以e为底的对数运算法则

⑴ 对数e的运算法则与公式

（1）ln e = 1
（2）ln e^x = x
（3）ln e^e = e
（4）e^(ln x) = x
（5）de^x/dx = e^x
（6）d ln x / dx = 1/x
（7）∫ e^x dx = e^x + c
（8）∫ xe^xdx = xe^x - e^x + c
（9）e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+x^4/4!+....
（10）d(e^x sinx)/dx = e^x sinx +e^xcosx=e^x(sinx+cosx)
(1)以e为底的对数运算法则扩展阅读：
自然常数e的由来：
第一次提到常数e，是约翰·纳皮尔(John Napier)于1618年出版的对数着作附录中的一张表。但它没有记录这常数，只有由它为底计算出的一张自然对数列表，通常认为是由威廉·奥特雷德制作。第一次把e看为常数的是雅各·伯努利(Jacob Bernoulli)。
已知的第一次用到常数e，是莱布尼茨于1690年和1691年给惠更斯的通信，以b表示。1727年欧拉开始用e来表示这常数；而e第一次在出版物用到，是1736年欧拉的《力学》(Mechanica)。虽然以后也有研究者用字母c表示，但e较常用，终于成为标准。

⑵ e的底数e的对数是什么

由公式x=e^lnx（lnx=e的某个值次方等于x，e^（e的某个值次方）等于x，即x=e^lnx） 转化x=e^lnx （m^x代替x，m^x为任意指数，任意指数的值也同等于x）

m^x=e^lnm^x （m^x=x）

m^x=e^[（lnm）x]（幂法则 loga X^y=ylogaX）

以此任意指数值m^x都可以转变以e为底的对数函数。

指数函数，y=ax(a＞0，且a≠1)，注意与幂函数的区别。

对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)。

指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数。

(2)以e为底的对数运算法则扩展阅读

1、指数运算

有理数指数及其运算是本章的基础内容，要明确运算法则，化简或求值是本章知识点的主要呈现方式。

在进行幂和根式的化简时，一般是先将根式化成幂的形式，并尽可能地统一成分数指数幂的形式，再利用幂的运算性质进行化简、求值或计算，以达到化繁为简的目的。

2、对数运算

(1)同底对数化简的常用方法：将同底的两对数的和(差)化成积(商)的对数；将积(商)的对数拆成对数的和(差)，根据题目的条件选择恰当的方法。

(2)对常用对数的化简要创设情境，充分利用lg 5＋lg 2＝1来求解。

(3)对多重对数符号的化简，应从内向外逐层化简求值。

(4)对数的运算性质，要注意只有当式子中所有的对数符号都有意义时，等式才成立。

⑶ e的自然对数怎么求

1、ln(MN)=lnM +lnN

2、ln(M/N)=lnM-lnN

3、ln（M^n)=nlnM

4、ln1=0

5、lne=1

注意：M>0，N>0

自然对数是以常数e为底数的对数，记作lnN(N>0)。

(3)以e为底的对数运算法则扩展阅读：

换底公式

设b=a^m，a=c^n，则b=(c^n)^m=c^(mn) ①

对①取以a为底的对数，有：log(a)(b)=m ②

对①取以c为底的对数，有：log(c)(b)=mn ③

③/②，得：log(c)(b)/log(a)(b)=n=log(c)(a)

∴log(a)(b)=log(c)(b)/log(c)(a)

注：log(a)(b)表示以a为底b的对数。

换底公式拓展：

以e为底数和以a为底数的公式代换：

logae=1/（lna）

⑷ 对数函数的运算公式.

对数的运算性质

当a>0且a≠1时，M>0,N>0，那么：

（1）log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);

（2）log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N);

（3）log(a)(M^n)=nlog(a)(M) （n∈R）

(4)log(a^n)(M)=（1/n）log(a)(M)(n∈R)

（5）换底公式：log(A)M=log(b)M/log(b)A (b>0且b≠1）

(6)a^(log(b)n)=n^(log(b)a)

设a=n^x则a^(log(b)n)=（n^x）^log(b)n=n^（x·log(b)n）=n^log(b)（n^x）=n^(log(b)a)

(7)对数恒等式：a^log（a)N=N;

log（a）a^b=b 证明：设a^log（a)N=X，log（a)N=log（a)X，N=X

（8）由幂的对数的运算性质可得(推导公式)

1.log(a)M^(1/n)=(1/n)log(a)M , log(a)M^(-1/n)=(-1/n)log(a)M

2.log(a)M^(m/n)=(m/n)log(a)M , log(a)M^(-m/n)=(-m/n)log(a)M

3.log(a^n)M^n=log(a)M , log(a^n)M^m=(m/n)log(a)M

4.log(以 n次根号下的a 为底)(以 n次根号下的M 为真数)=log(a)M ,

log(以 n次根号下的a 为底)(以 m次根号下的M 为真数)=(n/m)log(a)M

5.log(a)b×log(b)c×log(c)a=1

(4)以e为底的对数运算法则扩展阅读

对数公式是数学中的一种常见公式，如果a^x=N(a>0,且a≠1)，则x叫做以a为底N的对数,记做x=log(a)(N)，其中a要写于log右下。其中a叫做对数的底，N叫做真数。通常我们将以10为底的对数叫做常用对数，以e为底的对数称为自然对数。

参考资料对数公式_网络

⑸ ln以e为底的对数公式

ln以e为底的对数公式：ln(MN)=lnM+lnN，ln(M/N)=lnM-lnN，ln（M^n)=nlnM，ln1=0，lne=1（拆开后，M,N需要大于0）。
自然对数以常数e为底数的对数。记作lnN(N>0)。在物理学，生物学等自然科学中有重要的意义，一般表示方法为lnx。数学中也常见以logx表示自然对数。若为了避免与基为10的常用对数lgx混淆，可用logex表示。

⑹ 以e为底的对数有哪些

e是一个无限不循环的数，如果a^n=b，那么log(a)(b)=n。其中，a叫做“底数”，b叫做“真数”，n叫做“以a为底b的对数”。

对数符号以a为底N的对数记作。对数符号log出自拉丁文logarithm，最早由意大利数学家卡瓦列里（Cavalieri）所使用。20世纪初，形成了对数的现代表示。为了使用方便，人们逐渐把以10为底的常用对数及以无理数e为底的自然对数分别记作lgN和lnN。

对数应用：

对数在数学内外有许多应用。这些事件中的一些与尺度不变性的概念有关。例如，鹦鹉螺的壳的每个室是下一个的大致副本，由常数因子缩放。这引起了对数螺旋。Benford关于领先数字分配的定律也可以通过尺度不变性来解释。

对数也与自相似性相关。例如，对数算法出现在算法分析中，通过将算法分解为两个类似的较小问题并修补其解决方案来解决问题。自相似几何形状的尺寸，即其部分类似于整体图像的形状也基于对数。

以上内容参考：网络-对数

⑺ 对数函数的运算法则

由指数和对数的互相转化关系可得出:

1.两个正数的积的对数，等于同一底数的这两个数的对数的和，即，有一个对数函数和一个指数函数，它们互为反函数。

⑻ 有e的对数常用公式有哪些

首先e叫自然对数底，一般说常用对数底是10.
非常多的好处，如果你学了微积分，那么一个很显然的是，对一个一般底数的幂函数做导数很复杂：
(a
^
x)'
=
lna
*
a^x
对一个用自然对数做底的幂函数做导数很简单：
(e
^
x)'
=
e^x
这个只是其千千万万好用的地方其中之，当然这些都是表征，其本质来说为什么这么好用很难简单说清。
换一个角度，我们可以从自然对数最早是怎么来的来说明其有多“自然”。以前人们做乘法就用乘法，很麻烦，发明了对数这个工具后，乘法可以化成加法，即：
log(a
*
b)
=
loga
+
logb
但是能够这么做的前提是，我要有一张对数表，能够知道loga和logb是多少，然后求和，能够知道log多少等于这个和。虽然编对数表很麻烦，但是编好了就是一劳永逸的事情，因此有个大数学家开始编对数表。但他遇到了一个麻烦，就是这个对数表取多少作为底数最合适？10吗？或是2？为了决定这个底数，他做了如下考虑：
1.所有乘数/被乘数都可以化到0.1-1之内的数乘以一个10的几次方，这个用科学记数法就行了。
2.那么现在只考虑做一个0-1之间的数的对数表了，那么我们自然用一个0-1之间的数做底数。（如果用大于1的数做底数，那么取完对数就是负数，不好看；）
3.这个0-1间的底数不能太小，比如0.1就太小了，这会导致很多数的对数都是零点几；而且“相差很大的两个数之的对数值却相差很小”，比如0.1做底数时，两个数相差10倍时，对数值才相差1.换句话说，像0.5和0.55这种相差不大的数，如果用0.1做底数，那么必须把对数表做到精确到小数点以后很多位才能看出他们对数的差别。
4.为了避免这种缺点，底数一定要接近于1，比如0.99就很好，0.9999就更好了。总的来说就是1
-
1/x
，
x越大越好。在选了一个足够大的x（x越大，对数表越精确，但是算出这个对数表就越复杂）后，你就可以算
（1-1/x）^1
=
p1
,
（1-1/x）^2
=
p2
,
……
那么对数表上就可以写上
p1
的对数值是
1，p2的对数值是
2……（以1-1/x作为底数）。而且如果x很大，那么p1,p2,p3……间都靠得很紧，基本可以满足均匀地覆盖了0.1-1之间的区间。
5.最后他再调整了一下，用
（1
-
1/x）^
x作为底，这样p1的对数值就是p1/x，
p2的对数值就是p2
/
x，……
px的对数值就是1，这样不至于让一些对数值变得太大，比如若x=10000,有些数的对数值就要到几万，这样调整之后，各个数的对数值基本在0-几之间。两个值之间最小的差为1/x。
6.现在让对数表更精确，那么x就要更大，数学家算了很多次，1000，1万，十万，最后他发现，x变大时，这个底数（1
-
1/x）^
x趋近于一个值。这个值就是1/e，自然对数底的倒数（虽然那个时候还没有给它取名字）。其实如果我们第一步不是把所有值放缩到0.1-1之间，而是放缩到1-10之间，那么同样的讨论，最后的出来的结果就是e了。
当然后来数学家对这个数做了无数研究，发现其各种神奇之处，出现在对数表中并非偶然，而是相当自然或必然的。因此就叫它自然对数底了。

⑼ 对数的运算法则及公式是什么

运算法则公式如下：

1、lnx+ lny=lnxy

2、lnx-lny=ln(x/y)

3、lnxⁿ=nlnx

4、ln(ⁿ√x)=lnx/n

5、lne=1

对数公式是数学中的一种常见公式，如果a^x=N(a>0，且a≠1)，则x叫做以a为底N的对数，记做x=log(a)(N)，其中a要写于log右下。其中a叫做对数的底，N叫做真数。通常将以10为底的对数叫做常用对数，以e为底的对数称为自然对数。对数运算，实际上也就是指数在运算。

应用

对数在数学内外有许多应用。这些事件中的一些与尺度不变性的概念有关。例如，鹦鹉螺的壳的每个室是下一个的大致副本，由常数因子缩放。这引起了对数螺旋。Benford关于领先数字分配的定律也可以通过尺度不变性来解释。对数也与自相似性相关。例如，对数算法出现在算法分析中，通过将算法分解为两个类似的较小问题并修补其解决方案来解决问题。

以上内容参考：网络-对数

⑽ 自然底数e等于多少 计算公式详解

1、e是自然对数的底数,是一个无限不循环小数,其值是2.71828……。对于数列{(1+1/n )^n}，当n趋于正无穷时该数列所取得的极限就是e，即e =lim(1+1/n)^n。通过二项式展开，取其部分和，可得e的近似计算式e=1+1+1/2！+1/3！+1/4！+ ...+ 1/n!，n越大，越接近的真值。

2、数e的某些性质使得它作为对数系统的底时有特殊的便利。以e为底的对数称为自然对数。用不标出底的记号ln来表示它；在理论的研究中，总是用自然对数。