newton算法

❶ 牛顿迭代公式有关算法

牛顿迭代法求方程的一个实根
牛顿公式：x(k+1) = x(k) - f(x(k)) / f '(x(k))

迭代函数：Ф(x) = x - f(x) / f'(x)

属性：方程求根迭代法

此时的迭代函数必须保证X(k)有极限，即迭代收敛。

《数值计算方法与算法》-2 Editon -科学出版社 P93
《C#数值计算算法编程》-周长发 P210

代码维护：2007.04.20 pengkuny
**/

#include<iostream>
#include<cmath>

using namespace std;

#define f(x) (x*x*(x-1.0)-1.0) //举例函数x^3-x^2-1
#define g(x) (3.0*x*x-2.0*x) //导函数3x^2-2x
#define epsilon 0.0000001 //精度
#define MAXREAPT 100

bool RootNewton(double &x)
{
double xk1,xk0;

xk0 = x;
for (int k=0; k<MAXREAPT; k++)
{
if (g(xk0) == 0.0)//牛顿迭代法缺陷在于:收敛是否与初值x0密切相关
{//如果g(xk0)数值特别小时,有可能发生从一个根跳到另一个根附近的情况
cout<<"迭代过程中导数为0."<<endl;
return false;
}

xk1 = xk0 - f(xk0)/g(xk0);//key step

if (fabs(xk1-xk0) < epsilon && fabs(f(xk1)) < epsilon)
{//注意迭代结束条件是: |f(xk1)| < ε和|xk1-xk0| < ε同时成立,防止根跳跃
x = xk1;
return true;
}
else
{
xk0 = xk1;
}
}

//迭代失败
cout<<"迭代次数超过预期."<<endl;
return false;
}

int main()
{
double x;
cout<<"牛顿迭代法求方程根,请输入初始迭代x0值:"<<endl;
cin>>x;

if(RootNewton(x))
{
cout<<"该值附近的根为:"<<x<<endl;
}
else
{
cout<<"迭代失败!"<<endl;
}

system("pause");
return 0;
}

❷ 牛顿迭代方法

牛顿迭代法（Newton's method）又称为牛顿-拉夫逊（拉弗森）方法（Newton-Raphson method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。

中文名
牛顿迭代法
外文名
Newton's method
别名
牛顿-拉夫逊（拉弗森）方法
提出时间
17世纪
快速
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牛顿迭代公式

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产生背景
多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可解，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。方法使用函数 的泰勒级数的前面几项来寻找方程 的根。牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程 的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根，此时线性收敛，但是可通过一些方法变成超线性收敛。另外该方法广泛用于计算机编程中。
牛顿迭代公式
设 是 的根，选取 作为 的初始近似值，过点 做曲线 的切线 ， ，则 与 轴交点的横坐标 ，称 为 的一次近似值。过点 做曲线 的切线，并求该切线与x轴交点的横坐标 ，称 为r的二次近似值。重复以上过程，得 的近似值序列，其中， 称为 的 次近似值，上式称为牛顿迭代公式。
用牛顿迭代法解非线性方程，是把非线性方程 线性化的一种近似方法。把 在点 的某邻域内展开成泰勒级数 ，取其线性部分（即泰勒展开的前两项），并令其等于0，即 ，以此作为非线性方程 的近似方程，若 ，则其解为 ， 这样，得到牛顿迭代法的一个迭代关系式： 。
已经证明，如果是连续的，并且待求的零点是孤立的，那么在零点周围存在一个区域，只要初始值位于这个邻近区域内，那么牛顿法必定收敛。 并且，如果不为0, 那么牛顿法将具有平方收敛的性能. 粗略的说，这意味着每迭代一次，牛顿法结果的有效数字将增加一倍。
迭代法也称辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程，跟迭代法相对应的是直接法（或者称为一次解法），即一次性解决问题。迭代算法是用计算机解决问题的一种基本方法。它利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点，让计算机对一组指令（或一定步骤）重复执行，在每次执行这组指令（或这些步骤）时，都从变量的原值推出它的一个新值。
利用迭代算法解决问题，需要做好以下三个方面的工作：
一、确定迭代变量
在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个可直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量。
二、建立迭代关系式
所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式（或关系）。迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用递推或倒推的方法来完成。
三、对迭代过程进行控制
在什么时候结束迭代过程？这是编写迭代程序必须考虑的问题。不能让迭代过程无休止地执行下去。迭代过程的控制通常可分为两种情况：一种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来；另一种是所需的迭代次数无法确定。对于前一种情况，可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制；对于后一种情况，需要进一步分析得出可用来结束迭代过程的条件。
其他迭代算法
欧几里德算法
最经典的迭代算法是欧几里德算法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理：
定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)
证明：a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b。假设d是a,b的一个公约数，则有 a%d==0,b%d==0，而r = a - kb，因此r%d==0 ，因此d是(b,a mod b)的公约数
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❸ 牛顿法的时间复杂度是什么

牛顿法的时间复杂度是：

时间复杂性，又称时间复杂度，算法的时间复杂度是一个函数，它定性描述该算法的运行时间。这是一个代表算法输入值的字符串的长度的函数。

时间复杂度常用大O符号表述，不包括这个函数的低阶项和首项系数。使用这种方式时，时间复杂度可被称为是渐近的，亦即考察输入值大小趋近无穷时的情况。

时间复杂度的次指数时间：

术语次指数时间用于表示某些算法的运算时间可能比任何多项式增长得快，但仍明显小于指数。在这种状况下，具有次指数时间算法的问题比那些仅具有指数算法的问题更容易处理。“次指数”的确切定义并没有得到普遍的认同，我们列出了以下两个最广泛使用的。

❹ 牛顿迭代法的牛顿迭代公式

设r是的根，选取作为r的初始近似值，过点做曲线的切线L，L的方程为，求出L与x轴交点的横坐标，称x1为r的一次近似值。过点做曲线的切线，并求该切线与x轴交点的横坐标，称为r的二次近似值。重复以上过程，得r的近似值序列，其中，称为r的次近似值，上式称为牛顿迭代公式。
用牛顿迭代法解非线性方程，是把非线性方程线性化的一种近似方法。把在点的某邻域内展开成泰勒级数，取其线性部分（即泰勒展开的前两项），并令其等于0，即，以此作为非线性方程的近似方程，若，则其解为， 这样，得到牛顿迭代法的一个迭代关系式：。
已经证明，如果是连续的，并且待求的零点是孤立的，那么在零点周围存在一个区域，只要初始值位于这个邻近区域内，那么牛顿法必定收敛。 并且，如果不为0, 那么牛顿法将具有平方收敛的性能. 粗略的说，这意味着每迭代一次，牛顿法结果的有效数字将增加一倍。
军人在进攻时常采用交替掩护进攻的方式，若在数轴上的点表示A，B两人的位置，规定在前面的数大于后面的数，则是A>B，B>A交替出现。但现在假设军中有一个胆小鬼，同时大家又都很照顾他，每次冲锋都是让他跟在后面，每当前面的人占据一个新的位置，就把位置交给他，然后其他人再往前占领新的位置。也就是A始终在B的前面，A向前迈进，B跟上，A把自己的位置交给B（即执行B = A），然后A 再前进占领新的位置，B再跟上，直到占领所有的阵地，前进结束。像这种两个数一前一后逐步向某个位置逼近的方法称为迭代法。
迭代法也称辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程，跟迭代法相对应的是直接法（或者称为一次解法），即一次性解决问题。迭代算法是用计算机解决问题的一种基本方法。它利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点，让计算机对一组指令（或一定步骤）重复执行，在每次执行这组指令（或这些步骤）时，都从变量的原值推出它的一个新值。
利用迭代算法解决问题，需要做好以下三个方面的工作：
一、确定迭代变量
在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个可直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量。
二、建立迭代关系式
所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式（或关系）。迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用递推或倒推的方法来完成。
三、对迭代过程进行控制
在什么时候结束迭代过程？这是编写迭代程序必须考虑的问题。不能让迭代过程无休止地执行下去。迭代过程的控制通常可分为两种情况：一种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来；另一种是所需的迭代次数无法确定。对于前一种情况，可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制；对于后一种情况，需要进一步分析得出可用来结束迭代过程的条件。

❺ 牛顿法的优缺点

牛顿法最大的特点就在于它的收敛速度很快。
优点：
二阶收敛，收敛速度快
缺点：
牛顿法是一种迭代算法，每一步都需要求解目标函数的Hessian矩阵的逆矩阵，计算比较复杂。
牛顿法收敛速度为二阶，对于正定二次函数一步迭代即达最优解。
牛顿法是局部收敛的，当初始点选择不当时，往往导致不收敛；
二阶海塞矩阵必须可逆，否则算法进行困难。