遗传算法的数学基础

A. 遗传算法求解

遗传算法在很多领域都得到应用；从神经网络研究的角度上考虑，最关心的是遗传算法在神经网络的应用。在遗传算法应用中，应先明确其特点和关键问题，才能对这种算法深入了解，灵活应用，以及进一步研究开发。

一、遗传算法的特点

1．遗传算法从问题解的中集开始嫂索，而不是从单个解开始。

这是遗传算法与传统优化算法的极大区别。传统优化算法是从单个初始值迭代求最优解的；容易误入局部最优解。遗传算法从串集开始搜索，复盖面大，利于全局择优。

2．遗传算法求解时使用特定问题的信息极少，容易形成通用算法程序。

由于遗传算法使用适应值这一信息进行搜索，并不需要问题导数等与问题直接相关的信息。遗传算法只需适应值和串编码等通用信息，故几乎可处理任何问题。

3．遗传算法有极强的容错能力

遗传算法的初始串集本身就带有大量与最优解甚远的信息；通过选择、交叉、变异操作能迅速排除与最优解相差极大的串；这是一个强烈的滤波过程；并且是一个并行滤波机制。故而，遗传算法有很高的容错能力。

4．遗传算法中的选择、交叉和变异都是随机操作，而不是确定的精确规则。

这说明遗传算法是采用随机方法进行最优解搜索，选择体现了向最优解迫近，交叉体现了最优解的产生，变异体现了全局最优解的复盖。

5．遗传算法具有隐含的并行性

遗传算法的基础理论是图式定理。它的有关内容如下：

(1)图式(Schema)概念

一个基因串用符号集{0，1，*}表示，则称为一个因式；其中*可以是0或1。例如：H=1x x 0 x x是一个图式。

(2)图式的阶和长度

图式中0和1的个数称为图式的阶，并用0(H)表示。图式中第1位数字和最后位数字间的距离称为图式的长度，并用δ(H)表示。对于图式H＝1x x0x x，有0(H)＝2，δ(H)＝4。

(3)Holland图式定理

低阶，短长度的图式在群体遗传过程中将会按指数规律增加。当群体的大小为n时，每代处理的图式数目为0(n3)。

遗传算法这种处理能力称为隐含并行性(Implicit Parallelism)。它说明遗传算法其内在具有并行处理的特质。

二、遗传算法的应用关键

遗传算法在应用中最关键的问题有如下3个

1．串的编码方式

这本质是问题编码。一般把问题的各种参数用二进制编码，构成子串；然后把子串拼接构成“染色体”串。串长度及编码形式对算法收敛影响极大。

2．适应函数的确定

适应函数(fitness function)也称对象函数(object function)，这是问题求解品质的测量函数；往往也称为问题的“环境”。一般可以把问题的模型函数作为对象函数；但有时需要另行构造。

3．遗传算法自身参数设定

遗传算法自身参数有3个，即群体大小n、交叉概率Pc和变异概率Pm。

群体大小n太小时难以求出最优解，太大则增长收敛时间。一般n＝30-160。交叉概率Pc太小时难以向前搜索，太大则容易破坏高适应值的结构。一般取Pc=0.25-0.75。变异概率Pm太小时难以产生新的基因结构，太大使遗传算法成了单纯的随机搜索。一般取Pm＝0．01—0．2。

三、遗传算法在神经网络中的应用

遗传算法在神经网络中的应用主要反映在3个方面：网络的学习，网络的结构设计，网络的分析。

1．遗传算法在网络学习中的应用

在神经网络中，遗传算法可用于网络的学习。这时，它在两个方面起作用

(1)学习规则的优化

用遗传算法对神经网络学习规则实现自动优化，从而提高学习速率。

(2)网络权系数的优化

用遗传算法的全局优化及隐含并行性的特点提高权系数优化速度。

2．遗传算法在网络设计中的应用

用遗传算法设计一个优秀的神经网络结构，首先是要解决网络结构的编码问题；然后才能以选择、交叉、变异操作得出最优结构。编码方法主要有下列3种：

(1)直接编码法

这是把神经网络结构直接用二进制串表示，在遗传算法中，“染色体”实质上和神经网络是一种映射关系。通过对“染色体”的优化就实现了对网络的优化。

(2)参数化编码法

参数化编码采用的编码较为抽象，编码包括网络层数、每层神经元数、各层互连方式等信息。一般对进化后的优化“染色体”进行分析，然后产生网络的结构。

(3)繁衍生长法

这种方法不是在“染色体”中直接编码神经网络的结构，而是把一些简单的生长语法规则编码入“染色体”中；然后，由遗传算法对这些生长语法规则不断进行改变，最后生成适合所解的问题的神经网络。这种方法与自然界生物地生长进化相一致。

3．遗传算法在网络分析中的应用

遗传算法可用于分析神经网络。神经网络由于有分布存储等特点，一般难以从其拓扑结构直接理解其功能。遗传算法可对神经网络进行功能分析，性质分析，状态分析。

遗传算法虽然可以在多种领域都有实际应用，并且也展示了它潜力和宽广前景；但是，遗传算法还有大量的问题需要研究，目前也还有各种不足。首先，在变量多，取值范围大或无给定范围时，收敛速度下降；其次，可找到最优解附近，但无法精确确定最扰解位置；最后，遗传算法的参数选择尚未有定量方法。对遗传算法，还需要进一步研究其数学基础理论；还需要在理论上证明它与其它优化技术的优劣及原因；还需研究硬件化的遗传算法；以及遗传算法的通用编程和形式等。

B. 基本遗传算法介绍

遗传算法是群智能优化计算中应用最为广泛、最为成功、最具代表性的智能优化方法。它是以达尔文的生物进化论和孟德尔的遗传变异理论为基础，模拟生物进化过程和机制，产生的一种群体导向随机搜索技术和方法。

遗传算法的基本思想：首先根据待求解优化问题的目标函数构造一个适应度函数。然后，按照一定的规则生成经过基因编码的初始群体，对群体进行评价、遗传运算（交叉和变异）、选择等操作。经过多次进化，获得适应度最高的一个或几个最优个体作为问题的最优解。

编码是对问题的可行解的遗传表示，是影响算法执行效率的关键因素的之一。遗传算法中，一个解 称为个体或染色体（chromosome），染色体由被称为基因（gene）的离散单元组成，每个基因控制颜色体的一个或多个特性，通常采用固定长度的0-1二进制编码，每个解对应一个唯一的二进制编码串编码空间中的二进制位串称为基因型（genotype）。而实际所表示问题的解空间的对应点称为表现型（phenotype）。

种群由个体构成，每个个体的染色体对应优化问题的一个初始解。

适应度函数是评价种群中个体对环境适应能力的唯一确定性指标，体现出“适者生存，优胜劣汰”这一自然选择原则。

遗传算法在每次迭代过程中，在父代种群中采用某种选择策略选择出指定数目的哥特体提进行遗传操作。最常用的选择策略是正比选择（proportional selection）策略。

在 交叉算子中，通常由两个被称为父代（parent）的染色体组合，形成新的染色体，称为子代（offspring）。父代是在种群中根据个体适应度进行选择，因此适应度较高的染色体的基因更有可能被遗传到下一代 。通过在迭代过程中不断地应用交叉算子，使优良个体的基因得以在种群中频繁出现，最终使得整个种群收敛到一个最优解。

在染色体交叉之后产生的子代个体，其基因位可能以很小的概率发生转变，这个过程称为变异。变异是为了增强种群的多样性，将搜索跳出局部最优解。

遗传算法的停止准则一般采用设定最大迭代次数或适应值函数评估次数，也可以是规定的搜索精度。

已Holland的基本GA为例介绍算法等具体实现，具体的执行过程描述如下：

Step 1： 初始化 。随机生成含有 个个体的初始种群 ，每个个体经过编码对应着待求解优化问题的一个初始解。

Step 2： 计算适应值 。个体 ，由指定的适应度函数评价其适应环境的能力。不同的问题，适应度函数的构造方式也不同。对函数优化问题，通常取目标函数作为适应度函数。

Step 3： 选择 。根据某种策略从当前种群中选择出 个个体作为重新繁殖的下一代群体。选择的依据通常是个体的适应度的高低，适应度高的个体相比适应度低的个体为下一代贡献一个或多个后代的概率更大。选择过程提现了达尔文“适者生存”原则。

Step 4： 遗传操作 。在选出的 个个体中，以事件给定的杂交概率 任意选择出两个个体进行 交叉运算 ，产生两个新的个体，重复此过程直到所有要求杂交的个体杂交完毕。根据预先设定的变异概率 在 个个体中选择出若干个体，按一定的策略对选出的个体进行 变异运算 。

Step 5： 检验算法等停止条件 。若满足，则停止算法的执行，将最优个体的染色体进行解码得到所需要的最优解，否则转到 Step 2 继续进行迭代过程。

C. 遗传算法的核心是什么！

遗传操作的交叉算子。

在自然界生物进化过程中起核心作用的是生物遗传基因的重组(加上变异)。同样，遗传算法中起核心作用的是遗传操作的交叉算子。所谓交叉是指把两个父代个体的部分结构加以替换重组而生成新个体的操作。通过交叉，遗传算法的搜索能力得以飞跃提高。

交叉算子根据交叉率将种群中的两个个体随机地交换某些基因，能够产生新的基因组合，期望将有益基因组合在一起。

(3)遗传算法的数学基础扩展阅读

评估编码策略常采用以下3个规范：

a)完备性(completeness):问题空间中的所有点(候选解)都能作为GA空间中的点(染色体)表现。

b)健全性(soundness): GA空间中的染色体能对应所有问题空间中的候选解。

c)非冗余性(nonrendancy):染色体和候选解一一对应。

目前的几种常用的编码技术有二进制编码，浮点数编码，字符编码，变成编码等。

而二进制编码是目前遗传算法中最常用的编码方法。即是由二进制字符集{0,1}产生通常的0,1字符串来表示问题空间的候选解。

D. 遗传算法^[1，]

遗传算法，又称基因算法(Genetic Algorithm，简称GA)，也是一种启发式蒙特卡洛优化算法。遗传算法最早是由Holland(1975)提出，它模拟了生物适者生存、优胜劣汰的进化过程，具有不依赖于初始模型的选择、不容易陷入局部极小、在反演过程中不用计算偏导数矩阵等优点。遗传算法最早由Stoffa和Sen(1991)用于地震波的一维反演，之后在地球物理资料的非线性反演中得到广泛的应用。GA算法对模型群体进行追踪、搜索，即模型状态通过模型群体传送，具有比模拟退火法更大、更复杂的“记忆”，潜力更大。

遗传算法在反演中的基本思路和过程是:

(1)将生物体看成模型，模型参数看成染色体，有多少个模型的参数就有多少个染色体。对每个模型的参数(染色体)用二进制进行编码，这个编码就是基因。

(2)随机生成一个模型群体(相当于生物的种群)，然后在模型群体中进行繁殖，通过母本的选择、交换和变异等遗传操作产生下一代，然后保留较好基因，淘汰较差基因。

(3)通过一代一代的繁殖优胜劣汰的进化过程，最后所剩下的种群基本上都是最优的基因，种群趋于一致。所谓群体“一致”，即群体目标函数的方差或标准差很小，或者群体目标函数的均值接近于极值(可能是极大值或极小值)，从而获得非线性反演问题所对应的最优解或近似最优解。

下面以一个实例来简述遗传算法的基本过程。

[例1]设m是正整数，且0≤m≤127，求方程φ(m)=m²的极大值。

这个例子极为简单，只有一个模型参数，因此只有一条染色体，目标函数的极值是极大值(此例子来自阮百尧课件)。遗传算法通过以下7个步骤来实现:

(1)模型参数二进制编码。

每个模型参数就是一条染色体，把十进制的模型参数表示为二进制，这就是基因。首先确定二进制码的长度(基因的长度):

2^N=[m_max(i)-m_min(i)]/Δm(i) (8.20)

其中:N为第i条染色体基因的长度(也就是第i个模型参数的二进制码位数);[m_min(i)，m_max(i)]为第i个模型参数的取值范围;Δm(i)为第i个模型参数的分辨率。这样就把模型参数离散化了，它只能按Δm(i)的整数倍变化。基因的长度按下式计算:

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其中:c为实数;N为基因长度，是整数;int[ ]为取整函数。上式表示如果c不是整数，那么基因长度N就是对c取整后加1，这样保证最小分辨率。

基因的编码按下式进行:

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其中:式(8.22)是编码公式;k为基因编码的十进制数，是整数;int[ ]为取整函数。把k转化为二进制就是基因的编码。解码是按照式(8.23)进行的。首先把一个基因的二进制编码转化为十进制数k，然后按式(8.23)可以计算出第i个模型参数m(i)的十进制值。

例如:电阻率参数ρ(1)，它的变化范围为10~5000Ω·m，分辨率为2Ω·m，设当前参数ρ(1)=133Ω·m，按式(8.21)计算得

c=11.28482，N=12

所以二进制基因长度为13位。

利用式(8.22)计算基因编码k的十进制数:

k=int[(133-10)/2]=61

把它转化为二进制数为:000000111101。所以ρ(1)=133 的二进制基因编码为:000000111101。

解码过程就是把二进制基因编码变为十进制数k后用式(8.23)计算:

ρ(1)=10+61×2=132(Ω·m)

注意:基因编码并不是直接把电阻率值变为二进制。此外，133这个值在基因里不会出现，因为分辨率是2，所以表示为最接近的132。

对于[例1]问题来说，选分辨率为1，0~127用二进制编码需7位。

(2)产生初始模型种群。

生物繁殖进化需要一定数量的生物体种群，因此遗传算法开始时需要一定数量的初始模型。为保证基因的多样性，随机产生大量的初始模型作为初始种群，按照上面的编码方式进行编码。个体在模型空间中应分布均匀，最好是模型空间各代表区域均有成员。初始模型群体大，有利于搜索，但太大会增加计算量。

为保证算法收敛，在初始模型群体中，有时候应增加各位都为0和都为1的成员。遗传算法就是在这个初始模型种群的基础上进行繁殖，进化求解的。

对于[例1]问题来说，模型空间是0~127个数字，这样初始种群最多具有128个个体。为了简单，随机选择4个个体作为初始种群。初始种群的编码、目标函数值见表8.1。

表8.1 初始种群编码表

(3)模型选择。

为了生成新一代模型，需要选择较优的个体进行配对。生物进化按照自然选择、优胜劣汰的准则进行。对应地，遗传算法按照一定的准则来选择母本(两个)，然后进行配对繁殖下一代模型，这个选择称为模型选择。模型配对最基本的方法是随机采样，用各模型的目标函数值对所有模型目标函数的平均值的比值定义繁殖概率，即

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其中:p(m_i)为繁殖概率;φ(m_i)为第i个模型的目标函数;φ_AVG为目标函数的平均值。对于极小化问题来说，规定目标函数值高于平均值的不传代;对于极大化问题来说，反之即可。

就[例1]来说，要求目标函数取极大值，所以规定目标函数小于平均值的模型不传代，大于它的可以传代。对第一代，为了防止基因丢失，可先不舍去繁殖概率小的模型，让它与概率大的模型配对。如:本例中70与56配对，101与15配对产生子代，见表8.2。

表8.2 基因交换表

(4)基因交换。

将配对的两个亲本模型的部分染色体相互交换，其中交换点可随机选择，形成两个新的子代(见表8.2)。两个染色体遗传基因的交换过程是遗传算法的“繁殖”过程，是母本的重组过程。

为了使染色体的基因交换比较彻底，Stoffa等人提出了一个交换概率p_x来控制选择操作的效果。如果p_x的值较小，那么交换点的位置就比较靠低位，这时的交换操作基本是低位交换，交换前后模型的染色体变化不是太大。如果p_x的值较大，那么交换点的位置就比较靠高位，此时的交换操作可以在较大的染色体空间进行，交换前后模型数值变化可以很大。

在[例1]中:15、101和56、70作为母本通过交换繁殖出子代5、6、111、120。所选择的基因交换位置见表8.2。有下划线的，是要交换的基因位置。

(5)更新。

母本模型和子本模型如何选择保留一定数量作为新的母本，就是模型更新。不同的策略会导致不同的结果。一般而言，若产生的新一代模型较好，则选择新一代模型而淘汰上一代模型。否则，则必须根据一定的更新概率p_u来选择上一代模型来取代新一代中某些较劣的模型。

经过更新以后，繁殖时对子代再进行优胜劣汰的选择。对于极大值问题，大于目标函数平均值的子代可以繁殖，小于目标函数平均值的子代不能繁殖。由于新的种群能繁殖的个体数量减小了，所以要多繁殖几次，维持种群个体的数量保持平衡。

在[例1]中，子代较好，所以完全淘汰上一代模型，完全用子代作为新的母本。选择子代目标函数最大的两个模型进行繁殖，分别是111、120。

(6)基因变异。

在新的配对好的母本中，按一定比例随机选择模型进行变异，变异操作就是模拟自然界中的环境因素，就是按比较小的变异概率p_m将染色体某位或某几位的基因发生突变(即将0变为1或将1变为0)。

变异操作的作用是使原来的模型发生某些变化，从而成为新的个体。这样可使群体增加多样性。变异操作在遗传算法中也起着至关重要的作用。实际上，由于搜索空间的性质和初始模型群体的优劣，遗传算法搜索过程中往往会出现所谓的“早熟收敛”现象，即在进化过程中早期陷入局部解而中止进化。采用合适的变异策略可提高群体中个体的多样性，从而防止这种现象的出现，有助于模型跳出局部极值。表8.3为[例1]的基因变异繁殖表。

表8.3 基因变异繁殖表

在[例1]中，用111、120分别繁殖两次，形成4个子代，维持种群数量平衡。随机选择120进行变异，变异的位数也是随机的。这里把它的第2位进行变异，即从1变为0，繁殖后形成子代为:70、110、121、127。可以看出新的子代比初始种群要好得多，其中甚至已经出现了最优解。如果对于地球物理的极小值问题，我们可以预先设置一个拟合精度，只要在种群中出现一个达到拟合精度的模型就可以终止反演了。

(7)收敛。

重复(3)~(6)的步骤，模型群体经多次选择、交换、更新、变异后，种群个体数量大小不变，模型目标函数平均值趋于稳定，最后聚集在模型空间中一个小范围内，则找到了全局极值对应的解，使目标函数最大或最小的模型就是全局最优模型。

对于具有多解性的地球物理反演问题来说，通过这一步有可能找到满足拟合精度的多个模型，对于实际反演解释、推断具有较高的指导意义。

遗传算法中的各种概率包括交换概率px、变异概率p_m以及更新概率p_u，这些参数的选择与设定目前尚无统一的理论指导，多数都视具体问题而定。Stoffa等(1991)的研究表明，适中的交换概率(p_x≈0.6)、较小的变异概率(p_m≈0.01)和较大的更新概率(p_u≈0.9)，遗传算法的性能较优。

与模拟退火反算法相同，遗传算法与传统的线性反演方法相比，该方法具有:不依赖初始模型的选择、能寻找全局最小点而不陷入局部极小、在反演过程中不用计算雅克比偏导数矩阵等优点。另外，遗传算法具有并行性，随着并行计算和集群式计算机技术的发展，该算法将会得到越来越广泛的研究与应用。

但是遗传算法作为类蒙特卡洛算法同样需要进行大量的正演计算，种群个体数量越大，繁衍代数越多，则计算量越大。所以和前面的最小二乘法相比，速度不是它的优势。

E. 遗传算法的基本原理

遗传算法本质上是对染色体模式所进行的一系列运算，即通过选择算子将当前种群中的优良模式遗传到下一代种群中，利用交叉算子进行模式重组，利用变异算子进行模式突变。

F. 遗传算法

遗传算法是从代表问题可能潜在解集的一个种群开始的，而一个种群则由经过基因编码的一定数目的个体组成。每个个体实际上是染色体带有特征的实体。染色体作为遗传物质的主要载体，即多个基因的集合，其内部表现（即基因型）是某种基因的组合，它决定了个体形状的外部表现，如黑头发的特征是由染色体中控制这一特征的某种基因组合决定的。因此，在一开始需要实现从表现型到基因型的映射即编码工作。由于仿照基因编码的工作很复杂，我们往往进行简化，如二进制编码。初始种群产生之后，按照适者生存和优胜劣汰的原理，逐代（generation）演化产生出越来越好的近似解。在每一代，根据问题域中个体的适应度（fitness）大小挑选（selection）个体，并借助于自然遗传学的遗传算子（genetic operators）进行组合交叉（crossover）和变异（mutation），产生出代表新的解集的种群。这个过程将导致种群自然进化一样的后生代种群比前代更加适应环境，末代种群中的最优个体经过编码（decoding），可以作为问题近似最优解。

5.4.1 非线性优化与模型编码

假定有一组未知参量

x_i（i=1，2，…，M）

构成模型向量m，它的非线性目标函数为Φ（m）。根据先验知识，对每个未知量都有上下界α_i及b_i，即α_i≤x≤b_i，同时可用间隔d_i把它离散化，使

d_i=（b_i-α_i）/N （5.4.1）

于是，所有允许的模型m将被限制在集

x_i=α_i+jd_i（j=0，1，…，N） （5.4.2）

之内。

通常目标泛函（如经济学中的成本函数）表示观测函数与某种期望模型的失拟，因此非线性优化问题即为在上述限制的模型中求使Φ（m）极小的模型。对少数要求拟合最佳的问题，求目标函数的极大与失拟函数求极小是一致的。对于地球物理问题，通常要进行杀重离散化。首先，地球模型一般用连续函数表示，反演时要离散化为参数集才能用于计算。有时，也将未知函数展开成已知基函数的集，用其系数作为离散化的参数集x_i，第二次离散化的需要是因为每一个未知参数在其变化范围内再次被离散化，以使离散模型空间最终包含着有限个非线性优化可选择的模型，其个数为

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其中M为未知参数x_i的个数。由此式可见，K决定于每个参数离散化的间隔d_i及其变化范围（α_i，b_i），在大多数情况下它们只能靠先验知识来选择。

一般而言，优化问题非线性化的程度越高，逐次线性化的方法越不稳定，而对蒙特卡洛法却没有影响，因为此法从有限模型空间中随机地挑选新模型并计算其目标函数 Φ（m）。遗传算法与此不同的是同时计算一组模型（开始时是随机地选择的），然后把它进行二进制编码，并通过繁殖、杂交和变异产生一组新模型进一步有限的模型空间搜索。编码的方法可有多种，下面举最简单的例说明之，对于有符号的地球物理参数反演时的编码方式一般要更复杂些。

假设地球为有三个水平层的层次模型，含层底界面深度h_j（j=1，2，3）及层速度v_j（j=1，2，3）这两组参数。如某个模型的参数值为（十进制）：

h₁=6，h₂=18，h₃=28，单位为10m

v₁=6，v₂=18，v₃=28，单位为 hm/s

按正常的二进制编码法它们可分别用以下字符串表示为：

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为了减少字节，这种编码方式改变了惯用的单位制，只是按精度要求（深度为10m，波速为hm/s）来规定参数的码值，同时也意味着模型空间离散化间距d_i都规格化为一个单位（即10m，或hm/s）。当然，在此编码的基础上，还可以写出多种新的编码字符串。例如，三参数值的对应字节顺序重排，就可组成以下新的二进制码串：

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模型参数的二进制编码是一种数学上的抽象，通过编码把具体的非线性问题和生物演化过程联系了起来，因为这时形成的编码字符串就相当于一组遗传基因的密码。不仅是二进制编码，十进制编码也可直接用于遗传算法。根据生物系统传代过程的规律，这些基因信息将在繁殖中传到下一带，而下一代将按照“适者生存”的原则决定种属的发展和消亡，而优化准则或目标函数就起到了决定“适者生存”的作用，即保留失拟较小的新模型，而放弃失拟大的模型。在传带过程中用编码表示的基因部分地交合和变异，即字符串中的一些子串被保留，有的改变，以使传代的过程向优化的目标演化。总的来说，遗传算法可分为三步：繁殖、杂交和变异。其具体实现过程见图5.8。

图5.8 遗传算法实现过程

5.4.2 遗传算法在地震反演中的应用

以地震走时反演为例，根据最小二乘准则使合成记录与实测数据的拟合差取极小，目标函数可取为

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式中：T_i，0为观测资料中提取出的地震走时；T_i，s为合成地震或射线追踪算出的地震走时；ΔT为所有合成地震走时的平均值；N_A为合成地震数据的个数，它可以少于实测T_i，0的个数，因为在射线追踪时有阴影区存在，不一定能算出合成数据T_j，0。利用射线追踪计算走时的方法很多，参见上一章。对于少数几个波速为常数的水平层，走时反演的参数编码方法可参照上一节介绍的分别对深度和速度编码方法，二进制码的字符串位数1不会太大。要注意的是由深度定出的字符串符合数值由浅到深增大的规律，这一约束条件不应在杂交和传代过程中破坏。这种不等式的约束（h₁＜h₂＜h₃…）在遗传算法中是容易实现的。

对于波场反演，较方便的做法是将地球介质作等间距的划分。例如，将水平层状介质细分为100个等厚度的水平层。在上地壳可假定波速小于6400 m/s（相当于解空间的硬约束），而波速空间距为100m/s，则可将波速用100m/s为单位，每层用6位二进制字符串表示波速，地层模型总共用600位二进制字符串表示（l=600）。初始模型可随机地选取24～192个，然后通过繁殖杂交与变异。杂交概率在0.5～1.0之间，变异概率小于0.01。目标函数（即失拟方程）在频率域可表示为

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式中：P₀（ω_k，v_j）为实测地震道的频谱；ω_k为角频率；v_j为第j层的波速；P_s（ω_k，v_j）为相应的合成地震道；A（ω_k）为地震仪及检波器的频率滤波器，例如，可取

A（ω）=sinC⁴（ω/ω_N） （5.4.6）

式中ω_N为Nyquist频率，即ω_N=π/Δt，Δt为时间采样率。参数C为振幅拟合因子，它起到合成与观测记录之间幅度上匹配的作用。C的计算常用地震道的包络函数的平均比值。例如，设E［］为波动信号的包络函数，可令

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式中：t_max为包络极大值的对应时间；J为总层数。包络函数可通过复数道的模拟取得。

用遗传算法作波速反演时失拟最小的模型将一直保存到迭代停止。什么时候停止传代还没有理论上可计算的好办法，一般要显示解空间的搜索范围及局部密度，以此来判断是否可以停止传代。值得指出的是，由（5.4.4）和（5.4.5）式给出的目标函数对于有误差的数据是有问题的，反演的目标不是追求对有误差数据的完美拟合，而是要求出准确而且分辨率最高的解估计。

遗传算法在执行中可能出现两类问题。其一称为“早熟”问题，即在传代之初就随机地选中了比较好的模型，它在传代中起主导作用，而使其后的计算因散不开而白白浪费。通常，增加Q值可以改善这种情况。另一类问题正相反，即传相当多代后仍然找不到一个特别好的解估计，即可能有几百个算出的目标函数值都大同小异。这时，最好修改目标函数的比例因子（即（5.4.5）式的分母），以使繁殖概率P_s的变化范围加大。

对于高维地震模型的反演，由于参数太多，相应的模型字符串太长，目前用遗传算法作反演的计算成本还嫌太高。实际上，为了加快计算，不仅要改进反演技巧和传代的控制技术，而且还要大幅度提高正演计算的速度，避免对遗传算法大量的计算花费在正演合成上。

G. 遗传算法的基本步骤

遗传算法的基本步骤如下：

（1）初始化：设置进化代数计数器t=0，设置最大进化代数T，随机生成M个个体作为初始群体P(0)。

（2）个体评价：计算群体P(t)中各个个体的适应度。

（3）选择运算：将选择算子作用于群体。选择的目的是把优化的个体直接遗传到下一代或通过配对交叉产生新的个体再遗传到下一代。选择操作是建立在群体中个体的适应度评估基础上的。

遗传算法根据大自然中生物体进化规律而设计提出的。是模拟达尔文生物进化论的自然选择和遗传学机理的生物进化过程的计算模型，是一种通过模拟自然进化过程搜索最优解的方法。该算法通过数学的方式，利用计算机仿真运算，将问题的求解过程转换成类似生物进化中的染色体基因的交叉、变异等过程。

在求解较为复杂的组合优化问题时，相对一些常规的优化算法，通常能够较快地获得较好的拍昌唯优化结果。遗传算法已被人们广泛地应用于组合优化、机器学习、信号处理、自适应控制和人工生命等袭培领域。