线性方程组求解算法

1. 线性方程组的解法

高斯消元法（Gaussian Elimination）这种算法，最早记录于中国的《九章算术》。对于欧洲而言，则是牛顿最早发现了此种方法。不过直到高斯于1810年的发明，此算法才被广为接受。故而该算法在数学界被称为高斯消元法。

高斯消元法的核心包括三点。

（1）方程组中两个方程的位置互换，方程的解不变

（2）方程组中的某个方程乘以非零数 k，方程的解不变

（3）方程组的某个方程乘以非零数 k，加上另一个方程，方程的解不变

我们将这三种变换，称为线性方程组的变换。当然，变换的目的是为了消元（消减方程组中某些方程中未知数的个数），以达到最终求解方程组的目标，而不是无意识的随机变换。比如线性方程组：

2. 线性方程组的解有哪些规律

D1就是把D中的第1列的数, 换成方程组等号右边的数。

D2就是把D中的第2列的数, 换成方程组等号右边的数。

克莱姆法则：是将方程组等式右侧的向量，替换到系数矩阵的第几行，得到新的行列式。

假若有n个未知数，n个方程组成的方程组： 克莱姆法则

a11X1+a12X2+．．．+a1nXn = b1

a21X1+a22X2+．．．+a2nXn = b2

an1X1+an2X2+．．．+annXn = bn

(2)线性方程组求解算法扩展阅读：

一般来说，用克莱姆法则求线性方程组的解时，计算量是比较大的。使用克莱姆法则求线性方程组的解的算法时间复杂度依赖于矩阵行列式的算法复杂度O(f(n))，其复杂度为O(n·f(n))，一般没有计算价值，复杂度太高。. 对具体的数字线性方程组，当未知数较多时往往可用计算机来求解。用计算机求解线性方程组目前已经有了一整套成熟的方法。

3. 怎样用LU分解法解线性方程组

Ax=B，改写成Ly=B，Ux=y的方程组。就相当于将A=LU分解成了两个矩阵。称为矩阵A的三角分解，或LU分解。如果L为单位下三角阵，则叫Doolittle分解，若U为单位上三角阵，则叫Crout分解。只要A的各顺序主子式不为零，则A可唯一分解成一个单位下三角阵L与一个上三角阵U的乘积。

•设Ax=b，A=LU，则Ax=LUx=b

于是令Ux=y，则Ly=b

这样原来方程能化为两个简单方程组

在线性代数中， LU分解(LU Decomposition)是矩阵分解的一种，可以将一个矩阵分解为一个单位下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积（有时是它们和一个置换矩阵的乘积）。LU分解主要应用在数值分析中，用来解线性方程、求反矩阵或计算行列式。

(3)线性方程组求解算法扩展阅读：

相关算法：

LU分解在本质上是高斯消元法的一种表达形式。实质上是将A通过初等行变换变成一个上三角矩阵，其变换矩阵就是一个单位下三角矩阵。

这正是所谓的杜尔里特算法：从下至上地对矩阵A做初等行变换，将对角线左下方的元素变成零，然后再证明这些行变换的效果等同于左乘一系列单位下三角矩阵，这一系列单位下三角矩阵的乘积的逆就是L矩阵，它也是一个单位下三角矩阵。这类算法的复杂度一般在(三分之二的n三次方) 左右。

4. 高斯消元法解线性方程组

高斯消元法解线性方程组如下：

高斯消元法，是线性代数中求解线性方程组的一种算法。它通常被理解为在相应的系数矩阵上执行的一系列操作。要对矩阵执行行缩减，可以使用一系列基本行操作修改矩阵，直到矩阵的左下角尽可能地用零填充。

基本行操作有三种类型:

交换两行

将一行乘以一个非零数字

将一行的倍数添加到另一行

运用以上方法作，一个矩阵总是可以被转换成一个上三角矩阵，实际上是一个行阶梯形。一旦所有的主系数(每一行中最左边的非零项)都为1，并且包含主系数的每一列在其他地方都为零，这个矩阵就称为行简化阶梯形。最终的形式是独特的;换句话说，它与所使用的行操作序列无关。

例如，在接下来的行运算序列中(每一步可能进行多个初等运算)，第三和第四个矩阵是行简化阶梯形矩阵，最终的矩阵是唯一的行简化阶梯形矩阵。

一旦y也从第三行中删除，结果是三角形形式的线性方程组，因此算法的第一部分完成。从计算的角度来看，以相反的顺序求解变量更快，这一过程被称为反向替换。人们看到的解决办法是z= 1,y= 3，和x= 2。所以原始方程组有唯一的解。

第二列描述了刚刚执行了哪些行操作。所以第一步x从...中消除L2通过添加 3 / 2 L一到L2。接下来，x从...中消除L3通过添加L一到L3。