混沌图算法

1. 混沌算法是什么

算法要求是：因为每个人说的话一个对，一个错。我们选择1个人说的话，假设他说的其中一个是对的，然后对照其他人说的，反推下去，如果后面的结果都可以对上，那么你假设的那个人其中对的就是对的，如果推下去中间有问题，那么你假设的那个人对的那句话就是错的，反选而已。

2. 混沌优化算法可以求解全局最优解吗

非线性最优化问题的一种混合解法

摘 要：把BFGS方法与混沌优化方法相结合，基于混沌变量提出一种求解具有变量边界约束非线性最优化问题的混合优化方法。混合算法兼顾了混沌优化全局搜索能力强和BFGS方法收敛速度快的优点，成为一种求解非凸优化问题全局最优的有效方法。算例表明，当混沌搜索的次数达到一定数量时，混合优化方法可以保证算法收敛到全局最优解，且计算效率比混沌优化方法有很大提高。

关键词：混合法；BFGS方法；混沌优化方法；全局最优

1 引言
在系统工程、控制工程、统计学、反问题优化求解等领域中，很多问题是具有非凸性的。对此普通的优化技术只能求出局部最优解，因为这些确定性算法总是解得最近的一个极值点[1]，只有能够给出很好的初始点才有可能得出所需要的全局最优解。为此，实际应用中通过在多个初始点上使用传统数值优化方法来求取全局解的方法仍然被人们所采用，但是这种处理方法求得全局解的概率不高，可靠性低，建立尽可能大概率的求解全局解算法仍然是一个重要问题。近年来基于梯度法的全局最优化方法已经有所研究[2]，基于随机搜索技术的遗传算法和模拟退火算法等在全局优化问题中的应用也得到越来越大的重视[3-4]。本文则基于混沌优化和BFGS方法，提出一种求解具有简单界约束最优化问题(1)的混合算法。
混沌是存在于非线性系统中的一种较为普遍的现象。混沌运动宏观上无序无律，具有内随机性、非周期性和局部不稳定性，微观上有序有律，并不是完全的随机运动，具有无穷嵌套的自相似几何结构、存在普适性规律，并不是杂乱无章的。利用混沌变量的随机性、遍历性和规律性特点可以进行优化搜索[5]，且混沌优化方法容易跳出局部最优点。但是某些状态需要很长时间才能达到，如果最优值在这些状态时，计算时间势必很长[5]。可以说混沌优化具有全局搜索能力，其局部搜索能力稍显不足，文[5]采用二次载波技术，文[6]考虑逐渐缩小寻优变量的搜索空间都是为了弥补这一弱点。而本文则采用混沌搜索与BFGS方法进行优化求解，一方面采用混沌搜索帮助BFGS方法跳出局部最优，另一方面利用BFGS增强解附近的超线性收敛速度和搜索能力，以提高搜索最优的效率。
2 混沌－BFGS混合优化方法
2.1 BFGS方法
作为求解无约束最优化问题的拟牛顿方法类最有代表性的算法之一，BFGS方法处理凸非线性规划问题，以其完善的数学理论基础、采用不精确线性搜索时的超线性收敛性和处理实际问题有效性，受到人们的重视[7-9]。拟牛顿方法使用了二阶导数信息，但是并不直接计算函数的Hesse矩阵，而是采用一阶梯度信息来构造一系列的正定矩阵来逼近Hesse矩阵。BFGS方法求解无约束优化问题min()的主要步骤如下：
(1) 给变量赋初值x0，变量维数n和BFGS方法收敛精度ε，令B0=I（单位阵），k=0，计算在点x0的梯度g0。
(2) 取sk=-Bk-1gk，沿sk作一维搜索，确定最优步长αk，，得新点xk+1=xk+αksk，计算xk+1点的梯度gk+1。
(3) 若||gk+1||≤ε，则令，，BFGS搜索结束，转步骤3；否则执行(4)。
(4) 计算Bk+1：
(2)
(3)
(5) k=k+1，转(2)。
2.2 混沌优化方法
利用混沌搜索求解问题(1)时，先建立待求变量与混沌变量的一一对应关系，本文采用。然后,由Logistic映射式(4)产生个轨迹不同的混沌变量（）进行优化搜索，式(4)中=4。已经证明，=4是“单片”混沌，在[0,1]之间历遍。
(4)
(1)给定最大混沌变量运动次数M；给赋初值，计算和；置，。
(2) 。
(3) 。
(4) 若k<M，
若，令，；
若，和保持不变；
然后令k=k+1，，转(2)。
若k>M，则，，混沌搜索结束。
2.3 混合优化方法
混沌方法和BFGS方法混合求解连续对象的全局极小值优化问题(1)的步骤如下：
step1 设置混沌搜索的最大次数M，迭代步数iter=0，变量赋初值x0，。
step2 以为始点BFGS搜索，得当前BFGS方法最优解及=。
step3 若，取=；若，取；若，取，是相对于,较小的数。
step 4 以为始点进行混沌搜索M次，得混沌搜索后的最优解及=。
step5 若<，iter=iter+1，，转step2；否则执行step6。
step6 改变混沌搜索轨迹，再次进行混沌搜索，即给加微小扰动，执行step 4，得搜索结果和。若<，iter=iter+1，，转step2；否则计算结束，输出、。
对全局极大值问题，max ，可以转化为求解全局极小问题min 。
混合算法中混沌搜索的作用是大范围宏观搜索，使得算法具有全局寻优性能。而BFGS搜索的作用是局部地、细致地进行优化搜索，处理的是小范围搜索问题和搜索加速问题。
3 算例

图 1 函数-特性示意图 图 2 函数特性示意图
采用如下两个非常复杂的、常用于测试遗传算法性能的函数测试本文算法：

函数称为Camel 函数，该函数有6个局部极小点(1.607105, 0.568651)、(-1.607105, -0.568651)、(1.703607, -0.796084)、(-1.703607, 0.796084)、(-0.0898,0.7126)和(0.0898,-0.7126)，其中(-0.0898,0.7126)和(0.0898,-0.7126)为两个全局最小点，最小值为-1.031628。函数称为 Schaffer's函数，该函数有无数个极大值，其中只有（0，0）为全局最大点，最大值为1。此函数的最大峰值周围有一圈脊，它们的取值均为0.990283，因此很容易停留在此局部极大点。文献[10]采用该函数对该文提出的基于移动和人工选择的改进遗传算法（GAMAS）其性能进行了考察，运行50次，40％的情况下该函数的唯一全局最优点能够找到。而采用本文混合算法，由计算机内部随机函数自动随机生产100个不同的初始点，由这些初始点出发，一般混合算法迭代2－4次即能够收敛。M取不同数值时对函数、的计算结果分别如表1和表2所示，表中计算时间是指在奔腾133微机上计算时间。
由表2可见，当M=1500时，本文方法搜索到最优解的概率即达到40％，而此时计算量比文献[10]小。同样由混合算法的100个起始点，采用文献[5]的算法对函数优化计算100次，以作为收敛标准，混沌搜索50000次，计算结果为67次搜索到最优解，概率为67%，平均计算时间为1.2369s。而即使保证混合算法100次全收敛到最优解所花费的平均计算时间也只为0.2142s（表1），可见混合算法优于文献[5]的方法。
表1 M取不同数值时函数的计算结果
_____________________________________________________________________
M 搜索到全局最优点的次数 搜索到最优的概率 平均计算时间
(-0.0898,0.7126) (0.0898,-0.7126)
_____________________________________________________________________________________________
1000 44 39 83% 0.1214s
3000 53 45 98% 0.1955s
5000 53 47 100% 0.2142s
________________________________________________________________________________________________

表2 M取不同数值时函数的计算结果
___________________________________________________________
M 搜索到全局最优点的次数 搜索到最优的概率 平均计算时间
____________________________________________________________________________________
1500 40 40% 0.1406s
5000 73 73% 0.2505s
10000 88 88% 0.4197s
50000 100 100% 1.6856s
____________________________________________________________________________________

4 计算结果分析
由表1和表2可见，混合算法全局寻优能力随M的增加而增大，当M达到某一足够大的数值Mu后，搜索到全局最优的概率可以达到100％。
从理论上说，Mu趋向无穷大时，才能使混沌变量遍历所有状态，才能真正以概率1搜索到最优点。但是，本文混沌运动M次的作用是帮助BFGS方法跳出局部最优点，达到比当前局部最优函数值更小的另一局部最优附近的某一点处，并不是要混沌变量遍历所有状态。由混沌运动遍历特性可知，对于某一具体问题，Mu达到某一具体有限数值时，混沌变量的遍历性可以得到较好模拟，这一点是可以满足的，实际算例也证实了这一点。
由于函数性态、复杂性不同，对于不同函数，如这里的测试函数、，数值Mu的大小是有差别的。对于同一函数，搜索区间增大，在相同混沌运动次数下，即使始点相同，总体而言会降低其搜索到全局最优的概率,要保证算法仍然以概率1收敛到全局最优，必然引起Mu 增大。跟踪计算中间结果证实，当M足够大时，混合算法的确具有跳出局部最优点，继续向全局最优进行搜索的能力；并且混合算法的计算时间主要花费在为使混合算法具有全局搜索能力而进行混沌搜索上。
5 结语
利用混沌变量的运动特点进行优化，具有非常强的跳出局部最优解的能力，该方法与BFGS方法结合使用，在可以接受的计算量下能够计算得到问题的最优解。实际上，混沌优化可以和一般的下降类算法结合使用，并非局限于本文采用的BFGS方法。采用的Logistic映射产生混沌变量序列，只是产生混沌变量的有效方式之一。
混沌运动与随机运动是不同的。混沌是确定性系统中由于内禀随机性而产生的一种复杂的、貌似无规的运动。混沌并不是无序和紊乱，更像是没有周期的秩序。与随机运动相比较，混沌运动可以在各态历经的假设下，应用统计的数字特征来描述。并且，混沌运动不重复地经过同一状态，采用混沌变量进行优化比采用随机变量进行优化具有优势。
混沌优化与下降类方法结合使用是有潜力的一种全局优化途径，是求解具有变量界约束优化问题的可靠方法。如何进一步提高搜索效率，以及如何把混沌优化有效应用于复杂约束优化问题是值得进一步研究的课题。
本文算法全局收敛性的严格数学证明正在进行之中。
参考文献
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A Hybrid Approach for Nonlinear Optimization
Abstract：Combined BFGS method with chaos optimization method, a hybrid approach was proposed to solve nonlinear optimization problems with boundary restraints of variables. The hybrid method is an effective approach to solve nonconvex optimization problems, as it given both attentions to the inherent virtue to locate global optimum of chaos optimization method and the advantage of high convergence speed of BFGS method. Numerical examples illustrate that the present method possesses both good capability to search global optima and far higher convergence speed than that of chaos optimization method.

3. 混沌方程是什么

对于混沌产生的机制, 或通向混沌的道路问题, 我们不能作全面, 深入的介绍, 我们只想通过一个简单的例子揭示一种典型的通向混沌的道路, 从而使我们对混沌现象有较正确的认识.这个例子是生物学家梅(May)在1976年给出的, 是反映生态学中昆虫繁殖情况的, 昆虫繁殖可作为一个动力系统.
动力系统是一个广泛的概念, 它由状态 (并给出描述状态的量) 和动态特性 (状态演化规则)组成.设某种昆虫第n代的虫口数为,nx 第1+n代的虫口数为1+nx, 则这种昆虫的演化规律可表示为)1(1nnnxxx-=+λ ,3,2,1=n其中λ为参数, 1+n代的昆虫数正比于第n代的昆虫数, 同时要减去因食物有限及接触传染导致的昆虫死亡数. 方程中因存在2nxλ项, 成为非线性迭代方程. 这种迭代关系也称为逻辑斯谛映射(logistic map). 为了简化, 设nx的取值范围为[0,1], λ的取值范围为[0,4].
一,周期倍化分叉过程
从任何初始值出发迭代时, 一般有个暂态过程, 但当迭代次数很大, 即当∞→n时, 演化会导致一个确定的终态. 我们关心的是终态, 终态情况与参数λ的取值有很大关系. 数值计算结果如下.
λ的值 终 态
4.2=λ
1271==+nnxx
(一个不动点) 周期为1.
2.3=λ
nnxx=+2
0513.05799.0 周期为2.
5.3=λ
nnxx=+1
|←←-
-→→
9500.00875.0
9862.08382.0
| 周期为4.
┇
周期为 ,16,8等的周期倍化分叉
过程.
4~569.3=λ
基本上为混沌区(即周期为∞),其中还有周期窗口, 并具有一定结构.
设,ξ=∞→nnx 则终态集ξ和λ的关系可用图4.表示(示意图, 未按比例画).我们可以看到混沌产生和发展的过程. 当13>>λ时, 迭代的终态是一个确定值(或称不动
点), 不管初值取何值, 终态是同一值, 此值只与λ有关, 与λ值一一对应, 例如4.2=λ时,127=ξ. 到达终态后, 每经过一次迭代都回到迭代前的值, 故称其周期为1.
当3449.3>>λ时, 看到曲线从3=λ处开始分叉为2支, 即与一个λ值对应将有2个ξ值, 终态是2个值轮流取值, 经2次迭代后回到原先的值,故周期为2.
当449.3544.3>>λ时, 曲线进一步倍分叉,终态是4个值轮流取值, 周期变为4. 当λ继续增大时, 曲线将继续倍分叉, 出现周期为 ,32,16,8等, 这个过程称为周期倍化分叉过程.
当569.3=λ时, 周期变为∞, 即终态可取无穷多的各种不同值, 终态对初值极为敏感, 使之成为不可预测, 即开始出现混沌现象. 在此之前(即569.3<λ时), 终态都是周期的, 可预测的,并与初值无关. 在4569.3≤≤λ区间, 基本上是混沌区, 但不是铁板一块, 其中还有周期窗口等结构.
为了对混沌现象有一个感性认识, 我们把4=λ时所做的数值计算结果列在表中. 3个初值的差别是非常小的, 仅在小数点后第七八位上有差别, 经过10次迭代后所得结果差别不大, 经50次迭代后所得结果差别就很大了, 对初值的敏感性充分显示出来了. 3个初值差别如此小, 在物理上可能已无法分辨, 而把它们视为"同一"初值.
在前10步迭代过程, 它们几乎有相同的演化规律,即演化可预测, 但到了50步迭代后, 3个"同一"初值却产生了极不相同的结果, 好像演化规律出现了随机性. 这就是混沌现象.
n )1(41nnnxxx-=+
0 0.1 0.100 000 01 0.100 000 1
1 0.36 0.360 000 003 2 0.360 000 032 0
2 0.921 6 0.921 600 035 8 0.921 600 358 4
10 0.147 836 559 9 0.147 824 444 9 0.147 715 428 1
50 0.277 569 081 0 0.435 057 399 7 0.937 349 588 2
51 0.802 094 386 2 0.983 129 834 6 0.104 139 309 1
52 0.634 955 927 4 0.066 342 251 5 0.373 177 253 6
二,费根鲍姆常数
1978年费根鲍姆发现在周期倍化分叉过程中存在着普适常数. 设mλ为第m个分叉点的参数值,我们从图看到, 相邻分叉点间的间隔随着分叉过程是越来越小, 通过计算发现相邻分叉间隔之比趋于一个常数9990102609201669.4lim
1
1==
-
-
+
-
∞→
δ
λλ
λλ
mm
mm
m
这个常数具有普适性, 被命名为费根鲍姆常数.周期倍化分叉过程是一条通向混沌的典型道路, 不仅逻辑斯谛映射是这样, 实验证明许多混沌现象, 如受迫的倒摆振动中, 受迫的大幅度单摆运动中的混沌现象等都是通过这条道路产生的,这些过程中同样存在这个普适常数.
三,倒分叉
下面再来说明混沌区中存在的结构, 首先存在倒分叉的结构, 其次还存在许多周期窗口.
当参数λ从4开始逐渐减小时, 混沌区将发生倒分叉现象, 开始时混沌区是一整片, 但当λ减小到小于一个值6678.3)1(=λ时, 单片混沌开始变次,其数值从其中一个跳到另一个. 当λ再减小跨越6592.3)2(=λ时, 2片混沌又分为4片. λ继续减小, 将相继分化为8片, 16片, 32片……等等,分叉值 )3()2()1(,,λλλ收敛到.9569.3 这个倒分叉过程如图所示. 相邻分叉值间距比又收敛于费根鲍姆数, 即
δ
λλ
λλ
=
-
-
+
-
∞→
)1()(
)()1(lim
mm
mm
m
四,窗口
在4569.3≤≤λ的混沌区中还存在窗口(如图中画的一个), 它代表λ在某个范围内取值时, 终态是稳定的周期解, 这一事实在物理实验或计算机数值计算中能被观察到. 如在8856.34828.3≤≤λ区间存在一个窗口, 在828.3=λ时出现周期为3的解, 在图上呈现出3条曲线, 随着λ值继续增大,又会发生周期倍化分叉过程, 相继出现周期为24,12,6等解, 最初3条曲线每一条都演化成一个
混沌区, 共有3个混沌区; 在每一个混沌区中又上演着倒分叉过程, 并且在混沌区中同样也存在周期窗口.
我们看到在4~1=λ区间中的演化与在8856.3~4828.3=λ窗口中的演化是完全相似的,只是尺度不同而已. 这个从周期3开始的窗口称窗口3.除此窗口外还存在许多其他窗口.
如上所述, 在窗口3内的混沌区中也存在窗口,依上类推, 在这个更小的窗口内也将重复相似的演化. 所以, 从理论上可以想象, 这是一幅精美的图画, 显示出无穷套嵌着的自相似结构. 这些都说明混沌现象与随机现象有着根本区别.
本章着重介绍了20世纪60年代以来在非线性研究中揭示的混沌现象, 它产生于不可积系统,由于方程解的长期行为对初值十分敏感, 出现了貌似随机的行为. 在同一时期, 非线性研究中也揭示了与之相反的另一极端现象, 发现了孤立波(或孤立子) 的存在. 它产生于一批非线性完全可积系统, 它们的解具有规则性和出奇的稳定性,
说明非线性还在产生有序性方面有重要作用. 此外, 科学家也已找到求解这类非线性方程的普遍方法.

4. mathematica可以绘制出超混沌图吗

如果你算法没错的话，就可以画的出来。。只是时间慢。。哎。。你可以改进下方法

5. 迭代、分形和混沌

地球物理场能量很小，除天然地震震源物理研究外，场正演问题都归结为线性偏微分方程。但是，反问题都是非线性的。

5.1.1 牛顿迭代与分形

非线性迭代的最基本方法是牛顿迭代法。也就是说，将函数展成台劳级数，略去高次项，从一次项中提出修改增量和Jacobian矩阵，构成线性方程组。牛顿迭代法收敛很快，但是收敛取决于初始猜测。

1988年，Petigen与Saupe的论文集中发表了一个有趣的试验结果，他考虑以下简单的非线性方程

z³-1=0 （5.1.1）

此方程的一个实根为z=1，两个复根为

z=exp（± 2πi/3） （5.1.2）

用牛顿迭代格式

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来逼近，得到的是实根还是哪一个复根？

当然，初值z₀可以是复平面z=x+iy中的任一点。可以猜测，z₀在复平面上可以分为若干个区域，z₀在某个区域用式（5.1.3）作迭代后收敛，在另外的区域收敛于复根。习惯于线性思维的人会认为这些区域是有清晰边界分开的几块，如z₀等于1的邻域牛顿迭代将收敛于实根z=1，它的面积大约占z平面的1/3左右，而其他区域收敛于复根。事实并非如此，初值z₀的收敛域是分形的，如图5.1所示。从图5.1 可见，黑色区域的面积的确是选初值区域（-2≤x≤2，-2≤y≤2）的1/3，但它的边界是分形的，即含有所有的尺度，彼此自相似。为什么像式（5.1.1）那么简单的迭代格式会导致这么复杂的分形图像？为什么初值在这种边界上的微小变化会使迭代收敛到完全不同的根？

图5.1 实虚轴在（-2，2）范围内的复平面z黑色区域经牛顿迭代后收敛于实根z=1初值区，白色为收敛于复根的区域

问题归结为方程（5.1.1）的非线性，而非线性是系统走向混沌的必要条件。对于非线性系统，初值的微小变化会使系统状态在几个“吸引子”之间回弹，其几何表现就是分形。

5.1.2 分形地球模型

本书把地球参数看成是实函数集，即Hilbert空间的元，这是确定性模型。确定性模型隐含着地球物质有序分布的假定，而随机模型隐含着地球物质随机分布的假定。我们现在进一步假定地球物质分布是自相似或自仿射的，具有多尺度的层次结构，这就导致地球的分形模型。

从分形的观点描述地球的根据是：地球是无标度的复杂对象，其尺度可由几毫米的微裂缝到上万公里的地球直径，而不同尺度之间的现象具有相似性。

人有特征尺度，即人的身高，在1.6 m或5 ft左右。因此，人造的东西也有特征尺度，如火车的高度在2m上下，轮船和高楼平均为几十米，这种特征尺度称为标度。

自然现象一般具有多尺度的特征，没有特征尺度。分形几何学把不同尺度的现象用标度律联系起来

p（λt）=λ^αp（t），0 ＜ α ＜ 1 （5.1.4）

式中p（t）为某种层次的尺度，p（λt）为它放大λ倍之后的尺度，α为标度指数。而

D₀=2-α （5.1.5）

等于Mandelbrot分维数。

维数指的是几何对象中的一个点所置的独立坐标的个数，如地球表面的一个点用经纬度表示，它的维数是2。在分形几何学中，维数可以为分数，分数的维数称为分维数。

对二维情况，一个正方形每边都放大3倍（尺度放大），则变为9个原正方形，有

2=l n9/l n3

对整数维为d的几何对象，每个方向都放大L倍，结果得到N个原来的对象，有

d=lnN/lnL

每个方向放大L倍等效于此方向测量尺度（或度量的单位）缩小为原来的ε=1/L倍。因此，在一般情况下，用很小的度量单位ε研究对象的尺度变化时，可定义

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这就是Mandelbrot分形维。

1992年Korvin编了一本名为《地学中的分形模型》的书，书中列举了与地球科学有关的许多分形模型。其中谈到，1984年美国地调所出动数十辆消防车对内华达岩石出露区进行冲洗，然后对其裂隙作详细填图，得出该区裂隙系统的平均分维数为1.744。用大尺度的区域断裂构造图计算此区断裂系统的分维数为1.773，证实了不同层次的地球断裂系统之间具有自相似性。陈颙与特科特等人的专着对此也有精彩的描述。

关于分形几何学与其他分维数（如相关维D₂、信息维D₁等）的讨论详见有关专着。以下只介绍对时间序列计算分形维D₀的方法。传统的介绍D₀分维数的方法多用时间系列的功率谱计算。由于地球物理资料的功率谱在高频段含有大量噪音，这种计算方法几乎不能用。我们只研究以下算法，在反射地震资料处理上取得良好效果。

对平面曲线，其总长度为

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式中：ε为度量单位（尺子）；N为量得的尺数；f为尺子量完后的剩余长度（f＜ε）；D₀为Mandelbrot分形维数。将式（5.1.7）两边取对数，有

ln（N+f/ε）=-D₀lny+lnL （5.1.8）

设时间序列为 ｛s₁，s₂，…，s_m｝，取样率为Δt，则用ε₁=Δt为尺子量出它对应的曲线长度为

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再令ε₂=2Δt为尺子量出，有

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取ε₃=4Δt，有

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将式（5.1.9）至（5.1.11）代入式（5.1.8）有方程

ln（N_j+f_j/ε_j）=-D₀lnε_j+lnL，j=1，2，3 （5.1.12）

用最小二乘法易求出方程组（5.1.12）中的两个未知数D₀和L。当然，还可取ε₄=8Δt等，以提高求分形维D₀的准确度。下节还要提到，反演迭代输出序列的分形维是指示迭代状态的一种有用参数。

5.1.3 非线性迭代与混沌

设x_n为第n步的迭代输出，x_n+1为下一步的迭代输出，二次方程

x_n+1=rx_n（1-x_n） （5.1.13）

虽然很简单，但迭代过程（演化）却是很复杂的。这个方程称为May生态方程。将x_n+1及x_n视为若干年后池塘中大鱼的产量，由于x_n越大繁殖就越多，所以x_n+1与它成正比；又因大鱼越多吃的小鱼也越多，x_n+1又与（1-x_n）成正比。这就是生态方程的含义，系数r与饲料总量有关。

将x_n及x_n+1视为若干年后你的一笔银行存款的总值，当年存款x_n越多次年本利就越多，所以x_n+1与x_n成比例。但是，存款越多银行利率下降越多，x_n+1又与（1-x_n）成比例。系数r为控制参数，与银行存款总量有关。可见，生态方程反映许多自然与人文发展的规律。

将（5.1.13）式中的x_n+1视为常数，则它是一个关于x_n的二次方程，有两个根。这意味着演化问题存在两种选择（线性问题只有一种选择）。x_n有两种选择将造成迭代输出不稳定，在两种选择中跳来跳去。例如，池塘鱼的产量和水果产量常出现大年与小年的区别，这种演化成为二齿分叉（Pitchfork bifurcation）。

分叉取决于控制参数r，二齿分叉可能不断进行下去，即由两叉变四叉，四叉变八叉。具体地说，随r从很小变到r=r₁=1.0时，开始第一次分叉。当r=r₂=3时，再次分四叉等等。此后，迭代变得非常不稳定，并很快变得没有规律和不可预测（即混沌）。

图5.2示出二次映射的迭代输出随控制系数的分叉过程，以及相应的Lyapunov指数。由图可见，二次映射迭代随外部控制参数r的增大导致有规律的分叉，直至走向混沌。

图5.2 二次映射（式（5.1.13））的迭代输出x_n随r的变化，黑色区表示混沌区（a），以及Lyapunov指数的变化（b）

在非线性动力学中，混沌指的是非线性系统演化的一种不确定和无规则状态。分叉、间歇、突变（如相变）都是典型的不规则状态。在地球科学中，火山爆发是典型的间歇，地震发生是能量的突然释放，其形成的断裂裂隙具有分形结构。

混沌发生的必要条件是系统为非线性。多层次的复杂非线性系统（如人类社会）由于其自组织的困难，较易演化为混沌运动（如战争）。开放的耗散（Dissipative）系统由于固有的非线性性质，也经常出现混沌。但是，非线性只是混沌运动发生的必要条件，而不是充分条件。混沌运动的特征如下。

（1）不可预测性，指初始条件有微小的差别将导致最终结果迥然不同。设迭代映射方程为x_n+1=f（x_n），例如当f为二次函数时，它变成（5.1.13）的May生态方程。f在一般情况下指任何导致混沌结果的函数。如果初始条件x₀带有微小的误差ε₀，经过N次迭代后其误差被指数放大，记f_N（x₀+ε）为带误差的迭代输出，有

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因此定义

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为Lyapunov指数。还可将式（5.1.15）写为

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可见Lyapunov指数表示经N次迭代后系统演化轨道加速偏离的指数。设|ΔI|为经过一次迭代后系统信息的平均损失，有

λ（x₀）=ln2|ΔI| （5.1.17）

说明λ与|ΔI|成正比。根据Shannon信息论，系统信息量等于该系统作完备描述编码所需的最小bit数目。当λ＞0时，每次迭代的信息损失都大于零，系统的熵不断增大以导致混沌的发生。图5.2（b）示出了二次迭代的λ随r的变化并将它与系统的分叉和混沌作对比。由图可见，λ＜0时对应的系统稳定，在λ=0的点系统发生分叉，而λ＞0的点对应混沌。因此，Lyapunov是指示状态的重要标量参数。

（2）整体行为的有规律性。虽然系统在未来的具体状态具有不确定性和不可预测，但是“表面上看起来疯狂杂乱，其实自有规矩”（莎士比亚）。所有系统演化的轨迹形成的相空间的图形中，存在若干个吸引轨迹的若干个很小的空间（成为吸引子），使轨迹不断收缩到其中，或者突跳到另一个吸引子附近。这种现象表示整体行为仍具有整体性。

整体行为的规律性还表现在不同层次的运动的相似性（分形）上。Feigenbaum证明，无论是哪种形如x_n+1=f（x_n）的混沌运动，其转化为混沌的尺度特征都由两个普适常数控制，更说明混沌理论具有整体规律性。

形式周期性，混沌状态的发生有时会重复出现，但这种重复是不确定的。例如，大地震的发生时多时少，既包括高频度的重复出现，又没有准确的周期。

非线性科学研究的全面展开，还是20世纪90年代的事。19世纪建立了线性科学的理论框架，它在20世纪发展为完整的体系。但是非线性科学理论框架的建立，将是21世纪的事。对正问题的研究尚且如此，对非线性问题的研究更加零星。接下来介绍根据混沌理论进行非线性反演的一些实例。

6. 求混沌数学公式

什么是混沌数学
要弄明白不可预言性如何可以与确定论相调和，可以来看看 一个比整个宇宙次要得多的系统——水龙头滴下的水滴。这是一 个确定性系统，原则上流入水龙头中的水的流量是平稳、均匀的， 水流出时发生的情况完全由流体运动定律规定。但一个简单而有效的实验证明，这一显然确定性的系统可以产生不可预言的行为。 这使我们产生某种数学的“横向思维”，它向我们解释了为什么此种怪事是可能的。
假如你很小心地打开水龙头，等上几秒钟，待流速稳定下来， 通常会产生一系列规则的水滴，这些水滴以规则的节律、相同的时 间间隔落下。很难找到比这更可预言的东西了。但假如你缓缓打 开水龙头，使水流量增大，并调节水龙头，使一连串水滴以很不规则的方式滴落，这种滴落方式似乎是随机的。只要做几次实验就会 成功。实验时均匀地转动水龙头，别把龙头开大到让水成了不间断 的水流，你需要的是中速滴流。如果你调节得合适，就可以在好多 分钟内听不出任何明显的模式出现。
1978年，加利福尼亚大学圣克鲁斯分校的一群年青的研究生 组成了一个研究动力学系统的小组。他们开始考虑水滴系统的时 候，就认识到它并不像表现出来的那样毫无规则。他们用话筒记录 水滴的声音，分析每一滴水与下一滴水之间的间隔序列。他们所发 现的是短期的可预言性。要是我告诉你3个相继水滴的滴落时刻， 你会预言下一滴水何时落下。例如，假如水滴之间最近3个间隔是 0.63秒、1.17秒和0.44秒，则你可以肯定下一滴水将在0.82秒 后落下(这些数只是为了便于说明问题)。事实上，如果你精确地知 道头3滴水的滴落时刻，你就可以预言系统的全部未来。
那么，拉普拉斯为什么错了? 问题在于，我们永远不能精确地测量系统的初始状态。我们在任何物理系统中所作出的最精确的 测量，对大约10位或12位小数来说是正确的。但拉普拉斯的陈述 只有在我们使测量达到无限精度(即无限多位小数，当然那是办不 到的)时才正确。在拉普拉斯时代，人们就已知道这一测量误差问 题，但一般认为，只要作出初始测量， 比如小数点后10位，所有相 继的预言也将精确到小数点后10位。误差既不消失，也不放大。 不幸的是，误差确实放大，这使我们不能把一系列短期预言串 在一起，得到一个长期有效的预言。例如，假设我知道精确到小数 点后10位的头3滴水的滴落时刻，那么我可以精确到小数点后9 位预言下一滴的滴落时刻，再下一滴精确到8位，以此类推。误差 在每一步将近放大10倍，于是我对进一步的小数位丧失信心。所 以，向未来走10步，我对下一滴水的滴落时刻就一无所知了。(精 确的位数可能不同：它可能使每6滴水失去1位小数的精度，但只 要取60滴，同样的问题又会出现。)
这种误差放大是使拉普拉斯完全确定论破灭的逻辑缺陷。要 完善整个测量根本做不到。假如我们能测量滴落时刻到小数点后 100位，我们的预言到将来100滴(或用较为乐观的估计，600滴) 时将失败。这种现象叫“对初始条件的敏感性”，或更非正式地叫 “蝴蝶效应”(当东京的一只蝴蝶振翅时，可能导致一个月后佛罗里 达的一场飓风)。它与行为的高度不规则性密切相关。任何真正规 则的东西，据定义都是完全可预言的。但对初始条件的敏感性却使 行为不可预言—从而不规则。因此，呈现对初始条件敏感性的系 统被称为混沌系统。混沌行为满足确定性的定律，但它又如此不规 则，以至在未受过训练的眼睛看来显得杂乱无章。混沌不仅仅是复 杂的、无模式的行为，它要微妙得多。混沌是貌似复杂的、貌似无模 式的行为，它实际上具有简单的、确定性的解释。
混沌的发现是由许多人(多得在此无法一一列举)作出的。它 的出现，是由3个相互独立的进展汇合而成的。第一个是科学注重 点的变化，从简单模式(如重复的循环)趋向更复杂的模式。第二个 是计算机，它使得我们能够容易和迅速地找到动力学方程的近似 解。第三个是关于动力学的数学新观点— 几何观点而非数值观 点。第一个进展提供了动力，第二个进展提供了技术，第三个进展 则提供了认识。
动力学的几何化发端于大约100年前。法国数学家昂利·庞 加莱(Henri Poincare)是一个独立独行的人(如果有的话)，但他非 常杰出，以致他的许多观点几乎一夜之间就成了正统的观点，当时 他发明了相空间概念，这是一个虚构的数学空间，表示给定动力学 系统所有可能的运动。为了举一个非力学的例子，让我们来考虑猎 食生态系统的群体动力学。此系统中捕食者是猪，被捕食者是块菌 (一种味道奇特、辛辣的真菌)。我们关注的变量是两个群体的规模 ——猪的数目和块菌的数目(两者都相对于某个参考值，如100 万)。这一选择实际上使得两个变量连续，即取带小数位的实数值， 而不取整数值。例如，假如猪的参考数目是100万，则17439头猪 相当于值0.017439。现在，块菌的自然增长依赖于有多少块菌以及 猪吃块菌的速率：猪的增长依赖于猪的头数以及猪吃的块菌数目。 于是每个变量的变化率都依赖于这两个变量，我们可把注意力转 向群体动力学的微分方程组。我不把方程列出来，因为在这里关键 不是方程，而是你用方程干什么。
这些方程原则上确定任何初始群体值将如何随时间而变化。 例如，假使我们从17439头猪和788444株块菌开始，则你对猪变 量引入初始值0.017439，对块菌变量引入初始值0.788444，方程 会含蓄地告诉你这些数将如何变化。困难的是使这种含蓄变得清 晰：求解方程。但在什么意义上求解方程呢? 经典数学家的自然反 应是寻找一个公式，这个公式精确地告诉我们猪头数和块菌株数 在任何时刻将是多少。不幸的是，此种“显式解”太罕见，几乎不值 得费力去寻找它们，除非方程具有很特殊的、受限制的形式。另一 个办法是在计算机上求近似解，但那只能告诉我们这些特定韧始 值将发生什么变化，以及我们最想知道的许多不同的初始值将发 生什么变化。
庞加莱的思想是画一幅图，这幅图显示所有初始值所发生的 情况。系统的状态--在某一时刻两个群体的规模——可以表示 成平面上的点，用坐标的方法即可表示。例如，我们可能用横坐标 代表猪头数，用纵坐标代表块菌株数。上述初始状态对应于横坐标 是0.017439、纵坐标是0.788444的点。现在让时间流逝。坐标按 照微分方程表达的规则从一个时刻变到下一个时刻，于是对应点 运动。依动点划出一条曲线；那条曲线是整个系统未来状态的直观 表述。事实上，通过观察这条曲线，不用搞清楚坐标的实际数值，你 就可以“看出”重要的动力学特征。
例如，如果这曲线闭合成环，则两个群体遵从周期性循环，不 断重复同样一些值 就像跑道上的赛车每一圈都经过同一个旁 观者那样。假如曲线趋近某个特定点并停在那，则群体稳定到一个 定态，它们在此都不发生变化——就像耗尽了燃料的赛车。由于幸 运的巧合，循环和定态具有重要的生态意义—特别是，它们给群 体规模设置了上限和下限。所以肉眼最易看出的这些特征确实是 实际事物的特征。并且，许多不相关的细节可以被忽略——例如， 不必描述其精确形状，我们就可以看出存在一种闭合环(它代表两 个群体循环的合成“波形”)。
假如我们试一试一对不同的初始值，那将会发生什么情况? 我 们得到第二条曲线。每一对初始值定义一条新曲线。通过画出一 整族的此种曲线，我们可以抓住所有初始值之下系统所有可能的 行为。这族曲线类似于围绕平面盘旋的一种虚拟数学流体的流线。 我们称此平面为系统的相空间，那族盘旋曲线是系统的相图。取代 具有各种初始条件的以符号为基础的微分方程概念，我们有了流 经猪块菌空间的点的直观几何图像。这仅在其许多点是潜在点而 非实际点而有别于普通平面：它们的坐标对应于在适当初始条件 下可能出现，但在特定情况下可能不会出现的猪头数和块菌株数。 所以，除了从符号到几何的心理转移，还存在从实际向潜在的哲理 性的转移。
对于任何动力学系统，都可以设想同一种类型的几何图像。有 相空间，其坐标是所有变量的值；有相图，即一族表示从所有可能 的初始条件出发的所有可能行为的盘旋曲线，这些曲线为微分方 程所刻划。这一思想是一大进展，因为我们无需关心微分方程解的 精确数值，而可以把注意力集中于相图的宽广范围，使人发挥其最 大优势(即惊人的图像处理能力)。作为把全部潜在行为编织起来 的一种方式(自然界从中选择实际观察到的行为)的相空间图，在 科学中已被广为应用。
庞加莱这一大创新所带来的结果，是动力学可借助被称为吸 引子(attractor)的几何形状来加以直观化。假如你使一动力学系 统从某个初始点出发，观察它长期运作的情况，你往往会发现，它 最终围绕相空间中某个明确的形状游荡。例如，曲线可以向一个闭 合环旋进，然后绕环永远兜圈子。而且，初始条件的不同选择会导 致相同的终末形状。倘若如此，那形状就叫做吸引子。系统长期的 动力学特性受其吸引子支配，吸引子的形状决定产生何种类型的 动力学特性。
例如，趋向于定态的系统，它具有的吸引子是一个点。趋向于 周期性地重复同样行为的系统，它具有的吸引子是一个闭环。也就 是说，闭环吸引子相当于振荡器。请回忆一下第五章有关振动的小 提琴弦的描述：小提琴弦经历一系列最终使它回归到出发点的运 动，并将一遍又一遍重复那个系列。我的意思不是小提琴弦以物理 环运动，但我对它的描述是隐喻意义上的闭环：运动经过相空间的 动态地形而环游。
混沌有其自身颇为古怪的几何学意义，它与被称为奇异吸引 子的离奇分形形状相联系。蝴蝶效应表明，奇异吸引子上的详细运 动不可预先确定，但这并末改变它是吸引子这个事实。设想一下如 果把一个 古 球抛进波 汹涌的大海，无论你从空中向下丢球，还 是从水下让球向上浮，球都会向海面运动。一旦到了海面之后，它 就在起伏的波浪中经历一个很复杂的运动路径，但不管这路径多 么复杂，球仍然留在海面上或至少很接近海面。在这一图景里，海 面是吸引子。因此，尽管有混沌，不论出发点可能是什么，系统最终 将很接近它的吸引子。
混沌作为一种数学现象已得到充分证实，但在现实世界里我 们如何检测它呢? 我们必须完成一些实验，但这存在一个问题。实 验在科学中的传统作用是检验理论预言，但要是蝴蝶效应在起作 用—正像它对任何混沌系统所做的那样——我们怎么能期望去 检验一个预言? 莫非混沌天生不可检验，从而是不科学的? 回答是，“不”! 因为“预言”这个词有两个含义。一是指“预卜 未来”。当混沌出现时，蝴蝶效应阻碍预卜未来。但另一个含义是 “预先描述实验结果将是什么”。让我们来考虑一下如果掷100次 硬币的例子。为了预言— 在算命先生的意义上预卜— 会发生 什么情况，你必须预先列出每一次抛掷的结果。但你可以作出科学 的预言，如“大约一半硬币将正面朝上”，而不必具体地预卜未来 ——甚至预言时，这系统仍然是随机的。没有人会因为统计学处理 不可预言的事件而认为它不科学，因此亦座以同样态度来对待混沌。 你可以作出各种各样的关于混沌系统的预言。事实上，你可以 作出充足的预言把确定性混沌与真正的随机性区分开。你能常常 预言的一件事是吸引子的形状，它不受蝴蝶效应的影响。蝴蝶效应 所做的一切，是使系统遵从同一吸引子上的不同轨线。总之，吸引 子的一般形状往往可从实验观测中得到。
混吨的发现揭示了我们对规律与由此产生的行为之间——即 原因与结果之间——关系的一个基本性的错误认识。我们过去认 为，确定性的原因必定产生规则的结果，但现在我们知道了，它们 可以产生易被误解为随机性的极不规则的结果。我们过去认为，简 单的原因必定产生简单的结果(这意味着复杂的结果必然有复杂 的原因)，但现在我们知道了，简单的原因可以产生复杂的结果。我 们认识到，知道这些规律不等于能够预言未来的行为。
原因和结果之间的这种脱节是怎么出现的? 为什么相同的一 些规律有时候产生明显的模式，有时候却产生混油? 答案可以在家 家户户的厨房里，就在打蛋器那样简单的机械装置中找到。两条打 蛋臂的运动简单又可预言：每条打蛋臂都平稳地旋转。然而，装置 里的糖和蛋白的运动则复杂得多。糖和蛋白在打蛋臂的作用下得 到混合，那正是打蛋器要达到的目的，但那两条旋转的打蛋臂并未 绞在一起。当你打完蛋后，不必把打蛋臂解开。为什么调合蛋白的 运动如此不同于打蛋臂的运动? 混合是一个远比我们想象的复杂 得多的动态过程。设想一下，试图预言一颗特定的糖粒最终将在何 处是何等艰难! 当混合物在那对打蛋臂之间通过时，它被向左右两 边扯开。两颗起初紧靠在一起的糖粒不久分得很开，各走各的道。 事实上，这正是蝴蝶效应在起作用。初始条件中的微小变化有 着巨大的影响。因此，混合是一个混沌过程。
反之，每一个混沌过程都包含一种在庞加莱虚拟相空间中的 数学混合。这就是潮汐可预言、而天气不可预言的原因。两者包含 同一种类型的数学，但潮汐的动力学不在相空间混合，而天气的动 力学则在相空间混合。
科学在传统上看重秩序，但我们正开始认识到混沌能给科学 带来独特的好处。混沌更容易对外部刺激作出快速反应。设想一 下等待接发球的网球运动员。他们站着不动吗? 他们有规则地从 一边移向另一边吗? 当然不。他们双脚零乱地蹦跳。部分原因在 于扰乱其对手；但同时也准备对任何发过来的球作出反应。为了能 够向任何特定方向快速运动，他们在许多不同方向上作出快速运 动。混沌系统与非混沌系统相比较，前者轻而易举地就能非常快地 对外部事件作出反应。这对工程控制问题来说很重要。例如，我们 现在知道某类湍流由混沌造成— 混沌正是使湍流混乱不堪的元 凶。我们也许可以证明，通过建立对破坏任何小区域的原发湍流作 出极快反应的控制机制，使擦过飞机表面的气流不致太湍乱，从而 减小运动阻力，这种情况是可能的。活的生物为了对变化的环境作 出快速反应，也必须呈现混沌行为。
这一思想已被一群数学家和物理学家，其中包括威廉·迪托 (William Ditto)、艾伦·加芬科(Alan Garfinkel)和吉姆·约克 (Jim Yorke)，变成了一项非常有用的实用技术，他们称之为混沌 控制。实质上，这一思想就是使蝴蝶效应为你所用。初始条件的小 变化产生随后行为的大变化，这可以是一个优点；你必须做的一 切，是确保得到你想要的大变化。对混沌动力学如何运作的认识， 使我们有可能设计出能完全实现这一要求的控制方案。这个方法 已取得若干成功。混沌控制的最早成就之一，是仅用卫星上遗留的 极少量肼使一颗“死”卫星改变轨道，而与一颗小行星相碰撞。美国 国家航空与航天管理局操纵这颗卫星围绕月球旋转5圈，每一圈 用射出的少许肼将卫星轻推一下，最后实现碰撞。
这一数学思想已被用来控制湍乱流体中的一条磁性条带—— 控制流经潜水艇或飞机的湍流的一个原型；控制使胡乱跳动的心 脏恢复有规则的节律，这预示着智能起搏器的发明；用来建立和防 止脑组织中电活动的节律波，这又开辟了预防癫痫发作的新途径。 混沌已是一个迅速发展的行业。每一个星期都有有关混沌的 数学基础的新发现、混沌对我们认识自然界的新应用，或有关应用 混吨产生的新技术的报导，包括混沌洗碟机(日本人发明用两条混沌 旋转的转臂使碟子洁净的节能机器)和英国人发明的用混沌理 论进行数据分析从而改进矿泉水生产中的质量管理的机器。 然而，还有更多的东西有待研究。或许混沌最终悬而末决的问 题是奇异的量子世界，幸运女神主宰那里的一切。放射性原子“随 机地”衰变，它们唯一的规律是统计规律。大量放射性原子虽有明 确的“半衰期” 一段半数原子将衰变的时间，但我们不能预言 哪一半原子即将衰变。前面提到的爱因斯坦的断言，就是针对这一 问题的。在将不衰变的放射性原子与将要衰变的放射性原子之间， 确实根本不存在任何差别吗? 原子怎么知道该干什么? 量子力学的表观随机性可能骗人吗? 它确实是确定性混沌吗?
设想原于是宇宙流体的某种振动液滴。放射性原子很有力地振动， 并且较小的液滴时常会分裂——衰变。这振动快得我们无法对它 们进行细致测量，我们只能测量平均量(如能级)。现在，经典力学 告诉我们，一滴真实流体会混油地振动。当它振动时，其运动是确 定性的，但不可预言。许多振动不约而同“随意地”分裂微小的液 滴。蝴蝶效应使得不可能预言何时液滴将分裂，但这事件具有精确 的统计特征，包括明确的“半衰期”。
放射性原子表观随机衰变可能是某种在微观尺度上的类似 物? 为什么终归存在统计规律? 统计规律是内在确定性的外显，抑 或会来自别的什么地方? 遗憾的是，尚没有人使这诱人的思想产生 结果——尽管它在精神上类似于时髦的超弦理论，在超弦理论中， 亚原于粒子是一种人为的振动着的多维环。在这里主要的类似特 征是，振动环与振动液滴都将新的“内部变量”引入其物理学图景 中，而显着的区别在于它们处理量子不确定性的方式。超弦理论同 传统量子力学一样，把这种不确定性视为真正的随机。然而，在一 个像液滴这样的系统里，表观不确定性实际上是由确定性的(但是 混沌的)原动力所产生。诀窍——如果只有我们知道如何来操作的 话— 也许在于：发明某种维持超弦理论成功特征的结构，同时造 就几个行为混沌的内部变量。它可能是使上帝的骰子变得确定，并 使爱因斯坦在天之灵欣慰的一条动人途径。
重要的不在于你做什么，而在于你如何来做。
混沌正在颠覆我们关于世界如何运作的舒适假定。一方面混 沌告诉我们，宇宙远比我们想得要怪异。混沌使许多传统的科学方 法受到怀疑，仅仅知道自然界的定律不再足够了。另一方面，混沌 还告诉我们，我们过去认为是无规则的某些事物实际上可能是简 单规律的结果。自然之混吨也受规律约束。过去，科学往往忽视貌 似无规则的事件或现象，理由是，既然它们根本没有任何明显的模 式，所以不受简单规律的支配。事实并非如此。恰好在我们鼻子底 下就有简单规律——支配疾病流行、心脏病发作或蝗灾的规律。如 果我们认识了这些规律，我们就有可能制止随之而来的灾难。 混沌已经向我们显示了新的规律，甚至是新型的规律。混沌自 有一类新的普适模式。最初被发现的模式之一存在于滴水水龙头 里。可能我们还记得水龙头可以有节律地或杂乱地滴水，这取决于 水流的速度。实际上，有规则滴水的水龙头与“无规则”滴水的水龙 头都是同一数学处方的略微不同的变体。但随着水流经过水龙头 的速率的增加，动力学特性的类型发生变化。代表动力学特性的相 空间中的吸引子在不断地变化— 它以一种可预言的、但极复杂 的方式在发生变化。
有规则滴水的水龙头有一个反复滴一滴一滴一滴的节律，每 一滴都与前一滴相同。然后略微旋开水龙头，水滴略快。现在节律 变成滴一滴一滴一滴，每2滴就重复一次。不仅水滴的大小(它决 定水滴听上去有多响)，而且从这一滴到下一滴的滴落时刻，都略 有变化。
假如你让水流得再快一些，得到4滴节律，水滴再快一点，产 生8滴节律。水滴重复序列的长度不断加倍。在数学模型里，这一 过程无限继续下去，具有16，32，64等水滴的节律群。但产生每次 相继周期倍化的流速变得愈来愈细微；并存在一个节律群大小在 此无限频繁加倍的流速。此时此刻，没有任何水滴序列完全重复同 一模式。这就是混沌。
我们可以用庞加莱的几何语言来表达所发生的情形。对于水 龙头，吸引子起初是闭环，表示周期循环。设想这环是围绕你手指 的一根橡皮筋。当流速增大时，这环分裂成2个相邻的环，就像橡 皮筋在手指上绕了2圈。于是橡皮筋2倍于原长度，所以周期加 倍。然后这已经加倍的环又沿其长度完全以同样方式加倍，产生周 期4循环，以此类推。在无穷多次加倍之后，你的手指被细面条似 的橡皮筋缠绕，即混沌吸引子。
这种混沌创生方案叫周期倍化级联。1975年，物理学家米切尔·费根鲍姆(Mitchell Feigenbaum)发现，一个可用实验加以测 量的特殊数与每个周期倍化级联相联系。这个数大约是4.669，它 与π并列成为似乎在数学及其与自然界的关系中都有非同寻常意 义的离奇数之一。费根鲍姆数也有一个符号：希腊宇母δ。数π告 诉我们圆周长如何与圆的直径相关。类似地，费根鲍姆数δ告诉我 们水滴周期如何与水的流速相关。准确地说，你必须通过这个额外 量旋开水龙头，在每次周期倍化时减小 l/4.669。
π是与圆有关的任何东西的一个定量特征。同理，费根鲍姆数 δ是任何周期倍化级联的定量特征，不管级联是如何产生的或如 何用实验得出的。这同一个数在关于液氨、水、电路、摆、磁体以及 振动车轮的实验中都会出现。它是自然界中一个新的普适模式，是 我们仅仅透过混沌之眼就可看到的模式，一个从定性现象产生的 定量模式，一个数。这数确实是自然之数中的一个。费根鲍姆数打 开了通往数学新世界的大门，我们才刚刚开始探索这个世界? 费根鲍姆发现的这个精确模式(和谐如此类的其他模式)是一 件杰作。其根本点在于，甚至当自然之定律的结果看上去无模式 时，定律依然存在，模式亦然。混沌不是无规，它是由精确规律产生 的貌似无规的行为。混沌是隐秘形式的秩序。

7. matlab中的混沌问题 feigenbaum图对应程序

clear;clf; hold on
axis([0,3,-3,3]); grid
for a=0:0.005:3 x=[0.1]; for i=2:150
x(i)=a*sin(pi*x(i-1)); end pause(0.1) for i=101:150
plot(a,x(i),'k.'); end end

8. 混沌算法是什么

例题:
大虎说：三虎要木珠，五虎要水珠
二虎说：三虎要土珠，四虎要金珠
三虎说：二虎要金珠，大虎要火珠
四虎说：五虎要金珠，四虎要火珠
五虎说：三虎要水珠，大虎要木珠
开个QQ聊天框输入：
3木
5水
3土
4金
2金
1火
5金
4火
3水
1木观察得出：
上面只有“2”出现了一次。可以确定“2”一定是“金”。
所以含“2”、“金”的项可以去掉。
剩下：
3木
5水
3土
1火
4火
3水
1木观察得出：
上面只有“土”、“4”出现了一次。可以确定“3”一定是“土”。
“4”一定是“火”。
所以含“3”、“4”、“土”、“火”的项可以去掉。
剩下：
5水
1木
最终确定了：
2金
3土
4火
5水
1木即：
大虎——木
二虎——金
三虎——土
四虎——火
五虎——水
脱毛，来分，辛苦！