摊煎饼算法

① 摊煎饼的数学原理是什么

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每一张形状正圆、厚薄均匀、没有破洞的煎饼，都凝聚了制作者对面糊流体力学的深入理解。最近，两位物理学家通过数学建模，找到了摊出一张好煎饼的方法，并将这些发现写进了论文中。

煎饼果子是许多中国人喜爱的点心，法国人也对“法式煎饼”可丽饼爱得深沉。人们热衷于按自己的口味给煎饼加上各种丰富的配料，但是好吃的煎饼一定有一个共同的特点：厚薄均匀、火候恰到好处、没有破洞。

说起来容易做起来难。别看楼下卖早餐的大妈两分钟摊一张漂亮的饼，如果自己上手做，多半会发现——咦怎么不是圆的？怎么这里这么厚？怎么翻个面就破了？

为了做出完美的煎饼，法国巴黎综合理工学院（cole Polytechnique）的爱德华·布卓（Edouard Boujo）和新西兰坎特伯雷大学（University of Canterbury）的马修·塞利尔（Mathieu Sellier）研究了一番，终于找到了其中的奥义，顺手在 Physical Review Fluids 发了篇论文。

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把煎饼摊匀有多难？

摊煎饼方法可以简毕裂单分为两大流派：用推子之类的工具把面糊快速推开，或转动平底锅让面糊自己摊开。或许是想让大多数非专业人士做起来更简单，两位物理学家把目光聚焦在了第二种方法上。

用推子摊煎饼，这种方法常见于街头小摊。图片来源：Pixabay

无论是可丽饼还是中式煎饼，加热过程中都会发生一个重要的变化：水分随加热流失，导致面糊的黏度逐渐增加。许多人可能已经发现，如果在面糊刚刚下锅的时候没有及时把它摊平，它就会很快凝固，再也摊不平了；但是动作太快也不行，容易把饼弄破。

要摊一张厚薄均匀的圆形煎饼，难道只能“凭感觉”吗？

02

如何科学地摊一张饼

图片来源：Pixabay

作为流体力学领域的科学家，乱数皮塞利尔和班卓决心从这一物理特性入手，利用数学建模计算，模拟了已成型的煎饼与还在流动的残余面糊在受热容器中的相互作用。这可是一项复杂而繁琐的工作，但也比亲手上锅做实验省时省力多了。更为关键的是，这样做可以严格监控每一个变量和细节。

他们尝试了两种方法，第一种是将面糊表面运动采用参数化的谐波方程描述，并采用蒙特卡洛方法“暴力求解”，找出最优的参数组合。这里要考虑的参数就有十个，包括面糊黏度、密度、锅的倾斜角、半径、面糊初始厚度等等。

对煎饼的数学建模哗差。如图，从上到下，从左到右，从 t=0 到 t=7t 之间面糊发生的变化，t = 4.29 s。右侧颜色梯度代表面糊厚度，深蓝色的部分面糊最薄，浅蓝色至红色部分面糊越来越厚。图中箭头方向代表每个瞬间的重力方向。图片来源：Boujo and Sellier, Phys. Rev. Fluids, 2019

计算机在设定的参数范围内进行了大量计算，摊了无数个虚拟煎饼，终于找到了改善面糊均匀性的方法。相比不控制参数的情况（可能指的是他们在现实中制作的早餐），这种方法能将煎饼的均匀性提升大约 40%。考虑到背后的海量计算工作，这种方法性价比确实不高。

于是，他们又尝试了另一种方法。这是一种叫做伴随优化的数学算法：将面糊最终形态作为目标函数，对面糊施加作用力而导致的运动被描述为一系列偏微分方程，以提供约束条件，在此基础上对目标函数进行优化，寻找使面糊均匀平坦的最优路径和方法。

在这个案例中，伴随优化算法完胜蒙特卡洛方法，它用更少的计算量实现了更大的性能提升。在该算法的帮助下，塞利尔和班卓获得了黏度变化的面糊在移动容器中的流动及成形特征。经过多次的调整和模拟，他们终于找到了制作可丽饼的最佳方法，能让饼的均匀程度提升 83%。

如图，图 (a) 为不加控制的对照组，图 (b) 为谐波优化-蒙特卡洛方法得到的结果，图 (c) 和 (d) 为用伴随优化算法得到的结果，其中力度控制参数不同。从图 (a) 到图 (d)，煎饼越来越均匀。图片来源：Boujo and Sellier, Phys. Rev. Fluids, 2019

03

摊煎饼的终极奥义

总而言之，在充分比较了非控制组、协调方程-蒙特卡洛解法以及伴随优化求解法的最终结果后，研究人员找到了一个实用的摊煎饼方法：

将摊一张饼所需的面糊一次性倒入平底锅，然后迅速将锅倾斜一个角度；面糊会流向锅的边缘，接着顺时针或逆时针将锅转动一到两圈，使未凝固的面糊自然流动、成形。
根据伴随优化算法，随着面糊逐渐受热凝固，平底锅的倾角应该逐渐减小，转动速度也要放慢。在理想情况下，当倾角减小到零，也就是锅处于水平位置的时候，面糊刚好完全覆盖锅底。
需要注意的是，一定要始终沿着同一个方向转动锅，切忌在转动过程中变换方向。

这种方法有个酷炫的名字：重力驱动液态膜的最优控制。这一技术不仅能用来做早餐，还能应用到巧克力制造、涂层工艺和弹性薄壳制造等领域，而弹性薄壳在航空航天、船舶制造等方面都有重要应用。谁能想到，对美好早餐的追求也能推动工程技术的小小进步呢？

② 小学生日记

我的“孤独”假日 大年三十，在爷爷家呆了一整天，吃得很累，睡得也很累，爸爸妈妈都在干自己的事情，根本顾不上我。 大家都说过年好，可是我觉得过年一点意思也没有。爸爸是独生子，妈妈是独生女，我也是家里的惟一的孩子，每年大年三十我就跟爸爸妈妈在爷爷奶奶家看电视，大年初一又跟他们去姥姥姥爷家看他们打麻将。接下来的几天，不是爸爸妈妈去他们朋友家，就是他们来我们家里玩，可是他们总是忘记我。每到这时，我就呆在茶几旁吃水果和零食。他们玩的东西我都不懂，我就想看动画片，想打游戏，想和同学说话聊天。 今年又一样，到了姥姥姥爷家，给过我压岁钱，他们就垒起了“长城”。于是，我就安心地一个人出门了，反正他们是不会发现我的“失踪”的。 姥爷家街区里的人很少，也很安静，偶尔有划拳声传出。出了街区门，我开始留心街边的小店，几乎都是“铁将军把门”。到了超市，我问能不能买到鞭炮，可别人很干脆地回答我“没有”。小学生寒假日记范文大全 一阵垂头丧气后，我想春祥打电话和几个“”聊聊，可不是没人接，就是接通了一片嘈杂，听不清楚他们在说什么。我想一个人去玩，可又不知道该去哪，酒吧不让去，网吧不让进，少年宫又不知道在哪里？唉，我的年怎么就高兴不起来呢？ 最后，我终于买到了几个“小摔炮”，扔到下水井口里，倒也声音挺大，我高兴了好一阵。成功财富网[NextPage] 我与电视为伴 “滴嗒、滴嗒”，该死的闹钟，烦死了！每天早晨都是它把我从梦中吵醒，它倒是任劳任怨，坚守岗位，但是我就惨了，昨天晚上看电视到夜里一两点钟，哪有精神大清早爬起来呢？幸好昨天晚上我留了一手，把闹钟定在了9点，9点有一场我很喜欢的NBA比赛，为了这个，我就只好少睡一会了。 起来第一件事顾不上洗脸，先把电视打开。妈妈又在喊着刷牙、吃饭，但是因为今天是大年初二，我知道这两天她也不会动用“武力”，所以我基本上不用考虑妈妈的“心情”，只顾干我的事就行了。我从卫生间跑到客厅，一边刷牙一边看比赛，不管妈妈在唠叨什么。 精彩的比赛结束了，正好给我留下了10分钟的吃饭时间。赶紧把中午饭吃了，接下来看电视剧《倚天屠龙记》，才放了几集，天就黑了。在妈妈的“高压”下，我用几分钟时间吃完晚饭
好不容易下了一场大大滴雪，不把玩雪滴经历写出来，怎么能对得起乡亲父老呢？那我就写吧……上午11点30分……我还在梦境里吃着好东东，口水流到床上偶都不知道=。=‖“丁玲玲”电话铃声响了，我终于起来了。起来吧起来吧，伸个懒腰，到阳台上呼吸空气。“哇！”下雪了！我尖叫。真的下雪了耶！大家注意，偶不系米见过雪，只是偶们这里不系经常下雪啊，大概一年下一次吧。赶快赶快，我迅速穿好衣服去吃中饭，完了，我带上皮手套就上路了……我先去喊了几个“小弟”，下来了2个。没想到他们劈头就说，打雪仗吧！马上，我们先热了热身。我们3个人打雪仗。当然，他们2个人都没打过我啊——谁叫我有皮手套，不怕冰冻，嘿嘿。热过身了，我们开始堆雪人，我来做雪人身子，其他2个人负责做雪人头和用扫帚扫雪。堆啊堆，堆啊堆，堆啊堆啊堆啊堆……（在此省去20000字）终于堆好了。（感觉有点白痴）然后呢，我用个扫帚做雪人的手，只可惜只有一把扫帚，偶们滴雪人只能是个独臂人了。最使偶们发愁滴是雪人滴眼睛，鼻子，和嘴。我一不做，二不休去超市阿姨家寻“宝”。果然找到了好东东：一个胡萝卜！哈，可以做雪人滴鼻子了，真是太好了！可是嘴用什么做呢？忽然间，我们看到了树枝，顿时想到了好注意，把树枝折下来当做雪人嘴！哈，顶的住！又一道难题攻破了御森搜。可是眼睛用什么呢？想了又想，想了又想，最后我盯上了小弟手中的炮仗，于是我狞笑着使用暴力手段把他滴炮仗抢出来8根，4跟组成一个眼睛。哈哈，天生我才必有用！雪人终于完工！唉，只可惜啊，这次没有照相机，所以呢就没有拍出来——好倒霉哦。偶第一次堆个大雪人……

月20日 星期六 天气晴 太阳还未睁开惺忪的睡眼，晨雾尚未揭开春的面纱，我们和着春风，踩着露珠，跟随妈妈镇历去绿色的原野拥抱春天。 一路上，我们像小鸟一样快乐。脚下的泥土像棕黄色的地毯，空气湿润而新鲜。路旁的柳树上，几只小鸟唧唧喳喳，好象在欢迎我们的到来。一阵风吹来，树下的一朵朵花儿向我们点头微笑。而小草呢，好象倦意未尽，还没有充分舒展开自己小小的身体。田野里的油菜花却尽情地开了，黄灿灿的一片。 不知不觉，我们走进了一片桃园。深红的、粉红的桃花竟相开放，让你如醉花海。这时，飞来几只蝴蝶，在花丛中翩翩起舞。仔细一看，已有好多小蜜蜂在花间采蜜呢。我情不自禁伸手去摘桃花，妈妈说：“春天有了它们才会更美。”我听了，连忙把手缩了回去。 我们小心翼翼地走着，生怕溅落盛开的桃花，踏倒嫩绿的小草。 看着蓝蓝的天，绿绿的草，红红的花，勤劳的小蜜蜂，我真想融化在春天中┄┄ 2004年6月14日 星期一 晴 有些大人总是羡慕小孩无忧无虑，其实当小孩也不容易。 大人可以做自己想做的事，做错了小孩又不能批评他。我们小孩就不一样了，只是因为我还有几篇日记没有写，就每天只给我玩一个小时。而他却天天泡在电脑里。真不公平。谁让我是孩子呢？ 小孩在大人心中永远不懂事，大人说话时小孩不能插嘴。只要一插嘴，他们就会说：“去去去，一边玩去。”其实小孩懂的东西大人还不一定懂呢！孩子在学校要考高分，回家除了做老师布置的作业，还要做爸爸妈妈布置的作业。 说实话，大人真自由，当一个小孩还真是不容易。 今天，我和爸爸玩了一场别开生面的象棋赛。 我和爸爸抽签决定先后。我抽到了先，爸爸抽到了后。我先给了爸爸一个“当头炮”，爸爸来了个“马来跳”，挡我的路。我很生气，调“车、马、炮”去攻他的“马”。谁知爸爸的“马”跑得太快，吃不着，一气之下，吃了爸爸的四个“兵”。爸爸用他的两个“炮”把我的两个“兵”干掉了。然后，我接二连三地“将军”，可是爸爸把老将调来调去，我就是吃不着。爸爸又派他的“大军”来干我的“小部队”。我的“车、马、炮”接连牺牲。我又派另外全部武力部队进攻，好不容易干掉了爸爸的“车、马、炮”。可是我的军队也已经快崩溃了。 最后，我还是输了。但我下一次一定要胜过爸爸。 今天是星期日，吃完午饭爷爷给我讲了两个故事，名叫金鸟 和晚奴南北。从前有一个国家的国王非常喜欢越国的一只金鸟， 千方百计都要把这只金鸟买回家，可那个卖主就是不卖，还说： “这只金鸟又会说话，又会唱歌，又会说话，是天下最神奇的鸟 了”那个国王买不到金鸟急得饭也不吃，便请别人帮他买，金鸟 买回家后，国王就把它放在笼子里，让金鸟唱歌，跳舞。可金鸟 一动也不动，就像木头人一样。国王就把金鸟放走了。金鸟又飞 回越国，给自己国家的人唱歌，跳舞。第二个故事是晚奴南北， 从前有一户人家养了两匹金马，一匹叫南北，据说，只要得到这 两匹金马，就会发才。人们听说这个消息后都到他家去买，有一 位老爷爷买下了其中的一匹叫晚马。买回家后，它一天不吃饭， 二天不吃饭，三天不吃饭直到第七天，晚马向北边叫了一声就死 了。我听了这两个故事后觉得很有意思，动物也认识自己的国家。 今天，我做完作业，就去找我的好朋友一起玩。 走到半路，一只大母鸡拦住了我的去路。我朝母鸡做了个鬼脸，表示让开道路的意思。谁知道，那母鸡跟本不睬我，而且受到了谁的气一样，扎煞着毛向我来。嘿，想跟我玩精彩的斗鸡表演吗？那就来吧！ 我左一闪，右一躲，母鸡还是不肯放我。于是我捡起地上的大石子想向母鸡扔过去。可是母鸡又扇动着翅膀向我的手飞来。我见母鸡“飞”起来了，就赶紧把手缩回来，我抓了抓手；“呀，只有一粒小石子，真是倒霉啊！”我火冒三丈地说。说着把石子重重地打在了母鸡的头上，母鸡跟我一样勃然大怒。这下可糟糕了，母鸡凶狠地向我冲来，我左一脚不行，右一脚也不行。接着，母鸡大发雷霆，向我的左腿上一啄，我疼得直叫：“哎哟，哎哟！”还算好，不是啄在肉上，只是啄在了裤子上。最后，我终于摆平了这只凶狠的大母鸡！ 在回家的路上，我可没有再敢走这条“险路”。
前天下雪了。鹅毛大雪飞啊飞啊，我看着窗外的景色，顿时感到好兴奋——“我又可以玩雪了！”我想这种心情与想法一定会在每个小孩的心中产生。可是我又想想，又发出了另一种感慨……雨和雪都是水变成的，可是为什么大多数人们总是更喜欢雪呢？我想雪与水象征2个事物，虽然它们的类型相同，但是它们的立场与角度不同，所以导致人对只不同的感受与感情。比如雨和雪都是一句希望别人上进的话，雨呢，而是一句批评的话，雪呢，而是一句赞扬的话。这2句话都可以使人上进，但是人们愿意接纳赞扬的话，不太喜欢批评的话。这就是之间的差异。下面我们就用雨和雪本身来说明。雨呢大多人都讨厌，因为它可以使热闹浑身湿透，虽然雪也可以，但是雪用了另一中方法：变成的固体。这就是雪的巧妙之处，当然，这也是它们之间存在差异的原因。

又下来几位“小弟”，然后呢，我们就用雪搭东西，我做了一个雪板凳，而他们在各自滚自己滴雪球。后来雪球越滚越大，在后来呢我就帮助他们滚一个比较大的，滚啊滚啊，就这么往下滚。一开始呢还好，我一个就可以推动雪球了，我推着雪球到处“观光游览”，大概过了10分钟，我就坚持不住了，我再也推不动了，我叫来2个“小弟”一起推啊，大家一起加油。眼看那个雪球越滚越大……大概又过了10分钟，只见有3个小孩倒在了地上——那就是我们啊！唉，看来还要叫人——我又喊了2个小弟，这下5个人一起推就好多了。加油啊加油，滚啊滚啊……（省去20000字）在大家都倒下的时候是在10分钟后。天啊！怎么这么多10分钟啊！算了，就滚到这为止吧。来看看有多大了。恩，直径差不多有2米了！真大哦！偶太高兴了！与上次一样没有照相机，但是这次有个新鲜的——偶在雪堆里发现了一盒完好无损滴炮仗！（注意，是大的那种炮）我们点燃了那盒炮，让炮打到雪球底部，只听到“嗖嗖”的声音，炮穿到雪球里，然后发生爆炸，“轰轰”，炸了后，我们去看雪球，哇塞！雪球被底部被炸出一个大窟窿！可真好玩！
星期天，我闲着没事做，发现厨房里还有一些青菜还没洗。我灵机一动，心想要是我把这些青菜洗了，妈妈不就不用洗菜了吗？ 我说干就干，拿着菜篮子放到水池边，把青菜放到水池里。我卷起袖子，拧开水龙头，学着妈妈的样子开始仔仔细细地洗起菜来。 我先用双手搓青菜，然后一片一片地洗菜叶，连一点脏东西也不放过。洗着洗着，我触到一个软绵绵、毛茸茸的东西。我的手像被电击一样缩了回去。呀！不看不知道，一看吓一跳，原来是一条大青虫趴在菜叶上享受“洗澡”带来的乐趣。吓得我把那片菜叶扔得老远。看着扔掉的菜叶，我心想：妈妈长年累月地洗青菜，不知遇到多少条大青虫，可是妈妈总是不慌不忙地捡起大青虫把它扔掉，继续洗菜。而我活像一个胆小鬼。我壮起胆子，鼓起勇气，拾起扔掉的菜叶，把大青虫扔掉，一脚踩死。这时，我虽然浑身鸡皮疙瘩，但我真像打了胜仗一样高兴。我哼着小曲继续洗菜。 看着水灵灵的青菜躺在篮子里，我高兴得又蹦又跳，终于能帮爸爸妈妈干一点力所能及的事了。

③ 煎饼问题的公式

#!/usr/bin/env python3
#我刚好辅导孩子昌郑迅到这个问题，想了几个小时，发现规律用python实现如下
def jianbing(bs=0,fz=0,sj=0):
# bs饼数，fz每次煎几丛笑个，sj每一面煎多长时间
print("煎"+str(bs)+"个饼，每次同时可煎"+str(fz)+"个，每一面煎"+str(sj)+"分钟")
if(bs<=fz):
return(sj*2)
qz=int(bs/fz)
ys=bs%fz
return(qz*sj*2+ys*sj)

print("耐此总共用时"+str(jianbing(3,2,5))+"分钟")

算法解释：如果饼的个数小于或等于每组个数，则时间等于单锅时间x2，否则时间等于煎饼的总数除以每组个数之商x单锅时间x2+余数x单锅时间。