最近最短算法

① 直观理解：单源点最短路径——Dijkstra算法

  Dijkstra算法是由荷兰计算机科学家 Edsger Wybe Dijkstra于1959年提出的单源点最短路径算法（SSSP:Single Souce Shortest Path）。是一个解决加权图（不含负权重的边）中从一个顶点到其余各个顶点最短路径问题的算法。Dijkstra算法是一个集 贪心算法 ， 广度优先搜索（BFS） 和 动态规划 于一身的最短路径算法。Dijkstra算法的主要特点是从起源点开始，采用贪心算法的策略，每次遍历到始点距离最近且未访问过的顶点的邻接顶点，直到扩展到终点为止。
  Dijkstra算法通过维护两个集合： (已求出最短路径的顶点)和 （未求出最短路径的顶点），每次迭代地从 中移除路径距离最小的点到集合 中，并通过这个新移入的点来更新 中各个顶点到源点的最短路径，直到集合 为空。下面我们通过一个例子来简单描述Dijkstra算法的过程。
  假设我们有如下的图，其中顶点A未此次算法的起点：

  首先我们需要初始化两个集合 和 ，以及 中每个顶点到源点的距离，若不直接于A相邻，结果置为正无穷∞。

   Step 1： 从集合 中挑选出距离最小的点，这里会挑选出顶点F，集合 和 变更为： ， ，根据最新的 ，重新计算 中顶点到源点A的最短距离。

   Step 2:： 从集合 中挑选出距离最小的点，这里会挑选出顶点E，集合 和 变更为： ， ，根据最新的 ，重新计算 中顶点到源点A的最短距离。

   Step 3： 从集合 中挑选出距离最小的点，这里会挑选出顶点C，集合 和 变更为： ， ，根据最新的 ，重新计算 中顶点到源点A的最短距离。

   Step 4： 从集合 中挑选出距离最小的点，这里会挑选出顶点D，集合 和 变更为： ， ，根据最新的 ，重新计算 中顶点到源点A的最短距离。

   Step 5： 从集合 中挑选出距离最小的点，这里会挑选出顶点B，集合 和 变更为： ， ，根据最新的 ，重新计算 中顶点到源点A的最短距离。

   Step 6： 从集合 中挑选出距离最小的点，这里会挑选出顶点G，集合 和 变更为： ， ，由于集合 为空，算法停止迭代，输出结果。

  以上就是对Dijkstra算法的计算过程的简单描述。

② 弗洛伊德算法求出最短距离

（1）利用二维数组dist[i][j]记录当前vi到vj的最短路径长度，数组dist的初值等于图的带权邻接矩阵;

（3）依次向S中加入v0,v1…vn-1，每加入一个顶点，蠢脊对dist[i][j]进行一次修正：设S={v0,v1…vk-1}，加入vk，则dist(k)[i][j]=min{dist(k-1)[i][j]，dist(k-1)[i][k]+dist(k-1)[k][j]}。

dist(k)[i][j]的含义：允许中间顶点的笑迹序号最大为k时从vi到vj的最短路径长度。
dist(n-1)[i][j]就是vi到vj的最短路径长度。

弗洛伊德最短距离算法（FloydShortestPathAlgorithm）又称为插点法，是一种利用动态规划的思想寻找给定的加权图中多源点之间最短路径的算法。该算法名称以创始人之一、1978年图灵奖获得者、斯坦福大学计算机科学系教授罗伯特·弗洛伊德命名。
中文名弗洛伊德最短距离算法
外文名FloydShortestPathAlgorithm
所属学科IT
所属领域程序设计
简介
最短路问题是网络最优化中一个基本而又非常重要的问题，这一问题相对比较简单，在实际生产和生活中经常遇到，许多的网络最优化问题可以化为最短路问题，或者用最短路算法作为其子程序.因此，最短路的用途已远远超出其表面意义迄今为止，所有最短路算法都只对不含负回路的网络有效，实际上对含有负回路的网络，其最短路问题是NP困难的，因此本研究所讨论的网络也不含负回路.此外，如果将无向图每条边用两条端点相同、方向相反的弧来代替，可以将其化为有向图，因而不讨论无向图.本研究中未述及的术语、记号。
Floyd算法是一种用于寻找给定加权图中顶点间最短路径的算法，以1978年图灵奖获得者斯坦福大学计算机科学系教授RobertW．Floyd命名。Floyd算法采用带升渗动态规划的原理计算两两顶点间最短路径，主要解决网络路由寻找最优路径的问题。

③ 最短路径算法（Dijkstra）

Dijkstra（ 迪科斯特拉 ）算法是用来解决单源最短路径的算法，要求路径权值非负数。该算法利用了深度优先搜索和贪心的算法。

下面是一个有权图，求从A到各个节点的最短路径。

第1步：从A点出发，判断每个点到A点的路径（如果该点不能直连A点则距离值为无穷大，如果该点能和A直连则是当前的权值），计算完之后把A点上色，结果如下图:

第2步：从除A点之外的点查找到距离A点最近的点C，从C点出发查找其邻近的节点（除去已上色的点），并重新计算C点的邻近点距离A点的值，如图中B点，若新值（C点到A点的值+C点到该点的路径）小于原值，则将值更新为5，同理更新D、E点。同时将C标记为已经处理过，如图所示涂色。

第3步：从上色的节点中查找距离A最近的B点，重复第3步操作。

第4步： 重复第3步，2步，直到所有的节点都上色。

最后就算出了从A点到所有点的最短距离。

leetcode 743题

④ 最短路径算法

最短路径的算法主要有三种：floyd算法、Dijkstra算法、Bellman-Ford(贝尔曼-福特)

一、floyd算法

基本思想如下：从任意节点A到任意节点B的最短路径不外乎2种可能，1是直接从A到B，2是从A经过若干个节点X到B。所以，我们假设Dis(AB)为节点A到节点B的最短路径的距离，对于每一个节点X，我们检查Dis(AX) + Dis(XB) < Dis(AB)是否成立，如果成立，证明从A到X再到B的路径比A直接到B的路径短，我们便设置Dis(AB) = Dis(AX) + Dis(XB)，这样一来，当我们遍历完所有节点X，Dis(AB)中记录的便是A到B的最短路径的距离。

三、Bellman-Ford(贝尔曼-福特)

算法的流程如下：

给定图G(V, E)（其中V、E分别为图G的顶点集与边集），源点s，

1.数组Distant[i]记录从源点s到顶点i的路径长度，初始化数组Distant[n]为, Distant[s]为0；

2.以下操作循环执行至多n-1次，n为顶点数：
对于每一条边e(u, v)，如果Distant[u] + w(u, v) < Distant[v]，则另Distant[v] = Distant[u]+w(u, v)。w(u, v)为边e(u,v)的权值；
若上述操作没有对Distant进行更新，说明最短路径已经查找完毕，或者部分点不可达，跳出循环。否则执行下次循环；

3.为了检测图中是否存在负环路，即权值之和小于0的环路。对于每一条边e(u, v)，如果存在Distant[u] + w(u, v) < Distant[v]的边，则图中存在负环路，即是说该图无法求出单源最短路径。否则数组Distant[n]中记录的就是源点s到各顶点的最短路径长度。

可知，Bellman-Ford算法寻找单源最短路径的时间复杂度为O(V*E).

⑤ 一静两动是如何求最短路径

一静两动是如何求最短路径的

1、采用Dijkstra算法：

Dijkstra算法是一种用于求解有向图中蚂握颤的最短路径的算法，它的主要思想是从一个顶点出发，每次寻找和当前顶点最近的邻接点，并将其加入到已经求出最短路径的顶点集合中，直到找到终点。

2、采用A*算法：

A*算法是一种启发式搜索算法，它是Dijkstra算法闷败的皮猜改进，它通过引入一个启发函数来提高搜索效率，启发函数通过估算每个顶点到终点的距离，来指导搜索的方向，从而使搜索更加有效。

⑥ 最短路径算法介绍 最短路径简介

1、从某顶点出发，沿图的边到达另一顶点所经过的路径中，各边上权值之和最小的一条路径叫做最短路径。解决最短路的问题有以下算法，Dijkstra算法，Bellman-Ford算法，Floyd算法和SPFA算法等。

2、定义：最短路烂渗径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点数陆之间的最短路径。算法具体的形式包括：确定起点的最短路径问题- 即已知起始结点，求最短路径的问题。适合使用Dijkstra算法。

3、确定饥毕脊终点的最短路径问题- 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题。在无向图中该问题与确定起点的问题完全等同，在有向图中该问题等同于把所有路径方向反转的确定起点的问题。

4、确定起点终点的最短路径问题- 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径。全局最短路径问题- 求图中所有的最短路径。适合使用Floyd-Warshall算法。