证明极限运算法则

⑴ 极限的运算法则的证明怎么证明

先证lim[f(x)+-g(x)]=limf(x)+-limg(x)
由limf(x)=A,limg(x)=B,得到f(x)=A+a,g(x)=B+b,其中a,b为无穷小，于是有f(x)+-g(x)=(A+a)+-(B+b)=(A+-B)+(a+-b)由于无穷小量a和b所以 lim[f(x)+-g(x)]=A+-B=limf(x)+-g(x)极限乘法的证明也类似，楼主可以自己证。
再证lim[f(x)/g(x)]=limf(x)/limg(x)=A/B,B不为0
同样的有f(x)=A+a,g(x)=B+b 设 r=f(x)/g(x)-A/B 即r=(A+a)*(B+b)-A/B=(Ba-Ab)/[B(B+b)]
r看作2个数的乘积，其中Ba-Ab是无穷小，转而证明1/[B(B+b)]在x的某一邻域内有界，即证明了r的极限为0，命题成立。
由于limg(x)=B由极限定理可知 存在x，当x属于u(x)时，|g(x)|>|B|/2,从而|1/g(x)|<2/|B|
|1/B(B+b)|=1/B*|1/g(x)|<1/|B|*2/|B|=2/|B|^2B是非0常数 从而证明了1/[B(B+b)]有界，r为无穷小量（常数乘无穷小=无穷小）
得到f(x)/g(x)=A/B+r limf(x)/g(x)=A/B=limf(x)/limg(x)
应该差不多了吧 希望满足楼主需求

⑵ 函数极限的运算法则的证明

先证lim[f(x)+-g(x)]=limf(x)+-limg(x)，再证lim[f(x)/g(x)]=limf(x)/limg(x)=A/B,B不为0。

以下是函数极限的相关介绍：

函数极限是高等数学最基本的概念之一，导数等概念都是在函数极限的定义上完成的。函数极限性质的合理运用。常用的函数极限的性质有函数极限的唯一性、局部有界性、保序性以及函数极限的运算法则和复合函数的极限等等。

问题的关键在于找到符合定义要求的 ，在这一过程中会用到一些不等式技巧，例如放缩法等。1999年的研究生考试试题中，更是直接考察了考生对定义的掌握情况。

在运用以上两条去求函数的极限时尤需注意以下关键之点。一是先要用单调有界定理证明收敛，然后再求极限值。二是应用夹挤定理的关键是找到极限值相同的函数 ，并且要满足极限是趋于同一方向 ，从而证明或求得函数 的极限值。

以上资料参考网络——函数极限

⑶ 极限运算法则定理3证明

(1)你已理解,"从证明过程看是需要的".这就对了!事实上,这种需要,是为了不失一般性,为了符合"极限的定义"之需要,并不是g（x）不符合这个条件就不成立了的那种需要.而极限这样定义,却是为了研究那些趋于x0而不达到x0之问题,至于达到x0的情况,是比达不到的情况更简单的.
(2)具体说,你不可能举出反例.因为当g（x）等于u0时,结论必真.
(3)这样理解:是为了符合极限定义中"(x-x0)的绝对值

⑷ 极限的运算法则

⑸ 极限运算法则的证明

因为 f(x)以A|为极限，所以| f(x)-A|<∮加一个2M 是为了相加时候凑个整数。
你不用2M也是可以的
|f(x)g(x)-AB|〈2M*∮也可以呀！2M*∮也是任意小的数，因为m是定数∮任意小，乘在一起也任意小。
如果加以个2M ，就更好了。

⑹ 极限运算除法法则证明

设limf(x)=a,limg(x)=b(b≠0),（x→x0)求证limf(x)/g(x)=a/b
证明：只要证明f(x)/g(x)-a/b是无穷小即可。
由于limf(x)=a,limg(x)=b,可设f(x)=a+a,g(x)=b+b,其中a和b是x→x0时的无穷小
f(x)/g(x)-a/b=(a+a)/(b+b)-a/b=(bb-aa)/[b(b+b)]
因为a,b是无穷小，a,b是常数，所以bb-aa是无穷小，因此只要证明1/b(b+b)有界。
因为limg(x)=b≠0，所以存在点x0的某个去心邻域u(x0),当x∈u(x0)时，
│g(x)│>│b│/2,所以1/│b(b+b)│=1/(│b│*│g(x)│)<2/│b│^2（正数）
所以1/b(b+b)有界,(bb-aa)/[b(b+b)]是无穷小
证毕！

⑺ 极限四则运算法则是什么

极限四则运算法则的前提是两个极限存在，当有一个极限本身是不存在的，则不能用四则运算法则。设limf(x)和limg(x)存在，且令limf(x)=A，limg(x)=B。

四则运算是指加法、减法、乘法和除法四种运算。四则运算是小学数学的重要内容，也是学习其它各有关知识的基础。

相关内容解释：

1.是指无限趋近于一个固定的数值。

2.数学名词。在高等数学中，极限是一个重要的概念。

极限可分为数列极限和函数极限。

学习微积分学，首要的一步就是要理解到，“极限”引入的必要性：因为，代数是人们已经熟悉的概念，但是，代数无法处理“无限”的概念。所以为了要利用代数处理代表无限的量，于是精心构造了“极限”的概念。在“极限”的定义中，我们可以知道，这个概念绕过了用一个数除以0的麻烦，而引入了一个过程任意小量。

就是说，除数不是零，所以有意义，同时，这个过程小量可以取任意小，只要满足在Δ的区间内，都小于该任意小量，我们就说他的极限为该数——你可以认为这是投机取巧，但是，他的实用性证明，这样的定义还算比较完善，给出了正确推论的可能。这个概念是成功的。

⑻ 极限四则运算法则证明求解

具体回答如图：

极限四则运算法则的前提是两个极限存在，当有一个极限本身是不存在的，则不能用四则运算法则。

(8)证明极限运算法则扩展阅读：

设{xn} 是一个数列，如果对任意ε>0，存在N∈Z*，只要 n 满足 n > N，则对于任意正整数p，都有|xn+p-xn|<ε。

在区间(a-ε，a+ε)之外至多只有N个（有限个）点；所有其他的点xN+1，xN+2，...（无限个）都落在该邻域之内。这两个条件缺一不可，如果一个数列能达到这两个要求，则数列收敛于a；而如果一个数列收敛于a，则这两个条件都能满足

⑼ 复合函数极限运算法则是怎么证明的

就是套定义啊……
证明若lim(x→x0)f(x)=y0，lim(y→y0)g(y)=l，且存在正数a，当0<|x-x0|<a时f(x)≠y0，则lim(x→x0)g(f(x))=l
证明：任意给定正数b，存在正数c，当0<|y-y0|<c时|g(y)-l|<b
对这个c，存在正数d，当0<|x-x0|<d时|f(x)-y0|<c
取e=min{a,d}，则当0<|x-x0|<e时0<|f(x)-y0|<c，这时|g(f(x))-l|<b
所以lim(x→x0)g(f(x))=l

⑽ 极限运算除法法则证明

设limf(x)=a,limg(x)=b(b≠0),（x→x0)求证limf(x)/g(x)=a/b，证明：只要证明f(x)/g(x)-a/b是无穷小即可。

柯西收敛准则：数列{Xn}收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数ε，总存在正整数N，使得当m>N，n > N时，且m≠n。我们把满足该条件的{Xn}称为柯西序列，那么上述定理可表述成：数列{Xn}收敛，当且仅当它是一个柯西序列。

单调有界准则：单调增加（减少）有上（下）界的数列必定收敛。

在运用以上两条去求函数的极限时尤需注意以下关键之点。一是先要用单调有界定理证明收敛，然后再求极限值。二是应用夹挤定理的关键是找到极限值相同的函数 ，并且要满足极限是趋于同一方向 ，从而证明或求得函数 的极限值。