floydwarshall算法

① floyd-warshanll算法是什么啊

Floyd-Warshall算法是解决任意两点间的最短路径的一种算法。
Floyd-Warshall算法的描述如下： for k:=1 to n do for i:=1 to n do for j:=1 to n do if dist[i,k]+dist[k,j]<dist[i,j] then dist[i,j]:=dist[i,k]+dist[k,j];
Floyd-Warshall 算法用来找出每对点之间的最短距离。它需要用邻接矩阵来储存边，这个算法通过考虑最佳子路径来得到最佳路径。
注意单独一条边的路径也不一定是最佳路径。
从任意一条单边路径开始。所有两点之间的距离是边的权，或者无穷大，如果两点之间没有边相连。
对于每一对顶点 u 和 v，看看是否存在一个顶点 w 使得从 u 到 w 再到 v 比己知的路径更短。如果是更新它。
不可思议的是，只要按排适当，就能得到结果。 // dist(i,j) 为从节点i到节点j的最短距离 For i←1 to n do For j←1 to n do dist(i,j) = weight(i,j) For k←1 to n do // k为“媒介节点” For i←1 to n do For j←1 to n do if (dist(i,k) + dist(k,j) < dist(i,j)) then // 是否是更短的路径？ dist(i,j) = dist(i,k) + dist(k,j)
这个算法的效率是O(V^3)。它需要邻接矩阵来储存图。
这个算法很容易实现，只要几行。
即使问题是求单源最短路径，还是推荐使用这个算法，如果时间和空间允许(只要有放的下邻接矩阵的空间，时间上就没问题)。
计算每一对顶点间的最短路径（floyd算法）
【例题】设计公共汽车线路(1) 现有一张城市地图，图中的顶点为城市，有向边代表两个城市间的连通关系，边上的权即为距离。现在的问题是，为每一对可达的城市间设计一条公共汽车线路，要求线路的长度在所有可能的方案里是最短的。
输入： n (城市数，1≤n≤20) e (有向边数1≤e≤210) 以下e行，每行为边（i,j）和该边的距离wij（1≤i,j≤n）
输出： k行，每行为一条公共汽车线路
分析：本题给出了一个带权有向图，要求计算每一对顶点间的最短路径。这个问题虽然不是图的连通性问题，但是也可以借鉴计算传递闭包的思想：在枚举途径某中间顶点k的任两个顶点对i和j时，将顶点i和顶点j中间加入顶点k后是否连通的判断，改为顶点i途径顶点k至顶点j的路径是否为顶点i至顶点j的最短路径（1≤i，j，k≤n）。 显然三重循环即可计算出任一对顶点间的最短路径。设 n—有向图的结点个数； path—最短路径集合。其中path[i，j]为vi至vj的最短路上vj的前趋结点序号(1≤i，j≤n)； adj—最短路径矩阵。初始时为有向图的相邻矩阵
我们用类似传递闭包的计算方法反复对adj矩阵进行运算，最后使得adj成为存储每一对顶点间的最短路径的矩阵 (1≤i，j≤n) Var adj：array[1‥n，1‥n] of real； path：array[1‥n，1‥n] of 0‥n；
计算每一对顶点间最短路径的方法如下：
首先枚举路径上的每一个中间顶点k（1≤k≤n）；然后枚举每一个顶点对（顶点i和顶点j，1≤i，j≤n）。如果i顶点和j顶点间有一条途径顶点k的路径，且该路径长度在目前i顶点和j顶点间的所有条途径中最短，则该方案记入adj[i，j]和path[i，j] adj矩阵的每一个元素初始化为∞；
for i←1 to n do {初始时adj为有向图的相邻矩阵，path存储边信息} for j←1 to n do if wij<>0 then begin adj[i，j]←wij； path[i，j]←j； end{then} else path[i，j]←0； for k←1 to n do {枚举每一个中间顶点} for i←1 to n do {枚举每一个顶点对} for j←1 to n do if adj[i，k]+adj[k，j]<adj[i，j]{若vi经由vk 至vj的路径目前最优，则记下} then begin adj[i，j]←adj[i，k]+adj[k，j]； path[i，j]←path[k，j]； end，{then} 计算每一对顶点间最短路径时间复杂度为W(n3)。算法结束时，由矩阵path可推知任一结点对i、j之间的最短路径方案是什么 Procere print(i，j)； begin if i=j then 输出i else if path[i，j]=0 then 输出结点i与结点j之间不存在通路 else begin print (i，path[i，j])； {递归i顶点至j顶点的前趋顶点间的最短路径} 输出j； end；{else} end；{print} 由此得出主程序 距离矩阵w初始化为0； 输入城市地图信息（顶点数、边数和距离矩阵w）； 计算每一对顶点间最短路径的矩阵path； for i←1 to n do {枚举每一个顶点对} for j←1 to n do if path[i，j]<>0 {若顶点i可达顶点j，则输出最短路径方案} then begin print（i，j）； writeln； end；{then}