最小费用最大流及算法

Ⅰ 最小费用最大流问题算法举例

最小费用最大流问题的算法举例主要包括Augment Path方法和预推进算法及其变种。

1. Augment Path方法 核心思想：通过不断搜索从源点到汇点的增广路，将该路径上的容量减去最小值，并在反向路径上增加或扩大容量，以实现从源点到汇点的最大流量。 特点：确保每次操作都能增加网络中的流，从而避免陷入死循环。但在极端情况下，每次只能将流扩大1，因此效率较低，需要借助其他算法来提高效率。

2. 预推进算法 核心操作：压入和重标记。压入操作将边的始点预流尽可能多的压向终点，重标记操作将顶点的高度设为所有邻接点的高度的最小值加一。 变种： RelabeltoFront：维护一个溢出顶点的链表，通过Discharge操作不断使顶点不再溢出，直至所有顶点的高度增加。时间复杂度为O。 Highest Label Preflow Push：与RelabeltoFront本质上没有区别，但每次前移的都是高度最高的顶点，复杂度为O。 优化：Gap Heuristic，该优化在存在整数k时，对所有满足h[v]=k的顶点进行更新，以提高算法性能。

3. 算法应用 在经济学和管理学中，最小费用最大流问题用于寻找在给定容量和费用限制下，如何选择路径和分配流量以达到费用最小的要求。例如，n辆卡车从A地到B地运送物品，每条路段有不同的路费和容量限制，最小费用最大流问题即指如何分配卡车的出发路径以达到费用最低，同时确保物品全部送到。