随机分形算法
‘壹’ 什么是分形数学
分形一般是指“一个粗糙或零碎的几何形状,可以分成数个部分,且每一部分都（至少会大略）是整体缩小尺寸的形状”[1],此一性质称为自相似.分形一词是由本华·曼德博于1975年提出的,有“零碎”、“破裂”之意.
分形一般有以下特质：[2]
在任意小的尺度上都能有精细的结构；
太不规则,以至难以传统欧氏几何的语言来描述；
（至少是大略或任意地）自相似
豪斯多夫维数会大于拓扑维数（但在空间填充曲线如希尔伯特曲线中为例外）；
有着简单的递归定义.
因为分形在所有的大小尺度下都显得相似,所以通常被认为是无限复杂的（以不严谨的用词来说）.自然界里一定程度类似分形的事物有云、山脉、闪电、海岸线和雪片等等.但是,并不是所有自相似的东西都是分形,如实线虽然在形式上是自相似的,但却不符合分形的其他特质.
17世纪时,数学家兼哲学家莱布尼茨思考过递回的自相似,分形的数学从那时开始渐渐地成形（虽然他误认只有直线会自相似）.
直到1872年,卡尔·魏尔施特拉斯给出一个处处连续但处处不可微的函数,在今日被认为是分形的图形才出现.1904年,科赫·范·卡区不满意魏尔施特拉斯那抽象且解析的定义,给出一个相似函数但更几何的定义,今日称之为科赫雪花.1915年瓦茨瓦夫·谢尔宾斯基造出了谢尔宾斯基三角形；隔年,又造出了谢尔宾斯基地毯.原本,这些几何分形都被认为是分形,而不如现今所认为的二维形状.1938年,保罗·皮埃尔·莱维在他的论文《Plane or Space Curves and Surfaces Consisting of Parts Similar to the Whole》中将自相似曲线的概念更进一步地推进,他在文中描述了一个新的分形曲线－莱维C形曲线.
格奥尔格·康托尔也给出一个具有不寻常性质的实数子集－康托尔集,今日也被认为是分形.
复平面的迭代函数在19世纪末20世纪初被儒勒·昂利·庞加莱、菲利克斯·克莱因、皮埃尔·法图和加斯东·茹利亚等人所研究,但直到现在有电脑绘图的帮忙,许多他们所发现的函数才显现出其美丽来.
1960年代,本华·曼德博开始研究自相似,且写下一篇论文《英国的海岸线有多长?统计自相似和分数维度》.最后,1975年,曼德博提出了“分形”一词,来标记一个物件,其豪斯多夫维数会大于拓扑维数.曼德博以显着的电脑架构图像来描绘此一数学定义,这些图像有着普遍的映象；许多都基于递归,以至“分形”的一般意思.
造法
四个制造分形的一般技术如下：
逃逸时间分形：由空间（如复平面）中每一点的递推关系式所定义,例如曼德博集合、茹利亚集合、火烧船分形、新分形和李奥普诺夫分形等.由一次或两次逃逸时间公式的迭代生成的二维矢量场也会产生分形,若点在此一矢量场中重复地被通过.
迭代函数系统：这些分形都有着固定的几何替代规则.康托尔集、谢尔宾斯基三角形、谢尔宾斯基地毯、空间填充曲线、科赫雪花、龙形曲线、丁字方形、孟杰海绵等都是此类分形的一些例子.
随机分形：由随机而无确定过程产生,如布朗运动的轨迹、莱维飞行、分形风景和布朗树等.后者会产生一种称之为树状分形的分形,如扩散限制聚集或反应限制聚集丛.
奇异吸引子：以一个映射的迭代或一套会显出混沌的初值微分方程所产生.
[编辑]分类
分形也可以依据其自相似来分类,有如下三种：
精确自相似：这是最强的一种自相似,分形在任一尺度下都显得一样.由迭代函数系统定义出的分形通常会展现出精确自相似来.
半自相似：这是一种较松的自相似,分形在不同尺度下会显得大略（但非精确）相同.半自相似分形包含有整个分形扭曲及退化形式的缩小尺寸.由递推关系式定义出的分形通常会是半自相似,但不会是精确自相似.
统计自相似：这是最弱的一种自相似,这种分形在不同尺度下都能保有固定的数值或统计测度.大多数对“分形”合理的定义自然会导致某一类型的统计自相似（分形维数本身即是个在不同尺度下都保持固定的数值测度）.随机分形是统计自相似,但非精确及半自相似的分形的一个例子.
‘贰’ 分形统计模型
3.3.1 分形统计模型
设分形统计模型：
分形混沌与矿产预测
其中r表示特征尺度，C＞0称为比例常数，D＞0称为分维数，N（r）表示尺度大于等于r的数目（当分维数D前面的符号取负号，记为N（≥r））或尺度小于等于r的数目（当分维数D前面的符号取正号，记为N（≤r））.
为了研究方便，（3.3.1）式可分解为下面二式：
分形混沌与矿产预测
许多地质现象具有标度不变的特征.如岩石碎片、断层、地震、火山喷发、矿藏和油井等.这些现象的频数和大小之间的分布具有尺度不变性.分形分布的特点要求大于等于或小于等于某一尺度的数目，与物体大小之间存在幂函数关系，即（3.3.1）式的关系.例如r可表示金品位，N（≥r）表示金品位大于等于r的样品数目；r也可表示圆的半径，N（≤r）表示落入半径为r的圆中的矿体个数.
分形分布的特点要求大于某一尺度物体的数目，与物体大小之间存在着幂函数关系，地质现象的统计分布中，幂函数分形分布（即：幂函数分布、帕累托分布和齐波夫分布）不是惟一的一类，还有如对数分布等其他类型.但是幂函数分形分布是其中惟一的一类不含特征尺度的分布.这样，这些分布可以应用于那些具有标度不变性的地质现象.而标度不变性则提供了应用幂函数分形分布的基础.
模型的建立，其实是分形（相似性）模型的建立.利用相似性原理，建立模型单元，对预测单元进行分形处理和预测.
为了求出分维数D，将观测数据（N（r1），N（r2），…，N（rn））和（r1，r2，…，rn），绘在双对数坐标纸上，如果其散点大致分布在一条直线上的话，分维数D就可以利用直线的斜率求出，也就是说，将观测数椐（N（r1），N（r2），…，N（rn））和（r1，r2，…，rn），代入（3.3.1）式，然后两边取对数，（3.3.1）式化为一元线性回归模型：
分形混沌与矿产预测
用最小二乘法求出斜率D的估计量，即为分维数.目前几乎都用此方法（传统方法）求解分维数D.虽然用该方法求出D较简单，但结果可能不正确（Bethea，et al.，1985），应该用非线性回归模型的方法去估计参数C和D.
事实上，（3.3.1）式是非线性回归模型，其中C，D为未知参数，用非线性回归模型的中最小二乘法直接求出（3.3.1）式中参数D的估计量也是分维数.用这种新方法求出的分维数D比上面传统方法（即（3.3.1）式转化为一元线性回归模型（3.3.2））求出的分维数更精确（即误差更小）.
新方法有以下优点：
（1）使用传统方法求分维数D，要对原始数据（N（r1），N（r2），…，N（rn））和（r1，r2，…，rn），同时作对数变换，但是在大多数情况下，原始数据特别是（r1，r2，…，rn），不适合作对数变换.新方法直接用原始数据求分维数D，因而避免了以上情况出现.
（2）使用新方法可以求出分维数估计量的近似偏差和方差，同时也能求出近似预测偏差和预测方差.使用传统方法不能得到上述的结果（使用传统方法求出（3.3.2）式中D的偏差和方差，同使用新方法求出（3.3.1）式中D的偏差和方差有着根本区别）.
（3）使用新方法求出的参数估计量比使用传统方法求出的参数估计量在拟合分形模型时更好，即剩余平方和更小（剩余平方和是衡量拟合的优良程度的定量指标），并且参数估计量更稳定.
3.3.2 分形统计模型模拟研究
我们在计算机上产生了［0，1］区间上的均匀分布，标准正态分布和对数正态分布的随机数各10 000个，将每种分布的随机数分成10组（即每组1000个随机数，共有30组），用于分形统计模型的模拟研究.
将每组1000个随机数，按从小到大的次序排列，并把随机数分布的总区间分成k个子区间，统计进入第i个子区间内的随机数的频数NFi（i=1，2，…，k），令，其中r为正整数.
这样得到了数据（N（r1），N（r2），…，N（rn））和（r1，r2，…，rn），将这些数据代入分形统计模型（3.3.1″），应用最小二乘法，可求出分维数估计量.
具体计算结果见表3-1，表3-2和表3-3.
表3-1 均匀分布分维数估计量D^
表3-2 正态分布分维数估计量D^
表3-3 对数正态分布分维数估计量D^
在表3-1，表3-2，表3-3中：①对于均匀分布的随机数，取k=150，n=26，ri=2i（i=1，2，…，26）；②对于正态分布的随机数，取k=80，n=21，ri=2i+10（i=1，2，…，21）；③对于对数正态分布的随机数，取k=100，n=21，ri=2i（i=1，2，…，21）；④对于不同分布的随机数据，k和r的取值范围也不相同，主要依据数据（N（r1），N（r2），…，N（rn））和（r1，r2，…，rn），在此范围内，存在无标度区和统计上的要求；⑤随机数抽取样本1000个，符合统计推断的要求条件.
由表3-1，表3-2和表3-3中的数据可推出以下的结果：
（a）用新方法求出分维数估计量比使用传统方法求出分维数估计量更趋于稳定.因为标准差是数据分散程度的定量描述，标准差越小，数据越集中于平均数附近.
（b）分维数D值可以表征随机数或样本之间的结构性.根据分形统计模型（3.3.1″）可看出，D值越小表示随机数或样本之间的差异越小，即均匀程度好，反之，D值越大表示随机数或样本之间的差异越大，即均匀程度差.均匀分布（均匀程度好）的随机数分维数（平均值0.1287）小于正态分布（均匀程度居中）的随机数分维数（平均值0.6853）小于对数正态分布（均匀程度差）的随机数分维数（平均值0.9762）.以上结论与实际情况符合.
3.3.3 应用实例
西藏罗布莎铬铁矿成矿预测.
西藏罗布莎铬铁矿矿床是我国目前已知最大的铬铁矿矿床，已探明的铬铁矿石储量近500万t，占全国探明储量的三分之一以上.因而，对西藏罗布莎铬铁矿矿床进行成矿预测工作具有非常重要的意义.
罗布莎蛇绿岩体地处着名的雅鲁藏布江蛇绿岩带的东段，位于冈底斯火山-岩浆弧的南侧，岩体呈向北凸出的弧形展布于晚三叠世巨厚的浅变质砂板岩夹少量结晶灰岩和细碧角斑岩的复理石建造与晚白垩世海相火山岩、放射虫硅质岩以及第三系山间磨拉石建造之间，岩体平面形态似透镜状，局部被断层错开，主体呈东西向延伸，长约30km，最宽处约3km（李紫金等，1993）.
通过对该矿床的研究，认为地表矿体、矿群、矿床储量的空间分布具有较好的分形结构特征即自相似性，可用分形统计（3.3.1′）模型作为第四系覆盖区下找矿远景地段矿体、矿群及其资源量的预测模型.
1.地质条件
研究表明，尽管罗布莎矿段与香嘎山矿段矿体出露的标高及在地幔橄榄岩中的位置略有不同、岩石矿石化学成分及物性表现上有所差异，但它们均处于同一地幔橄榄岩内，属于同一成岩成矿作用的产物，原始的构造含矿杂岩带统一，经构造解析，认为全区的矿体在同一构造含矿杂岩带内.因而，将模型区扩大到整个两矿段地区，在地质上是可行的.
2.数学条件
罗布莎铬铁矿矿床自相似性体系的矿床诸参数表现出自相似性，将观测数据（N（r1），N（r2），…，N（rn））和（r1，r2，…，rn），绘在双对数坐标系统中（即lgN（r）—lgr），连接各点，曲线存在明显的直线段，即存在无标度区.自相似性是事物在一定尺度范围（无标度区）内不随观察尺度变化的性质，无标度区一部分所得到的结论可以外推到整个无标度区.模型区地表矿体、矿群及其储量的空间分布在5～40cm的范围（无标度区）内具较好的分形结构即自相似性.因此，在矿床自相似性体系内，可以将该无标度区的上限外推至55cm，此时分形结构不发生改变或改变不大.
3.模型区与预测区的相似类比
预测的矿体及矿群是第四系覆盖区下基岩表层的矿体及矿群，预测的资源量是与模型区C+D级储量对应的矿量.第四系的研究表明，预测区的第四系为残坡积物及少量的冰碛物，所以认为模型区与预测区地表风化剥蚀状况及矿体的保存条件近于相似，模型可以外推.
4.资料来源及参数估计
（1）地表矿体
模型区内，在1∶10000地形地质图上标出的分布于构造含矿杂岩带内的地表矿体共152个（见图3-1和图3-2），把每个矿体看成是以其中心为代表的一个点（图3-3和图3-4）.以矿体分布的重心或中心为圆心，圆心不动，以不同的半径r画圆，计算每次落入圆中矿体的个数，记为N（r）（表3-4）.在lgr—lgN（r）坐标中投点，用最小二乘法拟合直线，得直线方程为：
分形混沌与矿产预测
以D（0）=0.7841，C（0）=100.9348=8.6060为迭代初值，使用新方法求得分形统计模型（3.3.1′）式中最小二乘估计量（分维数），量，剩余平方和Q（0.7568，9.4039）=114.6947＜Q0（0.7841，8.6060）=125.3347.最大固有曲率ΓN=0.03418＜0.220=1/（2F1/2（2，6，0.05））（见附录A）.此时分形统计模型（3.3.1′）固有非线性强度很弱，可以忽略不计.因此分形统计模型（3.3.1′）可作为地表矿体预测的数学模型.即：
分形混沌与矿产预测
表3-4 地表矿体数据
（2）地表矿群
在1∶10000地形地质图上，模型区构造含矿杂岩带中的矿群14个.每个矿群可看成是以其中心为代表的一个点.圆心及半径的定义与地表矿体的相似，r的取值仍与地表矿体的相同.圆心不动，以不同的半径r画圆，计算每次落入圆内的矿群个数，记为N（r）（表3-5），在lgr—lgN（r）坐标中投点，用最小二乘法拟合直线，得直线方程为：
分形混沌与矿产预测
以D（0）=0.8982，C（0）=10-0.3130=0.4864为迭代初值，使用新方法求得分形统计模型（3.3.1′）式中最小二乘估计量（分维数），量，剩余平方和Q（0.9298，0.4384）=1.3014＜Q0（0.8982，0.4864）=1.38，最大固有曲率ΓN=0.04715＜0.2205=1/（2F1/2（2，6，0.05））（见附录A）.此时分形统计模型（3.3.1′）固有非线性强度很弱，可以忽略不计，因此分形统计模型（3.3.1′）可作为地表矿群预测的数学模型.即：
分形混沌与矿产预测
表3-5 地表矿群数据
图3-1 罗布莎地区构造略图
图3-2 罗布莎—章嘎构造剖面图
（3）矿床储量
在1∶10000地形地质图上，对模型区内构造含矿杂岩带里的C+D级铬铁矿石储量4211418t的分布资料进行研究.圆心及半径的定义与地表矿体的相似，圆心不动，计算在不同的r半径下落入球（实际为圆，因为将储量的分布投影到1∶10000地形地质图上）内的C+D级矿石储量，记为N（r）（表3-6），在lgr—lgN（r）坐标中投点，用最小二乘法拟合直线，得直线方程为：
分形混沌与矿产预测
以D（0）=0.7048，C（0）=105.5101=323668.176为迭代初值，使用新方法求得分形统计模型（3.3.1′）式中最小二乘估计量（分维数），剩余平方和Q（0.6654，367166.9）=0.3350161×1012＜Q0（0.7048，323668.176）=0.3551732×1012，最大固有曲率ΓN=0.06086＜0.2205=1/（2F1/2（2，6，0.05））.此时分形统计模型（3.3.1′）固有非线性强度很弱，可以忽略不计，因此分形统计模型（3.3.1′）可作为矿床储量预测的数学模型.
即：
分形混沌与矿产预测
表3-6 地表矿石储量数据
图3-3 见矿孔在水平投影面上的投影点图
5.预测结果及参数意义的解释
以矿群上最大的矿体为圆心，r=5，10，15，…，50，55cm（1∶10000地形地质图上），将r回代入上面（3.3.3），（3.3.4）和（3.3.5）式中，计算在r=55cm总的数量减去已知数量即为香嘎山矿段第四系下预测的资源量.结果为：“地表”矿体43个，“地表”矿群4个（取整），资源量（铬铁矿石）：1071815.342t.矿石质量：矿石以致密块状为主，少量为稠密浸染状矿石，w（Cr2O3）=52.7；铂族元素总量平均品位为0.497g/t，总资源量为532.692kg.预测结果与常规方法计算结果较一致（见图3-5，图3-6和图3-7）.
密度定义为：ρ=N（r）/（πr2）=（C/π）rD-2
当 D=2.0 时，密度ρ=C/π.表明密度均匀；
当 D＞2.0 时，密度ρ随着r的增大而增大；
当 D＜2.0 时，密度ρ随着r的增大而减少；
当 r=1.0 时，C=πρ=N（1）.
0.6654（矿床储量分维数）＜0.7568（地表矿体分维数）＜0.9298（地表矿群分维数）＜2表明：随着r的增大，矿床储量，地表矿体和地表矿群的密度逐步减少.
因此分维数D定量表达了矿体分布的密度变化趋势.C表示矿体分布的初始值，它们对矿产资源勘查、预测与评价具有重要的指导意义.
图3-4 矿体中心在E—W向垂直投影面上的投影点图
图3-5 矿体原始数据曲线拟合图
图3-6 地表矿群原始数据曲线拟合图
图3-7 矿床储量原始数据曲线拟合图
‘叁’ 求组关于分形算法中的diamond-square算法
解析几何
‘肆’ 采用准确优化技术和启发式优化技术解决一个问题会存在什么不同
采用准确优化技术和启发式优化技术解决一个问题会存在的不同之处：
①确定性算法和随机性算法是目前求解优化问题的方法。随机性算法一般是对社会行为和自然现象的模拟，具有对优化函数的解析性质要求低的特点，甚至对无显示解析表达式的问题也可以求解，能较好解决优化中的噪声、不可微、高维等问题。
②启发式算法作为随机性算法的一种，其良好的应用更加快了人们对各种优化方法的探索脚步。 近些年来不断有学者将分形应用于优化中来，试图运用分形思想来处理复杂的优化问题。
③其中，分形算法通过对可行域的分形分割来寻优，是一种新颖的确定性算法，但其局限性较大，只适用于低维简单的问题，对于当今社会中高维复杂问题则几乎无能为力，也使得该算法的影响力微乎其微。
④启发式技术是基于特征值扫描技术上的升级,与传统反病毒特征值扫描技术相比,优点在于对未知病毒的防御.是特征值识别技术质的飞跃。
(4)随机分形算法扩展阅读
启发式：简化虚拟机和简化行为判断引擎的结合 Heuristic(启发式技术=启发式扫描+启发式监控) 重点在于特征值识别技术上的更新、解决单一特征码比对的缺陷.目的不在于检测所有的未知病毒,只是对特征值扫描技术的补充.主要针对：木马、间谍、后门、下载者、已知病毒(PE病毒)的变种。
一、启发式发展方向
现代启发式算法的研究,在理论方面还处于不断发展中,新思想和新方法仍不断出现。分析目前的现状和发展方向,其发展方向有如下几个方面:
①整理归纳分散的研究成果,建立统一的算法体系结构。
②在现有的数学方法(模式定理、编码策略、马尔可夫链理论、维数分析理论、复制遗传算法理论、二次动力系统理论、傅立叶分析理论、分离函数理论、Walsh函数分析理论)的基础上寻求新的数学工具。
③开发新的混合式算法及开展现有算法改进方面的研究。
④研究高效并行或分布式优化算法。
二、启发式算法算法机制特点
现代启发式算法在优化机制方面存在一定的差异,但在优化流程上却具有较大的相似性,均是一种“邻域搜索”结构。算法都是从一个(一组)初始解出发,在算法的关键参数的控制下通过邻域函数产生若干邻域解,按准则(确定性、概率性或混沌方式)更新当前状态,而后按关键参数修改准则调整关键参数，一直优化到最优结果。
‘伍’ 求改正，这个随机分形树的MATLAB程序到底哪儿错了，运行错误
代码有很多小错误，我帮你修改了下，
这是函数文件
function S1tree(n)
clc;
S='F';a=pi/10;A=pi/2;z=0;zA=[0,pi/2];
p1='FF+[+F+F]-[+F]';
p2='F[+F]F[-F[+F]]';
p3='FF-[-F+F+F]+[+F-F-F]';
for k=2:n
c=rand(1);
if c>=0.7 S=strrep(S,'F',p1);
elseif c>=0.35 S=strrep(S,'F',p2);
else S=strrep(S,'F',p3);
end
end
figure;
for k=1:length(S)
switch S(k)
case 'F'
plot(real(z+2*exp(i*A)),imag(z+2*exp(i*A)),'g','LineWidth',2);
hold on;
z=z+2*exp(i*A);
case '+'
A=A+a;
case '-'
A=A-a;
case '['
zA=[zA;[z,A]];
case ']'
z=zA(end,1);
A=zA(end,2);
zA(end,:)=[];
otherwise
end
end
在主窗口中输入
S1tree(7)
画出的图如下（由于每次运行S1tree(7)代码产生随机数不一样，得到的图不一样但是类似）
‘陆’ 什么是分形数学
三
动力系统中的分形集是近年分形几何中最活跃和引人入胜的一个研究领域。动力系统的奇异吸引子通常都是分形集，它们产生于非线性函数的迭代和非线性微分方程中。1963年，气象学家洛伦兹（E.N.Lorenz）在研究流体的对流运动时，发现了以他的名字命名的第一个奇异吸引子，它是一个典型的分形集。
1976年，法国天文学家伊侬（M.Henon）考虑标准二次映射迭代系统时获得伊侬吸引子。它具有某种自相似性和分形性质。1986年劳威尔（H.A.Lauwerier）将斯梅尔的马蹄映射变形成劳威尔映射，其迭代下不稳定流形的极限集成为典型的奇异吸引子，它与水平线的截面为康托集。1985年，格雷波基（C.Grebogi）等构造了一个二维迭代函数系统，其吸附界是维尔斯特拉斯函数，并得到盒维数。1985年，迈克多纳（S.M.MacDonald）和格雷波基等得到分形吸附界的三种类型：
（1） 局部不连通的分形集；
（2） 局部连通的分形拟圆周；
（3） 既不局部连能又不是拟圆周。前两者具有拟自相似性。
动力系统中另一类分形集来源于复平面上解析映射的迭代。朱利亚（G.Julia）和法图（P.Fatou）于1918-1919年间开创这一研究。他们发现，解析映射的迭代把复平面划分成两部分，一部分为法图集，另一部分为朱利亚集（J集）。他们在处理这一问题时还没有计算机，完全依赖于他们自身固有的想象力，因此他们的智力成就受到局限。随后50年间，这方面的研究没有得到什么进展。
随着可用机算机来做实验，这一研究课题才又获得生机。1980年，曼德尔布罗特用计算机绘出用他名字命名的曼德尔布罗特集（M集）的第一张图来。1982道迪（A.Douady）构造了含参二次复映射fc ，其朱利亚集J（fc）随参数C的变化呈现各种各样的分形图象，着名的有道迪免子，圣马科吸引子等。同年，茹厄勒（D.Ruelle）得到J集与映射系数的关系，解新局面了解析映射击集豪斯道夫维数的计算问题。茄勒特（L.Garnett）得到J（fc）集豪斯道夫维数的数值解法。1983年，韦当（M.Widom）进一步推广了部分结果 。法图1926年就就开始整函数迭代的研究。1981年密休威茨（M.Misiuterwicz）证明指数映射的J集为复平面，解决了法图提出的问题，引起研究者极大兴趣。发现超越整函数的J集与有理映射J的性质差异，1984年德万尼（R.L.Devanney）证明指数映射Eλ的J（Eλ）集是康托束或复平面而J（fc）是康托尘或连通集。
复平面上使J（fc）成为连通集的点C组成M集即曼德尔布罗特集，尤更斯（H.Jurgens）和培特根（H-O.Peitgen）认为，M集的性质过去一直是并且将来继续是数学研究的一个巨大难题。通过将数学理论与计算机图形学实验加以融合，及道迪、扈巴德（H.Hubbard）等人在这方面进行的基础性研究工作，在解决这一难题方面已取得重大进展，使人们加深了对M集的了解。道迪和扈巴德1982年证明M集是连通的和单连通的，人们猜测M集是局部连通的，目前每一张计算机图形都证实了这一猜测，但至今还没有人能给予证明。M是否为弧连通，目前尚不清楚。M集边界的维数也是值得研究的问题之一。
M集除了将J集分成连通与非连通的两类之外，还起着无穷个J集的图解目录表作用，即把M集C点周围的图形放大就是与C点有关的J集的组成部分。但这一发现的数学密性至今仍未确定，谭磊（Tan Lei）1985年证明了在每一个密休威茨点邻近M集与相关的J集之间存在着相似性。尤金斯等在M集的静电位研究中获得与自然形貌相似的分形图象。目前包括尤金斯等在内的很多研究人员都致力于借助计算机活动录象探索M集。其它一些分形集的研究工作正在取得进展。1990年德万尼通过数值实验观察到M集的复杂图形由许多不同周期的周期轨道的稳定区域共同构成。1991年黄永念运用他提出的代数分析法证明了这一事实，研究了M集及其广义情况周期轨道整体解析特性。
巴斯莱（B.M.Barnsley）和德门科（S.Demko）1985年引入迭代函数系统，J集及其其它很多分形集都是某些迭代函数的吸引集，用其它方法产生的分形集也可用迭代函数系逼近。1988年，劳威尔通过数值研究发现毕达哥拉斯树花是一迭代函数系的J集。1985年巴斯莱等研究含参数的函数系迭代动力系统，得到M集D并D与M在连通性上的差异。在一线性映射系迭代下，可以产生着名的分形曲线——双生龙曲线。1986年水谷（M.Mitzutani）等对其动力系统进行了研究。
一般动力系统中的分形集，其豪斯道夫维数dH难以通过理论方法或计算方法求得。对于有迭式构造的分形集，贝德浮德（T.Bedford）等在1986年已给出卓有成效的算法，但对一般非线性映射迭代动力系统产生的分形集，这些结果都难以应用，其豪斯道夫维数dH的结论与算法实际上没有。卡普兰（j.L.Kaplan）和约克（J.A.York） 1979年引入李雅普洛夫维数dL并猜测dL=dH。1981年勒拉皮尔证明dH≤dL。杨（L.S.Young）1982年证明二维情况下dH=dL。艾茄瓦（A.K.Agarwal）等1986年给出例子说明高维情形卡普兰-约克猜测不成立。这一猜测力图从动力学特征推断几何结构，其反问题是由吸引子维数推断混沌力学，这是值得研究的问题。但目前工作甚少且主要限于计算机研究。此外，含参动力系统在混沌临界态或突变处的分形集维数也有待进一步研究。
多重分形（multifractals）是与动力系统奇异吸引子有关的另一类重要分形集，其概念首先由曼德布罗特和伦依（A.Renyi）引入。法默（J.D.Farmer）等在1983年定义了多重分形广义维数。1988年博尔（T.Bohr）等人将拓扑熵引入多重分形的动力学描述与热力学类比。1988年，阿内多（A.Arneodo）等人将子波变换用于多重分形研究。费德（J.Feder）、特尔（T.Tel）等人进行了多重分形子集及标度指数的研究。阿姆特里卡等研究了多重分形的逆问题，提出广义配分函数，给出广义超越维数，对过去的维数进行了修正。李（J.Lee）等发现了多重分形热力学形式上的相变。1990年，伯克（C.Beck）得到广义维数的上下界和极限并研究了多重分形的均匀性量度。曼德布罗特研究了随机多重分形及负分维。1991年科维克（Z.Kov.acs）等引入双变量迭代系统，最大特征值和吉布斯势导出维数、熵、李雅普洛夫指数，提供了对多重分形相变分类的一般方案。对于多重分形相变分类的一般方案。对于多重分形目前虽已提出不少处理方法，但从数学的观点上看，还不够严格，部分问题的数学处理难度也较大。
四
分形理论真正发展起来才十余年，并且方兴未艾，很多方面的理论还有待进一步研究。值得注意的是，近年分形理论的应用发展远远超过了理论的发展，并且给分形的数学理论提出了更新更高的要求。各种分形维数计算方法和实验方法的建立、改进和完善，使之理论简便，可操作性强，是应用分形的科学家们普遍关注的问题。而在理论研究上，维数的理论计算、估计、分形重构（即求一动力系统，使其吸引集为给定分形集）、J集和M集及其推广形式的性质、动力学特征及维数研究将会成为数学工作者们十分活跃的研究领域。多重分形理论的完善、严格以及如何用这些理论来解决实际问题可能会引起科学家们广泛的兴趣，而动力学特征、相变和子波变换可能会成为其中的几个热点。
在哲学方面，人们的兴趣在于自相似性的普适性，M集和J集表现出的简单性与复杂性，复数与实数的统一性，多重分形相变与突变论的关系，自组织临界（SOC）现象的刻画以及分形体系内部的各种矛盾的转化等。可以预言，一场关于分形科学哲学问题的讨论即将在国内展开
‘柒’ 分形理论简述
分形几何（Fractal Geometry）的概念是由曼德布罗特（B.B.Mandelbrot.1975）在1975年首先提出的.几十年来，它已经发展成为一门新型的数学分支.这是一个研究和处理自然与工程中不规则图形的强有力的理论工具，它的应用几乎涉及自然科学的各个领域，甚至于社会科学，并且实际上正起着把现代科学各个领域连接起来的作用，分形是从新的角度解释了事物发展的本质.
分形（fractal）一词最早由B.B.Mandelbrot于1975年从拉丁文fractus创造出来，《自然界中的分形几何》（Mandelbrot，1982）为其经典之作.最先它所描述的是具有严格自相似结构的几何形体，物体的形状与标度无关，子体的数目N（r）与线性尺度（标度r）之间存在幂函数关系，即N（r）∝1/rD.分形的核心是标度不变性（或自相似性），即在任何标度下物体的性质（如形状，结构等）不变.数学上的分形实际是一种具有无穷嵌套结构的极限图形，分形的突出特点就是不存在特征尺度，描述分形的特征量是分形维数D.不过，现实的分形只是在一定的标度范围内呈现出自相似或自仿射的特性，这一标度范围也就称为（现实）分形的无标度区，在无标度区内，幂函数关系始终成立.
分形理论认为，分形内部任何一个相对独立的部分，在一定程度上都是整体的再现和相对缩影（分形元），人们可以通过认识部分来认识整体.但是分形元只是构成整体的单位，与整体相似，并不简单地等同于整体，整体的复杂性远远大于分形元.更为重要的是，分形理论指出了分形元构成整体所遵循的原理和规律，是对系统论的一个重要的贡献.
从分析事物的角度来看，分形论和系统论体现了从两个极端出发达到对事物全面认识的思路.系统论从整体出发来确立各部分的系统性质，从宏观到微观考察整体与部分的相关性；而分形论则是从部分出发确立整体性质，沿着从微观到宏观的方向展开.系统论强调部分对整体的依赖性，而分形论则强调整体对部分的依赖性，两者的互补，揭示了系统多层次面、多视角、多方位的联系方式，丰富和深化了局部与整体之间的辩证关系.
分形论的提出，对科学认识论与方法论具有广泛而深远的意义.第一，它揭示了整体与部分之间的内在联系，找到了从部分过渡到整体的媒介与桥梁，说明了部分与整体之间的信息“同构”.第二，分形与混沌和现代非线性科学的普遍联系与交叉渗透，打破了学科间的条块分割局面，使各个领域的科学家团结在一起.第三，为描述非线性复杂系统提供了简洁有力的几何语言，使人们的系统思维方法由线性进展到非线性，并得以从局部中认识整体，从有限中认识无限，从非规则中认识规则，从混沌中认识有序.
分形理论与耗散结构理论、混沌理论是相互补充和紧密联系的，都是在非线性科学的研究中所取得的重要成果.耗散结构理论着眼于从热力学角度研究在开放系统和远离平衡条件下形成的自组织，为热力学第二定律的“退化论”和达尔文的“进化论”开辟了一条联系通道，把自然科学和社会科学置于统一的世界观和认识论中.混沌理论侧重于从动力学观点研究不可积系统轨道的不稳定性，有助于消除对于自然界的确定论和随机论两套对立描述体系之间的鸿沟，深化对于偶然性和必然性这些范畴的认识.分形理论则从几何角度，研究不可积系统几何图形的自相似性质，可能成为定量描述耗散结构和混沌吸引子这些复杂而无规则现象的有力工具，进一步推动非线性科学的发展.
分形理论是一门新兴的横断学科，它给自然科学、社会科学、工程技术、文学艺术等极广泛的学科领域提供了一般的科学方法和思考方式.就目前所知，它有很高程度的应用普遍性.这是因为，具有标度不变性的分形结构是现实世界普遍存在的一大类结构，该结构的含义十分丰富，它不仅指研究对象的空间几何形态，而是一般地指其拓扑维（几何维数）小于其测量维数的点集，如事件点的分布，能量点的分布，时间点的分布，过程点的分布，甚至是意识点、思维点的分布.
分形思想的基本点可以简单表述如下：分形研究的对象是具有自相似性的无序系统，其维数的变化是连续的.从分形研究的进展看，近年来，又提出若干新的概念，其中包括自仿射分形、自反演分形、递归分形、多重分形、胖分形等等.有些分形常不具有严格的自相似性，正如定义所表达的，局部以某种方式与整体相似.
分形理论的自相似性概念，最初是指形态或结构的相似性，即在形态或结构上具有相似性的几何对象称为分形，研究这种分形特性的几何称为分形几何学.随着研究工作的深入发展和领域的拓展，又由于一些新学科，如系统论、信息论、控制论、耗散结构理论和协同论等相继涌现的影响，自相似性概念得到充实与扩展，把信息、功能和时间上的自相似性也包含在自相似性概念之中.于是，把形态（结构）、或信息、或功能、或时间上具有自相似性的客体称为广义分形.广义分形及其生成元可以是几何实体，也可以是由信息或功能支撑的数理模型，分形体系可以在形态（结构）、信息和功能各个方面同时具有自相似性，也允许只在某一方面具有自相似性；分形体系中的自相似性可以是完全相似，这种情况是不多见的，也可以是统计意义上的相似，这种情况占大多数，相似性具有层次或级别上的差别.级别最低的为生成元，级别最高的为分形体系的整体.级别愈接近，相似程度越好，级别相差愈大，相似程度越差，当超过一定范围时，则相似性就不存在了.
分形具有以下几个基本性质：
（1）自相似性是指事物的局部（或部分）与整体在形态、结构、信息、功能和时间等方面具有统计意义上的相似性.
（2）适当放大或缩小分形对象的几何尺寸，整个结构并不改变，这种性质称为标度不变性.
（3）自然现象仅在一定的尺度范围内，一定的层次中才表现出统计自相似性，在这样的尺度之外，不再具有分形特征.换言之，在不同尺度范围或不同层次上具有不同的分形特征.
（4）在欧氏几何学中，维数只能是整数，但是在分形几何学中维数可以是整数或分数.
（5）自然界中分形是具有幂函数分布的随机现象，因而必须用统计的方法进行分析和处理.
目前分形的分类有以下几种：①确定性分形与随机分形；②比例分形与非比例分形；③均匀分形与非均匀分形；④理论分形与自然分形；⑤空间分形与分形事件（时间分形）.
分形研究应注意以下几个问题：
（1）统计性（随机性）.研究统计意义上的分形特征，由统计数据分析中找出稳态规律，才能最客观地描述自然纹理与粗糙度.从形成过程来看，分形是一个无穷随机过程的体现.如大不列颠海岸线的复杂度是由长期海浪冲击、侵蚀及风化形成的，其他许多动力过程、凝聚过程也都是无穷随机的，不可能由某个特征量来形成.因此，探讨分形与随机序列、信息熵之间的内在联系是非常必要的.
（2）全局性.分形是整体与局部比较而存在的，它包括多层嵌套及无穷的精细结构.研究一个平面（二维）或立体（三维）的粗糙度，要考虑全局范围各个方向的平稳性，即区别各向同性或各向异性分布规律.
（3）多标度性.一个物体的分形特性通常是在某些尺度下体现出来，在另一些尺度下则不是分形特性.理想的无标度区几乎不存在，只有从多标度中研究分形特性才较实际.
模型的建立，其实是分形（相似性）模型的建立.利用相似性原理，建立模型单元，对预测单元进行分形处理和预测.
分形的正问题是给出规律，通过迭代和递推过程产生分形，产生的几何对象显然具有某种相似性.反问题叫做分形重构.广义而言，它指任何一个几何上认为是分形的图形，能否找到产生它的规律，以某种方式来生成它.当我们研究非线性动力学时，混沌动力学会产生分形，而分形重构则是动力学系统研究的逆问题.由于存在“一因多果”、“多因一果”，由分维重构分形还需加入另外参数.
临界现象与分形有关.重整化群是研究临界现象的一种方法.该方法首先对小尺寸模型进行计算，然后被重整化至大的或更大的尺度.如果我们有网格状的一组元素，每个元素具有一定的渗透概率，重整化群方法的一个应用就是计算渗透的开始问题.当元素渗透率达到某一临界值时，这一组元素的渗透流动就会突然地发生.一旦流动开始后，相联结元素之间便具有分形结构.
自组织临界现象的概念可以用来分析地震活动性.按照这个概念，一个自然界的系统处在稳定态的边缘，一旦偏离这个状态，系统会自然地演化回到边缘稳定的状态.临界状态不存在天然的长度标度，因而是分形的.简单的细胞自动机模型可以说明这种自组织临界现象.
分形理论作为非线性科学的一个分支，是研究自然界空间结构复杂性的一门学科，可从复杂的看似无序的图案中，提取出确定性、规律性的参量.既可以反演分形结构的形成机制，又可以从看似随机的演化过程（时间序列）中推测体系演化的结果，近年来倍受地球科学家的注意.在地质统计学，孔隙介质、储层非均匀性及石油勘探开发，固相表面或两相界面，岩石破裂、断层及地震和地形、地貌学等地球科学各个领域得到了广泛的应用.
自20世纪80年代初以来，一些专家学者注意到了地质学中的自相似现象，并试图将分形理论运用于地学之中.以地质学中普遍存在的自相似性现象、地质体高度不规则性和分割性与层次性、地质学中重演现象的普遍性、分形几何学在其他学科中应用实例与地质学中的研究对象的相似性、地质学中存在一些幂函数关系等为内在基础，以地质学定量化的需要、非线性地质学的发展及线性地质学难以解决诸多难点、分形理论及现代测试和电算技术的发展为外在基础，使分形理论与地质学相结合成为可能，它的进一步发展将充实数学地质的研究内容并推动数学地质迈上一个新台阶.目前，分形理论应用于地球科学主要包括以下两个方面的研究：
（1）对“地质存在”——地质体或某些地质现象的分形结构分析，求取相应分形维数，寻找分维值与有关物理参量之间的联系，探讨分形结构形成的机理.这方面的研究相对较多，如人们已对断裂、断层和褶皱等地质构造（现象）进行了分形分析，探讨分维值与岩石力学性质等之间的关系；从大到海底（或大陆）地貌，小到纳米级的微晶表面证实了各类粗糙表面具有分形特征；计算了河流网络，断裂网络，地质多孔介质和粘性指进的分维值以及脉厚与品位或品位与储量等之间的分形关系.
（2）对“地质演化”——地质作用过程进行分形分析，求取分形维数并考察其变化趋势，从而预测演化的结果.例如，科学家们通过对强震前小震分布的分形研究表明，强震前普遍出现降维现象，从而为地震预报提供有力理论工具.当今的研究，不仅仅局限于分维数的计算，分形模型的建立；而更着重于解释地质学中引起自相似性特征的原因或成因，自相似体系的生成过程及模拟，以及用分形理论解决地质学中的疑难问题与实践问题，如地震和灾害地质的预报、石油预测、岩体力学类型划分、成矿规律与成矿预测等.地球化学数据在很大程度上反映了地质现象的结构特征.分维是描述分形结构的定量参数，它有可能揭示出地球化学元素空间分布的内在规律.
分维与地质异常有一定的关系.我们可以对不同地段以一定的地质内容为参量对比它们分维大小的差异，以此求得结构地段的位置及范围，从而确定地质异常；也可以对不同时期可恢复的历史地质结构格局分别求分维，还可以确定分维背景值.分形是自然界中普遍存在的一种规律性.
总之，分形理论已经渗透到地学领域的各个角落，应用范围涉及地球物理学、地球化学、石油地质学、构造地质学及灾害地质学等.
‘捌’ 分形维数的计算方法有那些能具体说一下吗
被誉为大自然的几何学的分形（Fractal）理论，是现代数学的一个新分支，但其本质却是一种新的世界观和方法论。它与动力系统的混沌理论交叉结合，相辅相成。它承认世界的局部可能在一定条件下。过程中，在某一方面（形态，结构，信息，功能，时间，能量等）表现出与整体的相似性，它承认空间维数的变化既可以是离散的也可以是连续的，因而拓展了视野。 分形几何的概念是美籍法国数学家曼德尔布罗特（B.B.Mandelbrot）1975年首先提出的，但最早的工作可追朔到1875年，德国数学家维尔斯特拉斯（K.Weierestrass）构造了处处连续但处处不可微的函数，集合论创始人康托（G.Cantor，德国数学家）构造了有许多奇异性质的三分康托集。1890年，意大利数学家皮亚诺（G.Peano）构造了填充空间的曲线。1904年，瑞典数学家科赫（H.von Koch）设计出类似雪花和岛屿边缘的一类曲线。1915年，波兰数学家谢尔宾斯基（W.Sierpinski）设计了象地毯和海绵一样的几何图形。这些都是为解决分析与拓朴学中的问题而提出的反例，但它们正是分形几何思想的源泉。1910年，德国数学家豪斯道夫（F.Hausdorff）开始了奇异集合性质与量的研究，提出分数维概念。1928年布利干（G.Bouligand）将闵可夫斯基容度应用于非整数维，由此能将螺线作很好的分类。1932年庞特里亚金（L.S.Pontryagin）等引入盒维数。1934年，贝塞考维奇（A.S.Besicovitch）更深刻地提示了豪斯道夫测度的性质和奇异集的分数维，他在豪斯道夫测度及其几何的研究领域中作出了主要贡献，从而产生了豪斯道夫-贝塞考维奇维数概念。以后，这一领域的研究工作没有引起更多人的注意，先驱们的工作只是作为分析与拓扑学教科书中的反例而流传开来。二1960年，曼德尔布罗特在研究棉价变化的长期性态时，发现了价格在大小尺度间的对称性。同年在研究信号的传输误差时，发现误差传输与无误差传输在时间上按康托集排列。在对尼罗河水位和英国海岸线的数学分析中，发现类似规律。他总结自然界中很多现象从标度变换角度表现出的对称性。他将这类集合称作自相似集，其严格定义可由相似映射给出。他认为，欧氏测度不能刻划这类集的本质，转向维数的研究，发现维数是尺度变换下的不变量，主张用维数来刻划这类集合。1975年，曼德尔布罗特用法文出版了分形几何第一部着作《分开：形状、机遇和维数》。1977年该书再次用英文出版。它集中了1975年以前曼德尔布罗特关于分形几何的主要思想，它将分形定义为豪斯道夫维数严格大于其拓朴维数的集合，总结了根据自相似性计算实验维数的方法，由于相似维数只对严格自相似这一小类集有意义，豪斯道夫维数虽然广泛，但在很多情形下难以用计算方法求得，因此分形几何的应用受到局限。1982年，曼德尔布罗特的新着《自然界的分形几何》出版，将分形定义为局部以某种方式与整体相似的集，重新讨论盒维数，它比豪斯道夫维数容易计算，但是稠密可列集盒维数与集所在空间维数相等。为避免这一缺陷，1982年特里科特（C.Tricot）引入填充维数，1983年格拉斯伯格（P.Grassberger）和普罗克西娅（I.Procaccia）提出根据观测记录的时间数据列直接计算动力系统吸引子维数的算法。1985年，曼德尔布罗特提出并研究自然界中广泛存在的自仿射集，它包括自相似集并可通过仿射映射严格定义。1982年德金（F.M.Dekking）研究递归集，这类分形集由迭代过程和嵌入方法生成，范围更广泛，但维数研究非常困难。德金获得维数上界。1989年，钟红柳等人解决了德金猜想，确定了一大类递归集的维数。随着分形理论的发展和维数计算方法的逐步提出与改进，1982年以后，分形理论逐渐在很多领域得到应用并越来越广泛。建立简便盛行的维数计算方法，以满足应用发展的需要，还是一项艰巨的任务。 自然界中的分形，与概率统计、随机过程关系密切。确定性的古典分形集加入随机性，就会产生出随机康托集、随机科契曲线等各种随机分形。1968年，曼德尔布罗特研究布朗运动这一随机过程时，将其推广到与分形有关的分数布朗运动。1974年他又提出了分形渗流模型。1988年，柴叶斯（j.T.Chayes）给出了详细的数学分析。1984年，扎乐（U.Zahle）通过随机删除而得到十分有趣的分形构造，随机分形能更真实地描述和模拟自然现象。三动力系统中的分形集是近年分形几何中最活跃和引人入胜的一个研究领域。动力系统的奇异吸引子通常都是分形集，它们产生于非线性函数的迭代和非线性微分方程中。1963年，气象学家洛伦兹（E.N.Lorenz）在研究流体的对流运动时，发现了以他的名字命名的第一个奇异吸引子，它是一个典型的分形集。1976年，法国天文学家伊侬（M.Henon）考虑标准二次映射迭代系统时获得伊侬吸引子。它具有某种自相似性和分形性质。1986年劳威尔（H.A.Lauwerier）将斯梅尔的马蹄映射变形成劳威尔映射，其迭代下不稳定流形的极限集成为典型的奇异吸引子，它与水平线的截面为康托集。1985年，格雷波基（C.Grebogi）等构造了一个二维迭代函数系统，其吸附界是维尔斯特拉斯函数，并得到盒维数。1985年，迈克多纳（S.M.MacDonald）和格雷波基等得到分形吸附界的三种类型：（！）局部不连通的分形集；（2）局部连通的分形拟圆周；（3）既不局部连能又不是拟圆周。前两者具有拟自相似性。 动力系统中另一类分形集来源于复平面上解析映射的迭代。朱利亚（G.Julia）和法图（P.Fatou）于1918-1919年间开创这一研究。他们发现，解析映射的迭代把复平面划分成两部分，一部分为法图集，另一部分为朱利亚集（J集）。他们在处理这一问题时还没有计算机，完全依赖于他们自身固有的想象力，因此他们的智力成就受到局限。随后50年间，这方面的研究没有得到什么进展。随着可用机算机来做实验，这一研究课题才又获得生机。1980年，曼德尔布罗特用计算机绘出用他名字命名的曼德尔布罗特集（M集）的第一张图来。1982道迪（A.Douady）构造了含参二次复映射fc ，其朱利亚集J（fc）随参数C的变化呈现各种各样的分形图象，着名的有道迪免子，圣马科吸引子等。同年，茹厄勒（D.Ruelle）得到J集与映射系数的关系，解新局面了解析映射击集豪斯道夫维数的计算问题。茄勒特（L.Garnett）得到J（fc）集豪斯道夫维数的数值解法。1983年，韦当（M.Widom）进一步推广了部分结果 。法图1926年就就开始整函数迭代的研究。1981年密休威茨（M.Misiuterwicz）证明指数映射的J集为复平面，解决了法图提出的问题，引起研究者极大兴趣。发现超越整函数的J集与有理映射J的性质差异，1984年德万尼（R.L.Devanney）证明指数映射Eλ的J（Eλ）集是康托束或复平面而J（fc）是康托尘或连通集。 复平面上使J（fc）成为连通集的点C组成M集即曼德尔布罗特集，尤更斯（H.Jurgens）和培特根（H-O.Peitgen）认为，M集的性质过去一直是并且将来继续是数学研究的一个巨大难题。通过将数学理论与计算机图形学实验加以融合，及道迪、扈巴德（H.Hubbard）等人在这方面进行的基础性研究工作，在解决这一难题方面已取得重大进展，使人们加深了对M集的了解。道迪和扈巴德1982年证明M集是连通的和单连通的，人们猜测M集是局部连通的，目前每一张计算机图形都证实了这一猜测，但至今还没有人能给予证明。M是否为弧连通，目前尚不清楚。M集边界的维数也是值得研究的问题之一。 M集除了将J集分成连通与非连通的两类之外，还起着无穷个J集的图解目录表作用，即把M集C点周围的图形放大就是与C点有关的J集的组成部分。但这一发现的数学密性至今仍未确定，谭磊（Tan Lei）1985年证明了在每一个密休威茨点邻近M集与相关的J集之间存在着相似性。尤金斯等在M集的静电位研究中获得与自然形貌相似的分形图象。目前包括尤金斯等在内的很多研究人员都致力于借助计算机活动录象探索M集。其它一些分形集的研究工作正在取得进展。1990年德万尼通过数值实验观察到M集的复杂图形由许多不同周期的周期轨道的稳定区域共同构成。1991年黄永念运用他提出的代数分析法证明了这一事实，研究了M集及其广义情况周期轨道整体解析特性。 巴斯莱（B.M.Barnsley）和德门科（S.Demko）1985年引入迭代函数系统，J集及其其它很多分形集都是某些迭代函数的吸引集，用其它方法产生的分形集也可用迭代函数系逼近。1988年，劳威尔通过数值研究发现毕达哥拉斯树花是一迭代函数系的J集。1985年巴斯莱等研究含参数的函数系迭代动力系统，得到M集D并D与M在连通性上的差异。在一线性映射系迭代下，可以产生着名的分形曲线——双生龙曲线。1986年水谷（M.Mitzutani）等对其动力系统进行了研究。 一般动力系统中的分形集，其豪斯道夫维数dH难以通过理论方法或计算方法求得。对于有迭式构造的分形集，贝德浮德（T.Bedford）等在1986年已给出卓有成效的算法，但对一般非线性映射迭代动力系统产生的分形集，这些结果都难以应用，其豪斯道夫维数dH的结论与算法实际上没有。卡普兰（j.L.Kaplan）和约克（J.A.York） 1979年引入李雅普洛夫维数dL并猜测dL=dH。1981年勒拉皮尔证明dH≤dL。杨（L.S.Young）1982年证明二维情况下dH=dL。艾茄瓦（A.K.Agarwal）等1986年给出例子说明高维情形卡普兰-约克猜测不成立。这一猜测力图从动力学特征推断几何结构，其反问题是由吸引子维数推断混沌力学，这是值得研究的问题。但目前工作甚少且主要限于计算机研究。此外，含参动力系统在混沌临界态或突变处的分形集维数也有待进一步研究。 多重分形（multifractals）是与动力系统奇异吸引子有关的另一类重要分形集，其概念首先由曼德布罗特和伦依（A.Renyi）引入。法默（J.D.Farmer）等在1983年定义了多重分形广义维数。1988年博尔（T.Bohr）等人将拓扑熵引入多重分形的动力学描述与热力学类比。1988年，阿内多（A.Arneodo）等人将子波变换用于多重分形研究。费德（J.Feder）、特尔（T.Tel）等人进行了多重分形子集及标度指数的研究。阿姆特里卡等研究了多重分形的逆问题，提出广义配分函数，给出广义超越维数，对过去的维数进行了修正。李（J.Lee）等发现了多重分形热力学形式上的相变。1990年，伯克（C.Beck）得到广义维数的上下界和极限并研究了多重分形的均匀性量度。曼德布罗特研究了随机多重分形及负分维。1991年科维克（Z.Kov.acs）等引入双变量迭代系统，最大特征值和吉布斯势导出维数、熵、李雅普洛夫指数，提供了对多重分形相变分类的一般方案。对于多重分形相变分类的一般方案。对于多重分形目前虽已提出不少处理方法，但从数学的观点上看，还不够严格，部分问题的数学处理难度也较大。四分形理论真正发展起来才十余年，并且方兴未艾，很多方面的理论还有待进一步研究。值得注意的是，近年分形理论的应用发展远远超过了理论的发展，并且给分形的数学理论提出了更新更高的要求。各种分形维数计算方法和实验方法的建立、改进和完善，使之理论简便，可操作性强，是喁喁分形的科学家们普遍关注的问题。而在理论研究上，维数的理论计算、估计、分形重构（即求一动力系统，使其吸引集为给定分形集）、J集和M集及其推广形式的性质、动力学特征及维数研究将会成为数学工作者们十分活跃的研究领域。多重分形理论的完善、严格以及如何用这些理论来解决实际问题可能会引起科学家们广泛的兴趣，而动力学特征、相变和子波变换可能会成为其中的几个热点。 在哲学方面，人们的兴趣在于自相似性的普适性，M集和J集表现出的简单性与复杂性，复数与实数的统一性，多重分形相变与突变论的关系，自组织临界（SOC）现象的刻画以及分形体系内部的各种矛盾的转化等。可以预言，一场关于分形科学哲学问题的讨论即将在国内展开。
‘玖’ 随机建模的方法和步骤［4］
随机建模（Stochastic Modeling）方法承认地质参数的分布有一定的随机性，而人们对它的认识总会存在一些不确定的因素，因此建立地质模型时考虑了这些随机性引起的多种可能出现的实际情况，供地质人员选择。
随机建模方法认为，在现有技术情况下，对地下储层的认识存在一定的不确定性，一是已知资料控制点有限，以300m井距井网为例，井孔提示的储层体积所占整个储层体积，以百万至千万分之一数量级计，绝大部分储层性质是依靠这些少数已知点去推测的；二是描述这些控制点储层性质的技术本身还存在一定的误差，如测井解释渗透率，经常可达数倍的误差。随机建模方法同时又认为，作为地质体的储层，其各项属性的非均质分布，由于其有一定的地质成因，应存在一定的地质统计特征，用这一地质统计特征去表征储层非均质性的总体面貌，而不追求每一个预测点的确定的数值，仍然在一定时间、一定条件下可以为油气田开发提供合理的地质模型，保证流体流动模拟的可信和开发决策的正确。
8.1.3.1 随机建模的类别
储层随机建模通常又分为条件模拟和非条件模拟。其根本区别在于条件模拟较非条件模拟不仅要求模拟产生的储层随机图像（包含储层分布和物性等方面信息的图像）符合实际资料所观测到的储层属性空间分布的相关结构（地质统计特征），而且要求在井位处（或资料点处）的模拟结果与实际资料一致。通常讲的随机模拟一般指条件模拟。随机模拟方法分为以下两类：
1）离散性模拟方法：离散性模拟主要建立储层岩相的分布模型，用来描述离散性的地质特征，包括确定储层、隔层、砂体（储渗体）的空间分布边界和空间几何形态等。实际上就是实现气藏描述中的储层分布预测。所采用的模拟方法包括：示点性过程模拟、马尔可夫-贝叶斯指示模拟、序贯指示模拟、镶嵌过程模拟、截断高斯模拟等方法；对于非条件模拟，则可采用布尔模拟。
2）连续性模拟方法：连续性模拟主要建立岩相边界控制下的储层参数（孔隙度、渗透率、含水饱和度、泥质含量、碳酸盐含量等）的分布模型，即油气藏描述中的储层参数预测。所采用的模拟方法包括：退火模拟、序贯指示模拟、分形随机函数法、高斯随机函数法以及马尔可夫随机域法等。
对于非条件模拟，则可采用转带法。
8.1.3.2 储层随机建模的基本步骤
储层建模工作的实施主要包括以下三个基本步骤。
（1）建立储层原型模型
建立储层原型模型是随机建模的基础，所谓原型模型就是储层的实体地质模型，任何油藏（储层）描述方法都是只由零散信息对储层实体所进行的一种推断，这种推断可以是确定性的（如地震储层横向预测），也可以是不确定性的（如统计推断）。在不了解地质实体的前提下，任何一次研究结果，只能看作一次对地质实体的随机抽样，抽样结果的准确性依赖于统计的概率把握程度，这种把握程度只能来自于原型模型的建立。
储层原型模型的建立就是为了构筑一个与实际储层尽可能接近的储层信息标准答案库，从可见的实体模型描述入手，来建立各种地质知识库（这其中包括了各种储层的边界和储层参数的空间分布），建立相应的先验概率知识，如参数分布的范围、均值、方差、分布函数等。只有这样，储层随机建模才有依据。
原型模型的建立方法较多，目前主要采用的有：
1）物理模拟——以水槽模拟为主要代表；
2）野外露头精细描述——国内外已广泛开展；
3）现代沉积研究——在沉积学领域已有大量实例，是构筑沉积学理论的重要基础；
4）密井网精细对比与描述——主要在老开发区进行；
5）地震资料的确定性建模方法——主要依靠地震资料空间大信息量的优势，依靠资料处理，确定储层分布的宏观模型，重点是砂体的分布，同时也能对储层孔隙度、渗透率参数进行趋势性的估计。
（2）建立储层的随机模型
取得了储层原型模型以后，就可以建立储层的随机模型，它是以反映储层各项特征的参数统计为手段，建立相应的概率模型，如储层厚度、孔隙度、渗透率、含油饱和度等参数的分布规律和空间结构。对参数分布规律的认识主要以传统概率统计为基础，确定参数分布的大小范围、均值、方差、分布函数类型等，进而对空间结构进行分析（变差函数的计算）。
通过对储层特征建立随机模型，可以把各种地质认识（定性描述）和观测数据有机地结合起来，并可以反映由于信息缺乏而引起的不确定性。在已经建立的随机模型的基础上，再进行随机模拟，产生出反映储层非均质性的一系列等概率实现。每个实现就是一种可能的储层参数的空间分布，它们之间的差异反映了随机模型中所包含的不确定性，也就是我们常常谈到的研究中的多解性问题。
（3）储层的随机模拟
建立了储层随机模型后，就可以进行储层的随机模拟，随机模拟分为条件模拟和非条件模拟两种。非条件模拟只是要求再现地质特征的空间分布规律及相关性，而条件模拟不仅要求再现地质特征的空间分布和相关性，而且还要求在抽样位置上与实测数据一致或在指定位置上具有指定的特性。
对于不同的储层属性，具有不同的随机模型，应采用不同的模拟方法。由于大型计算机的出现，使细网格和高维空间的模拟得以实现，在实际应用中，寻求一种快速有效的模拟算法成为众多的研究者所探求的目标。
8.1.3.3 储层随机建模的基本流程
储层随机建模一般分为两个阶段进行，即先采用离散型模拟方法，建立储层的骨架模型；然后在储层骨架模型边界的控制下，应用针对连续性变量（如储层物性）的模拟方法建立储层参数模型。这就是目前大多数研究者使用的两阶段建模的基本流程。
陈恭洋［4］根据两阶段建模的思路，提出了一个基本的随机建模流程（图8.1），该流程图中包括了9个方面的研究内容。
图8.1 储层随机建模总体设计流程框图［4］
1）地层模型：以克里格插值技术为基本手段，主要研究储层顶、底界面的空间展布特征，并通过地质统计对比确定小断层带的空间分布。大的断层可由地震资料解释予以确定。该项研究主要提供后续储层和油气藏模拟的大的边界信息。
2）沉积相分析：包括大相和微相分析两部分研究内容，并以后者为研究重点。大相分析以区域沉积背景知识为指南，结合地震相的分析，明确研究工区较大范围内的沉积体系及空间展布特征。最后确定出油气藏范围内储层所处的相带沉积部位，为微相研究奠定坚实的基础。
微相分析重点研究沉积成因单元的结构要素及其组合型式以及它们的空间展布规律，为储层随机建模提供必要的地质先验知识，主要依据沉积学的研究手段进行。
3）高分辨率层序地层分析：主要应用于油气藏规模的储层对比技术，依靠岩心和测井资料，进行开发阶段的储层表征中储层的精细对比。因为储层岩性、几何形态、连续性及岩石物理特征等是在沉积物堆积过程中产生的，精确的地层对比可以在四维空间中对这些特征有更清楚的认识，高分辨地层对比是识别非均质性的有效方法。另外，具时间意义的地层界面通常与流体流动单元的岩石物理面相一致，可通过精细地层对比，划分流动单元。随着时间分辨率的提高，对地层形态和规模、相的位置和岩石物理特征的预测也就更加精确。与沉积相的分析相结合，是目前油田覆盖区建立储层原型地质模型最有效的方法。
4）储层岩相分布的离散型随机模拟：这是储层随机建模的核心内容之一，一般作为储层随机建模的第一步，为储层参数空间分布的连续性模拟提供边界控制信息。序贯指示模拟（SISIM）和示性点过程模拟（MPPS）被认为是两种有效的研究方法。序贯指示模拟以指示理论为基础，将各种沉积微相带视为空间分布的离散性随机变量，进行地质统计学的条件模拟，其缺点是难以描述储层的形态特征。而示性点过程模拟是一种面向对象的方法，十分符合沉积学的思想和推理过程，将沉积学研究所认定的储层砂体几何形态、位置、大小、连通方式等储层参数作为服从一定分布的离散型随机变量，建立相应的随机模型进行随机模拟，其缺点是难以实现条件模拟。将两者有机地结合起来可能是一种好的途径。
5）测井和地震资料处理：这方面的技术已在现代油气藏描述中被大量采用。更重要的是补充建模时仅依靠井点信息的不足，使储层建模不仅在油气藏开发阶段发挥重大作用，而且在勘探的各个时期也能充分发挥作用，提供新的储层预测方法。
6）分形和地质统计学条件模拟：这是解决储层参数空间分布的关键性模拟方法。地质统计学模型可以很好地刻画储层参数分布的空间结构和变异性。而分形方法则能精确地表征储层的非均质性，并能克服由克里金方法所带来的光滑效应。两者的结合已被大量的研究实例证明是一种有效的储层预测途径。
7）网格粗化：储层建模阶段的细网格模拟可以尽可能精细地提示储层的非均质特征。但遗憾的是，在油藏动态模拟器中，由于受到目前计算能力的限制，难以接受这种细网格的参数输入。因此，必须进行网格的粗化，粗化的准则一般需要考虑到储层孔隙容积和储层的渗流能力（即孔隙度和渗透率），其中尤以储层对流体传导能力（渗透率）的近似最为关键。
8）油气藏数值模拟动态拟合与静态资料约束决策：这是对前述储层随机建模所产生的多幅等概率实现的图像进行优选决策的过程。研究的重点并不在于动态模拟，因此无需考虑复杂条件下的数值模拟问题。主要是对油气藏压力、产油气量和含水率三项参数进行历史拟合，并结合静态地质资料的各项条件约束（包括储层参数的统计规律和地质认识等），选取一个最符合动态和静态条件的随机图像作为所建立的储层地质模型。这一模型是以各种参数场的形式所表示的。
9）三维可视化：即将前面所建立的反映储层地质模型的各种参数场通过计算机进行三维成像或制图。目前，三维可视化的研究与设计已经成为计算机成像领域中的一项热门课题，它使所取得的成果大大地增强了油气藏的研究与管理的可操作性和直观性。
综上所述，储层建模实际上是对油田各类数据资料通过计算机技术进行有效的综合。因此，从地质角度上讲，要形成一套比较先进而有效的建模方法，更大程度上还是要依赖于先进的地质、地球物理和分析测试资料处理技术来获取可靠的输入参数。
8.1.3.4 储层随机建模的软件系统
在随机模型方法和理论发展的同时，模拟软件也得到了一定的发展，美国斯坦福大学、墨西哥矿业技术学院、荷兰皇家/壳牌公司、雪飞龙公司、GeoQuest公司等都开发和研制了自己的地质统计学和储层模拟软件。加拿大GeoStat系统公司和McGill大学联合推出了智能模拟或专家系统软件GeoStat，法国石油研究院和地质统计中心联合开发的HERESIM软件包也取得了较大的影响。这些软件的主要功能如下：
1）以转带法和指示克里格法相结合，用于储层的横向和垂向对比，其数学基础是Bessel函数和指示相关函数（美国墨西哥矿业技术学院开发TUBA软件）；
2）用于SGI图形工作站的地质模型软件，其特色是可以采取任意切片的方法来展现储层孔隙度、渗透率和砂体在连续断面或切片上的分布特征，其数理基础是随机模拟（美国Strata-Model公司研制SGM软件）；
3）以条件概率法为基础设计，主要用于模拟砂岩油藏中的三维储层的连通性和构形（荷兰皇家/壳牌集团公司推出MONARCH软件）；
4）以BP神经网络技术为主、依据地质统计学和地震特征进行随机建模的软件，其关键方法是分析并拟合储层物理特性和岩石属性的直方图和变差函数分布，求出它的特征值，以建立数学模型（荷兰Jason公司推出Stat Mod软件）；
5）将地质统计和智能模拟技术相结合，不仅包括各种数值运算、多元统计，还包含可引导、承担、评价和推断地质统计运行的知识和专家经验。因此，该软件具有两大特色：一是储层地质特性模拟及立体化定量显示；二是具有地质解释中的专家知识和经验（加拿大GeoStat系统公司和McGill大学联合推出GeoStat系统）。
上述软件都在各自的使用中发挥了很大的效益，也取得了不少有意义的成果。尽管每套软件各有侧重，但考察它们的共同之处，主要体现在三个方面：①强调储层描述的高度定量化，体现了油气储层研究已从定性发展到了定量的水平；②均从储层骨架分布和储层参数特征两个方面进行建模，把握了储层特征的关键要素；③体现了多学科、多信息的综合研究趋势。因此，从储层建模软件的发展，也显示出了储层随机建模在当前油气勘探开发研究中的重要意义和良好前景。
‘拾’ 什么是分形数学
普通几何学研究的对象，一般都具有整数的维数。比如，零维的点、一维的线、二维的面、三维的立体、乃至四维的时空。在20世纪70年代末80年代初，产生了新兴的分形几何学（fractal geometry），空间具有不一定是整数的维，而存在一个分数维数。这是几何学的新突破，引起了数学家和自然科学者的极大关注。根据物理学家李荫远院士的建议，大陆将fractal一开始就定译为“分形”，而台湾学者一般将fractal译作“碎形”。
目录
分形几何的产生
两名数学家的贡献
芒德勃罗和电子计算机对分形几何的影响
分形几何的内容
关于维数
维数和测量的关系
分形几何学的应用
分形几何的意义
编辑本段分形几何的产生
客观自然界中许多事物，具有自相似的“层次”结构，在理想情况下，甚至具有无穷层次。适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构并不改变。不少复杂的物理现象，背后就是反映着这类层次结构的分形几何学。 客观事物有它自己的特征长度，要用恰当的尺度去测量。用尺来测量万里长城，嫌太短；用尺来测量大肠杆菌，又嫌太长。从而产生了特征长度。还有的事物没有特征尺 分形几何
度，就必须同时考虑从小到大的许许多多尺度（或者叫标度），这叫做“无标度性”的问题。 如物理学中的湍流，湍流是自然界中普遍现象，小至静室中缭绕的轻烟，巨至木星大气中的涡流，都是十分紊乱的流体运动。流体宏观运动的能量，经过大、中、小、微等许许多度尺度上的漩涡，最后转化成分子尺度上的热运动，同时涉及大量不同尺度上的运动状态，就要借助“无标度性”解决问题，湍流中高漩涡区域，就需要用分形几何学。
编辑本段两名数学家的贡献
在二十世纪七十年代，法国数学家芒德勃罗(B.B.Mandelbrot)在他的着作中探讨了“英国的海岸线有多长”这个问题。这依赖于测量时所使用的尺度。 如果用公里作测量单位，从几米到几十米的一些曲折会被忽略；改用米来做单位，测得的总长度会增加，但是一些厘米量级以下的就不能反映出来。由于涨潮落潮使海岸线的水陆分界线具有各种层次的不规则性。海岸线在大小两个方向都有自然的限制，取不列颠岛外缘上几个突出的点，用直线把它们连起来，得到海岸线长度的一种下界。使用比这更长的尺度是没有意义的。还有海沙石的最小尺度是原子和分子，使用更小的尺度也是没有意义的。在这两个自然限度之间，存在着可以变化许多个数量级的“无标度”区，长度不是海岸线的定量特征，就要用分维。 数学家柯赫(Koch)从一个正方形的“岛”出发，始终保持面积不变，把它的“海岸线”变成无限曲线，其长度也不断增加，并趋向于无穷大。以后可以看到，分维才是“Koch岛”海岸线的确切特征量，即海岸线的分维均介于1到2之间。 这些自然现象，特别是物理现象和分形有着密切的关系，银河系中的若断若续的星体分布，就具有分维的吸引子。多孔介质中的流体运动和它产生的渗流模型，都是分形的研究对象。这些促使数学家进一步的研究，从而产生了分形几何学。
编辑本段芒德勃罗和电子计算机对分形几何的影响
电子计算机图形显示协助了人们推开分形几何的大门。这座具有无穷层次结构的宏伟建筑，每一个角落里都存在无限嵌套的迷宫和回廊，促使数学家和科学家深入研究。 法国数学家芒德勃罗这位计算机和数学兼通的人物，对分形几何产生了重大的推动作用。他在1975、1977和1982年先后用法文和英文出版了三本书，特别是《分形：形、机遇和维数》以及《自然界中的分形几何学(Fractal Geometry of Nature)》，开创了新的数学分支：分形几何学。“分形”(fractal)这个词正是芒德勃罗在1975年造出来的，词根是拉丁文的fractus，是“破碎”的意思。
编辑本段分形几何的内容
分形几何学的基本思想是：客观事物具有自相似的层次结构，局部与整体在形态、功能、信息、时间、空间等方面具有统计意义上的相似性，称为自相似性。例如，一块磁铁中的每一部分都像整体一样具有南北两极，不断分割下去，每一部分都具有和整体磁铁相同的磁场。这种自相似的层次结构，适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构不变。
编辑本段关于维数
维数是几何对象的一个重要特征量，它是几何对象中一个点的位置所需的独立坐标数目。在欧氏空间中，人们习惯把空间看成三维的，平面或球面看成二维，而把直线或曲 分形几何作品
线看成一维。也可以稍加推广，认为点是零维的，还可以引入高维空间，对于更抽象或更复杂的对象，只要每个局部可以和欧氏空间对应，也容易确定维数。但通常人们习惯于整数的维数。 分形理论认为维数也可以是分数，这类维数是物理学家在研究混沌吸引子等理论时需要引入的重要概念。为了定量地描述客观事物的“非规则”程度，1919年，数学家从测度的角度引入了维数概念，将维数从整数扩大到分数，从而突破了一般拓扑集维数为整数的界限。
编辑本段维数和测量的关系
维数和测量有着密切的关系，下面我们举例说明一下分维的概念。 当我们画一根直线，如果我们用 0维的点来量它，其结果为无穷大，因为直线中包含无穷多个点；如果我们用一块平面来量它，其结果是 0，因为直线中不包含平面。那么，用怎样的尺度来量它才会得到有限值哪？看来只有用与其同维数的小线段来量它才会得到有限值，而这里直线的维数为 1(大于0、小于2)。 对于我们上面提到的Koch曲线，其整体是一条无限长的线折叠而成，显然，用小直线段量，其结果是无穷大，而用平面量，其结果是 0(此曲线中不包含平面)，那么只有找一个与“寇赫岛”曲线维数相同的尺子量它才会得到有限值，而这个维数显然大于 1、小于 2，那么只能是小数了，所以存在分维。经过计算“寇赫岛”曲线的豪斯多夫维数(分维数)为d=log(4)/log(3)=1.26185950714... 定义 设分成的最小的闭集(区间，圆面，球体)占全集的1/δ，充满全集的最小闭集的个数为N，若极限D=(δ→0)ln(N)/ln(1/δ)存在，则称D为此集合的分形维数。
编辑本段分形几何学的应用
分形几何学已在自然界与物理学中得到了应用。如在显微镜下观察落入溶液中的一粒花粉，会看见它不间断地作无规则运动(布朗运动)，这是花粉在大量液体分子的无规则碰撞(每秒钟多达十亿亿次)下表现的平均行为。布朗粒子的轨迹，由各种尺寸的折线连成。只要有足够的分辨率，就可以发现原以为是直线段的部分，其实由大量更小尺度的折线连成。这是一种处处连续，但又处处无导数的曲线。这种布朗粒子轨迹的分维是 2，大大高于它的拓扑维数 1. 在某些电化学反应中，电极附近沉积的固态物质，以不规则的树枝形状向外增长。受到污染的一些流水中，粘在藻类植物上的颗粒和胶状物，不断因新的沉积而生长，成为带有许多须须毛毛的枝条状，就可以用分维。 自然界中更大的尺度上也存在分形对象。一枝粗干可以分出不规则的枝杈，每个枝杈继续分为细杈……，至少有十几次分支的层次，可以用分形几何学去测量。 有人研究了某些云彩边界的几何性质，发现存在从 1公里到1000公里的无标度区。小于 1公里的云朵，更受地形概貌影响，大于1000公里时，地球曲率开始起作用。大小两端都受到一定特征尺度的限制，中间有三个数量级的无标度区，这已经足够了。分形存在于这中间区域。 近几年在流体力学不稳定性、光学双稳定器件、化学震荡反映等试验中，都实际测得了混沌吸引子，并从实验数据中计算出它们的分维。学会从实验数据测算分维是最近的一大进展。分形几何学在物理学、生物学上的应用也正在成为有充实内容的研究领域。
编辑本段分形几何的意义
上世纪80年代初开始的“分形热”经久不息。分形作为一种新的概念和方法，正在许多领域开展应用探索。美国物理学大师约翰·惠勒说过：今后谁不熟悉分形，谁就不能被称为科学上的文化人。由此可见分形的重要性。 中国着名学者周海中教授认为：分形几何不仅展示了数学之美，也揭示了世界的本质，还改变了人们理解自然奥秘的方式；可以说分形几何是真正描述大自然的几何学，对它的研究也极大地拓展了人类的认知疆域。 分形几何学作为当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科，它的出现，使人们重新审视这个世界：世界是非线性的，分形无处不在。分形几何学不仅让人们感悟到科学与艺术的融合，数学与艺术审美的统一，而且还有其深刻的科学方法论意义。
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