aks算法

A. 如何知道一个很大的数是不是素数

高速判断用 miller-rabin算法或者 aks 算法

1.约定

x%y为x取模y，即x除以y所得的余数，当x<y时，x%y=x，所有取模的运算对象都为整数。
x^y表示x的y次方。乘方运算的优先级高于乘除和取模，加减的优先级最低。
见到x^y/z这样，就先算乘方，再算除法。
A/B，称为A除以B，也称为B除A。
若A%B=0，即称为A可以被B整除，也称B可以整除A。
A*B表示A乘以B或称A乘B，B乘A，B乘以A……都一样。

2.费马小定理：

有N为任意正整数，P为素数，且N不能被P整除（显然N和P互质），则有：N^P%P=N(即：N的P次方除以P的余数是N)。

但是我查了很多资料见到的公式都是这个样子：

(N^(P-1))%P=1后来分析了一下，两个式子其实是一样的，可以互相变形得到。

原式可化为：(N^P-N)%P=0(即：N的P次方减N可以被P整除，因为由费马小定理知道N的P次方除以P的余数是N)把N提出来一个，N^P就成了你N*(N^(P-1))，那么(N^P-N)%P=0可化为：

(N*(N^(P-1)-1))%P=0
请注意上式，含义是：N*(N^(P-1)-1)可以被P整除

又因为N*(N^(P-1)-1)必能整除N（这不费话么!）
所以，N*(N^(P-1)-1)是N和P的公倍数，小学知识了^_^

又因为前提是N与P互质，而互质数的最小公倍数为它们的乘积，所以一定存在

正整数M使得等式成立：N*(N^(P-1)-1)=M*N*P
两边约去N，化简之：N^(P-1)-1=M*P
因为M是整数，显然：N^(P-1)-1)%P=0即：N^(P-1)%P=1

2.费马小定理：

有N为任意正整数，P为素数，且N不能被P整除（显然N和P互质），则有：N^P%P=N(即：N的P次方除以P的余数是N)。

但是我查了很多资料见到的公式都是这个样子：

(N^(P-1))%P=1后来分析了一下，两个式子其实是一样的，可以互相变形得到。

原式可化为：(N^P-N)%P=0(即：N的P次方减N可以被P整除，因为由费马小定理知道N的P次方除以P的余数是N)把N提出来一个，N^P就成了你N*(N^(P-1))，那么(N^P-N)%P=0可化为：

(N*(N^(P-1)-1))%P=0
请注意上式，含义是：N*(N^(P-1)-1)可以被P整除

又因为N*(N^(P-1)-1)必能整除N（这不费话么!）
所以，N*(N^(P-1)-1)是N和P的公倍数，小学知识了^_^

又因为前提是N与P互质，而互质数的最小公倍数为它们的乘积，所以一定存在

正整数M使得等式成立：N*(N^(P-1)-1)=M*N*P
两边约去N，化简之：N^(P-1)-1=M*P
因为M是整数，显然：N^(P-1)-1)%P=0即：N^(P-1)%P=1

2.费马小定理：

有N为任意正整数，P为素数，且N不能被P整除（显然N和P互质），则有：N^P%P=N(即：N的P次方除以P的余数是N)。

但是我查了很多资料见到的公式都是这个样子：

(N^(P-1))%P=1后来分析了一下，两个式子其实是一样的，可以互相变形得到。

原式可化为：(N^P-N)%P=0(即：N的P次方减N可以被P整除，因为由费马小定理知道N的P次方除以P的余数是N)把N提出来一个，N^P就成了你N*(N^(P-1))，那么(N^P-N)%P=0可化为：

(N*(N^(P-1)-1))%P=0
请注意上式，含义是：N*(N^(P-1)-1)可以被P整除

又因为N*(N^(P-1)-1)必能整除N（这不费话么!）
所以，N*(N^(P-1)-1)是N和P的公倍数，小学知识了^_^

又因为前提是N与P互质，而互质数的最小公倍数为它们的乘积，所以一定存在

正整数M使得等式成立：N*(N^(P-1)-1)=M*N*P
两边约去N，化简之：N^(P-1)-1=M*P
因为M是整数，显然：N^(P-1)-1)%P=0即：N^(P-1)%P=1

3.积模分解公式

先有一个引理，如果有：X%Z=0，即X能被Z整除，则有：(X+Y)%Z=Y%Z
设有X、Y和Z三个正整数，则必有：(X*Y)%Z=((X%Z)*(Y%Z))%Z

想了很长时间才证出来，要分情况讨论才行：

1.当X和Y都比Z大时，必有整数A和B使下面的等式成立：
X=Z*I+A（1）
Y=Z*J+B（2）
不用多说了吧，这是除模运算的性质！
将（1）和（2）代入(X*Y)modZ得：((Z*I+A)(Z*J+B))%Z乘开，再把前三项的Z提一个出来，变形为：(Z*(Z*I*J+I*A+I*B)+A*B)%Z（3）

因为Z*(Z*I*J+I*A+I*B)是Z的整数倍……晕，又来了。
概据引理，（3）式可化简为：(A*B)%Z又因为：A=X%Z，B=Y%Z，代入上面的式子，就成了原式了。

2.当X比Z大而Y比Z小时，一样的转化：
X=Z*I+A
代入(X*Y)%Z得：
(Z*I*Y+A*Y)%Z
根据引理，转化得：(A*Y)%Z
因为A=X%Z，又因为Y=Y%Z，代入上式，即得到原式。
同理，当X比Z小而Y比Z大时，原式也成立。

3.当X比Z小，且Y也比Z小时，X=X%Z，Y=Y%Z，所以原式成立。
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4.快速计算乘方的算法

如计算2^13，则传统做法需要进行12次乘法。

[cpp] view plainprint?

1. /*计算n^p*/
2. unsigned power(unsigned n,unsigned p)
3. {
4. for(int i=0;i<p;i++) n*=n;
5. return n;
6. }

/*计算n^p*/
unsignedpower(unsignedn,unsignedp)
{
for(inti=0;i<p;i++)n*=n;
returnn;
}

该死的乘法，是时候优化一下了！把2*2的结果保存起来看看，是不是成了：

4*4*4*4*4*4*2
再把4*4的结果保存起来：16*16*16*2
一共5次运算，分别是2*2、4*4和16*16*16*2

这样分析，我们算法因该是只需要计算一半都不到的乘法了。
为了讲清这个算法，再举一个例子2^7：2*2*2*2*2*2*2
两两分开：(2*2)*(2*2)*(2*2)*2
如果用2*2来计算，那么指数就可以除以2了，不过剩了一个，稍后再单独乘上它。

再次两两分开，指数除以2： ((2*2)*(2*2))*(2*2)*2
实际上最后一个括号里的2 * 2是这回又剩下的，那么，稍后再单独乘上它 现在指数已经为1了，可以计算最终结果了：16*4*2=128