密码学本原元是什么

A. 现代密码学加密原理

密码学是在区块链技术中承担着非常重要的角色，但其实，在互联网中，也大量的使用着密码学的技术，本文将介绍现代密码学中的早期加密方法，这将有助于我们理解区块链中的复杂算法。

第二次大战之后，从军方演化而来的互联网慢慢的进入了寻常百姓家，我们能够将一切事物都电子化处理，交易也不例外，于是电子银行也出现了，所有交易都可以通过网络进行。随着互联网用户越来越多，新的问题产生了，加密需要双方共享一个秘密的随机数，也就是秘钥，但从未谋面的两个人，如何就此共享密钥达成一致，而又不让第三方监听这知道呢？这将是现代密码学的目标。

1976年，维特菲尔德和马丁赫尔曼找到了一种巧妙的解决方法，让我们用颜色为比喻来讲解该技巧是如何实现的：

首先，明确我们的目标，发送者和接受者就秘密颜色达成一致，而不让窃听者知道，于是需要采用一种技巧，该技巧基于两点：

一、混合两种颜色得到第三种颜色很容易；

二、得到这种混合色后，想在此基础上知道原来的颜色就很难了， 这就是锁的原理。

朝一个方向容易，朝反方向难，这被称作是单向函数。解决方案是这样的，首先，他们公开对某种颜色达成一致，假设是黄色，然后发送者和接收者随机选取私有颜色，混到公共的黄色中，从而掩饰掉他们的私有颜色，并且将混合颜色发给接收者，接收者知道自己的私有颜色，并将它的混合颜色发给发送者，

然后就是技巧的关键了，发送者和接收者将各自私有颜色加入到另一个人的混合色中，然后得到一种共享秘密颜色，此时，窃听者无法确定这种颜色，她必须有一种私有颜色才能确定，技巧就是这样，对密码学的世界中， 我们需要一个数值的运算过程，这个过程向单一方向很容易，反方向会很难。

我们需要一种朝一方向易，反方向难的数值过程，于是密码学家找到了模算数，也就是取余的函数，（比如46除12的余数是10）。

假设我们考虑用质数做模型，比如17，我们找到17的一个原根，这里是3，它具有如下重要性质，取不同幂次时，结果会在时钟上均匀分布，3是一个生成元，取3的X次方，结果会等可能地出现在0和17中间任何整数上。

但相反的过程就难了，比如给定12，要求这是3的多少次方，这被称为离散对数问题，这样我们就有了单向函数，一个方向计算很容易，但反方向就很难了，已知12，我们只能采用试错法，求出匹配的质数。

这有多难呢？如果数字很小，这还很容易，但模数是长达数百位的质数，那么，想解密是不切实际的，即便借助世界上最强大的计算机，要遍历所有可能的情况，也需要上千年的时间，单向函数的强度取决于反向过程所需要的时间。

解决方案是这样的，首先，发送者和接收者公开质模数和生成元，这里的例子中也就是17和3，然后发送者选择一个私有的随机数，比如15，计算315 mod 17（结果为6），然后公开将此结果发送给接收者，之后接收者选择自己的私有随机数，比如13，计算313mod 17（结果为12），然后公开将此结果发送给对方。

关键在于，将接收者的公开结果，取她的私有数字次方，以获得共享密钥，这里是10，接收者将发送者的公开结果，取她的私有数字次方，结果得到相同的共享密钥，可能大家还不好理解，但他们实际上进行了相同的运算。

考虑发送者，她从接收者接收到的是12，来自313 mod 17，所以她的计算实际上是3∧13∧15 mod 17，而接收者，他从发送者那里接收6，来自315mod17，所以他的计算实际上是3∧15∧13mod17，两种计算结果是相同的，只是指数的顺序不同，调换指数顺序，结果不会改变，他们的结果都是，3取两人私有数字次幂，没有这些私有数字，15或13，第三方将无法求出结果。

第三方会被困在离散对数问题之中，数字足够大时，实践中，她在合理时限内，几乎不可能破解，这就解决了交换密钥的问题，这可以同伪随机数生成器结合使用，为从未谋面的人提供通信加密。

现在区块链常用的算法，如sha256，都是继承单向函数的设计思维，一个方向计算容易，反过来几乎不能破解，来保证安全。

B. 本原元的阶数是一样的吗

一样。本原元令K是域F的一个扩域，一个元素a如果它生成扩域K/F，即K=F(a)，则称该元索为该扩域的本原元。有本原元，即存在α使得，当且仅当E和F之间只有有限个中间域，则在该区域之间的数值是在同一阶段的，所以阶数是一样的，证明如果F是有限域，由于E/F是有限扩张，推得E也是有限域。

C. 本原元的概念，数学知识

先是阶的概念：模19下7的阶为3（7^1=7
mod
19,7^2=11
mod
19,
7^3=1
mod
19,7^4=7
mod
19....）
本原元的概念：若模n下a的阶d=φ(n)，a就是n的本原元（又称为原根）。此时a是Z*_n的生成元。[1]
本原元并不唯一（19本原元还有2，3，10，13，14，15）
不是所有的整数都有本原元，应是这样的形式：2,3,p^a,2p^a(p为奇素数)
在数学中，本原元定理精确刻画了什么时候对于一个域扩张E/F，E可以表示为F(α)的形式，即E可以由单个元素生成。
编辑本段定理
一个有限扩张E/F有本原元，即存在α使得E
=
F(α)，当且仅当E和F之间只有有限个中间域。
编辑本段推论
由于有限可分扩张只有有限个中间域，由本原元定理立刻推出这个扩张有单个生成元

D. 关于密码学的问题

你上几年级了，这些知识我怎么没学过

E. 本原元是什么意思

应该是一个域论中间的概念
先是阶的概念：模19下7的阶为3（7^1=7 mod 19,7^2=11 mod 19,7^3=1 mod 19,7^4=7 mod 19....）
本原元的概念：模n下a的阶m=phi(n)，a就是n的本原元，如3是19的本原元
本原元并不唯一（19本原元还有2，3，10，13，14，15）
不是所有的整数都有本原元，应是这样的形式2,3,p^a,2p^a(p为奇素数)

F. 请教关于密码学的问题

基于环的比基于域的安全性高一些

G. 本原元在有限域乘法与乘法逆元计算方面的应用有哪些

本原元是指有限域乘法群的生成元，它的阶数是q-1，q是有限域中元素个数。本原元的作用有很多，你问的是在乘法和乘法逆元上计算的用处。下面假设w是一个本原元
首先，有限域F中的任何非零元素a都可以表达成w^m的形式，这是因为有限域的乘法群是一个循环群，而本原元是这个循环群的生成元。这样在计算有限域元素之间乘法的时候，只要将指数相加。具体的说，a=w^m,b=w^n,ab=w^(m+n).
其次，任何一个非零元素a，有上面知道a=w^m,那么a的逆a^(-1)=w^(-m)
本原元还有其他的用处，如分圆多项式，本原多项式，域的扩张等。不过这不是几句话能说清楚的了。
我是学代数的，有问题我们可以再交流。