求极值的算法

⑴ 极值的求法

极值的求法

定义1 设函数 y = f(x) 在点 x0 的某悉基迹邻域内有定义,如果对于该邻域内的任意一点x(x≠x0),有

(1)f(x)<f(x0),则称f(x0)为 f(x) 的极大值,其中 x 为 f(x) 的极大值点;

(2)f(x)>f(x0),则称f(x0)为 f(x) 的极小值,其中 x 为 f(x) 的极睁并小值点

函数的极大值与极小值统称为函数的极值,极大值点与极小值点统称为极值点

     如果 x0 是函数f(x)的极值点,则 f ' (x0)=0或者f(x)不存在

     如果 f'(x0) = 0,则锋昌称 x 为函数 f ' (x0)的驻点

定理8(极值的第一判定定理)设函数y=f(x)在点x0处连续,且在点x0的某一去心邻域内可导,如果在该邻域内

(1)当x<x0时, f ' (x)>0;而当x>x0时, f ' (x)<0,则f(x)为f(x)的极大值;

(2)当x<x0时, f ' (x)<0;而当x>x0, f ' (x)>0,则f(x)为f(x)的极小值;

(3)若在点 x0 的两侧 f ' (x)不变号,则fx0)不是f(x)的极值

定理9(极值的第二判定定理)设函数y=f(x)在点 x0 的某个邻域内一阶可导,在x= x0 处二阶可导,且f  ’(x)=0,f(x)≠0

(1)如果 f ' '(x)>0,则 f(x0) 为函数f(x)的极小值;

(2)如果 f ' '(x)<0,则 f(x0) 为函数f(x)的极大值

例题：

⑵ 函数求极值的方法

关于函数求极值的方法有如下几项：

导数求极值步骤：1.先求导，2.使导函数等于零，求出x值，3.确定定义域，4.画表格，5.找出极值，注意极值是把导函数中的x值代入原函数。

导数求极值步骤

1求函数f'(x)的极值步骤

1、找到等式f'(x)=0的根

2、在等式的左右检查f'(x)值的符号。如果为负数，则f(x)在这个根得到最大值；如果为正数则f(x)在这个根得到最小值。

3、判断f'(x)无意义的点。首先可以找到f'(x)=0的根和f'(x)的无意义点。这些点被称为极点，然后根据定义来判断。

4、函数z=f(x,y)的极值的方法描述如下：

(1)解方程式fx(x,y)=0，fy(x,y)=0，求一个实数解，可以求所有的塞音；

(2)对于每个停止点(x0,y0)，找到二阶偏导数的值a,b,c；

(3)确定ac-b2的符号，并根据定理2的结论确定f(x0,y0)是一个最大值、最大值还是最小值。

⑶ 函数的极值如何求

①首先确定函数定义域。

②二次函数通过配方或分解因式可求极值。

③通过求导是求极值最常用方法。

f'(x)=0，则此时有极值。

>0为↑

<0为↓

判断是极大还是极小值。

例如：

①求函数的二阶导数，将极值点代入，二级导数值>0

为极小值点，反之为极大值点

二级导数值=0，有可能不是极值点；

②判断极值点左右邻域的导数值的正负：左+右-

为极大值点，左-右+

为极小值点，左右正负不变，不是极值点。

极大值和极小值

也可以为集合定义极大值和极小值。一般来说，如果有序集S具有极大的元素m，则m是极大元素。此外，如果S是有序集T的子集，并且m是相对于由T诱导的阶数的S的极大元素，则m是T中S的极小上限。类似的结果适用于极小元素，极小元素和极大的下限。

在一般的部分顺序的情况下，极小元素（小于所有其他元素）不应该与极小元素混淆（没有更小）。同样，部分有序集合（poset）的极大元素是集合中包含的集合的上限，而集合A的极大元素m是A的元素，使得如果m≤b（对于任何b在A）然后m = b。

⑷ 数学中的极值怎么求,

分以下几种步骤:
1、对题目给出的函数f(x)求导数f'(x).
2、令f'(x)=0,求出x.
3、在x(第2步中求出的)的左右判断州野f'(x)的符号有没有发生变化,如果没有,则这个点就不是极值点;反之,就是极值闹迹清点.
4、如果f'(x)的符号发生了变化,还要判断是极大值还是极小值,方法如下:
如果是f'(x)的符号在x(第2步中求出的)的左液前右是从负变为正,这个点就是极小值点,将x代入f(x),得到极小值,
如果是f'(x)的符号在x(第2步中求出的)的左右是从正变为负,这个点就是极大值点,将x代入f(x),得到极大值

⑸ 极值点的计算

求极值点的步骤如下：

1、直接法

先判断函数的单调性，若函数在定义域内为单调函数，则最大值为极大值，最小值为极小值。

2、导数法
1、求导数f'(x)；
2、求方程f'(x)=0的根；
3、检查f'(x)在方程的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正那么f(x)在这个根处取得极小值。

举例如下图：该函数在f'(x)大于0，f'(x)小于0，在f'(x)=0时，取极大值。同理f'(x)小于0，f'(x)大于0时，在f'(x)=0时取极小值。

(5)求极值的算法扩展阅读：

寻求函数整个定义域上的最大值和最小值是数学优化的目标。如果函数在闭合区间上是连续的，则通过极值定理存在整个定义域上的最大值和最小值。此外，整个定义域上最大值（或最小值）必须是域内部的局部最大值（或最小值），或必须位于域的边界上。

因此，寻找整个定义域上最大值（或最小值）的方法是查看内部的所有局部最大值（或最小值），并且还查看边界上的点的最大值（或最小值），并且取最大值或最小的）一个。

⑹ 求一些求极值的方法

方法一（第一充分条件：利用一阶导数）
步骤：
(1)求出函数的驻点和不可导的点．
(2)以上述点划分定义域，列表分析，确定函数的单调区间．
(3)从表中找出单调性发生变化的交界点(即极值点)，并求出这些点处的函数值，即兆棚得肢岁所求极值．
说明：在极值点的左右，若一阶导数符号从‘－’变到‘＋’，则该点为极小值点；若一阶导数符号从‘＋’变到‘－’，则该点为极大值点；若一阶导数不变号，则该点不是极值点．

方法二（第二充分条件：利用二阶导数）
对于函数的驻点（即一阶导数为零的点），考察该点处的二阶导数．如果不为零，则该点为极值点；如果为零，则无法判断．
在极值点处，若二阶导数值大于零，则族饥则该点为极小值点，若二阶导数值小于零，则该点为极大值点．
来自网络。

⑺ 求极值的方法有哪些

1、求极大极小值步骤：

求导数f'(x)；

求方程f'(x)=0的根；

检查f'(x)在方程的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正那么f(x)在这个根处取得极小值。

f'(x)无意义的点也要讨论。即可先求出f'(x)=0的根和f'(x)无意义的点，再按定义去判别。

2、求极值点步骤：

求出f'(x)=0,f"(x)≠0的x值；

用极值的定义（半径无限小的邻域f(x)值比该点都小或都大的点为极值点），讨论f(x)的间断点。

上述所有点的集合即为极值点集合。

(7)求极值的算法扩展阅读：

定义：

若函数f(x)在x₀的一个邻域D有定义，且对D中除x₀的所有点，都有f(x)<f(x₀)，则称f(x₀)是函数f(x)的一个极大值。

同理，若对D的所有点，都有f(x)>f(x₀)，则称f(x₀)是函数f(x)的一个极小值。

极值的概念来自数学应用中的最大最小值问题。根据极值定律，定义在一个有界闭区域上的每一个连续函数都必定达到它的最大值和最小值，问题在于要确定它在哪些点处达到最大值或最小值。

如果极值点不是边界点，就一定是内点。因此，这里的首要任务是求得一个内点成为一个极值点的必要条件。

参考资料：

网络--极值

⑻ 极值的求法有哪些

1. 直接法

先判断函数的单调性，若函数在定义域内为单调函数，则最大值为极大值，最小值为极小值

2.导数法

（1）、求导数f'(x)；

（2）、求方程f'(x)=0的根；

（3）、检查f'(x)在方程的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正那么f(x)在这个根处取得极小值。

特别注意

f'(x)无意义的点也要讨论。即可先求出f'(x)=0的根和f'(x)无意义的点，这些点都称为可疑点，再用定义去判断。

二阶连续偏导数的函数z = f(x,y)的极值的求法叙述如下：

（1）解方程组fx(x,y) = 0，fy(x,y) = 0，求得一切实数解，即可求得一切驻点；

（2）对于每一个驻点(x0,y0)，求出二阶偏导数的值A、B和C；

（3）定出AC-B2的符号，按定理2的结论判定f(x0,y0)是否是极值、是极大值还是极小值。

上面介绍的极值必要条件和充分条件都是对函数在极值点可导的情形才有效的。当函数仅在区域D内的某些孤立点(xi, yi)不可导时，这些点当然不是函数的驻点，但这种点有可能是函数的极值点，要注意另行讨论

⑼ 函数求极值的方法总结

数学主要以函数为研究对象,而函数极值无论在初等数学还是在高等数学里都是函数部分的一个重要问题，下文是函数求极值的方法，希望对同学们有帮助！

一、利用二次方程的判别式求极值

在求某一类分式函数的极值时，若其分子或分母是关于x的二次式，可将其变为关于x的一元二次方程，根据x在实数范围内有解，由判别式求的。

例1、求函数y=求函数极值的若干方法 的极值。

解：将原函变形为关于x的二次方程

(y-1)x 求函数极值的若干方法 -2yx-3y=0

∵x∈R，且x≠3，x≠-1，

∴上方程在实数范围内一定有解。

△= (-2y) 求函数极值的若干方法 -4 (-3y)(y-1)= 4y(4y-3)≥0

解之得 y≤0 或 y≥ 求函数极值的若干方法

这里虽然y无最大（小）值，但对应于y=0和y= 求函数极值的若干方法 的x分别为x=0和x=-3，

所以当x=0时，y有极大值0，当x=-3时，y有极小值 求函数极值的若干方法 。

例2、求函数y= 求函数极值的若干方法 的值域。

解：将原函数变形得：y+yx 求函数极值的若干方法 =2x

∵x∈R，∴△= 4-4y 求函数极值的若干方法 ≥0，解之得：-1≤y≤1

∴函数y= 求函数极值的若干方法 值域为[-1，1]

由上面两例可以看出，用二次方程的判别式求函数的极值时，实际上就是将y看作x的系数，利用函数的定义域非空，即方程有解，将问题转化为解一元二次不等式。但要注意的是：在变型过程中，可能会将x的取值范围扩大，但所求函数的极值一定在不等式的解集内，此时，要注意检验，即招2出y取极值时的x是否有意义，若无意义必须舍去，再重新考虑其极值。

二、利用倒数关系求极值

对于有些分式函数，当其分子不含变量时，可由分母的极值来求整个函数的极值。

例3、求函数y=2- 求函数极值的若干方法 的最小值。

解：∵x 求函数极值的若干方法 -2x+6 = (x-1) 求函数极值的若干方法 +5＞0

∴函数的定义域为一切实数， 又由 x 求函数极值的若干方法 -2x+6=(x-1) 求函数极值的若干方法 +5 知

当x=1时， 求函数极值的若干方法 取最小值 求函数极值的若干方法 ,

∴ 求函数极值的若干方法 取最大值 求函数极值的若干方法 ,

此时 y=2- 求函数极值的若干方法 取最小值 2- 求函数极值的若干方法 ,

即 当x=1时，有y的最小值是 2- 求函数极值的若干方法 。

三、利用重要不等式求极值

对于一类各项积为定值，且每一项的符号相等的函数极值，可考虑用重要不等式解决。

例4、求函数y=4x+ 求函数极值的若干方法 的极值。

解：显然函数的定义域为不等于零的一切实数。

(1) 当x＞0时，y = 4x+ 求函数极值的若干方法 ≥2 求函数极值的若干方法 =2 求函数极值的若干方法 =12

∴当4x = 求函数极值的若干方法 时, 即x = 求函数极值的若干方法 时, y有极小值12.

(2)当仿侍做x＜0时，令x = -t, 则t＞0. y = 4x+9/x = - (4t+ 求函数极值的若干方法 )≤-12

∴当x = 求函数极值的若干方法 时，y有极大值-12 。

在利用重要不等式解题时，一定要注意必须要求每一项均为正数，若均为负数时，可提取一个负号，使括号内每一项仍为正。上题中若只考虑第一种情况，就不完全了。

例5、已知l＜0,m＜0，求函数y= 求函数极值的若干方法 在(0,+∞)上的最大值。

分析：虽然x 求函数极值的若干方法 ·8x· 求函数极值的若干方法 =2 求函数极值的若干方法 为常数，但由x 求函数极值的若干方法 =8x= 求函数极值的若干方法 解不出实数x，即无实数解。故由y≥3 求函数极值的若干方法 =3·8=24得出y的最小值为24的结论是错误的，但如能把8x、64/x 求函数极值的若干方法 各分成相等的m项和n项，备衡设法定出m、n、x，然后再求出y的最小值就谈并行了。

解：设y=x 求函数极值的若干方法 + 求函数极值的若干方法 + 求函数极值的若干方法 +……+ 求函数极值的若干方法 + 求函数极值的若干方法 + 求函数极值的若干方法 + ……+ 求函数极值的若干方法 ,

(其中 求函数极值的若干方法 有m项， 求函数极值的若干方法 有n项)。

即m= 求函数极值的若干方法 ，n= 求函数极值的若干方法 时（由x 求函数极值的若干方法 = 求函数极值的若干方法 ,x 求函数极值的若干方法 = 求函数极值的若干方法 得）,y有最小值,

由2+ 求函数极值的若干方法 =3· 求函数极值的若干方法 (x 求函数极值的若干方法 ·x 求函数极值的若干方法 =x 求函数极值的若干方法 )得x 求函数极值的若干方法 +4x=96,解此方程的唯一正数解x=2,

此时m = 4, n = 2当时，y的最小值为4+16+8=28（代回去求得）

y≥7 求函数极值的.若干方法 = 7· 求函数极值的若干方法 = 7·4=28

四、利用换元法求极值

有些无理函数，往往用以上方法无法求出极值，此时可试用换元法求之。

例6.求函数 y= 求函数极值的若干方法 -x 在区间[0,1]上的最大值。

解：设 求函数极值的若干方法 = t，则0≤t≤1,且x = t 求函数极值的若干方法

∴当t=求函数极值的若干方法 即x= 求函数极值的若干方法 时,y取最大值 求函数极值的若干方法 .

这里利用了换元法将无理式变形为二次求解，它是求无理函数极值的常用方法，特别是对形如 y=kx+ 求函数极值的若干方法 的函数, 可令 t= 求函数极值的若干方法 化为关于的二次函数再利用配方法求得其极值。

例7.求函数y=x 求函数极值的若干方法 +1+2x(1-x 求函数极值的若干方法 )的最大值和最小值

解：∵y的定义域为[-1，1]，故可令x=cosθ(0≤θ≤π),

则 y= 求函数极值的若干方法

= 求函数极值的若干方法 (其y=中求函数极值的若干方法 为锐角，且 求函数极值的若干方法 )

∵-1≤sin(2θ+α)≤1,

∴ 求函数极值的若干方法 ≤y≤ 求函数极值的若干方法

当sin( 求函数极值的若干方法 ) = -1时, 求函数极值的若干方法

故x = 求函数极值的若干方法

当sin 求函数极值的若干方法 时，2 求函数极值的若干方法

故x = 求函数极值的若干方法

即当x =- 求函数极值的若干方法 时, 求函数极值的若干方法

当x= 求函数极值的若干方法 时, 求函数极值的若干方法

此题中抓住了函数的定义域[-1，1]为条件。从而将无理函数转化为三角函数来得以解决函数的极值问题。

五、用解析法求极值

形如y=求函数极值的若干方法 其中(f(x)、g(x)是关于的二次式，且二次项系数为1)的函

极值，直接用纯代数法非常困难，因为要平方两次才能去掉根号。但若借助与解析法，将 求函数极值的若干方法 分别视作平面直角坐标系内两点的距离，利用平面图形性质，便可简捷求解。

例8.求函数y= 求函数极值的若干方法 的最小值，其中a、b、c均为正数，

解：在直角坐标系内取点C (0, 求函数极值的若干方法 )、D (c,- 求函数极值的若干方法 )、M (x,0) 、B (c,0)

则y = 求函数极值的若干方法 =∣CM∣+∣MD∣

即为M到C、D两点的距离之和。

由平面图形性质可知当且仅当C、M、D三点共线时距离之和最短，此时M在Mˊ位置上。

由 △CO Mˊ∽△DBMˊ 得∣OM∣∶∣MˊB∣=∣OC∣∶∣BD∣

即 求函数极值的若干方法 解之得 x=求函数极值的若干方法

此时 求函数极值的若干方法 =∣CD∣= 求函数极值的若干方法

例9.求函数y= 求函数极值的若干方法 的值域。

分析y= 求函数极值的若干方法 = 求函数极值的若干方法

所以 求函数极值的若干方法 可看作平面直角坐标系内的点(x,0)到点求函数极值的若干方法 与点 求函数极值的若干方法 的距离之差。

解: 在直角坐标系内取点A(- 求函数极值的若干方法 , 求函数极值的若干方法 )、点B( 求函数极值的若干方法 , 求函数极值的若干方法 )、点M(x,0)

则y= 求函数极值的若干方法 =∣AM∣-∣BM∣

即为△ABM的两边之差，由平面图形性质知：

∣AM∣-∣BM∣＜∣AB∣=∣ 求函数极值的若干方法 ∣=1

反之∣BM∣-∣AM∣＜∣AB∣= 1

∴∣y∣＜1

∴-1＜ y ＜1

此法一般适用于为两个二次根式的和、差函数，且根号内为二次函数式，此时可通过配方将其变型为平面直角坐标系内两点之间的距离和与差来计算。这样既省去了平方计算的麻烦，又使式子具有明显的几何意义，从而更方便找出解题方法，将难度较大的问题转化为较简单的问题。在解此轴上的点到另两点的距离和或差，若求和的极值，则当三点共线时有最小值，即为这两点的距离，若为差，则无极值，此时差的绝对值小于这两点的距离，从而可求出函数值域。

例10.求函数y= 求函数极值的若干方法 的值域

分析：此题既是分式函数，又是三角函数，往往用纯代数法不易达到目的，

但如果将其看作是点 ( 求函数极值的若干方法 )与点(3,2)所在直线的斜率，就不难解决了。

解：设xˊ= 求函数极值的若干方法 ,yˊ=求函数极值的若干方法 , 则 y= 求函数极值的若干方法

即为平面直角坐标系内点( 求函数极值的若干方法 )与(3,2)所在直线的斜率，

又(xˊ, yˊ)在圆 xˊ 求函数极值的若干方法 + yˊ 求函数极值的若干方法 = 1 上，

故只要求出点(3,2)与圆上每一点连线的斜率范围即可。

设过(3,2)且与圆 xˊ 求函数极值的若干方法 + yˊ 求函数极值的若干方法 = 1 相交的直线方程为

yˊ-2=k (xˊ-3) , 即 kxˊ-yˊ- 3k+2 = 0

由点到直线的距离公式知： 求函数极值的若干方法 = 1,

即(-3k+2) 求函数极值的若干方法 =1+k 求函数极值的若干方法 ， 8k 求函数极值的若干方法 -12k+3 = 0

∴k= 求函数极值的若干方法

∴当 求函数极值的若干方法 ≤k≤ 求函数极值的若干方法 时，直线与圆相交

即函数y=求函数极值的若干方法 的值域为[ 求函数极值的若干方法 , 求函数极值的若干方法 ]

形如f(x) = 求函数极值的若干方法 函数的值域，可将其看作平面内点( 求函数极值的若干方法 , 求函数极值的若干方法 ),（-b,-d）的斜率来解决 ，而点（求函数极值的若干方法 ）必在二次曲线 求函数极值的若干方法 = 1上，再利用点(-b,-d)的直线与曲线相交的斜率取值范围来解决是一种简便易行的方法。从上例我们可以看出，上

面函数关系也可看成是：求三元函数，多元函数的最大、最小值问题

我们已经知道求一元函数极大值、极小值的步骤，对于多元函数的极大值、极小值的求解也可采用同样的步骤。下面我们给出实际问题中多元函数的极大值、极小值求解步骤。 如下：

a)：根据实际问题建立函数关系，确定其定义域；

b)：求出驻点；

c)：结合实际意义判定最大、最小值.

例题：在平面3x+4y-z=26上求一点，使它与坐标原点的距离最短。

解答：a)：先建立函数关系,确定定义域

求解与原点的距离最短的问题等价于求解与原点距离的平方最小的问题.但是P点位于所给的平面上，故z=3x+4y-26.把它代入上式便得到我们所需的函数关系:

-∞＜x＜+∞,-∞＜y＜+∞

b)：求驻点

解得唯一驻点x=3，y=4.由于点P在所给平面上,故可知

z=-1

c)：结合实际意义判定最大、最小值在约束条件 3x+4y-z=26 下的最小值 ，一个多元函数在一个或几个约束条件下的极值称为条件极值。

由问题的实际意义可知，原点与平面距离的最小值是客观存在的，且这个最小值就是极小值.而函数仅有唯一的驻点.所以，平面上与原点距离最短的点为P(3,4,-1)的若干方法 。

拓展延续

关于函数求极值的方法有如下几项：

导数求极值步骤：

1.先求导，

2.使导函数等于零，求出x值，

3.确定定义域，

4.画表格，

5.找出极值，注意极值是把导函数中的x值代入原函数。

导数求极值步骤：

1求函数f'(x)的极值步骤

1、找到等式f'(x)=0的根

2、在等式的左右检查f'(x)值的符号。如果为负数，则f(x)在这个根得到最大值；如果为正数则f(x)在这个根得到最小值。

3、判断f'(x)无意义的点。首先可以找到f'(x)=0的根和f'(x)的无意义点。这些点被称为极点，然后根据定义来判断。

4、函数z=f(x,y)的极值的方法描述如下：

(1)解方程式fx(x,y)=0，fy(x,y)=0，求一个实数解，可以求所有的塞音；

(2)对于每个停止点(x0,y0)，找到二阶偏导数的值a,b,c；

(3)确定ac-b2的符号，并根据定理2的结论确定f(x0,y0)是一个最大值、最大值还是最小值。