全多项式非确定问题。 完全多项式非确定性问题可以用穷举法得到答案，一个个检验下去，最终便能得到结果。但是这样算法的复杂程度，是指数关系，因此计算的时间随问题的复杂程度成指数的增长，很快便变得不可计算了。 人们发现，所有的完全多项式非确定性问题，都可以转换为一类叫做满足性问题的逻辑运算问题。既然这类问题的所有可能答案，都可以在多项式时间内计算，人们于是就猜想，是否这类问题，存在一个确定性算法，可以在指数 时间内，直接算出或是搜寻出正确的答案呢？这就是着名的NP=P？的猜想。 解决这个猜想，无非两种可能，一种是找到一个这样的算法，只要针对某个特定NP完全问题找到一个算法，所有这类问题都可以迎刃而解了，因为他们可以转化为同一个问题。另外的一种可能，就是这样的算法是不存在的。那么就要从数学理论上证明它为什么不存在。 前段时间轰动世界的一个数学成果，是几个印度人提出了一个新算法，可以在多项式时间内，证明某个数是或者不是质数，而在这之前，人们认为质数的证明，是个非多项式问题。可见，有些看来好象是非多项式的问题，其实是多项式问题，只是人们一时还不知道它的多项式解而已。 上回说到可怜的旅行商想找出走遍所有城市的最短路径。让我们用计算机帮他搜索一下。 这就需要用到本篇文章中要介绍的第一门学科了：《人工智能》。人类的许多活动，如解算题、猜谜语、进行讨论、编制计划和编写计算机程序，甚至驾驶汽车和骑自行车等等，都需要"智能"。如果机器能够执行这种任务，就可以认为机器已具有某种性质的"人工智能"。现在我们就要利用人工智能，用计算机模拟人的思维来搜索最短路径。 想象一下，我们人思考问题时，有两种方法：一种是精确搜索，就是试验所有的可能性，找出最精确的一个方案。但它在搜索过程中不改变搜索策略，不利用搜索获得的中间信息，它盲目性大，效率差，用于小型问题还可以，用于大型问题根本不可能；另一种叫做启发式搜索，它在搜索过程中加入了与问题有关的启发性信息，用以指导搜索向着一个比较小的范围内进行，加速获得结果。 编辑本段搜索方法近邻法(nearest neighbor) 推销员从某个城镇出发，永远选择前往最近且尚未去过的城镇，最后再返回原先的出发点。这方法简单，也许是多数人的直觉做法，但是近邻法的短视使其表现非常不好，通常后段的路程会非常痛苦。 插入法(insertion) 先产生连接部分点的子路线，再根据某种法则将其它的点逐一加入路线。比如最近插入法(nearest insertion)，先针对外围的点建构子路线，然后从剩余的点里面评估何者加入后路线总长度增加的幅度最小，再将这个点加入路线。又比如最远插入法(farthest，insertion)，是从剩余的点里面选择距离子路线最远的点，有点先苦后甜的滋味。 模拟退火算法(Recuit Algorithm) 模拟退火算法来源于固体退火原理，将固体加温至充分高，再让其徐徐冷却，加温时，固体内部粒子随温升变为无序状，内能增大，而徐徐冷却时粒子渐趋有序，在每个温度都达到平衡态，最后在常温时达到基态，内能减为最小。根据Metropolis准则，粒子在温度T时趋于平衡的概率为e-ΔE/(kT)，其中E为温度T时的内能，ΔE为其改变量，k为Boltzmann常数。用固体退火模拟组合优化问题，将内能E模拟为目标函数值f，温度T演化成控制参数t，即得到解组合优化问题的模拟退火算法：由初始解i和控制参数初值t开始，对当前解重复“产生新解→计算目标函数差→接受或舍弃”的迭代，并逐步衰减t值，算法终止时的当前解即为所得近似最优解。 遗传算法 遗传算法是仿真生物遗传学和自然选择机理，通过人工方式所构造的一类搜索算法 遗传算法是解决NP问题的一种较理想的方法 ，从某种程度上说遗传算法是对生物进化过程进行的数学方式仿真。生物种群的生存过程普遍遵循达尔文进化准则，群体中的个体根据对环境的适应能力而被大自然所选择或淘汰。进化过程的结果反映在个体的结构上，其染色体包含若干基因，相应的表现型和基因型的联系体现了个体的外部特性与内部机理间逻辑关系。通过个体之间的交叉、变异来适应大自然环境。生物染色体用数学方式或计算机方式来体现就是一串数码，仍叫染色体，有时也叫个体；适应能力是对应着一个染色体的一个数值来衡量；染色体的选择或淘汰则按所面对的问题是求最大还是最小来进行。 神经网络算法 根据一个简化的统计，人脑由百亿条神经组成 — 每条神经平均连结到其它几千条神经。通过这种连结方式，神经可以收发不同数量的能量。神经的一个非常重要的功能是它们对能量的接受并不是立即作出响应，而是将它们累加起来，当这个累加的总和达到某个临界阈值时，它们将它们自己的那部分能量发送给其它的神经。大脑通过调节这些连结的数目和强度进行学习。尽管这是个生物行为的简化描述。但同样可以充分有力地被看作是神经网络的模型。 编辑本段难度结果 虽然百万美元的奖金和大量投入巨大却没有实质性结果的研究足以显示该问题是困难的，还有一些形式化的结果证明为什么该问题可能很难解决。 最常被引用的结果之一设计神喻。假想你有一个魔法机器可以解决单个问题，例如决定一个给定的数字是否为质数，但可以瞬间解决这个问题。我们的新问题是，若我们被允许任意利用这个机器，是否存在我们可以在多项式时间内验证但无法在多项式时间内解决的问题？结果是，依赖于机器能解决的问题，P = NP和P ≠ NP二者都可以证明。这个结论的后果是，任何可以修改来证明该机器的存在性的结果不能解决问题。不幸的是，几乎所有经典的方法和大部分已知的方法可以这样修改（我们称它们在相对化）。 如果这还不算太糟的话，1993年Razborov和Rudich证明的一个结果表明，给定一个特定的可信的假设，在某种意义下“自然”的证明不能解决P = NP问题。这表明一些现在似乎最有希望的方法不太可能成功。随着更多这类的定理得到证明，该定理的可能证明有越来越多的陷阱要规避。这实际上也是为什么NP完全问题有用的原因：若有一个多项式时间算法，或者没有一个这样的算法，对于NP完全问题存在，这将用一种相信不被上述结果排除在外的方法来解决P = NP问题。P=NP问题可以用逻辑命题的特定类的可表达性的术语来重新表述。所有P中的语言可以用一阶逻辑加上最小不动点操作（实际上，这允许了递归函数的定义）来表达。类似地，NP是可以用存在性二阶逻辑来表达—也就是，在关系、函数、和子集上排除了全域量词的二阶逻辑。多项式等级，PH中的语言对应与所有的二阶逻辑。这样，“P是NP的真子集吗”这样的问题可以表述为“是否存在性二阶逻辑能够表达带最小不动点操作的一阶逻辑的所不能表达的语言？” 普林斯顿大学计算机系楼将二进制代码表述的“P=NP?”问题刻进顶楼西面的砖头上。如果证明了P=NP，砖头可以很方便的换成表示“P=NP！”。康奈尔大学的Hubert Chen博士提供了这个玩笑式的P不等于NP的证明：“反证法。设P = NP。令y为一个P = NP的证明。证明y可以用一个合格的计算机科学家在多项式时间内验证，我们认定这样的科学家的存在性为真。但是，因为P = NP，该证明y可以在多项式时间内由这样的科学家发现。但是这样的发现还没有发生（虽然这样的科学家试图发现这样的一个证明），我们得到矛盾。

Ⅱ 电脑之父是谁

人物简介
约翰·冯·诺依曼（ John von Neumann，1903－1957），“现代电子计算机之父”，美籍匈牙利人，物理学家、数学家、发明家，“现代电子计算机之父”即电脑（即EDVAC，它是世界上第一台现代意义的通用计算机）的发明者。1903年12月28日生于匈牙 约翰·冯·诺依曼
利的布达佩斯，父亲是一个银行家，家境富裕，十分注意对孩子的教育．冯·诺依曼从小聪颖过人，兴趣广泛，读书过目不忘．据说他6岁时就能用古希腊语同父亲闲谈，一生掌握了七种语言．最擅德语，可在他用德语思考种种设想时，又能以阅读的速度译成英语．他对读过的书籍和论文．能很快一句不差地将内容复述出来，而且若干年之后，仍可如此．1911年一1921年，冯·诺依曼在布达佩斯的卢瑟伦中学读书期间，就崭露头角而深受老师的器重．在费克特老师的个别指导下并合作发表了第一篇数学论文，此时冯·诺依曼还不到18岁．1921年一1923年在苏黎世联邦工业大学学习．很快又在1926年以优异的成绩获得了布达佩斯大学数学博士学位，此时冯·诺依曼年仅22岁．1927年一1929年冯·诺依曼相继在柏林大学和汉堡大学担任数学讲师。1930年接受了普林斯顿大学客座教授的职位，西渡美国．1931年他成为美国普林斯顿大学的第一批终身教授，那时，他还不到30岁。1933年转到该校的高级研究所，成为最初六位教授之一，并在那里工作了一生． 冯·诺依曼是普林斯顿大学、宾夕法尼亚大学、哈佛大学、伊斯坦堡大学、马里兰大学、哥伦比亚大学和慕尼黑高等技术学院等校的荣誉博士．他是美国国家科学院、秘鲁国立自然科学院和意大利国立林且学院等院的院士． 1954年他任美国原子能委员会委员；1951年至1953年任美国数学会主席． 1954年夏，冯·诺依曼被发现患有癌症，1957年2月8日，在华盛顿去世，终年54岁．
编辑本段杰出贡献
主要贡献
冯·诺伊曼是二十世纪最重要的数学家之一，在纯粹数学和应用数学方面都有杰出的贡献。他的工作大致可以分为两个时期：1940年以前，主要是纯粹数学的研究：在数理逻辑方面提出简单而明确的序数理论，并对集合论进行新的公理化，其中明确区别集合与类；其后，他研究希尔伯特空间上线性自伴算子谱理论，从而为量子力学打下数学基础；1930年起，他证明平均遍历定理开拓了遍历理论的新领域；1933年，他运用紧致群解决了希尔伯特第五问题；此外，他还在测度论、格论和连续几何学方面也有开创性的贡献；从1936～1943年，他和默里合作，创造了算子环理论，即现在所谓的冯·诺伊曼代数。 1940年以后，冯·诺伊曼转向应用数学。如果说他的纯粹数学成就属于数学界，那么他在力学、经济学、数值分析和电子计算机方面的工作则属于全人类。第二次世界大战开始，冯·诺伊曼因战事的需要研究可压缩气体运动，建立冲击波理论和湍流理论，发展了流体力学；从1942年起，他同莫根施特恩合作，写作《博弈论和经济行为》一书，这是博弈论(又称对策论)中的经典着作，使他成为数理经济学的奠基人之一。 冯·诺伊曼对世界上第一台电子计算机ENIAC(电子数字积分计算机)的设计提出过建议，1945年3月他在共同讨论的基础上起草EDVAC(电子离散变量自动计算机)设计报告初稿，这对后来计算机的设计有决定性的影响，特别是确定计算机的结构，采用存储程序以及二进制编码等，至今仍为电子计算机设计者所遵循。 1946年，冯·诺依曼开始研究程序编制问题，他是现代数值分析——计算数学的缔造者之一，他首先研究线性代数和算术的数值计算，后来着重研究非线性微分方程的离散化以及稳定问题，并给出误差的估计。他协助发展了一些算法，特别是蒙特卡罗方法。 40年代末，他开始研究自动机理论，研究一般逻辑理论以及自复制系统。在生命的最后时刻他深入比较天然自动机与人工自动机。他逝世后其未完成的手稿在1958年以《计算机与人脑》为名出版。 冯·诺伊曼的主要着作收集在《冯·诺伊曼全集》(6卷，1961)中。 无论在纯粹数学还是在应用数学研究方面，冯·诺依曼都显示了卓越的才能，取得了众多影响深远的重大成果。不断变换研究主题，常常在几种学科交叉渗透中获得成就是他的特色。 最简单的来说，他的精髓贡献是2点：2进制思想与程序内存思想。 回顾20世纪科学技术的辉煌发展时，不能不提及20世纪最杰出的数学家之一的冯·诺依曼．众所周知，1946年发明的电子计算机，大大促进了科学技术的进步，大大促进了社会生活的进步．鉴于冯·诺依曼在发明电子计算机中所起到关键性作用，他被西方人誉为"计算机之父"．而在经济学方面，他也有突破性成就，被誉为“博弈论之父”。在物理领域，冯·诺依曼在30年代撰写的《量子力学的数学基础》已经被证明对原子物理学的发展有极其重要的价值。在化学方面也有相当的造诣，曾获苏黎世高等技术学院化学系大学学位。与同为犹太人的哈耶克一样，他无愧是上世纪最伟大的全才之一。 约翰·冯·诺依曼
冯·诺依曼在数学的诸多领域都进行了开创性工作，并作出了重大贡献．在第二次世界大战前，他主要从事算子理论、集合论等方面的研究．1923年关于集合论中超限序数的论文，显示了冯·诺依曼处理集合论问题所特有的方式和风格．他把集会论加以公理化，他的公理化体系奠定了公理集合论的基础．他从公理出发，用代数方法导出了集合论中许多重要概念、基本运算、重要定理等．特别在1925年的一篇论文中，冯·诺依曼就指出了任何一种公理化系统中都存在着无法判定的命题． 1933年，冯·诺依曼解决了希尔伯特第5问题，即证明了局部欧几里得紧群是李群．1934年他又把紧群理论与波尔的殆周期函数理论统一起来．他还对一般拓扑群的结构有深刻的认识，弄清了它的代数结构和拓扑结构与实数是一致的． 他对算子代数进行了开创性工作，并奠定了它的理论基础，从而建立了算子代数这门新的数学分支．这个分支在当代的有关数学文献中均称为冯·诺依曼代数．这是有限维空间中矩阵代数的自然推广． 冯·诺依曼还创立了博弈论这一现代数学的又一重要分支． 1944年发表了奠基性的重要论文《博弈论与经济行为》．论文中包含博弈论的纯粹数学形式的阐述以及对于实际博弈应用的详细说明．文中还包含了诸如统计理论等教学思想．冯·诺依曼在格论、连续几何、理论物理、动力学、连续介质力学、气象计算、原子能和经济学等领域都作过重要的工作． 冯·诺依曼对人类的最大贡献是对计算机科学、计算机技术、数值分析和经济学中的博弈论的开拓性工作． 现在一般认为ENIAC机是世界第一台电子计算机，它是由美国科学家研制的，于1946年2月14日在费城开始运行．其实由汤米、费劳尔斯等英国科学家研制的"科洛萨斯"计算机比ENIAC机问世早两年多，于1944年1月10日在布莱奇利园区开始运行．ENIAC机证明电子真空技术可以大大地提高计算技术，不过，ENIAC机本身存在两大缺点：（1）没有存储器；（2）它用布线接板进行控制，甚至要搭接几天，计算速度也就被这一工作抵消了．ENIAC机研制组的莫克利和埃克特显然是感到了这一点，他们也想尽快着手研制另一台计算机，以便改进。 1944年，诺伊曼参加原子弹的研制工作，该工作涉及到极为困难的计算。在对原子核反应过程的研究中，要对一个反应的传播做出“是”或“否”的回答。解决这一问题通常需要通过几十亿次的数学运算和逻辑指令，尽管最终的数据并不要求十分精确，但所有的中间运算过程均不可缺少，且要尽可能保持准确。他所在的洛·斯阿拉莫斯实验室为此聘用了一百多名女计算员，利用台式计算机从早到晚计算，还是远远不能满足需要。无穷无尽的数字和逻辑指令如同沙漠一样把人的智慧和精力吸尽。 被计算机所困扰的诺伊曼在一次极为偶然的机会中知道了ENIAC计算机的研制计划，从此他投身到计算机研制这一宏伟的事业中，建立了一生中最大的丰功伟绩。 1944年夏的一天，正在火车站候车的诺伊曼巧遇戈尔斯坦，并同他进行了短暂的交谈。当时，戈尔斯坦是美国弹道实验室的军方负责人，他正参与ENIAC计算机的研制工作。在交谈中，戈尔斯坦告诉了诺伊曼有关ENIAC的研制情况。具有远见卓识的诺伊曼为这一研制计划所吸引，他意识到了这项工作的深远意义。 冯·诺依曼由ENIAC机研制组的戈尔德斯廷中尉介绍参加ENIAC机研制小组后，便带领这批富有创新精神的年轻科技人员，向着更高的目标进军．1945年，他们在共同讨论的基础上，发表了一个全新的"存储程序通用电子计算机方案"--EDVAC（Electronic Discrete Variable AutomaticCompUter的缩写）．在这过程中，冯·诺依曼显示出他雄厚的数理基础知识，充分发挥了他的顾问作用及探索问题和综合分析的能力。诺伊曼以“关于EDVAC的报告草案”为题，起草了长达101页的总结报告。报告广泛而具体地介绍了制造电子计算机和程序设计的新思想。这份报告是计算机发展史上一个划时代的文献，它向世界宣告：电子计算机的时代开始了。 EDVAC方案明确奠定了新机器由五个部分组成，包括：运算器、逻辑控制装置、存储器、输入和输出设备，并描述了这五部分的职能和相互关系．报告中，诺伊曼对EDVAC中的两大设计思想作了进一步的论证，为计算机的设计树立了一座里程碑。 设计思想之一是二进制，他根据电子元件双稳工作的特点，建议在电子计算机中采用二进制。报告提到了二进制的优点，并预言，二进制的采用将大简化机器的逻辑线路。 现在使用的计算机，其基本工作原理是存储程序和程序控制，它是由世界着名数学家冯·诺依曼提出的。美籍匈牙利数学家冯·诺依曼被称为“计算机之父”。 实践证明了诺伊曼预言的正确性。如今，逻辑代数的应用已成为设计电子计算机的重要手段，在EDVAC中采用的主要逻辑线路也一直沿用着，只是对实现逻辑线路的工程方法和逻辑电路的分析方法作了改进。
程序内存
程序内存是诺伊曼的另一杰作。通过对ENIAC的考察，诺伊曼敏锐地抓住了它的最大弱点－－没有真正的存储器。ENIAC只在20个暂存器，它的程序是外插型的，指令存储在计算机的其他电路中。这样，解题之前，必需先相好所需的全部指令，通过手工把相应的电路联通。这种准备工作要花几小时甚至几天时间，而计算本身只需几分钟。计算的高速与程序的手工存在着很大的矛盾。 针对这个问题，诺伊曼提出了程序内存的思想：把运算程序存在机器的存储器中，程序设计员只需要在存储器中寻找运算指令，机器就会自行计算，这样，就不必每个问题都重新编程，从而大大加快了运算进程。这一思想标志着自动运算的实现，标志着电子计算机的成熟，已成为电子计算机设计的基本原则。 1946年7，8月间，冯·诺依曼和戈尔德斯廷、勃克斯在EDVAC方案的基础上，为普林斯顿大学高级研究所研制IAS计算机时，又提出了一个更加完善的设计报告《电子计算机逻辑设计初探》．以上两份既有理论又有具体设计的文件，首次在全世界掀起了一股"计算机热"，它们的综合设计思想，便是着名的"冯·诺依曼机"，其中心就是有存储程序原则--指令和数据一起存储．这个概念被誉为'计算机发展史上的一个里程碑"．它标志着电子计算机时代的真正开始，指导着以后的计算机设计．自然一切事物总是在发展着的，随着科学技术的进步，今天人们又认识到"冯·诺依曼机"的不足，它妨碍着计算机速度的进一步提高，而提出了"非冯·诺依曼机"的设想． 冯·诺依曼还积极参与了推广应用计算机的工作，对如何编制程序及搞数值计算都作出了杰出的贡献． 冯·诺依曼于1937年获美国数学会的波策奖；1947年获美国总统的功勋奖章、美国海军优秀公民服务奖；1956年获美国总统的自由奖章和爱因斯坦纪念奖以及费米奖。
相关书籍
冯·诺依曼逝世后，未完成的手稿于1958年以《计算机与人脑》为名出版．他的主要着作收集在六卷《冯·诺依曼全集》中，1961年出版。 另外，冯·诺依曼40年代出版的着作《博弈论和经济行为》，使他在经济学和决策科学领域竖起了一块丰碑。他被经济学家公认为博弈论之父。当时年轻的约翰·纳什在普林斯顿求学期间开始研究发展这一领域，并在1994年凭借对博弈论的突出贡献获得了诺贝尔经济学奖。
编辑本段生平经历
前半生 诺伊曼，着名美籍匈牙利数学家。1903年12月3日生于匈牙利布达佩斯的一个犹太人家庭。 冯·诺依曼的父亲麦克斯年轻有为、风度翩翩，凭着勤奋、机智和善于经营，年轻时就已跻身于布达佩斯的银行家行列。冯·诺依曼的母亲是一位善良的妇女，贤慧温顺，受过良好教育。 冯·诺伊曼从小就显示出数学天才，关于他的童年有不少传说。大多数的传说都讲到冯·诺伊曼自童年起在吸收知识和解题方面就具有惊人的速度。六岁时他能心算做八位数乘除法，八岁时掌握微积分，十二岁就读懂领会了波莱尔的大作《函数论》要义。 微积分的实质是对无穷小量进行数学分析。人类探索有限、无限以及它们之间的关系由来已久，l7世纪由牛顿莱布尼茨发现的微积分，是人类探索无限方面取得的一项激动人心的伟大成果。三百年来，它一直是高等学府的教学内容，随着时代的发展，微积分在不断地改变它的形式，概念变得精确了，基础理论扎实了，甚至有不少简明恰当的陈述。但不管怎么说，八岁的儿童要弄懂微积分，仍然是罕见的。上述种种传闻虽然不尽可信，但冯·诺伊曼的才智过人，则是与他相识的人们的一致看法。 1914年夏天，约翰进入了大学预科班学习，是年7月28日，奥匈帝国借故向塞尔维亚宣战，揭开了第一次世界大战的序幕。由于战争动乱连年不断，冯·诺依曼全家离开过匈牙利，以后再重返布达佩斯。当然他的学业也会受到影响。但是在毕业考试时，冯·诺依曼的成绩仍名列前茅。 1921年，冯·诺依曼通过“成熟”考试时，已被大家当作数学家了。他的第一篇论文是和菲克特合写的，那时他还不到18岁。麦克斯由于考虑到经济上原因，请人劝阻年方17的冯·诺依曼不要专攻数学，后来父子俩达成协议，冯·诺依曼便去攻读化学。 其后的四年间，冯·诺依曼在布达佩斯大学注册为数学方面的学生，但并不听课，只是每年按时参加考试。与此同时，冯·诺依曼入柏林大学(1921年)，1923年又进入瑞士苏黎世联邦工业大学学习化学。1926年他在苏黎世的获得化学方面的大学毕业学位，通过在每学期期末回到布达佩斯大学通过课程考试，他也获得了布达佩斯大学数学博士学位。 冯·诺依曼的这种不参加听课只参加考试的求学方式，当时是非常特殊的，就整个欧洲来说也是完全不合规则的。但是这不合规则的学习方法，却又非常适合冯·诺依曼。冯·诺依曼在柏林大学学习期间，曾得到化学家哈贝尔的悉心栽培。哈贝尔是德国着名的化学家，由于合成氨而获诺贝尔奖。 逗留在苏黎世期间，冯·诺依曼常常利用空余时间研读数学、写文章和数学家通信。在此期间冯·诺依曼受到了希尔伯特和他的学生施密特和外尔的思想影响，开始研究数理逻辑。当时外尔和波伊亚两位也在苏黎世，他和他们有过交往。一次外尔短期离开苏黎世，冯·诺依曼还代他上过课。聪明的智慧加上得天独厚的栽培，冯·诺依曼在茁壮地成长，当他结束学生时代的时候，他已经漫步在数学、物理、化学三个领域的某些前沿。 1926年春，冯·诺依曼到哥廷根大学任希尔伯特的助手。1927～1929年，冯·诺依曼在柏林大学任兼职讲师，期间他发表了集合论、代数和量子理论方面的文章。l927年冯·诺依曼到波兰里沃夫出席数学家会议，那时他在数学基础和集合论方面的工作已经很有名气。 l929年，冯·诺依曼转任汉堡大学兼职讲师。1930年他首次赴美，成为普林斯顿大学的客座讲师。善于汇集人才的美国不久就聘冯·诺依曼为客座教授。 冯·诺依曼曾经算过，德国大学里现有的和可以期待的空缺很少，照他典型的推理得出，在三年内可以得到的教授任命数是三，而参加竞争的讲师则有40名之多。在普林斯顿，冯·诺依曼每到夏季就回欧洲，一直到l933年担任普林斯顿高级研究院教授为止。当时高级研究院聘有六名教授，其中就包括爱因斯坦，而年仅30岁的冯·诺依曼是他们当中最年轻的一位。 在高等研究院初创时间，欧洲来访者会发现，那里充满着一种极好的不拘礼节的、浓厚的研究风气。教授们的办公室设置在大学的“优美大厦”里，生活安定，思想活跃，高质量的研究成果层出不穷。可以这样说，那里集中了有史以来最多的有数学和物理头脑的人才。 l930年冯·诺依曼和玛丽达·柯维斯结婚。1935年他们的女儿玛丽娜出生在普林斯顿。冯·诺依曼家里常常举办时间持续很长的社交聚会，这是远近皆知的。l937年冯·诺依曼与妻子离婚，1938年又与克拉拉·丹结婚，并一起回普林斯顿。丹随冯·诺依曼学数学，后来成为优秀的程序编制家。与克拉拉婚后，冯·诺依曼的家仍是科学家聚会的场所，还是那样殷勤好客，在那里人人都会感到一种聪慧的气氛。 二次大战欧洲战事爆发后，冯·诺依曼的活动越出了普林斯顿，参与了同反法西斯战争有关的多项科学研究计划。l943年起他成了制造原子弹的顾问，战后仍在政府诸多部门和委员会中任职。1954年又成为美国原子能委员会成员。 冯·诺依曼的多年老友，原子能委员会主席斯特劳斯曾对他作过这样的评价：从他被任命到1955年深秋，冯·诺依曼干得很漂亮。他有一种使人望尘莫及的能力，最困难的问题到他手里。都会被分解成一件件看起来十分简单的事情，……用这种办法，他大大地促进了原子能委员会的工作。 晚年 冯·诺依曼的健康状况一直很好，可是由于工作繁忙，到1954年他开始感到十分疲劳。1955年的夏天，X射线检查出他患有癌症，但他还是不停的工作，病势扩展。后来他被安置在轮椅上，继续思考、演说及参加会议。长期而无情的疾病折磨着他，慢慢地终止了他所有的活动。1956年4月，他进入华盛顿的沃尔特·里德医院，1957年2月8日在医院逝世，享年53岁。
集合论、数学基础
冯·诺依曼的第一篇论文是和菲克特合写的，是关于车比雪夫多项式求根法的菲叶定理推广，注明的日期是1922年，那时冯·诺依曼还不满18岁。另一篇文章讨论一致稠密数列，用匈牙利文写就，题目的选取和证明手法的简洁显露出冯·诺依曼在代数技巧和集合论直观结合的特征。 1923年当冯·诺依曼还是苏黎世的大学生时，发表了超限序数的论文。文章第一句话就直率地声称“本文的目的是将康托的序数概念具体化、精确。他的关于序数的定义，现在已被普遍采用。 强烈企求探讨公理化是冯·诺依曼的愿望，大约从l925年到l929年，他的大多数文章都尝试着贯彻这种公理化精神，以至在理论物理研究中也如此。当时，他对集合论的表述处理，尤感不够形式化，在他1925年关于集合论公理系统的博士论文中，开始就说“本文的目的，是要给集合论以逻辑上无可非议的公理化论述”。 有趣的是，冯·诺依曼在论文中预感到任何一种形式的公理系统所具有的局限性，模糊地使人联想到后来由哥德尔证明的不完全性定理。对此文章，着名逻辑学家、公理集合论奠基人之一的弗兰克尔教授曾作过如下评价：“我不能坚持说我已把(文章的)一切理解了，但可以确有把握地说这是一件杰出的工作，并且透过他可以看到一位巨人”。 1928年冯·诺依曼发表了论文《集合论的公理化》，是对上述集合论的公理化处理。该系统十分简洁，它用第一型对象和第二型对象相应表示朴素集合论中的集合和集合的性质，用了一页多一点的纸就写好了系统的公理，它已足够建立朴素集合论的所有内容，并借此确立整个现代数学。 冯·诺依曼的系统给出了集合论的也许是第一个基础，所用的有限条公理，具有像初等几何那样简单的逻辑结构。冯·诺依曼从公理出发，巧妙地使用代数方法导出集合论中许多重要概念的能力简直叫人惊叹不已，所有这些也为他未来把兴趣落脚在计算机和“机械化”证明方面准备了条件。 20年代后期，冯·诺依曼参与了希尔伯特的元数学计划，发表过几篇证明部分算术公理无矛盾性的论文。l927年的论文《关于希尔伯特证明论》最为引人注目，它的主题是讨论如何把数学从矛盾中解脱出来。文章强调由希尔伯特等提出和发展的这个问题十分复杂，当时还未得到满意的解答。它还指出阿克曼排除矛盾的证明并不能在古典分析中实现。为此，冯·诺依曼对某个子系统作了严格的有限性证明。这离希尔伯特企求的最终解答似乎不远了。这是恰在此时，1930年哥德尔证明了不完全性定理。定理断言：在包含初等算术(或集合论)的无矛盾的形式系统中，系统的无矛盾性在系统内是不可证明的。至此，冯·诺依曼只能中止这方面的研究。 冯·诺依曼还得到过有关集合论本身的专门结果。他在数学基础和集合论方面的兴趣一直延续到他生命的结束。
三项最重要的数学工作
在1930～1940年间，冯·诺依曼在纯粹数学方面取得的成就更为集中，创作更趋于成熟，声誉也更高涨。后来在一张为国家科学院填的问答表中，冯·诺依曼选择了量子理论的数学基础、算子环理论、各态遍历定理三项作为他最重要数学工作。 1927年冯·诺依曼已经在量子力学领域内从事研究工作。他和希尔伯待以及诺戴姆联名发表了论文《量子力学基础》。该文的基础是希尔伯特1926年冬所作的关于量子力学新发展的讲演，诺戴姆帮助准备了讲演，冯·诺依曼则从事于该主题的数学形式化方面的工作。文章的目的是将经典力学中的精确函数关系用概率关系代替之。希尔伯特的元数学、公理化的方案在这个生气勃勃的领域里获得了施展，并且获得了理论物理和对应的数学体系间的同构关系。对这篇文章的历史重要性和影响无论如何评价都不会过高。冯·诺依曼在文章中还讨论了物理学中可观察算符的运算的轮廓和埃尔米特算子的性质，无疑，这些内容构成了《量子力学的数学基础》一书的序曲。 1932世界闻名的斯普林格出版社出版了他的《量子力学的数学基础》，它是冯·诺依曼主要着作之一，初版为德文，1943年出了法文版，1949年为西班牙文版，1955年被译成英文出版，至今仍不失为这方面的经典着作。当然他还在量子统计学、量子热力学、引力场等方面做了不少重要工作。 客观地说，在量子力学发展史上，冯·诺依曼至少作出过两个重要贡献：狄拉克对量子理论的数学处理在某种意义下是不够严格的，冯·诺依曼通过对无界算子的研究，发展了希尔伯特算子理论，弥补了这个不足；此外，冯·诺依曼明确指出，量子理论的统计特征并非由于从事测量的观察者之状态未知所致。借助于希尔伯待空间算子理论，他证明凡包括一般物理量缔合性的量子理论之假设，都必然引起这种结果。 对于冯·诺依曼的贡献，诺贝尔物理学奖获得者威格纳曾作过如下评价：“在量子力学方面的贡献，就是以确保他在当代物理学领域中的特殊地位。” 在冯·诺依曼的工作中，希尔伯特空间上的算子谱论和算子环论占有重要的支配地位，这方面的文章大约占了他发表的论文的三分之一。它们包括对线性算子性质的极为详细的分析，和对无限维空间中算子环进行代数方面的研究。 算子环理论始于1930年下半年，冯·诺依曼十分熟悉诺特和阿丁的非交换代数，很快就把它用于希尔伯特空间上有界线性算子组成的代数上去，后人把它称之为冯·诺依曼算子代数。 1936～1940年间，冯·诺依曼发表了六篇关于非交换算子环论文，可谓20世纪分析学方面的杰作，其影响一直延伸至今。冯·诺依曼曾在《量子力学的数学基础》中说过：由希尔伯特最早提出的思想就能够为物理学的量子论提供一个适当的基础，而不需再为这些物理理论引进新的数学构思。他在算子环方面的研究成果应验了这个目标。冯·诺依曼对这个课题的兴趣贯穿了他的整个生涯。 算子环理论的一个惊人的生长点是由冯·诺依曼命名的连续几何。普通几何学的维数为整数1、2、3等，冯·诺依曼在着作中已看到，决定一个空间的维数结构的，实际上是它所容许的旋转群。因而维数可以不再是整数，连续级数空间的几何学终于提出来了。 1932年，冯·诺依曼发表了关于遍历理论的论文，解决了遍历定理的证明，并用算子理论加以表述，它是在统计力学中遍历假设的严格处理的整个研究领域中，获得的第一项精确的数学结果。冯·诺依曼的这一成就，可能得再次归功于他所娴熟掌握的受到集合论影响的数学分析方法，和他自己在希尔伯特算子研究中创造的那些方法。它是20世纪数学分析研究领域中取得的最有影响成就之一，也标志着一个数学物理领域开始接近精确的现代分析的一般研究。 此外冯·诺依曼在实变函数论、测度论、拓扑、连续群、格论等数学领域也取得不少成果。1900年希尔伯特在那次着名的演说中，为20世纪数学研究提出了23个问题，冯·诺依曼也曾为解决希尔伯特第五问题作了贡献。
编辑本段一般应用数学
1940年，是冯·诺依曼科学生涯的一个转换点。在此之前，他是一位通晓物理学的登峰造极的纯粹数学家；此后则成了一位牢固掌握纯粹数学的出神入化的应用数学家。他开始关注当时把数学应用于物理领域去的最主要工具——偏微分方程。研究同时他还不断创新，把非古典数学应用到两个新领域：对策论和电子计算机。

Ⅲ DM5破译出

早就被破解了，一下是相关报道：
MD5被成功破解，破解者为山东大学王小云教授
2004年8月17日的美国加州圣巴巴拉，正在召开的国际密码学会议（Crypto’2004）安排了三场关于杂凑函数的特别报告。在国际着名密码学家Eli Biham和Antoine Joux相继做了对SHA-1的分析与给出SHA-0的一个碰撞之后，来自山东大学的王小云教授做了破译MD5、HAVAL-128、 MD4和RIPEMD算法的报告。在会场上，当她公布了MD系列算法的破解结果之后，报告被激动的掌声打断。王小云教授的报告轰动了全场，得到了与会专家的赞叹。报告结束时，与会者长时间热烈鼓掌，部分学者起立鼓掌致敬，这在密码学会议上是少见的盛况。王小云教授的报告缘何引起如此大的反响？因为她的研究成果作为密码学领域的重大发现宣告了固若金汤的世界通行密码标准MD5的堡垒轰然倒塌，引发了密码学界的轩然大波。会议总结报告这样写道：“我们该怎么办？MD5被重创了；它即将从应用中淘汰。SHA-1仍然活着，但也见到了它的末日。现在就得开始更换SHA-1了。”

关键词：碰撞＝漏洞＝别人可以伪造和冒用数字签名。
Hash函数与数字签名（数字手印）
HASH函数，又称杂凑函数，是在信息安全领域有广泛和重要应用的密码算法，它有一种类似于指纹的应用。在网络安全协议中，杂凑函数用来处理电子签名，将冗长的签名文件压缩为一段独特的数字信息，像指纹鉴别身份一样保证原来数字签名文件的合法性和安全性。在前面提到的SHA-1和MD5都是目前最常用的杂凑函数。经过这些算法的处理，原始信息即使只更动一个字母，对应的压缩信息也会变为截然不同的“指纹”，这就保证了经过处理信息的唯一性。为电子商务等提供了数字认证的可能性。
安全的杂凑函数在设计时必须满足两个要求：其一是寻找两个输入得到相同的输出值在计算上是不可行的，这就是我们通常所说的抗碰撞的；其二是找一个输入，能得到给定的输出在计算上是不可行的，即不可从结果推导出它的初始状态。现在使用的重要计算机安全协议，如SSL，PGP都用杂凑函数来进行签名，一旦找到两个文件可以产生相同的压缩值，就可以伪造签名，给网络安全领域带来巨大隐患。
MD5就是这样一个在国内外有着广泛的应用的杂凑函数算法，它曾一度被认为是非常安全的。然而，王小云教授发现，可以很快的找到MD5的“碰撞”，就是两个文件可以产生相同的“指纹”。这意味着，当你在网络上使用电子签名签署一份合同后，还可能找到另外一份具有相同签名但内容迥异的合同，这样两份合同的真伪性便无从辨别。王小云教授的研究成果证实了利用MD5算法的碰撞可以严重威胁信息系统安全，这一发现使目前电子签名的法律效力和技术体系受到挑战。因此，业界专家普林斯顿计算机教授Edward Felten等强烈呼吁信息系统的设计者尽快更换签名算法，而且他们强调这是一个需要立即解决的问题。

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Ⅳ 以下哪种结构不属于程序的3种基本控制结构之一

D、冯.诺依曼结构

顺序、选择和循环是程序的三种基本控制结构。无论多复杂的算法均可通过顺序、选择、循环3种基本控制结构构造出来。每种结构仅有一个入口和出口。由这3种基本结构组成的多层嵌套程序称为结构化程序。冯·诺依曼结构也称普林斯顿结构，是一种将程序指令存储器和数据存储器合并在一起的存储器结构。跟基本控制结构无关，因此选择D、冯.诺依曼结构。

(4)普林斯顿算法扩展阅读：

编程语言并不提供专门的控制流语句来表达顺序控制结构，而是用程序语句的自然排列顺序来表达。计算机按此顺序逐条执行语句，当一条语 句执行完毕，控制自动转到下一条语句。现实世界中这种顺序处理的情况是非常普遍的，例如我们接受学校教育一般都是先上小 学，再上中学，再上大学；又如我们烧菜一般都是先热油锅，再将蔬菜入锅翻炒，再加盐加 佐料，最后装盘。

Ⅳ P/NP问题的P/NP问题

复杂度类P包含所有那些可以由一个确定型图灵机在多项式表达的时间内解决的问题；类NP由所有其肯定解可以在给定正确信息的多项式时间内验证的决定问题组成，或者等效的说，那些解可以在非确定图灵机上在多项式时间内找出的问题的集合。很可能，计算理论最大的未解决问题就是关于这两类的关系的:
P和NP相等吗?
在2002年对于100研究者的调查，61人相信答案是否定的，9个相信答案是肯定的，22个不确定，而8个相信该问题可能所接受的公理独立，所以不可能证明或证否。[1] 所以P-NP问题也是Clay研究所的七个百万美元大奖问题之一。
NP-完全问题(或者叫NPC)的集合在这个讨论中有重大作用，它们可以大致的被描述为那些在NP中最不像在P中的。(确切定义细节请参看NP-完全)理论计算机科学家现在相信P, NP,和NPC类之间的关系如图中所示，其中P和NPC类不交。
假设P ≠ NP的复杂度类的图解.如P = NP则三个类相同.本质上，P = NP问题问道：如果是/不是问题的正面答案可以很快验证，其答案是否也可以很快计算？这里有一个给你找点这个问题的感觉的例子。给定一个大数Y,我们可以问Y是否是复合数。例如，我们可能问53308290611是否有非平凡的因子。回答是肯定的，虽然手工找出一个因子很麻烦。从另一个方面讲，如果有人声称答案是对，因为224737可以整除53308290611,则我们可以很快用一个除法来验证。验证一个数是除数比首先找出除数来简单得多。用于验证一个正面答案所需的信息也称为证书。所以我们的结论是，给定 正确的证书，问题的正面答案可以很快的(也就是，在多项式时间内)验证，而这就是这个问题属于NP的原因。虽然这个特定的问题，证明为也在P类中(参看下面的关于质数在P中的参考),这一点也不明显，而且有很多类似的问题相信不属于类P。
限制到是/不是问题并没有改变问题；即使我们允许更复杂的答案，最后的问题(是否FP = FNP)是等价的。 上面所有的讨论假设了P表示“容易”而“不在P中”表示“困难”。这是一个在复杂度理论中常见而且有一定准确性的假设，它在实践中却不总是真的，原因包括如下几点：
它忽略了常数因子。一个需要101000n时间的问题是属于P的（它是线性时间的），但是事实上完全无法处理。一个需要10-100002n时间的问题不是在P中的（它是指数时间的），但是对于n 取值直到几千时还是很容易处理的。
它忽略了指数的大小。一个时间复杂度n1000属于P，但是很难对付。已经证明在P中存在需要任意大的指数的问题（参看时间等级定理）。一个时间复杂度2n/1000的问题不属于P，但对与n直到几千还是容易应对的。
它只考虑了最坏情况的复杂度。可能现实世界中的有些问题在多数时候可以在时间n中解决，但是很偶尔你会看到需要时间2n的特例。这个问题可能有一个多项式的平均时间，但最坏情况是指数式的，所以该问题不属于P。
它只考虑确定性解。可能有一个问题你可以很快解决如果你可以接受出现一点误差的可能，但是确保正确的答案会难得多。这个问题不会属于P，虽然事实上它可以很快求解。这实际上是解决属于NP而还不知道是否属于P的问题的一个办法（参看RP， BPP）。
新的诸如量子电脑这样的计算模型，可能可以快速的解决一些尚未知道是否属于P的问题；但是，没有一个它们已知能够解决的问题是NP完全的。不过，必须注意到P和NP问题的定义是采用象图灵机这样的经典计算模型的属于表述的。所以，即使一个量子计算机算法被发现能够有效的解决一个NP完全问题，我们只是有了一个快速解决困难问题的实际方法，而不是数学类P和NP相等的证明。 多数计算机科学家相信P≠NP。该信念的一个关键原因是经过数十年对这些问题的研究，没有人能够发现一个NP完全问题的多项式时间算法。而且，人们早在NP完全的概念出现前就开始寻求这些算法了（Karp的21个NP完全问题，在最早发现的一批中，有所有着名的已经存在的问题]]）。进一步地，P = NP这样的结果会导出很多惊人的结果，那些结果现在被相信是不成立的，例如NP = 余NP和P = PH。
也有这样论证的：问题较难求解(NP)但容易验证(P)，这和我们日常经验是相符的。
从另一方面讲，某些研究者认为我们过于相信P ≠ NP，而应该也去寻找P = NP的证明。例如，2002年中有这样的声明：
倾向P≠NP的主要论据是在穷尽搜索的领域完全没有本质进展。也就是说，以我的观点，一个很弱的论据。算法的空间是很大的，而我们只是在开始探索的起点。[ . . . ] 费马最后定理的解决也显示非常简单的[sic]问题可能只有用非常深刻的理论才能解决。
— Moshe Vardi，莱斯大学
过分依赖某种投机不是规划研究的一个好的导引。我们必须总是尝试每个问题的两个方向。偏见可能导致着名的数学家无法解决答案和他们的预计相反的着名问题，虽然他们发展了所有所需的方法。
— Anil Nerode, 康奈尔大学 更正式一些，一个决定问题是一个取一些字符串为输入并要求输出为是或否的问题。若有一个算法（譬如图灵机，或一个LISP或Pascal的程序并有无限的内存）能够在最多n^k步内对一个串长度为n的输入给出正确答案，其中k是某个不依赖于输入串的常数，则我们称该问题可以在多项式时间内解决，并且将它置入类P。直观的讲，我们将P中的问题视为可以较快解决的问题。
假设有一个算法A(w,C)取两个参数，一个串w，也就是我们的决定问题的输入串，而另一个串C是“建议证明”，并且使得A在最多n^k步之内产生“是/否”答案（其中n是w的长度而k不依赖于w）。进一步假设
w是一个答案为“是”的例子，当且仅当，存在C使得A(w,C)返回“是”。
则我们称这个问题可以在非决定性多项式时间内解决，且将它放入NP类。我们把算法A作为一个所建议的证明的检验器，它运行足够快。（注意缩写NP代表“Non-deterministic（非确定性）Polynomial（多项式）”而不是代表“Non-Polynomial（非多项式）。） 虽然百万美元的奖金和大量投入巨大却没有实质性结果的研究足以显示该问题是困难的，还有一些形式化的结果证明为什么该问题可能很难解决。
最常被引用的结果之一设计神喻。假想你有一个魔法机器可以解决单个问题，例如决定一个给定的数字是否为质数，但可以瞬间解决这个问题。我们的新问题是，若我们被允许任意利用这个机器，是否存在我们可以在多项式时间内验证但无法在多项式时间内解决的问题？结果是，依赖于机器能解决的问题，P = NP和P ≠ NP二者都可以证明。这个结论的后果是，任何可以修改来证明该机器的存在性的结果不能解决问题。不幸的是，几乎所有经典的方法和大部分已知的方法可以这样修改（我们称它们在相对化）。
如果这还不算太糟的话，1993年Razborov和Rudich证明的一个结果表明，给定一个特定的可信的假设，在某种意义下“自然”的证明不能解决P = NP问题。[3] 这表明一些现在似乎最有希望的方法不太可能成功。随着更多这类的定理得到证明，该定理的可能证明有越来越多的陷阱要规避。
这实际上也是为什么NP完全问题有用的原因：若有一个多项式时间算法，或者没有一个这样的算法，对于NP完全问题存在，这将用一种相信不被上述结果排除在外的方法来解决P = NP问题。 没人知道多项式时间算法对于NP完全问题是否存在。但是如果这样的算法存在，我们已经知道其中的一些了！例如，下面的算法正确的接受了一个NP完全语言，但是没人知道通常它需要多久运行。它是一个多项式时间算法当且仅当P = NP。
// 接受NP完全语言的一个算法子集和。
//
// 这是一个多项式时间算法当且仅当P=NP。
//
// “多项式时间”表示它在多项式时间内返回“是”，若
// 结果是“是”，否则永远运行。
//
// 输入：S = 一个自然数的有限集
// 输出：是 如果某个S的子集加起来等于0。
// 否则，它永远运行没有输出。
// 注意: 程序数P 是你将一个整数P写为二进制，然后
// 将位串考虑为一个程序。
// 每个可能的程序都可以这样产生，
// 虽然多数什么也不做因为有语法错误。
//
FOR N = 1...infinity
FOR P = 1...N
以S为输入运行程序数P N步
IF 程序输出一个不同的整数的列表
AND 所有整数都在S中
AND 整数的和为0
THEN
OUTPUT 是 并 停机
若P = NP，则这是一个接受一个NP完全语言的多项式时间算法。“接受”表示它在多项式时间内给出“是”的答案，但允许在答案是“否”的时候永远运行。
可能我们想要“解决”子集和问题，而不是仅仅“接受”子集和语言。这表示我们想要它总是停机并返回一个“是”或“否”的答案。是否存在任何可能在多项式时间内解决这个问题的算法？没有人知道。但是如果这样的算法存在，那么我们已经知道其中的一些了！只要将上面的算法中的IF语句替换成下面的语句：
IF 程序输出一个完整的数学证明
AND 证明的每一步合法
AND 结论是S确实有（或者没有）一个和为0的子集
THEN
OUTPUT 是 （或者不是如果那被证明了）并停机 普林斯顿大学计算机系楼将二进制代码表述的“P=NP?”问题刻进顶楼西面的砖头上。如果证明了P=NP，砖头可以很方便的换成表示“P=NP！”。[4]
康奈尔大学的Hubert Chen博士提供了这个玩笑式的P不等于NP的证明：“反证法。设P = NP。令y为一个P = NP的证明。证明y可以用一个合格的计算机科学家在多项式时间内验证，我们认定这样的科学家的存在性为真。但是，因为P = NP，该证明y可以在多项式时间内由这样的科学家发现。但是这样的发现还没有发生（虽然这样的科学家试图发现这样的一个证明），我们得到矛盾。

Ⅵ 丘奇数 和 丘奇体系 是什么数学概念

在理论计算机科学中，有了可计算性概念严格的数学刻划，才使证明一系列重要的数学问题的算法不可解性成为可能。一个众所周知的事实是，直到1935年着名的“算法可计算函数都是递归函数”这一丘奇论题提出，算法可计算性这个直观概念才有了精确的数学刻划。而同样需要指出的是，哥德尔(K.Gödel)在此之前的1931年就引进了原始递归函数概念，1934年明确给出一般递归函数的定义，1934年春还曾与丘奇(A.Church)一起讨论如何给“算法可计算性”下一个精确的数学定义的问题。那么，为什么哥德尔没有适时给出丘奇论题，却对图灵工作大加赞赏，从而接受丘奇-图灵论题呢？
我们认为，其中的最重要原因是，图灵是完全沿着哥德尔设想的思路对算法概念给出分析的第一人，图灵机概念澄清了形式系统概念的内涵；同时，与波斯特20年代的想法一样，图灵论题通过指出机器能做什么，把计算系统引入了物理世界，引发了一场信息革命和心-脑-计算机的大论战。而且图灵论题揭示了哥德尔认识到的，可计算性是一个不依赖于形式系统的绝对概念这一事实。
随着“计算机的发展遵循摩尔定律”这一假说被普遍认可，哥德尔对图灵工作大加赞赏的几个因素更加显示出对计算机发展的理论意义和现实意义。1980年代人们开始讨论如何“超越图灵计算”，将算法或计算这样的纯粹抽象的数学概念看作物理定律的体现，把计算系统看作自然定律的一个自然结果。特别是认为，丘奇-图灵论题也同时断定了一条物理原理，这就是1985年多奇(D.Deutsch)提出的丘奇-图灵论题的物理版本(也称多奇原理)。正是基于这一原理，量子计算机的计算本质成为1990年以来人们关注的热点。我们认为，在当今对认知科学中认知可计算主义研究纲领提出质疑时，更有必要澄清关于丘奇-图灵论题和多奇原理的内涵，也有必要对量子计算机的计算本质作出恰当的逻辑分析。
1 哥德尔为什么没有提出丘奇论题
历史上，狄特金(R.Dedekind)，皮亚诺(G.Peano)，司寇伦(T.Skolem)，希尔伯特(D.Hilbert)和阿克曼(W.Ackermann)都曾研究过递归函数，但哥德尔是第一个精确定义这个概念的。今天我们所称的“原始递归函数”是哥德尔1931年在那篇划时代的论文中引进的。1934年2-5月，哥德尔在普林斯顿研究院关于不完全性结果的系列讲座中又引进了一般递归函数概念，指出：
“一般递归函数(我们现在称原始递归函数)有着重要的特性，即对于每个给定的自变量值的集合，都能通过有穷程序计算出函数值。”
具有历史意谓的是哥德尔还对此补充了一个颇具建设性的说明(着名的脚注3)：
“这个命题的逆[即每个通过有穷程序计算的函数都是原始递归函数]似乎也是真的，除了[原始]递归，…其他形式的递归(例如与带两个变量的加法相对应的递归)是否也是允许的。由于有穷可计算的概念还没有定义，目前不可能证明这个命题的逆，但是，它完全可以充当一种助探原则。”[6]
哥德尔的这段脚注曾被戴维斯(Martin Davis)认为是丘奇论题的一种形式。 他甚至以“哥德尔论题”的名称对其重新做了表述:
“每个机械可计算函数都可用一般递归函数定义”。
在准备编进《不可判定的》论文集的一篇介绍哥德尔讲座的短文中，戴维斯表达了他的这一见解，并将初稿寄给哥德尔进行评价。完全出乎戴维斯意料的是，哥德尔在回信中对此表达了不同见解：
“… 说脚注3是丘奇论题的一种陈述是不正确的。我无非是提出了‘有穷可计算程序’与‘递归程序’是等价的一种猜想。但在系列讲座中我根本没有料想到，我的递归概念包含了所有可能的递归。”[3]
从这封信中至少我们可以看出，哥德尔1934年春就给出今天意义上的“递归函数”的定义了，但是他完全没有猜到他当时的定义足够宽，可以包容所有的递归。而且他认为，自己对算法可计算性的猜测(即戴维斯所说的“哥德尔论题”)并不是丘奇论题的等价说法，但它可以充当一种助探原则，帮助人们寻求算法可计算性概念的一个令人满意的数学刻划。
2 从l可定义性到丘奇论题
丘奇是在1935年4月美国数学会的一次报告中宣布他的论题的。事实上，丘奇最早关注可计算性是从l可定义性概念着手的。据当年丘奇的学生克林尼(S.C.Kleene)的说法，到了1933年，丘奇的“l可定义性”已经作为一个成熟的概念在普林斯顿的逻辑学家中流传。他当时猜测，l可定义函数就是算法可计算函数，并最终提出这一论题。后来，克林尼曾回忆说：
“当丘奇提出这一论题时，我准备用对角化方法否证它，希望指出算法可计算函数超出了l可定义函数类。但是我很快认识到做不到这一点。于是，一夜之间我成了丘奇这个论题的支持者。”[9]
据戴维斯考察，尽管丘奇1933-1934年明显对可计算性概念怀有浓厚兴趣，但直到哥德尔作普林斯顿系列讲座之前，没有明显的迹象表明他认为算法可计算性与某种严格的数学概念相一致，也没有相关的什么特别的说法。也许正是在1934年2-5月与哥德尔讨论之后，他才形成了明确的见解，并给出后来的丘奇论题的。1935年11月29日，在给克林尼的一封信中，丘奇则对此曾给出了一个多少含糊其词的说法：
“谈及哥德尔、递归函数和算法可计算性概念，这段历史原本是这样的。在与哥德尔讨论l可定义性概念时，我们发现对于算法可计算性找不到一个好的定义，我建议，可以用l可定义性充当定义，但是哥德尔认为完全不合适。我回答说，如果你能提供任何一个，哪怕是部分令人满意的定义，我都将证明它一定包含在l可定义性概念之中。当时哥德尔唯一的想法是，先将算法可计算性当作一个不确定概念，陈述能描述这个概念公认特性的公理集合，然后在此基础上再去做其他事情。显然，后来他认为，可以对厄尔布朗(J.Herbrand)建议的递归函数概念沿着可计算性概念的方向加以修正。他特别指出，可以在这个意义上将递归和算法可计算性二者联系起来。但是，他又说，他并不认为这两个概念能够令人满意地被确认是彼此一致的，除非是在一种助探的意义上。”[3]
当1935年丘奇向数学界宣布他的论题时，他是如下表达的：“采纳厄尔布朗的建议，并在一个重要方面作了修正，哥德尔在1934年的系列讲座中提出了递归函数的定义，这里采取的基本上是哥德尔关于正整数递归函数的定义，而且需要强调的是，正整数的算法可计算函数将被确定为与递归函数一致。由于其他关于算法可计算性的似真定义原本都是导出概念，因此它们或者与递归性等价，或者比递归性弱。”[3]
显然，丘奇没有选择用“l可定义”的术语陈述他的论题，而是使用了“厄尔布朗-哥德尔一般递归函数”的术语。在这里，l可定义性隐含地划在了“其他算法可计算性的似真定义”中了。这种措辞给人的印象是，1935年春，丘奇还没有认定，l可定义性与厄尔布朗-哥德尔一般递归是等价的。直到1936年4月，丘奇在《初等数论中的一个不可解问题》中才断定l可定义性函数就是一般递归函数。
在1936年的论文中，丘奇给出了如今我们所知的丘奇论题的标准陈述：“现在我们通过与正整数的递归函数(或者正整数的l可定义函数)概念相一致，来定义已经讨论过的正整数的算法可计算的概念。这个选出的与直观的可计算性概念相符的定义被认为是已经核证了的。”[1]
这里，丘奇把算法可计算性与递归性之间的这种等价称为“定义”，波斯特(E.Post)1936年曾极力反对定义的提法，认为应当仅仅作为一种工作假说看待 。1943年克林尼指出，描述这种等价性的命题包含了很强的工作假说的特征，尽管我们确有不得不相信它的充足理由，因此，建议用“论题”的术语表达这个命题。
尽管提出了丘奇论题，但哥德尔当时并不赞成可计算性与递归性或l可定义性等价的说法。在他看来，在还没有找到一组公理刻划算法可计算性概念所包含的公认特性之前，不可能有完全令人满意的严格的数学定义。直到1936年图灵(A.Turing)的结果公布时，哥德尔才承认这个困难已经克服。
3 哥德尔为什么赞赏图灵论题
我们认为，正是由于1934-1936年，丘奇、克林尼和哥德尔等人对于可计算性概念的数学刻划做了一系列工作，最终丘奇提出了他的标准形式的丘奇论题。同时在此期间，图灵完全独立于普林斯顿数学家思考可计算性问题，最终以通用图灵机概念刻划了算法可计算性，即“算法可计算的就是通用图灵机可实现的”。它可表达为如下“图灵论题”：
“每个算法可在一台通用图灵机上程序化。”
哥德尔在1965年发表的普林斯顿讲座笔记(1934)的后记中，对图灵的工作给予了极高的评价，我们认为，哥德尔不接受丘奇论题，而赞赏图灵论题的主要原因至少有几点：
(1) 通用图灵机概念澄清了形式系统概念
可以说，在哥德尔证明不完全性定理时，形式系统还是一个相当模糊的概念，否则哥德尔会采取更加简洁的方式证明自己的定理。正是有了图灵机概念，才使形式系统的特性更加清晰准确地为人们所把握，形式系统不过是一种产生定理的机械程序，图灵机的工作程序正是数学家在形式系统中实际工作的程序。或者说，形式系统不过是一台准许在某些步骤上按照预定范围作出选择的图灵机。当然，也正是由于有了图灵机概念，哥德尔关于数学形式系统的不完全性定理才有了各种用图灵机程序代替形式系统的版本，如停机问题版本以及后来的算法信息论中的复杂性版本等。[10]
(2) 图灵是沿着最贴近哥德尔设想的研究进路作出结论的
丘奇的工作尽管精道优雅，但他完全基于纯粹的数学分析；图灵的分析不仅仅局限于数学形式世界，它是值得称道的哲学应用的实例。[3]而且，图灵是沿着最贴近哥德尔设想的研究进路作出结论的。 哥德尔曾评价说，“图灵的工作对于‘机械程序’(也称‘算法’,‘计算程序’或‘组合程序’)概念给出了一种分析，指明这个概念是与‘图灵机’等价的”。而先前给出的其他关于可计算性的等价定义，“无论如何很少适合我们最初的目的”。[2]
那么，哥德尔所说的“最初目的”是什么？显然，是他一直主张的，“先将算法可计算性当作一种不定义概念，给出能够描述这个概念公认特性的公理集，在此基础上再做某些事情”，在他看来，这才是寻求可计算性严格的数学刻划的真正途径。尽管图灵并没有在任何形式化的意义上采用公理化方法处理问题，但是他指明了，“算法可计算性公认的特性”必然导致一个确定的函数类，这个函数类是可以精确定义的，图灵给出的清晰准确表达了机械程序概念的图灵机是指产生部分递归函数，而不是指产生一般递归函数的图灵机。因此，在哥德尔那里，图灵才是给出准确概念与直观概念相符的令人信服的理由的第一人，用“可在图灵机上程序化”或“图灵机可实现”这个鲜明概念对算法可计算性的刻划，既是正确的，又是唯一符合我们最初目的的。
(3) 图灵机可计算概念揭示了可计算性是一个不依赖于形式系统的事实
为了使我们进一步看出，为什么图灵的工作对于哥德尔有如此重要的意义，还应当考察哥德尔对于绝对可计算性概念的理解。1935年6月19日，哥德尔在维也纳大学报告“论证明长度”，提到所谓“加速定理”。[7]定理的严格陈述用到“在一个形式系统S中一个函数φ(x)是可计算的”这个概念，它是指对每个数m，都存在相应的数n，使φ(m)= n在系统中是可证的。对于满足每一个系统都比前一个系统更强的形式系统的序列S1,S2,…，称一个函数在Si中是可计算的，是指它是依赖于i的。
在这次报告中，哥德尔附加了关于“绝对可计算性”的一个说明：“可以指出，在形式系统之一的Si中可计算，甚至在一个超穷类型中可计算的一个函数,在 S1中已经是可计算的。因此，在某种确定的意义上，‘可计算’的概念是‘绝对的’，而现实中所有其他熟知的元数学概念(如可证,可定义)等，却完全是依赖于给定系统的。”
哥德尔在这种“绝对的”意义上认识可计算性大致是在1934-1935年，在1946年《关于数学问题的普林斯顿200周年纪念会感言》中，哥德尔又特别强调了这种“绝对性”的意义：
“在我看来，一般递归或图灵机可计算这个概念的极端重要性似乎极大地归于这样一个事实，即有了这个概念，就第一次成功地给出有意义的认识论观念上的一种绝对的定义，即可计算性不依赖于形式系统的选择。但在所有先前处理的其他情形下，例如，像定义可判定性或可定义性时，都要依赖于给定的语言。尽管绝对可计算性也不过是特殊种类的可判定性概念，但情形已与过去完全不同。”[8]
(4) 图灵机概念把一个计算系统引入了物理世界
另一个值得哥德尔称道图灵工作的原因恐怕就是，同波斯特20年代曾经有过的想法一样，图灵通过指出计算机器能做什么，把一个计算系统引入物理世界，或者说，把一个是否可计算的问题转换成了一个物理上是否可实现的问题，引发了一场信息革命和心-脑-计算机的大论战。图灵实际上指出了，凡是可形式化描述并可以算法化的东西，都可以找到作为通用图灵机特例的计算机迅速准确地处理，这一原理开启了人类智能的机器模拟的新纪元。正如图灵在《可计算数》一文中所讲的，他本人研究可计算性的动机不仅仅在形式上，而在于“心智科学”上。哥德尔甚至直到晚年仍不减探讨由图灵提出的心灵-大脑-计算机的话题的兴趣，恐怕也表明他对于心智科学情有所钟。
5 丘奇-图灵论题的物理版本与量子计算机的计算本质
哥德尔赞赏图灵工作的几个因素，恰是现代理论计算机发展的基础和动力所在。当第一台通用电子计算机这种物理装置诞生后，人们真正看到了通用图灵机的物理实现(虽然没有无限存储)。从此，人们开始思考，实在世界本身是可计算的吗？模拟客观实在的理想模拟机器原则上究竟是物理可实现的，还是客观世界完全超出了通用图灵机所模拟的范畴？对此，相当一部分物理学家抱有乐观态度。1985年，牛津大学的多奇教授甚至引进了一个颇具启发的“丘奇-图灵论题的物理版本”，将“能行可计算的函数”替换为“有限可实现的物理系统”，陈述了他的所谓“多奇原理”(也称“物理的丘奇-图灵原理”)：“每个有限可实现的物理系统，总能为一台通用模拟机器以有限方式的操作来完美地模拟”[4]。我们知道，基于现代物理学和生物物理学，许多物理学家认为，从巨大的天体到我们的生命体，直至人类心灵，都是有限可实现的物理系统的子系统，因此，依多奇之见，原则上都可以用通用计算机以有限方式的操作完美的模拟。
显然，多奇原理是较丘奇-图灵论题更强的“工作假说”，从丘奇-图灵论题到多奇原理，我们的可计算疆域在不断拓展。如果多奇原理是正确的，它将揭示出物理实在的深刻本质。这种基于物理主义和可计算主义的立场也恰是人工智能专家奉行的各种工作假说的核心。多奇等人完全将算法或计算这样的纯粹抽象的数学概念看成了物理定律的体现，把计算系统看成了自然定律的一个自然结果，在他们看来，通用计算机的概念不仅为自然规律所认可，而且很可能就是自然规律的内在要求。事实上，我们知道，所有倡导虚拟现实技术、人工生命、人工智能的人都相信多奇原理的真理性。当然也没有任何有力的科学证据能够反驳多奇原理，因为它是一个包含“通用模拟机器”概念的全称命题，原则上通用模拟机器可实现的算法(程序)数目是无限的。
依照理论计算机的最新进展，量子计算机的倡导者断言，能够实现多奇原理的通用模拟机器只能是量子通用图灵机。1998年作为“量子领域旗手”的杰拉德·密尔本(G.L.Milburn)指出，物理理论与物理版本的丘奇-图灵论题密切相关的事实是，物理理论是通过数学给出观察数据的，这些数据正是那些被我们称作可计算问题所提供的数据，因此这些数据可通过在一台通用图灵机上运行的算法得到。无论是经典的还是量子的物理系统都可以任意高的精度模拟，然而对某些问题，运行程序的时间可能是一个天文数字。如果世界是经典的，可以用蒙特卡罗方法等有效模拟随机性；但如果世界是具有不可约随机性的量子的，就不能用基于隐变量的经典随机性来解释量子随机性，量子世界的游戏需遵循费曼规则。因此费曼(R.Feynmen)意识到，解决这一问题的方法是建造一种量子计算机，即利用量子过程本身作为计算手段，计算的基本步骤将在原子或亚原子水平上进行，于是，1998年，丘奇-图灵论题经多奇原理，又被修正成：
“所有有限可描述的物理测量系统的结果都可以很好地为一台通用量子计算机以有限方式的操作完美地模拟，测量结果的记录是最终产物。”
这里的“有限可描述的物理测量系统” 是指建立和操纵一个测量装置的指令必须能够用有限的代码来表达；“完美的模拟”是指，模拟产生的数据与真实测量所得的数据无法区分；“最终产物”是指所有的模拟测量必须在某一时刻结束，不再继续产生新结果。
那么量子计算机超越经典计算机之处何在？它的计算本质究竟为何？
首先，量子计算机可以完成经典计算机所不能完成的计算：例如，它可以任意的精确度模拟一个量子物理系统，可使求解时间不随问题的规模呈指数增长。例如，以往要完成一个64位数字分解成质因数的乘积的运算，即使是使用超级计算机也要花比宇宙年龄还要长的时间。而贝尔实验室的彼德·肖尔(Peter Shor)的量子算法，依赖于大尺度的量子纠缠，可在量子计算机上以相当短的时间内成功地将一个64位数字分解成质因数的乘积。量子计算机所以具有超出经典图灵机的能力，在于量子相干性产生的并行计算的威力。
量子计算机是一个实现计算的物理装置，是遵循量子物理学规律运行的物理系统，而且量子计算机是一种建立在量子图灵机基础上的现代计算机。通用图灵机的算法是完全确定性的，在这种确定性算法中，当图灵机的当前读写头的状态和当前存储单元内容给定时，下一步的状态及读写头的运动完全确定。在经典的概率算法中，当前读写头的状态和当前存储单元内容给定时，图灵机以一定的概率变换到下一个状态及完成读写头的运动。这个概率函数是取值[0，1]的实数，它完全决定了概率图灵机的性质。量子计算机与经典概率图灵机的区别仅仅在于当前读写头的状态和当前存储单元内容由经典的正交态(0，1)变成了量子态(0，1，0和1的几率迭加态)，而概率函数则变成了取值为复数的概率振幅函数，于是量子计算机的性质由概率振幅函数确定。量子计算机能作到高效的计算，完全得益于量子迭加效应，即一个原子的状态可处于0和1的几率迭加态。一般来讲，采用L个量子位，量子计算机可以一次同时对2L个数进行处理，相当于一步计算完成通常经典计算机2L个数的计算。量子计算机就是以量子态对应于计算机的数据和程序(这需要以量子比特取代经典比特)，读写头不同的物理状态由量子物理描述，机器的动力学机制也由量子物理决定，当然一个更为重要的问题是，我们还必须描述它的输出，而我们最后需要的又是经典比特，而不是量子比特，这就要解决棘手的“消相干性”。
但是，我们必须清楚地认识到，无论量子计算机的速度有多快，既然从理论上讲，量子计算机不过是一台量子图灵机，那么它就必然受到哥德尔定理所设定的逻辑极限的限制，量子计算机不能计算不可计算的函数，也不能解决停机问题。说到底，量子计算机的计算本质上依然是图灵机计算，即递归函数计算，因此丘奇-图灵论题依然是量子计算机的理论基础。多奇试图将整个物理世界纳入计算的范围，试图以量子计算机模拟人类智能仍然不能摆脱逻辑固有的极限。如果可计算性如哥德尔所言，是不依赖于形式系统的绝对概念，那么量子计算机也不过是另一个计算速度更快的计算载体而已。
值得思考的是，对计算技术的不懈追求是否能使我们切实在程序中捕获一个真实的 “一致而完备的”世界？[11]在为大自然中的问题提供一个科学解答过程中是否不存在任何逻辑障碍？除了图灵机之外，是否存在其他计算模型，比如DNA计算机等，人类心智是否可能是某种超越图灵机的机器？多奇原理告诉我们，不仅物理学决定了计算机能做什么，而且反过来，计算机能做什么，也将决定物理定律最终的性质，多奇原理的本意显然绝不局限于对计算载体进行变革的意义，而在于指出，真实世界 = 物理世界 = 计算世界。

Ⅶ 分期利率怎么算

分期利率如果要算的话也是可以的，因为分期利率他的算法和别的利率算法是有所不同的，只是根据他的特点进行计算的。

值得一提的是，尤金·法玛和罗伯特·席勒持有完全不同的学术观点，前者认为市场是有效的，而后者则坚信市场存在缺陷，这也从另一个侧面证明，至今为止人类对资产价格波动逻辑的认知，还是相当肤浅的，与我们真正把握其内在规律的距离，仍然非常遥远！
行为金融学（BF）
1979年，美国普林斯顿大学的心理学教授丹尼尔·卡纳曼（Daniel Kahneman）等人发表了题为《期望理论：风险状态下的决策分析》的文章，建立了人类风险决策过程的心理学理论，成为行为金融学发展史上的一个里程碑。
行为金融学（Behavioral Finance，简称BF）是金融学、心理学、人类学等有机结合的综合理论，力图揭示金融市场的非理性行为和决策规律。该理论认为，股票价格并非只由企业的内在价值所决定，还在很大程度上受到投资者主体行为的影响，即投资者心理与行为对证券市场的价格决定及其变动具有重大影响。它是和有效市场假说相对应的一种学说，主要内容可分为套利限制和心理学两部分。

Ⅷ 美国计算机科学专业名校有哪些

根据PayScale的薪资数据、U.S. News、泰晤士高等教育、ARWU排名以及毕业率等因素，综合整理出美国学习CS专业的大学，具体如下：
1. 斯坦福大学
斯坦福大学的计算机科学学位提供了人工智能、生物计算、计算机工程、图形学、人机交互、信息、系统和理论方面的专业课程。学生还可以决定、设计自己的学习计划。

2. 加州大学伯克利分校
UCB同时提供计算机科学BS和BA。对理学学士学位感兴趣的学生将通过工程学院申请该专业，而这也是最具竞争力的学位之一。文学学士学位由文理学院提供，除提供计算机科学学位外，还提供更广泛的科学和艺术教育。不过，这两个学位所学的计算机科学特定课程内容基本相同。

3. 卡内基梅隆大学
卡耐基梅隆大学创建于 1900 年，是一所私立大学。 学校下设有卡耐基技术学院、美术学院、人文与社会科学院、美隆理学院及商业管理系和计算机系。 2012 排名为第 23 名，这里重点要提到的就是该校的计算机专业全美第一 ; 是当之无愧的美国计算机专业 NO.1 。
4. 哈佛大学
哈佛大学计算机科学项目的学生可以通过计算与社会研究中心、应用计算科学研究所和Berkman互联网与社会中心等中心/机构参与广泛的研究项目。

5. 耶鲁大学
Yale CS系每年大概录取8 new Ph.D. Students, and from 5 to 15 new masters students, 录取还是很难拿的。毕业生就业率号称100%，一般前往Google, Amazon, Microsoft, Oracle, Startup in NYC. 据说教授都不关注就业，因为太简单。
6. 麻省理工学院
麻省理工学院提供电子科学与工程、电子工程与计算机科学、计算机科学与分子生物学、计算机科学、经济学和数据科学5个本科计算机科学学位。

7. 普林斯顿大学
学生可以在普林斯顿大学计算机科学的AB和BSE学位之间进行选择。除了一些核心课程，学生们还可以完全设计自己的专属课程，确保学生在深入学习算法、计算机科学理论、计算机系统设计和应用程序的同时，也能获得更多的自由。

8. 宾夕法尼亚大学
宾夕法尼亚大学的学生想要学习CS专业可以从计算机工程学士学位和应用科学学士学位中进行选择，二者均提供计算机科学专业。

9. 哥伦比亚大学
哥伦比亚大学提供6个不同的计算机科学和计算机工程学位。其中包括如：人工智能、自然语言处理、计算复杂性和算法分析、计算机通信、计算机图形学、数据库和计算数学模型等。

10. 达特茅斯学院
在达特茅斯大学的计算机科学系，研究生与世界级的研究人员在一个紧密团结的学院环境中进行密切的交流，这为跨学科和内部的研究提供了大量的机会。该专业与工程、商业、数学、艺术、生物学、社会学和医学领域的研究人员合作，小班授课，授课教师屡获学术殊荣。

Ⅸ 光速每小时多少公里

约为108000万千米每小时。

分析过程如下：

真空光速定义值：c0=299792458m/s，光速计算值：c0=299792.458km/s （一般取300000km/s）。

光速约为300000km/s，也就是30万千米每秒。

1个小时=3600秒，由此可得：光速=300000×3600=108000万千米每小时。

(9)普林斯顿算法扩展阅读：

光在不同介质中的速度不同，由于光是电磁波，因此光速也就依赖于介质的介电常数和磁导率。在各向同性的静止介质中，光速是一个小于真空光速c的定值。

如果介质以一定的速度运动，则一般求光速的方法是先建立一个随动参考系，其中的光速是静止介质中的光速，然后通过参考系变换得到运动介质中的光速；或者可以直接用相对论速度叠加公式去求运动介质中的光速。

光和声虽然都具有波动性质，但两者波速的算法是完全不同的。以声音实验为例：空气对地面静止，第1次我们不动测得我们发出的声音1秒钟前进了300米；第二次我们1秒钟匀速后退1米，测得声音距我们301米。

得到结论：两次声音相对地面速度不变，相对我们，第一次300米/秒；第2次301米/秒。在牵涉到的速度远小于光速的情况下，声速满足线性叠加。