曲面算法
㈠ 三角曲面求交的分割法
6.1.2.1 分割法的基本原理
分割法是几何造型领域常用的曲面求交方法，适用贝塞尔和B样条曲面。曲面分割求交的基本思想是:先对两张曲面的凸包进行相交测试。若两者不相交，则曲面一定不相交。如果凸包相交，曲面有可能相交，则运用分割技术分别将两张曲面一分为四，然后对两者的子曲面重复上述测试过程，并舍去凸包不相交的子曲面片。当达到一定分割层次时或者曲面片已足够平坦时，即用平面片近似表示曲面片，并以平面片的交线近似表示曲面间的交线。最后将分段求得的交线段按照拓扑关系首尾相连，以获得整条交线(朱心雄等，2000)。由于曲面的凸包往往是一个不规则的多面体，不便于求交判断，并且计算凸包也需要花费机时，因此，为了方便，常常用矩形包围盒来代替凸包。
借鉴上述分割法，本书介绍一种适合于三角曲面求交的分割法，基本思路为:
(1)在合适的坐标系下，分别构造出两张曲面的矩形包围盒。
(2)通过坐标比较求出两个包围盒的交，作为新的包围盒。如果无交则曲面不相交;
(3)分别对两张曲面上的三角形进行分析，选择所有与新的包围盒相交的三角形作为子曲面。如果新的包围盒内不包含其中一张曲面的三角形，则曲面不相交。
(4)分别将两个子曲面一分为四，得到次一级子曲面，然后对两者的次一级子曲面重复上述过程，并舍去矩形包围盒不相交的子曲面片。
(5)当上述分割达到给定层次或子曲面只包1个三角形时，停止分割。
(6)然后计算出来自两张曲面的子曲面的交线，并将求得的交线段按照拓扑关系首尾相连，从而得到整条交线。
分别来自两张曲面上的三角形中往往只有少数部分有相交关系，如果对一张曲面上的所有三角形都要与另一张曲面上的三角形进行求交运算，就会造成大量浪费。分割法就是排除不可能相交三角形对，而只计算有可能相交的三角形对，因而可以有效提高计算效率。
6.1.2.2 矩形包围盒的构造
在统一坐标系下，矩形包围盒可以直接用两个角点的坐标定义，两个矩形包围盒是否有交集可以直接用坐标进行判断，便于进行相交测试。相同的曲面拥有不同的包围盒(图6.3)，选择合适的包围盒可以减少多余的相交测试，从而敬洞提高计算效率。矩形包围盒的构造方法如下:
(1)选择合适的坐标系，保证包围盒尽可能小。例如，对于图6.3中不相交的两张曲面，如果采用图6.3(a)中的坐标系与包围盒，那么包围盒存在相交区域，如果采用图6.3(b)中的坐标系与包围盒，可以直接判断出两张曲面没有交集。
(2)将曲面的结点坐标转换到新坐标系下，分别求出结点三维坐标的最小与最大值，将(xmin，ymin，zmin)与(xmax，ymax，zmax)作为矩形包围盒的角点坐标。
图6.3 曲面的矩形包围盒
6.1.2.3 三角曲面的分割方法
曲面分割就是将曲面或子曲面片进行一分为四的划分。三角曲面是由三角形组成的，曲面分割的结果是由一个或多个三角形组成的子曲面片。对于单值曲面的分割，可以将三角曲面网格投影到参考面上，然后将投影范围划分成面积大致相等的4个部分，对于每个部分，选择与该部分有交的所有三角形，将这些三角形所对应的曲面上的三角形组成子曲面，并保证一个三角形只位于一个子曲面上。如果曲面是多值曲面时，曲面不能直接投影到参考面上。但是，由于多值曲面也是正则的，因而可以将其映射到一张二维平面三角网格上，再按单值曲面的分割方法进行曲面分割。
何时终止分割由分割深度控制。分割深度控制有3种:①固定分割深度控制，即分割前规定分割层数，达到分割层数后直接进行子曲面求交;②固定子曲面规模的分割控制，即在分割时当子曲面包含的亮州枯三角形数少于给定数量时停止分割;③穷举分割控制，即迹槐保证分割后子曲面内只包含一个三角形。
三角曲面的交线是由分别来自两张曲面的三角形的交线段组成的，三角曲面的求交运算最终归结为两个三角形的求交运算。采用穷举分割时，需要进行求交运算的每个子曲面只包含一个三角形，排除了大量不可能相交的三角形对，从而减少了三角形求交次数，提高了计算效率。但是这种方法的分割层次多，涉及大量的曲面分割计算与包围盒构建计算，从而降低了计算效率。采用固定子曲面规模的分割控制时，两张可能相交的子曲面内各包含一定数量的三角形，选择来自一张子曲面的每个三角形与另一张子曲面的所有三角形进行求交运算，求出交线段。与穷举分割相比，三角形求交运算次数增多了，但如果合理给定求交子曲面的规模，可以减少曲面分割与包围盒构建计算。
6.1.2.4 分割法曲面求交算法
根据上述思路设计的曲面求交算法如下:
三维地质建模方法及程序实现
三维地质建模方法及程序实现
㈡ 三角曲面求交的网格法
6.1.3.1 网格法的基本原理
由于三角曲面求交运算最终是三角形之间的求交运算，因此，我们在不能漏掉任何可能相交的三角形对的同时，要尽量排除不可能相交的三角形对。网格法的目的就是寻找可能相交的三角形对。该方法先将曲面包围盒的相交区域划分成规则六面体格网，先找到与每个网格单元相交的三角形，再将每个单元内分别来自两张曲面的三角形组成可能相交三角形对，再对可能相交三角形对进行求交运算。网格法的基本过程为:
(1)先在合适的坐标系下分别构造出两张三角曲面的矩形包围盒，求出两个包围盒的交作为新的包围盒;
(2)然后将新包围盒划分成由若干规则六面体组成的格网;
(3)针对每个咐毁网格，分别从两张曲面中找到与其相交的所有三角形，并组成可能相交的三角形对;
(4)对所有网格中的三角形对衡芹备进行整理，删除重复三角形对;
(5)对所有三角形对进行求交运算，计算出交线段;
(6)进行交线追踪，获得曲面交线。
6.1.3.2 格网的构建
为了方便，常常将两张曲面的包围盒的相交区域划分成等尺寸的规则六面体格网。这样，仅仅根据坐标就可以很方便地确定每个结点位于哪个网格内。
显然，不与任何一个相同网格相交的两个三角形是不可能相交的。网格法可以排除很多不相交的三角形对，也不会漏掉任何相交的三角形对。网格的大小是影响计算效率的关键。如果网格单元尺度太大，则会得到更多的可能相交三角形对，降低了不相交三角形对的排除效率;如果网首此格单元尺度太小，内存就会开销增大，而且三角形与格网相交计算量也会增大。一般情况下，可以使网格边长与三角网格的平均边长相当。
6.1.3.3 三角形与格网的相交判断
由于曲面上有数量众多的三角形，如果直接判断每个三角形与每个网格单元是否相交，则计算效率非常低。下面介绍一种判断一个三角形与格网相交的方法，算法思路如下:
(1)在格网所在坐标系下，将三角形与格网分别投影到xoy面上(图6.3(a))。格网的投影为一个平面格网，而三角形的投影为三角形或一条线段。如果三角形的投影为线段，则选择xoz或yoz为投影面。为了叙述简便，这里只介绍在xoy面上的投影为三角形的情况。
(2)计算投影三角形的边与平面网格线的交点，并计算过每个交点的xoy面的垂线与三角形的交点，将这些交点与三角形的顶点合并组成点集Ω。
(3)利用Ω中的点在xoy面上的投影坐标直接判断每个点所在的格网单元(包括位于格网单元内部或边界上)，找到同属一个格网单元内的点组成子集(一个点可以位于多个格网单元内)。
(4)针对每个Ω的子集Ф及投影所在的格网单元g(图6.4(b))，将原三维格网中平面投影为g的所有格网单元组成列G。找到子集Φ中点的最小与最大z坐标，从最小到最大z坐标所跨越的G中的网格单元即为与该三角形有相交的格网单元。
(5)删除由上述方法所得的重复记录的格网单元，就可得到与该三角形相交的所有格网单元。
图6.4 三角形与格网求交示意
6.1.3.4 网格法曲面求交算法
网格法三角曲面求交算法如下:
三维地质建模方法及程序实现
㈢ 对于一般的光滑曲面，什么算法能够求出曲面上确定两点间的最短距离
直线外同侧有两点，在直线上取一点使该点到这两点的距冲罩离最短？
答 连接这两点，散猛闹然后做做的这条直线的知行中垂线（垂直平分线），会与原直线有个交点，这个点就是所求的点。该点到这两点的距离最短。
在两点外取一点使到这两点的距离最短怎样取这点，这点应该怎样确定？？
答 刚才我说的不太全面，因为两点之间线段最短，所以所求的点只要在这条线段上就行。
㈣ 曲面拟合方法和曲面重构方法有哪些
散点曲面重构是计算机图形学中的一个基本问题，针对这个问题提出了一种全新的基于核回归方法的散点曲面重构方法，使用二维信号处理方法中非参数滤波等成熟手段进行曲面重构。
这种方法可以生成任意阶数连续的曲面，在理论上保证了生成曲面的连续性，可以自定义网格的拓扑，在曲率大或者感兴趣的局部能够自适应调整网格点的密度，生成的结果方便LOD建模，数据的拟合精度也可以通过调整滤波参数控制，算法自适应调整滤波器的方向，使结果曲面可以更好保持尖锐特征。同时在构造过程中避免了传统的细分曲面方法中迭代、Delaunay剖分和点云数据中重采样等时间开销大的过程，提高了效率。对于采样不均、噪声较大的数据。该算法的鲁棒性很好。实验表明这种曲面建模方法能够散点重构出精度较高的连续曲面，在效率上有很大提高，在只需要估计曲面和其一阶导数时，利用Nadaraya-Watson快速算法可以使算法时间复杂度降为O（N），远低于其他曲面重构平滑方法。同时算法可以对曲面的局部点云密度、网格顶点法矢等信息做有效的估计。重构出的曲面对类似数字高程模型（DEM）的数据可以保证以上的优点。但如果散点数据不能被投影到2维平面上，曲面重构就需要包括基网格生成、重构面片缝合等过程。缝合边缘的连续性也不能在理论上得到保证
㈤ 同济第七版高等数学的几种曲面积分求法
你好！第二类曲面积分的算法总结如下：
1：由于是有方向性的，所以有
“偶零奇倍”性质，跟一般情况相反的
F(x)是偶函数时，若Σ关于相应的面是对称的，一个部分取 +，一个部分取 -
结果就轿汪是F(x) - F(- x) = F(x) - F(x) = 0，两个部分互相抵消了
F(x)奇函数时，同样情况，一个部分取 +，一个部分取 -
结果就是F(x) - F(- x) = F(x) + F(x) = 2F(x)，两个部分的积分都相等，可叠加
2：三合一公式
对于Σ是z = z(x,y)形式的
法向量n = ± { - z'x，- z'y，1 }
则∫∫_(Σ) Pdydz+Qdzdx+Rdxdy
= ± ∫∫_(D) { P(- z'x) + Q(- z'y) + 1 } dxdy
取上/右/前 侧时，取 + 号
取下/左/后 侧时，取 - 号
3：高斯公式
∫∫_(Σ) Pdydz+Qdzdx+Rdxdy
= ± ∫∫∫_(Ω) (∂P/∂x+∂Q/∂y+∂R/∂z) dxdydz
- ∫_(Σ和) Pdydz+Qdzdx+Rdxdy
后面(Σ和)那部分，若原本给的曲面是不能围成封闭空间的话，不能直接使用高斯公式，需要补上几个面后使得区域封闭，例如补上若干个(Σ和)曲面，就可以运用高斯公式了，还要注意最后要减少所补上那几个曲面(Σ和)相应的积分
4：派带挖洞
若在Σ上，被积函数上有奇点的话，也不能直接运用高斯公式
需要补上一个小空间r=ε，足以包括所有内部的奇点的，然后取半径ε趋向0
运用高斯公式时也要减去这个部分相应的积分
所以有∫∫_(Σ) = ± ∫∫∫_(Ω) - ∫∫_(ε)
5：替代
若被积函数f的方程是在Σ上，则可以优先把Σ的方程代入f中
例如给Σ方程：x²+y²+z²=a²
则∫∫_(Σ) (Pdydz+Qdzdx+Rdxdy)/√(x²+y²+z²)
= ∫∫_(Σ) (Pdydz+Qdzdx+Rdxdy)/a
= (1/a)∫∫_(Σ) Pdydz+Qdzdx+Rdxdy
于是这样，就可以避免了4：的情况，不用挖洞
去掉奇点后就可以继续补闭羡仔面使用高斯公式了
很高兴能回答您的提问，您不用添加任何财富，只要及时采纳就是对我们最好的回报
。若提问人还有任何不懂的地方可随时追问，我会尽量解答，祝您学业进步，谢谢。XD
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㈥ 曲面积分的算法高数
## 几何意义
曲面Σ上任一点都满足x^2+y^2+z^2=4，所以积分区域上的被积函数x^2+y^2+z^2=4
I = 4∫∫dS = 4*4πR^2 = 64π
其中∫∫dS的几何意义是Σ即球面x^2+y^2+z^2=4的表面积，代入表面积公式4πR^2即可
㈦ （高数）曲面积分的计算
直接化成二重积分计算。
∑在xoy的投影区域D是：
直线x+y=1与两个坐标轴围成的直角三角形区域。
原式=-∫∫〔D〕【xy（1-x-y）】dxdy
=-∫〔0到1〕dx∫〔0到1-x〕【xy-xxy-xyy】dy
㈧ 想问一下，Catia的曲面算法
CATIA完成曲面的方法很多种(GSD创成式、FSS自由困链谨风格、ACA汽车A级、FST自由风格草图…唤拦…）汪基曲面，怎么算法不明白
㈨ 对坐标的曲面积分
对坐标的曲面积分如下：
无论是重积分，还是曲线积分或是曲面积分，最后都要化为定积分进行积分运算，因为我们只会定积分的运算，如二重积分化为累次积分，三重积分化为一次定积分和一次二重积分进行计算。下面我们主要看其中的一种就是对坐标的曲面积分的算法。
对坐标的线积分的实际意义
这个积分涉及两个函数P和Q，就算P=Q=1，那么由于对坐标曲线积分的物理意义是力沿曲线做的功，而P和Q就分别是力F在x和y轴方向的分量，两纤穗个分量都等于1也没什么意义吧，充其量也就表示个“曲线在x和y轴投影长度的轿慎代数和”（还与方向有关），没什么实际意义。
㈩ 曲面的网络解释曲面的网络解释是什么
曲面的网络解释是：曲面（数学术语）曲面可以看作是一条动线(直线或曲线)在空间连续运动所形御猛冲成的轨迹，形成曲面的动线称为母线。母线在曲面中的任一位置称为曲面的素线，用来控制母线运动的面、线和点称为导面、导线和导点。知陵
曲面的网络解释是：曲面（数学术语）曲面可以看作是一条动线(直线或曲线)在空间连续运动所形成的轨迹，形成曲面的动线称为母线。母线在曲面中的任一位置称为曲面的素线，用来控制母线运动的面、线和点称为导面、导线和导点。注音是：ㄑㄨˇㄇ一ㄢ_。结构是：曲(独体结构)面(独体结构)。拼音是：qūmiàn。词性是：名词。
曲面的具体解释是什么呢，我们通过以下几个方面为您介绍：
一、词语解释【点此查看计划详镇歼细内容】
物体的边缘或空间中的曲线依一定条件运动的轨迹，例如球面、圆柱面等。
二、引证解释
⒈物体的边缘或空间中的曲线依一定条件运动的轨迹，例如球面、圆柱面等。
三、国语词典
实体的表面或空间中的曲线依某一特定条件移动所形成的轨迹。如圆锥、圆柱之面及球面等。词语翻译英语curvedsurface,surface德语_berh_hung(S)_,Fl_che(S,Math)_法语surface
关于曲面的诗句
盖古之审曲面势者
关于曲面的单词
causticIntricate-surface
关于曲面的成语
面面相觑面面俱到面红面绿审曲面_弯弯曲曲面面圆到面红面_面面俱圆面面相看面面相窥
关于曲面的词语
审曲面势
关于曲面的造句
1、该算法无需对点云模型进行网格化，无需对点云模型进行局部或全局的曲面重建，适合大规模点云模型上测地线的计算。
2、不依赖图的其它参数，而主要依据图嵌入在定向曲面上的有关嵌入性质，该文研究图的最大亏格。
3、好吧，我知道你们其实不喜欢，计算一个向量场中曲面的通量，所以你们可能不知道我为什么要这么做。
4、而现实中往往可见到许多曲面上的图像，比如柱面帖图、球面帖图，处理此类图像采用基于直角坐标系的微分算子显然不能胜任。
5、反射线模型是一种评估曲面光顺性的强有力工具。
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