prony算法

1. 从经典谱估计到现代谱估计

谐波分析最早可追溯到古代对时间的研究。18世纪伯努利（Bernoulli）、欧拉（Euler）和拉格朗日（Lagrange）等人对波动方程及其正弦解进行了研究，19世纪初叶，傅立叶（Fourier）证明了在有限时间段上定义的任何函数都可以用正弦和余弦分量的无限谐波的总和来表示。1898年舒斯特（Schuster）以傅立叶分析为基础来拟合待分析信号，研究太阳黑子数的周期变化，并提出了周期图的概念。1930年维纳（Wiener）发表了经典性论文《广义谐波分析》，对平稳随机过程的自相关函数和功率谱密度作了精确的定义，证明了二者之间存在着傅氏变换（以下简称傅氏变换）的关系，从而为功率谱分析奠定了坚实的统计学基础。由于1934年辛钦（Khintchine）也独立地证明了自相关函数和功率谱之间的傅氏变换关系，即维纳-辛钦（Wiener-Khintchine）定理。根据这个定理（详见第一章），平稳离散随机信号x（n）的自相关函数r_xx（m）

r_xx（m）=E［x（m+n）x^*（n）］ （4-1）

与功率谱P_xx（e^jω）之间构成一傅氏变换对，即

地球物理信息处理基础

若x（n）还是各态遍历性的，则其自相关函数可由它的一个采样时间序列用时间平均的方法求出，即

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在大多数应用中x（n）是实信号，于是上式可写成

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实际上，一般只能在时域观测到随机信号的有限个采样值（例如N个值），可表示为

x_N（n）=｛x（0），x（1），…，x（N-1）｝=｛x（n），n=0，1，…，N-1｝

其自相关函数只能由这N个采样数据进行估计，常用有偏估计

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这是一种渐近一致估计，称之为采样自相关函数。

用采样自相关函数的傅氏变换作为功率谱的估计，这种方法是布莱克曼（R.Blackman）和杜基（J.Tukey）在1958年提出来的，称为功率谱估计的自相关法（简称BT法）。此方法需要先求出有限个观测数据估计自相关函数，然后再根据式（4-2）计算出功率谱。在快速傅氏变换（FFT）算法提出之前，这是一种最流行的功率谱估计方法。

1965年库利（Cooley）和杜基（Tukey）完善了着名的FFT算法，使计算傅氏变换的速度提高了两个数量级，运算量显着降低，这样DFT变换很快在各领域，特别是在工程实践中得到了广泛应用。由式（4-5）知，

为x（n）与x（-n）的卷积运算，因为

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若x（n）的傅氏变换为X（e^jω），则x（-n）的傅氏变换等于X^*（e^jω）。对式（4-5）两端取傅氏变换，得到

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这表明：通过对随机数据直接进行离散傅氏变换，然后取其幅值的平方，再对多样本进行此种运算并取平均值作为功率谱的估计，即舒斯特的周期图，这种谱估计受到了人们的普遍重视，因为它不需要计算自相关函数，而直接计算功率谱。

周期图和自相关法以及它们的改进方法称为功率谱估计的经典方法，周期图和自相关法是经典功率谱估计的两个基本方法。由于FFT的出现，周期图和自相关法往往被结合起来使用，其步骤如下：

（1）对x_N（n）补N个零，求

；

（2）由

作傅氏变换，得

，这时｜m｜≤M=N-1；

（3）对

加窗函数v（m），这时｜m｜≤M＜＜N-1，得

；

（4）利用

，求

的傅氏变换，即

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由周期图法得到的功率谱

，其估计方差并不随样本长度的增加而趋于零，

，出人意料的是，不管数据记录有多长，周期图和自相关法得到的估计都不是功率谱的良好估计。事实上，随着记录长度增加，这两种估计的随机起伏反而会更加严重！此外，它们存在着以下两个难以克服的固有缺点。

（1）频率分辨率（区分两个邻近频率分量的能力）不高。因为它们的频率分辨率（赫兹）反比于数据记录长度（秒）（即Δf=k/T_p=k/NT，k为常数，T_p=NT为数据的记录长度，T为采样周期），而实际应用中一般不可能获得很长的数据记录，即观察到的数据只能是有限个，而观察不到的数据被认为是0。这样，如果只有N个观测数据，而对于N以外的数据，信号仍有较强的相关性，那么估计出的功率谱就会出现很大的偏差。

（2）对于有限的观测数据，相当于将信号在时域内乘以矩形窗函数，因而在频域内则相当于使真正的功率谱与sinc函数进行卷积，由于sinc函数不同于δ 函数，它有主瓣和旁瓣，这样使卷积后的功率谱不同于真正的功率谱。sinc函数的主瓣不是无限窄的，引起功率谱向附近频域扩展，造成谱的模糊，降低谱的分辨率；同时，由于sinc函数的旁瓣存在，导致能量向旁瓣中“泄漏”（称之为旁瓣泄漏），即引起频谱间的干扰，信号强的功率谱旁瓣影响信号弱的功率谱检测，严重时，会使主瓣产生很大失真，检测不出弱信号，或者把旁瓣误认为是信号，造成假信号。为了对经典功率谱估计进行改进，可以采用各种不同的窗函数，但其结果都是以增加主瓣宽度来换取旁瓣的压低，因此功率谱分辨率低是经典功率谱估计的致命缺点。

为了克服以上缺点，人们曾做过长期努力，提出了平均、加窗平滑等办法，在一定程度上改善了经典功率谱估计的性能。实践证明，对于长数据记录来说，以傅氏变换为基础的经典功率谱估计方法，的确是比较实用的。但是，经典方法始终无法根本解决频率分辨率和功率谱估计稳定性之间的矛盾，特别是在数据记录很短的情况下，这一矛盾显得尤为突出。这就促进了现代功率谱估计方法研究的展开。

现代功率谱估计方法主要是以随机过程（Stochastic Process）的参数模型（Parameter Model）为基础的，称之为参数模型方法。虽然说现代功率谱估计技术的研究和应用主要起始于60年代，但实际上，时间序列模型在非工程领域早已被采用，如Yule在1927年、Walker在1931年都曾使用过自回归模型预测描述经济的时间序列的发展趋势，而Prony则早在1795年就曾采用指数模型去拟合在气体化学实验中获得的数据。在统计学和数值分析领域中，人们也曾采用过模型方法。

现代功率谱估计的提出主要是针对经典功率谱估计（周期图和自相关法）的分辨率和方差性能不好的问题而提出的。1967年Burg在地震学研究中受到线性预测滤波的启发，提出了最大熵谱估计方法，在提高分辨率方面作了最有意义的探索。1968年Parzen正式提出了自回归谱估计方法。1971年Van der Bos证明了一维最大熵谱估计与自回归谱估计等效。1972年出现的谱估计的Prony方法在数学上与自回归方法有某些类似。目前以自回归滑动平均模型为基础的谱估计已经比自回归模型谱估计具有更高的频率分辨率和更好的性能。1973年Pisarenko提出的谐波分解方法提供了可靠的频率估计方法。1981年Schmidt提出了谱估计的多信号分类（MUSIC）算法等。因此，现代功率谱分析主要有ARMA谱分析、最大似然、熵谱估计和特征分解四种方法。ARMA谱分析是一种建模方法，即通过平稳线性信号过程建立模型来估计功率谱密度；熵谱估计包括最大熵谱和最小交叉法；特征分解也叫特征构造法和子空间法，包括Pisarenko谐波分解法、Prony法、MUSIC法和ESPRIT法（用旋转不变技术估计参数方法）。

现代功率谱估计研究仍侧重于一维功率谱分析，而且大部分是建立在二阶矩（相关函数、方差、功率谱密度）基础上的。但由于功率谱密度是频率的实函数，缺少相位信息，因此，建立在高阶谱基础上的谱估计方法正引起人们的注意，特别是双谱估计和三谱估计的研究受到了高度的重视。其它如多维谱估计、多通道谱估计等的研究也正在发展中。人们希望这些新方法能更多地在提取信息、估计相位和描述非线性等方面获得应用。

2. 压缩感知的历史背景

尽管压缩感知是由 E. J. Candes、J. Romberg、T. Tao 和D. L. Donoho 等科学家于2004 年提出的。但是早在上个世纪，相关领域已经有相当的理论和应用铺垫，包括图像处理、地球物理、医学成像、计算机科学、信号处理、应用数学等。
可能第一个与稀疏信号恢复有关的算法由法国数学家Prony 提出。这个被称为的Prony 方法的稀疏信号恢复方法可以通过解一个特征值问题，从一小部分等间隔采样的样本中估计一个稀疏三角多项式的非零幅度和对应的频率。而最早采用基于L1范数最小化的稀疏约束的人是B. Logan。他发现在数据足够稀疏的情况下，通过L1范数最小化可以从欠采样样本中有效的恢复频率稀疏信号。D. Donoho和B.Logan 是信号处理领域采用L1范数最小化稀疏约束的先驱。但是地球物理学家早在20 世纪七八十年代就开始利用L1范数最小化来分析地震反射信号了。上世纪90 年代，核磁共振谱处理方面提出采用稀疏重建方法从欠采样非等间隔样本中恢复稀疏Fourier 谱。同一时期，图像处理方面也开始引入稀疏信号处理方法进行图像处理。在统计学方面，使用L1范数的模型选择问题和相关的方法也在同期开始展开。
压缩感知理论在上述理论的基础上，创造性的将L1范数最小化稀疏约束与随机矩阵结合，得到一个稀疏信号重建性能的最佳结果。
压缩感知基于信号的可压缩性, 通过低维空间、低分辨率、欠Nyquist采样数据的非相关观测来实现高维信号的感知，丰富了关于信号恢复的优化策略,极大的促进了数学理论和工程应用的结合 。它是传统信息论的一个延伸，但是又超越了传统的压缩理论，成为了一门崭新的子分支。它从诞生之日起到现在不过五年时间，其影响却已经席卷了大半个应用科学。

3. 哪本书详细的讲了prony算法

Prony算法是信号处理中的一种重要方法，可以用于信号的分析、滤波、预测等。有一些书籍可以深入介绍Prony算法的数学原理，推荐以下几本：
1、《数字信号处理》（Digital Signal Processing，作者：John G. Proakis, Dimitris G. Manolakis）第6章
这本书是经典的信号处理教材，第6章详细介绍了Prony算法的数学原理，并给出了弯蔽肢相关的例子和MATLAB代码实现。
2、《Prony's method》埋世（作者：Giovanni S. Alberti）
这本书专门介绍了Prony算法的理论和应用，包括Prony方法的基本原理、算法的稳定性和收敛性、误差分析以及Prony方并饥法在信号处理、图像处理、振动分析等领域的应用。
3、《Applied Signal Processing: A MATLABTM-Based Proof of Concept》（作者：D. Sundararajan）
这本书是一个实践性的信号处理教材，其中包括Prony算法的数学原理和MATLAB代码实现，并通过多个实际案例来展示Prony算法在信号处理中的应用。
这些书籍都涵盖了Prony算法的数学原理和实现方法，并提供了实例和代码，可以帮助读者深入理解和应用Prony算法。