零弦算法

Ⅰ COS函数的计算方法

用具体的三角形来计算COS，实际上，VB的COS函数只需要输入角度，是没有3边的参数的。

对于由角度计算余弦算法见图，在实际实现时确定精度即可。

(1)零弦算法扩展阅读：

在三角形中说明。在直角三角形ABC中∠C＝90°，则AB叫做斜边，AC叫做∠A的邻边，BC叫做∠A的对边。那么若∠A的度数确定，这些边的比就确定。于是:(1)零弦算法扩展阅读

∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记sinA. 即sinA＝BC/AB。

∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记cosA. 即cosA＝AC/AB。

∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记tanA. 即tanA＝BC/AC。

∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记cotanA. 即cotanA＝AC/BC。

Ⅱ 吉他1是三品五弦，2是五品五弦，3是二品四弦，5是五品四弦，6,7怎么弹奏谢谢啦

最细的弦是1弦，最粗的是6弦，依此类推 1为六弦八品或五弦三品 2为五弦五品或四弦零品（空弦） 3为五弦七品或四弦二品 4为五弦八品或四弦三品 5为四弦五品或三弦零品（空弦） 6为四弦七品或三弦二品 7为三弦四品或二弦零品（空弦） 一弦空弦为低音3 二弦空弦为低音6 三弦空弦为2 四弦空弦为5 五弦空弦为7 六弦空弦为高音3 在吉他上每相邻的两个品是半音关系。比如一品到二品是半音，十二品到十三品也是半音，那么一品到三品之间就是全音，零品（空弦）到二品也是全音。由此可以推出每根弦后面品位上音节的位置 .

Ⅲ 哪个是0弦

六线谱上的数字0，代表这根弦，左手不按，就是空弦的意思

Ⅳ c语言算法

#include "stdio.h"
int f0(int n);
void main()
{
int i,count=0;
for(i=100;i<=200;i++)
if(f0(i))count++;
printf("%d",count);
}

int f0(int n)
{
int i,j;
for(i=1;i<n*n;i++)
for(j=1;j<(n*n-i*i);j++)
if(((i*i+j*j)==n*n))
return(1);
return(0);
}
你把if((i+j)*(i+j)==(n*n-2*i*j))
改成if((i+j)*(i+j)==(n*n+2*i*j))就行了，编程就是要细心

Ⅳ Kmeans聚类算法简介

由于具有出色的速度和良好的可扩展性，Kmeans聚类算法算得上是最着名的聚类方法。Kmeans算法是一个重复移动类中心点的过程，把类的中心点，也称重心(centroids)，移动到其包含成员的平均位置，然后重新划分其内部成员。k是算法计算出的超参数，表示类的数量；Kmeans可以自动分配样本到不同的类，但是不能决定究竟要分几个类。k必须是一个比训练集样本数小的正整数。有时，类的数量是由问题内容指定的。例如，一个鞋厂有三种新款式，它想知道每种新款式都有哪些潜在客户，于是它调研客户，然后从数据里找出三类。也有一些问题没有指定聚类的数量，最优的聚类数量是不确定的。后面我将会详细介绍一些方法来估计最优聚类数量。

Kmeans的参数是类的重心位置和其内部观测值的位置。与广义线性模型和决策树类似，Kmeans参数的最优解也是以成本函数最小化为目标。Kmeans成本函数公式如下：

μiμi是第kk个类的重心位置。成本函数是各个类畸变程度(distortions)之和。每个类的畸变程度等于该类重心与其内部成员位置距离的平方和。若类内部的成员彼此间越紧凑则类的畸变程度越小，反之，若类内部的成员彼此间越分散则类的畸变程度越大。求解成本函数最小化的参数就是一个重复配置每个类包含的观测值，并不断移动类重心的过程。首先，类的重心是随机确定的位置。实际上，重心位置等于随机选择的观测值的位置。每次迭代的时候，Kmeans会把观测值分配到离它们最近的类，然后把重心移动到该类全部成员位置的平均值那里。

2.1 根据问题内容确定

这种方法就不多讲了，文章开篇就举了一个例子。

2.2 肘部法则

如果问题中没有指定kk的值，可以通过肘部法则这一技术来估计聚类数量。肘部法则会把不同kk值的成本函数值画出来。随着kk值的增大，平均畸变程度会减小；每个类包含的样本数会减少，于是样本离其重心会更近。但是，随着kk值继续增大，平均畸变程度的改善效果会不断减低。kk值增大过程中，畸变程度的改善效果下降幅度最大的位置对应的kk值就是肘部。为了让读者看的更加明白，下面让我们通过一张图用肘部法则来确定最佳的kk值。下图数据明显可分成两类：

从图中可以看出，k值从1到2时，平均畸变程度变化最大。超过2以后，平均畸变程度变化显着降低。因此最佳的k是2。

2.3 与层次聚类结合

经常会产生较好的聚类结果的一个有趣策略是，首先采用层次凝聚算法决定结果粗的数目，并找到一个初始聚类，然后用迭代重定位来改进该聚类。

2.4 稳定性方法

稳定性方法对一个数据集进行2次重采样产生2个数据子集，再用相同的聚类算法对2个数据子集进行聚类，产生2个具有kk个聚类的聚类结果，计算2个聚类结果的相似度的分布情况。2个聚类结果具有高的相似度说明kk个聚类反映了稳定的聚类结构，其相似度可以用来估计聚类个数。采用次方法试探多个kk，找到合适的k值。

2.5 系统演化方法

系统演化方法将一个数据集视为伪热力学系统，当数据集被划分为kk个聚类时称系统处于状态kk。系统由初始状态k=1k=1出发，经过分裂过程和合并过程，系统将演化到它的稳定平衡状态 kiki ，其所对应的聚类结构决定了最优类数 kiki 。系统演化方法能提供关于所有聚类之间的相对边界距离或可分程度，它适用于明显分离的聚类结构和轻微重叠的聚类结构。

2.6 使用canopy算法进行初始划分

基于Canopy Method的聚类算法将聚类过程分为两个阶段

(1) 聚类最耗费计算的地方是计算对象相似性的时候，Canopy Method在第一阶段选择简单、计算代价较低的方法计算对象相似性，将相似的对象放在一个子集中，这个子集被叫做Canopy，通过一系列计算得到若干Canopy，Canopy之间可以是重叠的，但不会存在某个对象不属于任何Canopy的情况，可以把这一阶段看做数据预处理；

(2) 在各个Canopy内使用传统的聚类方法(如Kmeans)，不属于同一Canopy的对象之间不进行相似性计算。

从这个方法起码可以看出两点好处：首先，Canopy不要太大且Canopy之间重叠的不要太多的话会大大减少后续需要计算相似性的对象的个数；其次，类似于Kmeans这样的聚类方法是需要人为指出K的值的，通过(1)得到的Canopy个数完全可以作为这个k值，一定程度上减少了选择k的盲目性。

其他方法如贝叶斯信息准则方法(BIC)可参看文献[4]。

选择适当的初始质心是基本kmeans算法的关键步骤。常见的方法是随机的选取初始中心，但是这样簇的质量常常很差。处理选取初始质心问题的一种常用技术是：多次运行，每次使用一组不同的随机初始质心，然后选取具有最小SSE(误差的平方和)的簇集。这种策略简单，但是效果可能不好，这取决于数据集和寻找的簇的个数。

第二种有效的方法是，取一个样本，并使用层次聚类技术对它聚类。从层次聚类中提取kk个簇，并用这些簇的质心作为初始质心。该方法通常很有效，但仅对下列情况有效：(1)样本相对较小，例如数百到数千(层次聚类开销较大)；(2) kk相对于样本大小较小。

第三种选择初始质心的方法，随机地选择第一个点，或取所有点的质心作为第一个点。然后，对于每个后继初始质心，选择离已经选取过的初始质心最远的点。使用这种方法，确保了选择的初始质心不仅是随机的，而且是散开的。但是，这种方法可能选中离群点。此外，求离当前初始质心集最远的点开销也非常大。为了克服这个问题，通常该方法用于点样本。由于离群点很少(多了就不是离群点了)，它们多半不会在随机样本中出现。计算量也大幅减少。

第四种方法就是上面提到的canopy算法。

常用的距离度量方法包括：欧几里得距离和余弦相似度。两者都是评定个体间差异的大小的。

欧氏距离是最常见的距离度量，而余弦相似度则是最常见的相似度度量，很多的距离度量和相似度度量都是基于这两者的变形和衍生，所以下面重点比较下两者在衡量个体差异时实现方式和应用环境上的区别。

借助三维坐标系来看下欧氏距离和余弦相似度的区别：

从图上可以看出距离度量衡量的是空间各点间的绝对距离，跟各个点所在的位置坐标(即个体特征维度的数值)直接相关；而余弦相似度衡量的是空间向量的夹角，更加的是体现在方向上的差异，而不是位置。如果保持A点的位置不变，B点朝原方向远离坐标轴原点，那么这个时候余弦相似cosθ是保持不变的，因为夹角不变，而A、B两点的距离显然在发生改变，这就是欧氏距离和余弦相似度的不同之处。

根据欧氏距离和余弦相似度各自的计算方式和衡量特征，分别适用于不同的数据分析模型：欧氏距离能够体现个体数值特征的绝对差异，所以更多的用于需要从维度的数值大小中体现差异的分析，如使用用户行为指标分析用户价值的相似度或差异；而余弦相似度更多的是从方向上区分差异，而对绝对的数值不敏感，更多的用于使用用户对内容评分来区分用户兴趣的相似度和差异，同时修正了用户间可能存在的度量标准不统一的问题(因为余弦相似度对绝对数值不敏感)。

因为欧几里得距离度量会受指标不同单位刻度的影响，所以一般需要先进行标准化，同时距离越大，个体间差异越大；空间向量余弦夹角的相似度度量不会受指标刻度的影响，余弦值落于区间[-1,1]，值越大，差异越小。但是针对具体应用，什么情况下使用欧氏距离，什么情况下使用余弦相似度？

从几何意义上来说，n维向量空间的一条线段作为底边和原点组成的三角形，其顶角大小是不确定的。也就是说对于两条空间向量，即使两点距离一定，他们的夹角余弦值也可以随意变化。感性的认识，当两用户评分趋势一致时，但是评分值差距很大，余弦相似度倾向给出更优解。举个极端的例子，两用户只对两件商品评分，向量分别为(3,3)和(5,5)，这两位用户的认知其实是一样的，但是欧式距离给出的解显然没有余弦值合理。

我们把机器学习定义为对系统的设计和学习，通过对经验数据的学习，将任务效果的不断改善作为一个度量标准。Kmeans是一种非监督学习，没有标签和其他信息来比较聚类结果。但是，我们还是有一些指标可以评估算法的性能。我们已经介绍过类的畸变程度的度量方法。本节为将介绍另一种聚类算法效果评估方法称为轮廓系数(Silhouette Coefficient)。轮廓系数是类的密集与分散程度的评价指标。它会随着类的规模增大而增大。彼此相距很远，本身很密集的类，其轮廓系数较大，彼此集中，本身很大的类，其轮廓系数较小。轮廓系数是通过所有样本计算出来的，计算每个样本分数的均值，计算公式如下：

aa是每一个类中样本彼此距离的均值，bb是一个类中样本与其最近的那个类的所有样本的距离的均值。

输入：聚类个数k，数据集XmxnXmxn。

输出：满足方差最小标准的k个聚类。

(1) 选择k个初始中心点，例如c[0]=X[0] , … , c[k-1]=X[k-1]；

(2) 对于X[0]….X[n]，分别与c[0]…c[k-1]比较，假定与c[i]差值最少，就标记为i；

(3) 对于所有标记为i点，重新计算c[i]={ 所有标记为i的样本的每个特征的均值}；

(4) 重复(2)(3)，直到所有c[i]值的变化小于给定阈值或者达到最大迭代次数。

Kmeans的时间复杂度：O(tkmn)，空间复杂度：O((m+k)n)。其中，t为迭代次数，k为簇的数目，m为样本数，n为特征数。

7.1 优点

(1). 算法原理简单。需要调节的超参数就是一个k。

(2). 由具有出色的速度和良好的可扩展性。

7.2 缺点

(1). 在 Kmeans 算法中 kk 需要事先确定，这个 kk 值的选定有时候是比较难确定。

(2). 在 Kmeans 算法中，首先需要初始k个聚类中心，然后以此来确定一个初始划分，然后对初始划分进行优化。这个初始聚类中心的选择对聚类结果有较大的影响，一旦初始值选择的不好，可能无法得到有效的聚类结果。多设置一些不同的初值，对比最后的运算结果，一直到结果趋于稳定结束。

(3). 该算法需要不断地进行样本分类调整，不断地计算调整后的新的聚类中心，因此当数据量非常大时，算法的时间开销是非常大的。

(4). 对离群点很敏感。

(5). 从数据表示角度来说，在 Kmeans 中,我们用单个点来对 cluster 进行建模，这实际上是一种最简化的数据建模形式。这种用点来对 cluster 进行建模实际上就已经假设了各 cluster的数据是呈圆形(或者高维球形)或者方形等分布的。不能发现非凸形状的簇。但在实际生活中，很少能有这种情况。所以在 GMM 中，使用了一种更加一般的数据表示，也就是高斯分布。

(6). 从数据先验的角度来说，在 Kmeans 中,我们假设各个 cluster 的先验概率是一样的,但是各个 cluster 的数据量可能是不均匀的。举个例子,cluster A 中包含了10000个样本,cluster B 中只包含了100个。那么对于一个新的样本,在不考虑其与A cluster、 B cluster 相似度的情况,其属于 cluster A 的概率肯定是要大于 cluster B的。

(7). 在 Kmeans 中，通常采用欧氏距离来衡量样本与各个 cluster 的相似度。这种距离实际上假设了数据的各个维度对于相似度的衡量作用是一样的。但在 GMM 中，相似度的衡量使用的是后验概率 αcG(x|μc,∑c)αcG(x|μc,∑c) ，通过引入协方差矩阵,我们就可以对各维度数据的不同重要性进行建模。

(8). 在 Kmeans 中，各个样本点只属于与其相似度最高的那个 cluster ，这实际上是一种 hard clustering 。

针对Kmeans算法的缺点，很多前辈提出了一些改进的算法。例如 K-modes 算法，实现对离散数据的快速聚类，保留了Kmeans算法的效率同时将Kmeans的应用范围扩大到离散数据。还有K-Prototype算法，可以对离散与数值属性两种混合的数据进行聚类，在K-prototype中定义了一个对数值与离散属性都计算的相异性度量标准。当然还有其它的一些算法，这里我 就不一一列举了。

Kmeans 与 GMM 更像是一种 top-down 的思想，它们首先要解决的问题是，确定 cluster 数量，也就是 k 的取值。在确定了 k 后,再来进行数据的聚类。而 hierarchical clustering 则是一种 bottom-up 的形式，先有数据，然后通过不断选取最相似的数据进行聚类。

Ⅵ 吉他高把位和弦推算法

根据十二个调之间的半音关系，相邻两个和弦之间差半音（对应在吉他上就是一个品格）；
那么，根据低把位的和弦指法就能推出高把位的；
举个例子，比如低把位的C和弦，整体向高把位移动一个品格就得到了C#和弦，但是没按住的空弦理应也升高一个格，因此需要用一个大横按放在一品（就是相当于把琴头向高位移动了一格）；
那么，以此类推，理论上所有低把位的指法都可以推算出任意位置的和弦；
但是，许多指法无法实现在按下的同时再加上大横按；
因此，经验规律总结出常用的、比较容易按的一些指法；
比如：大三和弦：由F和弦指法推导出的各种高把位指法；（或者由B和弦推导）（其实F和弦是由E和弦推导出来的）
小三和弦：由Bm和弦指法推倒出的高把位指法；（或者由Fm）（其实Bm是由Am推导来的）

大七和弦：由F7或者B7推导

小七和弦：由Bm7或者Fm7推导
另外：其实许多低把位的和弦可以直接按在高把位上（需要按住4-5根弦的都可以），只要不弹奏没按住的音就可以了，比如C7和弦、A7和弦等等

给你个网址吧，和弦很全的
http://www.ijita.com/tool/chord/
纯手打，望采纳，不明白之处追问即可~~

Ⅶ sin30度是多少 正弦值的算法

1、sin30度是1/2。

2、要知道正弦（sin）是数学术语，在直角三角形中，任意一锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA=∠A的对边/斜边。sin是正弦，对边比斜边，0度角对应的对边长度就是0，而90度对边就是斜边，所以sin90=1，所以以此类推sin30=1/2。

Ⅷ 倒角度数算法

正弦sin =对边除以斜边。

余弦COS=邻边除以斜边。

正切Tan=对边除以邻边

对边=斜边乘以正弦Sin

对边=邻边乘以正切tan

邻边=斜边乘以余弦COS

邻边=对边除以正切sin

斜边=对边除以正弦sin

斜边=邻边除以余弦cos

正弦，余弦，正切他们都是度数。多少度换算成数字是在计算器上按多少度后在按对应的符号就出来了。正弦对应的是SiN，余弦对应的是COS，正切对应的是tan.

例如：已知斜边是20，角度35度，求对边和邻边是多少？

解：对边=斜边乘以正弦sin =斜边20乘以正弦sin度数。度数35度在计算器上35度等于0.57356，所以对边等于20乘以0.57356等于11.471，

如果C1或者R1，那么就是单边，倒角是求双边的所以要乘以2，X轴，Z轴是不要乘

平行与Z轴的公式：锥度长度=（大端-小端）除以2在除以tan1/2a度数

平行Z轴的度数：大端=（锥度长度乘以tan1/2a乘以2）加上小端

平行Z轴的度数：小端=（大端-锥度长度乘以tan1/2a乘以2）

平行Z轴的度数：锥度长度=（大端—小端）除以2在除以tan1/2a

平行Z轴的度数：tanA度=【（大端-小端）除以2除以锥度长度】乘以2

说明：1锥度:锥度是指圆锥的底面直径大端或小端与锥体高度之比。

2勾股定理必须有一角为90度，任何一个角都是180度

3:锐角：指大于0度而小于90度的直角

4钝角：比90度大的角叫钝角三角形

5:C1就是45度角，就是X2MM Z轴1MM

6:R1是圆角，就是X2MM，Z轴1MM

7:垂直于X轴的度数：（大头-小头）除以 2乘以度数=Z轴的长度。

垂直于X轴的度数：大端=（锥度长度乘以2）除以度数tan+小端。

垂直于X轴的度数：小端=大端-锥度长度乘以2在除以度数。

锥度：锥度

1:已知锥度1:12，小端直径22，锥度长度50，那么大端直径是多少？
公式：大端=小端+锥度比乘以长度。
所以大端等于22+（1/12）乘以50=26.166

2:已知锥度a/2=4度5分8秒，小端直径35，锥度长度70，那么大端直径是多少？
公式：因为已知a/2=4度5分8秒，要换算成度数后找出正切tan，因为1度等于60分，1分等于60秒。那么8秒除以60等于0.1333分，那么5分加上0.1333分等于5.1333分，在除以60等于0.0855度。那么4度加上0.0855度=4.0855度，换算Tan等于0.7142。
那么公式：大端直径=小端直径+（锥度长度乘以度数换算的数0.7142）乘以2。等于44.9997。

3:已知圆锥孔锥度比是1:10，锥度长30，锥度大端是24，那么小端是多少。
公式：小端直径=大端-锥度比乘以长度
小端=24-（1/10）乘以30=24-3=21

4:已知锥度大端19，锥度小端18，锥度长度20，那么锥度比是多少？
公式：（大端-小端）/锥度长度。C=1:20

5:已知锥度大端50，锥度小端30，a/2锥度角9度27分44秒，求L长度。
所以9度27分44秒，那么要把度数换算成Tan正弦算，44秒除以60等于0.733分，27分加上0.7333分等于27.733分，除以60，等于0.462度在加上9度等于9.462度，换算正弦等于0.16666。那么他的锥度长度L=（50-30）/（2乘以0.1666）等于60。

Ⅸ 常见的相似度度量算法

本文目录：

  定义在两个向量（两个点）上：点x和点y的欧式距离为：

  常利用欧几里得距离描述相似度时，需要取倒数归一化，sim = 1.0/(1.0+distance)，利用numpy实现如下：

python实现欧式距离

  从名字就可以猜出这种距离的计算方法了。想象你在曼哈顿要从一个十字路口开车到另外一个十字路口，驾驶距离是两点间的直线距离吗？显然不是，除非你能穿越大楼。实际驾驶距离就是这个“曼哈顿距离”。而这也是曼哈顿距离名称的来源， 曼哈顿距离也称为城市街区距离(City Block distance)。

  (1)二维平面两点a(x1,y1)与b(x2,y2)间的曼哈顿距离

  (2)两个n维向量a(x11,x12,…,x1n)与 b(x21,x22,…,x2n)间的曼哈顿距离

   python实现曼哈顿距离：

  国际象棋玩过么？国王走一步能够移动到相邻的8个方格中的任意一个。那么国王从格子(x1,y1)走到格子(x2,y2)最少需要多少步？自己走走试试。你会发现最少步数总是max( | x2-x1 | , | y2-y1 | ) 步 。有一种类似的一种距离度量方法叫切比雪夫距离。

  (1)二维平面两点a(x1,y1)与b(x2,y2)间的切比雪夫距离

  (2)两个n维向量a(x11,x12,…,x1n)与 b(x21,x22,…,x2n)间的切比雪夫距离

   python实现切比雪夫距离：

  闵氏距离不是一种距离，而是一组距离的定义。

  两个n维变量a(x11,x12,…,x1n)与 b(x21,x22,…,x2n)间的闵可夫斯基距离定义为：

  其中p是一个变参数。

  当p=1时，就是曼哈顿距离

  当p=2时，就是欧氏距离

  当p→∞时，就是切比雪夫距离

  根据变参数的不同，闵氏距离可以表示一类的距离。

  闵氏距离，包括曼哈顿距离、欧氏距离和切比雪夫距离都存在明显的缺点。

  举个例子：二维样本(身高,体重)，其中身高范围是150 190，体重范围是50 60，有三个样本：a(180,50)，b(190,50)，c(180,60)。那么a与b之间的闵氏距离（无论是曼哈顿距离、欧氏距离或切比雪夫距离）等于a与c之间的闵氏距离，但是身高的10cm真的等价于体重的10kg么？因此用闵氏距离来衡量这些样本间的相似度很有问题。

  简单说来，闵氏距离的缺点主要有两个：

  (1)将各个分量的量纲(scale)，也就是“单位”当作相同的看待了。

  (2)没有考虑各个分量的分布（期望，方差等)可能是不同的。

  标准欧氏距离的定义

  标准化欧氏距离是针对简单欧氏距离的缺点而作的一种改进方案。标准欧氏距离的思路：既然数据各维分量的分布不一样，好吧！那我先将各个分量都“标准化”到均值、方差相等吧。均值和方差标准化到多少呢？这里先复习点统计学知识吧，假设样本集X的均值(mean)为m，标准差(standard deviation)为s，那么X的“标准化变量”表示为：

  而且标准化变量的数学期望为0，方差为1。因此样本集的标准化过程(standardization)用公式描述就是：

  标准化后的值 = ( 标准化前的值 － 分量的均值 ) /分量的标准差

  经过简单的推导就可以得到两个n维向量a(x11,x12,…,x1n)与 b(x21,x22,…,x2n)间的标准化欧氏距离的公式：

  如果将方差的倒数看成是一个权重，这个公式可以看成是一种加权欧氏距离(Weighted Euclidean distance)。

  有M个样本向量X1~Xm，协方差矩阵记为S，均值记为向量μ，则其中样本向量X到u的马氏距离表示为：

  而其中向量Xi与Xj之间的马氏距离定义为：

  若协方差矩阵是单位矩阵（各个样本向量之间独立同分布）,则公式就成了：

  也就是欧氏距离了。

  若协方差矩阵是对角矩阵，公式变成了标准化欧氏距离。

  马氏距离的优缺点：量纲无关，排除变量之间的相关性的干扰。

  几何中夹角余弦可用来衡量两个向量方向的差异，机器学习中借用这一概念来衡量样本向量之间的差异。

  在二维空间中向量A(x1,y1)与向量B(x2,y2)的夹角余弦公式：

  两个n维样本点a(x11,x12,…,x1n)和b(x21,x22,…,x2n)的夹角余弦

  类似的，对于两个n维样本点a(x11,x12,…,x1n)和b(x21,x22,…,x2n)，可以使用类似于夹角余弦的概念来衡量它们间的相似程度。

  即：

  夹角余弦取值范围为[-1,1]。夹角余弦越大表示两个向量的夹角越小，夹角余弦越小表示两向量的夹角越大。当两个向量的方向重合时夹角余弦取最大值1，当两个向量的方向完全相反夹角余弦取最小值-1。

python实现余弦相似度：

  两个等长字符串s1与s2之间的汉明距离定义为将其中一个变为另外一个所需要作的最小替换次数。例如字符串“1111”与“1001”之间的汉明距离为2。

  应用：信息编码（为了增强容错性，应使得编码间的最小汉明距离尽可能大）。

python实现汉明距离：

  两个集合A和B的交集元素在A，B的并集中所占的比例，称为两个集合的杰卡德相似系数，用符号J(A,B)表示。

  杰卡德相似系数是衡量两个集合的相似度一种指标。

  与杰卡德相似系数相反的概念是杰卡德距离(Jaccard distance)。杰卡德距离可用如下公式表示：

  杰卡德距离用两个集合中不同元素占所有元素的比例来衡量两个集合的区分度。

  可将杰卡德相似系数用在衡量样本的相似度上。

  样本A与样本B是两个n维向量，而且所有维度的取值都是0或1。例如：A(0111)和B(1011)。我们将样本看成是一个集合，1表示集合包含该元素，0表示集合不包含该元素。

  p ：样本A与B都是1的维度的个数

  q ：样本A是1，样本B是0的维度的个数

  r ：样本A是0，样本B是1的维度的个数

  s ：样本A与B都是0的维度的个数

  这里p+q+r可理解为A与B的并集的元素个数，而p是A与B的交集的元素个数。

  而样本A与B的杰卡德距离表示为：

  皮尔逊相关系数即为相关系数 ( Correlation coefficient )与相关距离(Correlation distance)

  相关系数的定义

  相关系数是衡量随机变量X与Y相关程度的一种方法，相关系数的取值范围是[-1,1]。相关系数的绝对值越大，则表明X与Y相关度越高。当X与Y线性相关时，相关系数取值为1（正线性相关）或-1（负线性相关）。

1. 机器学习中的相似性度量

2. 推荐算法入门（1）相似度计算方法大全

3. Python Numpy计算各类距离

4. 皮尔逊积矩相关系数

Ⅹ 音频算法入门-傅里叶变换

    上一篇文章中讲了一个时域处理的算法wsola，接下来会学习频域处理算法，在这之前必须得对频域有所了解，这就不得不提傅里叶变换了，本文的目的是让大家学会用傅里叶变换公式和傅里叶逆变换公式进行计算。数学公式是人们对世界中的现象的描述，我们学习数学公式也不该只停留在使用公式来解决问题的层次，得明白公式到底在描述什么现象，从这些天才数学家的角度来看世界。懂的地方可跳过。项目地址在文章末尾给出。

   我直接说结论，傅里叶级数公式包含了傅里叶变换和傅里叶逆变换（不严谨的说就是这么回事）。
    先简单说下具体关系，法国数学家傅里叶发现，任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示，这种表示方式就是傅里叶级数。假如有个波形比较复杂的周期函数，那么找出能用来构成这个周期函数的正弦函数和余弦函数的频率的方法就叫做傅里叶变换，用这些频率的正弦函数和余弦函数叠加起来表示这个周期函数的方法就叫做傅里叶逆变换。
    再从公式中看下他们的关系，首先介绍傅里叶级数到底是什么，首先级数是指将数列的项依次用加号连接起来的函数。这么说可能大家还不理解，举个例子：e^x=1+x/1!+x^2/2!+...x^n/n!....，等号左边是指数函数，等号右边就是级数。傅里叶级数公式如下：

    我们主要看这个指数形式的傅里叶级数公式，把求和符号去掉，展开一下就是f(t)=Fa*e^jaω0t+Fb*e^jbω0t+Fc*e^jcω0t+Fd*e^jdω0.....。现在看下面的周期函数叠加效果图，图中显示的是3个周期函数分别在坐标轴（横轴时间，纵轴幅度）的图像，写成傅里叶级数形式就是f(t)=fa(t)+fb(t)+0+0....，这就是傅里叶级数公式要描述的现象。其中Fa*e^jaω0t=fa(t),Fb*e^jbω0t=fb(t),Fc*e^jcω0t=0....。

    看下图的傅里叶变换和逆变换公式，你会发现傅里叶逆变换公式和傅里叶级数公式极其相似，而傅里叶级数系数公式Fn又和傅里叶变换公式极其相似。所以对一个周期函数进行傅里叶级数展开的过程可以认为是先做傅里叶变换再做傅里叶逆变换的过程。

    上图就是傅里叶变换公式也叫连续傅里叶变换公式，有个很重要的事情，就是傅里叶变换公式和逆变换公式一定要一起给出，不然就会让人误解，你们在网上会看到各种各样的写法，但这些写法都是对的，常见的如下图所示。

    为了方便后面的讲解我把角频率ω换成2πf，如上图所示，ω是希腊字母读作Omega，大写是Ω，小写是ω，以后这两个字母会经常看到，都是等于2πf。不要和电学中的电阻单位搞混了，要明白字母只不过是一个符号而已，在不同学科领域都是混着用的，只要不和自己公式中其他字母冲突就行，例如上图傅里叶变换公式中的j其实就是虚数单位i，一般时候我们会把虚数单位写成i，但因为傅立叶变换经常用于电学解决一些问题，为了不和电流符号i混淆，所以公式就把i写成j 。
    要想了解傅里叶变换公式，首先要了解欧拉公式e^ix=cosx+isinx在图像中的含义。以实部的值cosx作为横坐标值，虚部sinx的值作为纵坐标值，x的取值从负无穷到正无穷，画出所有的e^ix点后，你会发现这些点会形成一个周期为2π的圆。如下图1所示（如果不理解，建议看3Blue1Brown的视频，视频连接：https://www.bilibili.com/video/BV1pW411J7s8）

    所以欧拉公式e^ix其实就是随着x的增大而在坐标系上逆时针画圆的过程，那么e^-ix就表示顺时针画圆，e^-i2πx就表示画圆的速度提高2π倍，也就是说x从0到1的过程就是顺时针画出一个完整圆的过程（当然x从1到2或者2到3等等，都能画出一个完整的圆），把x换成t后，e^-i2πt表示每秒都会顺时针画出一个圆。e^-i2πft表示每秒都会顺时针画出f个圆。f(t)表示t时刻的振幅，f(t)函数画出来就是时域波形图。f(t)*e^-i2πft表示每经过1秒会顺时针画出f个圆，并在画圆的同时，t时刻的圆半径要乘上t时刻的振幅，其实就是以每秒的音频振幅数据绕f圈的速度进行旋转缠绕（为了方便理解，没有用复杂的音频数据，用的是一个频率为3的正弦波音频做的实验，请看下图2，图的上半部分是时域波形图，图的左下角是f等于0.4的时候，用公式f(t)*e^-i2πft在实部和虚部构成的坐标系画的图，图的右下角是频谱图，频谱图的横坐标是频率，纵坐标是振幅，振幅的值就是左下角图中数据形成的图案的质心（图中的红点）到坐标系原点的距离的2倍）。当改变f的值，你会发现数据大多数时候是和我们想的一样，以坐标系原点为圆心环绕着，也就是振幅一直都是0，但是当f的值，也就每秒的圈数等于该音频数据的频率时，你会发现一个神奇的现象，那就是所有的数据会在实部或虚部坐标轴的一侧形成一个圆（如下图3所示，如此一来就知道这段音频数据包含了一个频率为3振幅为0.5的正弦波）。所以将多个正弦波叠加的音频数据用傅里叶公式，f从负无穷到正无穷遍历一遍，就可以把这个音频数据里包含的正弦波都一一找出来。（如果不理解，建议看3Blue1Brown的视频，视频连接：https://www.bilibili.com/video/BV1pW411J7s8）

    平时我们说的对音频进行傅里叶变换处理，其实说的是短时离散傅里叶变换。短时离散傅里叶变换的公式（也可以直接叫做离散傅里叶变换公式）如下。

    下面将教大家如何理解这个公式。上面说的连续傅里叶变换公式中有两个原因导致我们无法使用，第一点要求是音频数据的时间从负无穷到正无穷，第二点要求是任意时间t都要有幅度值x(t)才能代入公式进行计算。所以为了解决这两个问题，把公式变为短时且离散的傅里叶变换公式，这个公式可以把一段时间（时间假设为Ts秒）的离散音频数据（有N个采样数据）进行傅里叶变换。你可以把离散傅里叶变换公式理解成连续傅里叶变换的变形，最重要的一点是连续傅里叶变换公式的f和离散傅里叶变换公式的k不是一个意思，他们的关系是k=f*Ts。所以离散傅里叶变换公式也可以写成F(f)=1/n*∑f(t)*e^-j2πf*Ts*n/N，其中的Ts*n/N对应的就是连续傅里叶变换公式的t，只不过这个t没办法取任意时间了，t的取值也就随着n的取值成为了离散的时间点，所以前面的系数由1/2π变为1/N。这样这两个公式就对应起来了。下面将进一步详细介绍这个公式。
    上一段说了k=f*Ts，这段我来解释下为什么，其实离散傅里叶变换公式中k表示的是这段Ts秒的音频数据环绕坐标系原点的圈数，所以k并不是连续傅里叶变换公式里的频率f，而频率f指的是1秒钟震荡的次数，在这个公式中频率f也对应着1秒的音频数据环绕的圈数，所以真正的频率f=k/Ts。
    有人可能会好奇，那为什么不把离散傅里叶变换公式的自变量k换成f呢，这样不是更好理解吗？是会更好理解，但是没有必要，用f的话还要做一次无用的换算。因为采样点只有N个的原因，k的取值范围就被限制住了，k的取值范围只能是0~N-1的整数，这也是为什么用k来做自变量而不是用f的原因。
    还有人可能会好奇，傅里叶逆变换到底是怎么把频域的信息还原回时域的，其实公式计算出来的F(k)是一个复数，这个复数包含了这个频率的周期函数的振幅和相位的信息，假设F(k)=a+ib，，F(k)的模|F(k)|=(a^2+b^2)^1/2，频率f=k/Ts时的振幅为|F(k)|*2（因为求出来的值相当于圆心，但实际上振幅是圆离圆心最远点到坐标原点的距离，所以要乘2），频率f=k/Ts时的相位为arctan(b/a)。所以如果你知道一个周期函数包含了哪些频率的周期函数，并且你这到这些周期函数的振幅和相位，你就可以像下图一样把fa(t)和fb(t)叠加在一起还原回f(t)。傅里叶逆变换的做法略有不同，但意思就是这么个意思，理解了离散傅里叶变换公式的计算，逆变换其实也是差不多代入数值计算就是了。（如果不理解怎么用离散傅里叶变换公式计算，建议看视频，视频里有离散傅里叶变换完整的计算过程，视频连接：https://www.hu.com/zvideo/1276595628009377792）

快速傅里叶变换推荐看下面两个视频
https://www.bilibili.com/video/BV1za411F76U
https://www.bilibili.com/video/BV1Jh411d7CN
下面是我用java实现的离散傅里叶变换及逆变换和快速傅里叶变换及逆变换，从他们的运行时间就可以看出来快速傅里叶变换快得多。（学完快速傅里叶变换再想想频谱为何Y轴对称？为何N/2对称？）