事件运算法则

❶ 概率运算性质

概率的性质与运算法则 1．（互不相容事件）加法公式 如果事件A与B互不相容，即AB=?，则 P（A＋B）＝P（A）＋P（B） 一般：如果事件A1、A2、 …、An互不相容，即 AiAj=?，i?j 则有 P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An) 证明：取An+1=An+2=…州尺基=?，由公理化性质(3) 直接得结论。 2． 对立事件公式 3. （事件之差）册谨减法公式 （1） 对任一事件A、B，有 P（A－B）＝P（A）－P（AB） （2）特别： 当B?A时 , 有 P（A－B）＝P（A）－P（B） 且P（A）≥P（B） 证明： （1）∵ A＝（A－B）＋AB， 且（A－B）∩（AB）＝?， 由性质1 知 P（A）＝P（ （A－B）＋AB） ＝P（A－B）＋P（AB） ∴ P（A－B）＝P（A）－P（AB） A B ? A+B A B ? A-B=A-AB AB B-A=B-AB B?A A-B AB=B （2） 当B?A时， AB=B， 故 P（A－B）＝P（A）－P（AB） ＝P（A）－P（B） 由公理性质1， P（A－B）?0，得 P（A）?P（B） 4． 一般加法公式 对于任意两个事件A、B，有 P（A＋B）＝P（A）＋P（B）－P（AB） 证明: ∵ A＋B＝A＋（B－A）＝A＋（B－AB） 且 A∩（B－A）＝? ，AB?B ∴ 由性质1和性质3（2），知 P（A＋B）＝P（A）＋P（B－AB） ＝P（A）＋P（B）－P（AB） 。 ◆ 利用事件的运算规律和以上性质可 以得到： 对于任意三个事件A、B、C, 有困孙 P（A＋B＋C） ＝P（A）＋P（B）＋P（C） －P（AB）－P（AC）－P（BC） ＋P（ABC）

❷ 概率论事件运算关系公式

概率论事件运算关系公式如下：

1、减法公式：P(A-B)=P(A)-P(AB)。此公式来自事件关系中的差事仿简件，再结合概率的可列可加性总结出的公式。

2、加法公式：P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)。此公式来自于事件关系中的和事件，同样结合概率的可列可加性总结出来。学生还应掌握三个事件相加的加法公式。

3、乘法公式：若P(AB)>0，P（ABC）=P（AB）P（ClAB）=P（A）P（BlA）P（ClAB）。是由条件概率公式变形得到，考试中较多的出现在计算题中。

4、全概率公式：P(B) = P(A∩B) +P(A'∩B) = P(A) * P(B|A) + P(A') * P(B|A')。全概率公式给我们提供了另外一种思路求事备厅裤件A发生的概率，即事件A =AB1. ABn的并集。通过求小事件的概率相加求得事件A发生的概率。

5、贝叶斯公式：P(B|A)=(P(A|B) * P(B)) / P(A) =(P(A|B) * P(B))/P(A|B)P(B)+P(A|B')P(B'))。以上两个公伏或式是五大公式极为重要的两个公式。结合起来学习比较容易理解。

首先，这两个公式首先背景是相同的，即，完成一件事情在逻辑或时间上是需要两个步骤的，通常把第一个步骤称为原因。其次，如果是“由因求果”的问题用全概率公式;是“由果求因”的问题用贝叶斯公式。

❸ 随机事件的运算

（1）交换律：A∪B=B∪A、AB=BA
（2）结合律：( A∪返虚掘B )∪C=A∪( B∪C )
（3）分配律：A∪( BC )=( A∪B )( A∪C )
A( B∪C )=( AB )∪( AC )
（4）摩根律：A B=A∪B、A ∪ B=A B
在随机事件中，有许多事件，而这些事件之中又有联系，分析事件之间的关系，可以帮助我们更加深刻地认识随机事件；给出的事件的运算及运算规律，有助于我们讨论复杂事件。
既然事件可用集合来表示，那么事件的关系和运算自然应当按照集合论中集合之间的关系和集合的运算来处理。下面给出这些关系 和运算在概率论中的提法，并根据“事件发生”的含义，给它漏核们的概率意义。 设A，B为两个事件，若A发生必然导致B发生，则称事件B包含事件A，或称事件A包含在事件B中，记作A⊂B。
显然有：∮⊂A⊂Ω。 称事件“A、B中至少有一个发生”为事件A和事件B的和事件，也称A与B的并，记作A∪B或A+B，A∪B发生意味着：或事件A发生，或事件B发生，或都发生。显然有：
①A⊂A∪B，B⊂A∪B；
②若A⊂B，A∪B=B 称事件“A、B同时发生”为事件A与事件B的积事件，也称A与B的交，记作A∩B，简记为AB。事件AB发生意味着事件A发生且事件B也发生，也就是说A，B都发生。
显然有：
①AB⊂A，AB⊂B
②若A⊂B，则AB=A 称事件“A发生而B不发生”为事件A与事件B的差事件，记作A—B，
显然有：
①A—B⊂A
②若A⊂B，则A—B=∮
注意在定义事件差的运算时，并未要求一定有B⊂A，也就是说，没有包含关系B⊂A，照样誉卜可作差运算A—B。互斥事件
若AB为不可能事件，则称事件A与事件B互斥。 若AB为不可能事件，AB为1，则称事件A与事件B互为对立事件。

❹ 随机事件的关系与运算

随机事件的关系与运算，是由于组成事件的样本点的集合是其样本空间的子集，因此事件间的关系及运算与集合论。

是条件概率与事件的独立性；加法公式、减法公式、乘法公式及条件概率公式；全概率公式与贝叶斯公式。

随机事件是考研数学概率论这门学科的主要研究对象，概率论从根本上解决的就是随机事件发生的概率情况及概率的分布情况，其中经过随机事件的关系与运算得到复杂随机事件。

A∪B={ω∈Aorω∈B}⇔ A 发生或 B 发生，即 A，B 至少有一个发生，称为事件 A，B 的 和。

A∩B={ω∈A，ω∈B}⇔ A，B 同时发生称为事件 A，B 的 积圆缓岩。

A−B={ω|ω∈A，ω∉B}⇔ A 发生 B 不发生称为事件 A，B 的差。

若 A∩B=∅，则称 A，B 互不相容（互斥），橘御即 A，B 不能同时发生。