数列极限的四则运算法则

㈠ 极限的四则运算法则是什么

极限的四则运算法则是:

极限四则运算法则的前提是两个极限存在，当有一个极限本身是不存在的，则不能用四则运算法则。设limf(x)和limg(x)存在，且令limf(x)=A，limg(x)=B。

四则运算是指加法、减法、乘法和除法四种运算。四则运算是小学数学的重要内容，也是学习其它各有关知识的基础。

在极限都存在的情况下，和差积商的极限，等于极限的和差积商。用数学的话表达就是：
lim(A+B)limA+limB
lim(A-B)=limA-limB
limAB=limA×limB
lim(A/B)limA/limB
前提是以上各个极限都存在。

㈡ 数列极限四则运算法则是什么意思

数列极限的四则运算法则如下：

当数列{an}，{bn}分别以a，b为极限时，数列{an±bn}的极限是a±b，数列{anbn}的极限是ab；当bbn不等于0时，{an/bn}的极限是a/b；当函数f，g分别以a，b为极限时，函数f±b的极限是a±b，函数fg的极限是ab；当bg不等于0时，{f/g}的极限是a/b。

数列极限的四则运算法则证明方法如下：

定理：设{an}与{bn}为收敛数列，则

（1）lim(n->∞)(an±bn)=lim(n->∞)an±lim(n->∞)bn;

（2）lim(n->∞)(an·bn)=lim(n->∞)an·lim(n->∞)bn.

若bn≠0且lim(n->∞)bn≠0，则lim(n->∞)(an/bn)=lim(n->∞)an/lim(n->∞)bn.

证：设lim(n->∞)an=a，lim(n->∞)bn=b，则ε>0，正整数N，

使当n>N时，有|an-a|<ε; |bn-b|<ε.

（1）则|(an+bn)-(a+b)|≤|an-a|+|bn-b|<2ε.

所以lim(n->∞)(an+bn)=lim(n->∞)an+lim(n->∞)bn;

∵an-bn=an+(-bn)，

所以lim(n->∞)(an-bn)=a-b=lim(n->∞)an-lim(n->∞)bn.

（2）由有界性定理，存在正数M，对一切n有|bn|<M.

∴|an·bn-ab|=|bn(an-a)+a(bn-b)|≤|bn||an-a|+|a||bn-b|<(|bn|+|a|)ε<(M+|a|)ε.

∴lim(n->∞)(an·bn)=lim(n->∞)an·lim(n->∞)bn.

∵an/bn=an·1/bn，所以lim(n->∞)(an/bn)=lim(n->∞)an/lim(n->∞)bn.