算法是正交

① 正交小波包分解算法及其频域表现

这里仍以V₀分解成3层的空间分解及其数据A⁰的分解为例来说明小波包分解算法。下面将用U₀表示V₀，称A⁰是表现U₀的数据。用正交小波分解中的算子H和G，按图6-34的方法形成小波包数据，图6-35则表示了与图6-34相对应的小波包子空间分解结构关系。图中的子空间标记，例如U_1，2和U_2，2，其下标分别表示分解层次与子空间的顺序，则U₀的第一层分解，有2个子空间，第2层分解有4个子空间，第3层分解共有8个子空间。

图6-34 小波包数据分解关系

图6-35 小波包数据分解结构

弄清图6-35中各子空间的相互关系是重要的。由于正交小波分解中算子H和G的作用，在第1层分解中，有

U₀=U_1，1⊕U_1，2，U_1，1⊥U_1，2

类比可知第2层分解中，有

U_1，1=U_2，1⊕U_2，2；U_2，1⊥U_2，2；U_1，2=U_2，3⊕U_2，4，U_2，3⊥U_2，4；

同样类比，可知在第3层分解中有

U_3，j=U_2，2j-1⊕U_2，2j，U_2，2j-1⊥U_2，2j，

j=1，2，3，4。

另外，在同一尺度上的所有子空间都是正交的，例如，U_2，1、U_2，2、U_2，3、U_2，4是相互正交的，U_3，1…U_3，8是相互正交的。还有一些子空间是相互不正交的，例如，U₀、U_1，1、U_2，2和U_3，4它们互相不正交，U₀、U_1，2、U_2，3和U_3，5之间也互相不正交。总之，把H和G在正交小波分解中的作用类比到小波包情形，是不难弄清各子空间之间的正交性的。

弄清小波包子空间所对应的频带也是很重要的。从子空间对应频带相互不重叠的表现也可以了解子空间之间的正交性质。图6-36仅表示了U_1，2所对应频带的分解情形。

图6-36 关于图6-35小波子空间所对应的频带分析

总之，小波包可以从多个方面去理解。从数据结构关系来看，它是一种二分树结构；从数据分解关系来看，它是一种递推算法；从空间分解关系来看，它把正交小波分解的子空间做进一步细分；从频域划分来看，它将有限频带细分为若干更细频带的组合。

图6-37 小波包重构算法中的子空间组合及其所对应的时频窗