四余算法
❶ 请问谁知道九除几商是四余三这道题怎么算法,谢谢。
余数，数学用语。在整数的除法中，只有能整除与不能整除两种情况。当不能整除时，就产生余数。
9-3=6
6除任何整数，都不能使商为4
所以题目无解。
❷ 七政四余推变黄道术
七政四余推变黄道术
如果，我们学星命的人，只要稍那么，稍那么花上一丁点时间，其实就能明白，我们中国的黄道，不是现在的人所讲的黄道，不是现代意义的黄道。学界会叫他为“准黄道”。所以，我会花上点时间，讲下，这个黄道数值是怎么算出来的。看起来好像过于“专业”了。但还是要讲下，因为，就七政四余来讲，我们有星历可以直接导入了。等于是，我们可以不用去学“步五星术”，不用再为推步问题而止步了。但黄道变化则不是，我们古人的所谓的“推进退差”“推黄道术”“依四正岁差变黄道”，因为清开始己经引入了现代的黄道，是与果老星术的黄道，全然不同了。所以我希望能写上点算法，以期真研究果老的人，能稍多少了解，原来是这样算来的黄道。更希望有些人如要设计七政四余排盘软件，能借着这个文，明白怎么去寻找资料学习“推变黄道术”。设计出果老仙术的排盘软件来。
对我们的古人来讲，赤道是相对来讲“亘古不变”的。使稍有变化，也只是“前朝或测未密”。当然，从现代科学来讲，是一直在变的，虽然变化的很微，很微。
而黄道呢，则是“常变”的。所以历代常出现，黄道数据的变化。以致唐后，每布一历，就会重新布定黄道28星宿数据。此黄道，大多时是根据赤道去推变，偶尔加以实测，因为对我们的黄道来讲，他其实就相当于是“赤道数值在黄道上的投影”。所以就会有个“推黄道术”，即根据赤道数据，引用黄赤道之间的变化规律，去算出“黄道”。
如果从明文记录来讲，中国很早就有黄道数据记录。而再再再明确的记录黄道测宿事件，则是公元103年（汉和帝年间）“太史用黄道铜仪测得二十八星宿黄道距度值”，后来被东汉的四分历吸收运用。而黄道和赤道之间变化规律的研究，如从明文记录来讲，是始于东汉张衡，张衡用“竹篾”去量黄赤道度的数值变化，得出两者的“进退规律”，以后“进退有差”“进退之差”这样的字眼就成了天文历法志常见的字眼。并且后期的变化，无不由“进退”为基调。然后，将这种黄赤道度“进退”变化规律，直接明文入历，则是东汉末刘洪的乾象历。
一：第一种算法。
是以，第一种推黄道术，并且其实不是第一种，而是以后的推变黄道，基调都是“进退”。其它只是算法的区别而己。
算法是，先将赤道数据布好。然后，将赤道数平分，平分为四个大象限（两至两分）。再每一大象限起点开始，每4度为一限，从春分（秋分）到夏至（冬至）。黄道相对赤道是增数。即赤道每4度一限，黄道数会增加1/4度。当赤道数到了45度时，黄道数到达48度，即相差3度，这己经是最大值了（现代实测算，最大值是2.5度）。然后，开始递减式的增法。即如是将黄赤道拉成一条线，一条会慢慢增长的线，他们的规律是，春分开始，黄道这条线，会比赤道增长得快，赤道增长得慢。到了45度时，两者相距最大是3度。然后开始，黄道增长减慢，赤道增长加快。到了一象限末数91.31度时，黄赤道相平。然后，从夏至开始，赤道比黄道增长得快，所以，从两至到两分，则要相减。他实际也可以变化成规律是，从两分为定点看，向两边两至45方向算，是黄道比赤道增度，所以黄道度会在赤度基础上加黄赤道度差。从两至为定点看，向两边45度方向算，是黄道比赤道减度，所以黄道度会在赤度的基础上减黄赤道度差。（资料可详看《中国古代历法》和《古代历法计算法》）
乾象历，是采用4.4.4.3的规律。而每一小象限常数增减1/4度。到了隋一朝的皇极历，则将这个常数1/4，变化成递增减的变化。即每4度增减从初97/450，第二个4度也就是8度时，增减98/450.（97..98...99如是增减）
到了一行的大衍历，则将4度增变成5.即象限基数由4变成5.每限增减12/24.第二个5度即10，此限增变11/24.（12..11..10..如是增减）。至此用象限计算进退度之法，成定，后世多引用大衍历的算法。所以举例一下，大衍历的算法。
（学习时，可以看着后面附的表格）。
举例：如从春分点开始量，赤道量到5度，黄道就会是5+12/24=5.5度。即在5度内，增损12/24，黄赤道差12/24.以后每增损11/24..10/24...即相当于：黄道度=赤道度+黄赤道度差。也相当于：黄道度=5+每限增损度+前一限黄道度。
赤道度量到10度，黄道度就会是=赤道度 +黄道度差。（黄道度=10+（12/24+11/24）=10+23/24=10.96）.也相当于黄道度=5+每限增损度+前一限黄道度。（黄道度=5+11/24+5.5=10.96）。
初学时，是不是感觉很复杂，以往的历家，会即有算法，也会干脆制成表格。所以你会看到历律志上说，依率表变黄道。减小重复算的过程。到了授时历时，就干脆提供了一个表，细化到每一度，每一度增损的表格。下表是大衍诸历的数值。
在《中国古代历法》大衍历篇中。也给出算法。
根据这个表，和黄赤道变化的规律，即以两分为定点向两至两边45度，黄道相对赤道是增度。如以两至为定点，向两分两边45度，黄道相对赤道是减度。算法如下：
二，第二种和第三算法
当我们知道，我们中国古代的黄道和现代人意义的黄道不同时。只需想一下，星命术的全力发展时代。其实就能明白，我们应要用什么样的黄道。和为什么星命术在清开始，几成绝学原因之一。梅文鼎先生讲得好“若用新法，则宫度之迁改不常，二者己如柄凿之不相入，又安望其术之能验乎”
是以怎么推变黄道，虽然显得难懂。但还是不得不写。是希望真研究的人，能正视这个问题。也希望现在科技相对发达了，有要开发七政四余软件的人，能明白这个问题。和通过此文，能知道要怎么去找资料，和找什么资料。
中国的历法发展，重实测。在总结时，表格法起了一个很好的作用。但是莫要忘了，中国古代数学的发展。同时代来讲，也是不逊于任何其它文明的。所以历法的发展，在计算历数时，就会慢慢的出现公式总结。黄赤道的公式转法也是其中一项。自一行大衍历，进退之法己成定调。而公式发展呢。从《中国古代历法》一书来看，则认为唐末的边冈对此贡献很大。设计出了一个很好的公式。但还是显得繁复，所以后代历家又不断的改进。如北宋宋行古的崇天历，北宋周琮的明天历，北宋皇居卿观天历，北宋姚舜辅的纪天历相继给出公式，特别是纪天历给出的公式达到了误差最少。后代的如南宋赵知微大明历，元代耶律楚材的庚午历一直沿用不弃。所以，第二种算法，就选用姚舜辅的公式法。
即依照公式，求出黄赤道度差。然后，从春分开始是加黄赤道度差，从夏至开始是减黄赤道度差。两至到两分，黄道值减损。两分到两至，黄道值增益。如果你想着，还是在45.65545这个要相减的问题过于繁复。那你就可以用这个公式。以两分为定点的向两至方向45度时，用加黄赤道差。以两至为定点向两分方向45度时，用减黄赤道差。
由公式，我们还可简化看：黄赤道差=C/1000 X (101-C).式中C是赤道度。
举例，如以春分为零点，某宿赤道距离春分点为10度。那么：
黄赤道差=10/1000 X(101-10)=0.91
黄道数值=赤道数值+黄赤道差=10+0.91=10.91度。
如果，是以夏至，冬至点为零点，则相减。
黄道数值=赤道数值-黄赤道差=10-0.91=9.09度。
由此公式就可以求得任何一宿的黄道数值。假设春分点在赤道宿壁宿0度时。壁宿的赤道度为8.6.
壁整度离春分点：8.6-0=8.6
即赤道值为：8.6
黄赤道差=8.6/1000 X(101-8.6)=0.7964度
黄道数值=赤道数值+黄赤道差=8.6+0.7964=9.3946度。9.3946也是壁宿的黄道度。因为是假设在壁0度为春分点。
再求奎宿的黄道度。奎宿的赤道度为16.6.是以离春分点的赤道数值是：
赤道值：8.6（壁）+16.6（奎）=25.2
黄赤道差=25.2/1000 X（101-25.2）=1.9102
黄道数值=赤道数值+黄赤道差=25.2+1.9102=27.1105度
奎宿的黄道度为：27.1105-9.3946=17.7156度。
第三种算法就是元授时历的算法。是引用勾股算法和北宋沈括的会圆术。相当于球面三角法。像我这种小学毕业的，就帮不大家了。但是我估计，王恂和郭守敬也和我们一样想着，这样算太麻烦。所以会提供了一个表格。里面细细的列出各度的黄赤度，和黄赤度差，差率。是以，如去看元史，会说，依表而推。但是元史似没收录这份表格。相反在明史中，大统法原里有收录这份表格。需要研究的，网上找明史，即能找到。
和以往一样，只需得出黄赤道差。两分到两至用加，两至到两分用减。注意用此表时，因为此表可能传抄过程有误，里面的有些数据，最好左右上下多相较。
举例比如某宿离春分点相距赤度6度。
即赤道值是6度
黄道度值此表也直接给出可以看从左至右第四栏：6.5137度
我们假设，元时的春分点在壁6--8度间。取个6度来算。壁宿的赤道度有8.6度。是以，壁宿右段的赤道度为：8.6-6=2.6
即赤道度2.6
黄道度=2的黄道度+0.6的黄道度=2.1728+0.6+（0.6 X(0.2588-0.1728)）=2.1728+0.6+(0.6X 0.086)=2.8244度
奎宿的赤道宿度是16.6.即离春分点的赤道度为：2.6+16.6=19.2度
黄道度=19的黄道度（查表19对应20.4872）+0.2的黄道度（查度率0.0622）=20.4872+0.2+（0.2 X0.0622)=20.4872+0.21244=20.69964
奎宿的黄道宿度=20.69964-2.8244=17.87524授时历给定的奎宿黄道度数是：17.87。
三 推变黄道的赤道基数
1.依元史明史考对。元明时的赤道宿度如下:
角12.1亢9.2 氐16.3 房5.6 心6.5 尾19.1 箕10.4
斗25.2牛7.2 女11.35 虚8.9575 危15.4 室17.1 壁8.6
奎16.6娄11.8 胃15.6 昴11.3 毕17.4 觜0.05 参11.1
井33.3鬼2.2 柳13.3 星6.3 张17.25 翼18.75 轸17.3
2.依大统法原。考定授时历赤道十二宫界宿次如下（周天365.2575）：
玄枵之次 子宫：女2.1309始 （女2.1309--危12.2614=30.4381）
娵訾之次 亥宫：危12.2615始 （危12.2615--奎1.5995=30.4381）
降娄之次 戌宫：奎1.5996始 （奎1.5996---胃3.6377=30.4382）
大梁之次 酉宫：胃3.6378始 （胃3.6378--毕7.1758=30.4381）
实沈之次 申宫：毕7.1759始 （毕7.1759--井9.0639=30.4381）
鹑首之次 未宫：井9.064始 （井9.064--柳4.002 =30.4381）
鹑火之次 午宫：柳4.0021始 （柳4.0021--张14.8402=30.4382）
鹑尾之次 巳宫：张14.8403始 （张14.8403--轸9.2783=30.4381）
寿星之次 辰宫：轸9.2784始 （轸9.2784--氐1.1164=30.4381）
大火之次 卯宫：氐1.1165始 （氐1.1165--尾3.1545=30.4381）
析木之次 寅宫：尾3.1546始 （尾3.1546--斗4.0927=30.4382）
星纪之次 丑宫：斗4.0928始 （斗4.0928--女2.1308=30.4381）
------------------------------------------------
❸ 七政四余黄道十二宫法原
七政四余黄道十二宫法原
当我们明白了，我们中国古代星历所用的黄道，不是现代意义的黄道，而是被现在学界称为“准黄道”时。我们其实就明白了，我们所用的天星黄道数据，其实就是“天体的赤道数据在黄道上的投影”。由此我们就需要去学或了解赤变黄之术。古人是怎么“依赤道四正岁差推变黄道”的。当我们一去了解推变黄道术时，其实也就能明白了，黄道十二宫界是怎么设定的。以我学果老星宗的经历来讲，估计不是很多人知道。因为自清朝始，更多学七政四余的，都只是想当然认为，以致以讹传讹，纷乱难言。所以这篇文章有必要写一下。原因还是很简单，是希望后来者，能明白或最少了解我们七政四余所用的宫界设定和算法。更希望如有些要开发软件的人，能借着此文明白怎么去设定七政四余的宫界变化，不用再“被以讹传讹”。
汉朝划定天宫，是以节气划定的。因为，那时尚没能在“岁差”问题上有充分明确的认识。划定的原则呢，是将一个月分成二个节气点，在初的，放在宫的初位，中气呢，放在宫的中间，所以叫中气。比如寅月，立春雨水两个节气，就将立春点放在宫初，雨水点放在宫的中度。所以说，如果设定宫界的人，还非要用节气来划宫，最少也要将中气放在宫的中间，而非现代借用西占制的中气放在宫的初度。因为岁差等原因，慢慢的天官们发现，很难维持住了，节气点在不断的西移，大量的数据，支持不了这种划定了。天星辰次宫位，分野慢慢的会变得不能切合“古历”了。于是虞喜提出“天自为天，岁自为岁”。即干脆保持天区不动，节气点自己移动就好。
但历法争议对我们古代来讲，涉及很多的因素，很难说定下就定下。所以到了唐时，如像李淳风等，就采用刘歆类似的做法。即，内心上和观察上都明白，冬至点己经不能保证在宫的中间了，更和以前不知相差几许了。但在说法上，又会说冬至还在中宫，甚至用含糊的表达盖过这一争议。这样就必然要去重新厘定辰次分野，所以，李淳风考定了辰次分野，以期在大约上还能合上中气在中宫的划分。但实际还是不能让冬至点保持在中宫，而且在历家眼中，他必然不在中宫。是以，一行《大衍历议》，就这个问题，通考古今，鼎定“辰次分野”。最终定下着名的“天自为天，岁自为岁”原则。采用四象分天，保证天区不乱的原则。“古之辰次与节气相系，各据当时历数，与岁差迁徙不同。今更以七宿之中分四象中位，自上元之首，以度数纪之，而着其分野，其州县虽改隶不同，但据山河以分尔。”后世历家引为定式。
即采用四象的中宿房虚昴星定为宫中之位，定下四正宫中。但度数呢，就各历可能不同了，也可能相同，因历法常这样，布定是一回事，实算是一回事。我们假设他是不同的，要“自上元之首，以度数纪之”。就是看你推的上元，太阳在那度，就大约那度就是子宫玄枵大约中度，真正的中度，在配以实测。那这“上元”其实各历有差别的。就是，大家对尧圣时冬至太阳是在虚几度，各历测算各有偏差。为什么要推到尧圣时代呢，因为历法这东西，是要合古今往来的，须古今往来以测验。这种偏差有多大呢，这个数据是很易查的，就是找出史书，看每历步日躔术这一节时，大多会留下数据。有虚四度的，虚六度的，虚七度的，虚九度，等四个度数较常出现，但要注意各历采用的赤道数的不同。其实他们的偏差没想的大的，就是大约在虚6度和虚7度一直偏差。比如大衍历是采用了虚九度，要注意这个数哦，如是学风水的，一看到这个数就要明白了，原来是这样来的，至于说，是不是这虚9度的采用还与天极和磁极的偏差3度有关，这个我就没去考了。但大衍历的虚宿赤道数是10度多要注意。其中虚四度，我的印象只出现过一次。其它大部分是在6.7.8等度以推。至集历法大成的“授时历”。则采用了虚6度，虚宿的赤道宿值是8度多不大够9度。但这虚6度，和以往的诸历多少不同。就是王恂郭守敬，是全重实测而来。但不管怎么样，大约是定在虚6度吧。注意整数的问题，实际还不大到虚6度，还差了点秒数。但取用是取了虚6度。号为精密的授时历到明一直引用。直到明末崇祯时，徐光启李天经引西法入历。借用回回历太阳月宫位名，又错名交杂于辰次宫名，从此辰次分野错乱。此套历法在明时没能用上，明亡了，清朝引为时宪。就这个问题，清时有一些明识中历法原的大方之家，呼吁改正，但是一直没能成实。反正可怜了神棍业吧。因真识历者，自心能明。但神棍业又有多少能涉及这么专业的东西啊。
所以，四象分天，四象中宿定宫位之中，定下天区四正，就能永保天区东西南北不乱，在配合“天自为天，岁自为岁”原则下。就能上合尧圣，中符人伦，下便民用。因为对我们的辰次来讲，不全是天区问题的，还是将分野，记岁月干支法，时辰刻数等等全方位结合的。定下了四正宫中，则将赤道数据排布。就是赤道十二宫的数据。四正顶立，每宫平分度数。其中能找到的很明显具体的数据。是授时历的数据。详见《明史 大统法原》。也可参看七政四余推变黄道术一文中的第三章，中有引存赤道十二宫数据。
赤道十二宫数据一排列好。就可以用我们古代的推变黄道术。算出各宫赤道变为黄道后的数据。由等宫变成不等宫。相同的，黄道交宫度数，亦由此推。即将赤道交宫数度，变成黄道数度，即为黄道交宫数度，如有后学能用球面三角法重新算定“极黄经”就更好了，必竟古代公式的算定，有分秒上的误差。如果是要设制软件的，还需要去明白，我们目前采用的星历是实行度了，我们可以不用像星平会海里所讲的，要设“空白”之日了。我个人的理解是，只需将所变的黄道数据，排入各本在宫中，由实际星历主导即可。因为我们的黄道，实际就是赤道数值在黄道上，在“准黄道”上的折射。虽曰黄道，实则赤道。或说，黄道为表，赤道为里，表里相通无碍。古代这种黄赤相为表里的设计，深思之，常让人拍案叫绝。
所以，整个宫位辰次怎么设定，我常讲，我们学星命的人，其实只要稍花那么一丁心思。只需稍多看看诸代天文历法志，其实就能一目了然的。或有再疑思者，所以结文附上邢云路《古今律历考》中所记黄道交宫算法之文，一时看不懂的，可多参看的《七政四余推变黄道术》一文。
----九紫辰
附：邢云路将授时和万历己亥年推变的黄道的过程考写如下，他采用的是授时立成表格，至到分的表格数据。“授时厯至元辛巳黄道躔度十二交宫界，守敬所测也。至今三百余年冬至日躔已退五度，则宜另步日躔宫界，另以赤道变黄道以合今时在。天宫界从古厯家未有以三百年后仍用三百年前黄道者，而何钦天监之茫然莫觉也？考唐志云：日躔宿度如邮传之过，宿度既差黄道随而变矣。元志云：黄道宿度据岁差毎移一度依术推变。嘉靖初，乐頀掌监事上言，厯经即岁差以推变黄道六十七年该推变一次，本监失于推变。頀又尝语人云：徃年在监未奉更正，甚为遗憾。頀有文集可考也。胡大统不是之察也！余以法推，授时交宫界在赤道斗四度○九二八一二五。加至后箕宿四十分得四度四九二八一二五，以减至后赤道率四度三四四五，余一十四分八三一二五，以黄道率乗之以赤道率一度○八四九，而一得一十三分六十七秒，加至后黄道四度共得四度一三六七，为至后黄道交宫界度。另置至后箕四十分，以黄道率乗之以至后黄道初度下赤道一度○八六五，而一得三十六分八一以减至后黄道交宫界度，余三度七六八六为黄道斗宿交入丑宫星纪，界度由此法推女二度○六三八入子宫玄枵，以次推至尾三度○一一五入寅宫析木，此授时十二宫界也。复以前法推万厯己亥歳交宫界度，斗三度七九八五入丑宫星纪，以次推女二度○八九一入子玄枵，以至尾二度九七九一入寅析木，此己亥十二宫界也。以己亥较授时入丑宫界差三百分矣，今大统步今时之厯，仍用授时日躔以致差谬。如己亥一嵗十二宫有先天四五十刻者六七十刻者甚至秋正后太阳入辰宫，授时步秋正后十日壬辰申初一刻入辰宫，大统则步秋正后九日辛卯酉正三刻入辰宫，先天八十余刻隔一日矣。然此犹就本率推之也，如加消长所差尤多夫，日躔乃厯家第一义，今若此尚可以为厯乎”
--------------------------------------------------------------------------------------
❹ 请问一个方阵的子方阵的个数有什么规律啊谢谢!
请看下面文段的第五大点:
学术研究
关孝和着作很多，近20部，但生前只出版过一部《发微算法》(1674)，死后又由其弟子对他的遗稿作了整理，出版了《括要算法》，其余均为未出版的稿本．从这些着作的写作时间来看，孝和的数学研究工作可分为两个阶段，他的数学着作基本上是在1685年以前完成的，以后因体弱多病而较少进行新的数学研究，只写了一些天文历法方面的注释书．下面介绍他的主要贡献．
1．引入“傍书法”和代数记号而创立了“演段术”
这是关孝和的最大贡献．主要集录于他的着作《发微算法》(1674)及《三部抄》中的《解见题之法》和《解伏题之法》(1683)．在《发微算法》中，孝和运用演段术对日本数学家泽口一之(有资料说泽口一之是孝和的弟子)的《古今算法记》(1671)中的15道“遗题”作了分析和解答．但书中只有结果而把有关演段术的记述略去了，所以当时的日本人对他的解答一般都看不懂，于是就有人指责说《发微算法》可能是关孝和胡编乱造的．1680年，日本数学家佐治一平竟写成《算法入门》指出《发微算法》中解法的“错误”并给予“订正”．作为对此类问题的答复，孝和的弟子建部贤弘写成《发微算法演段谚解》(1685)公诸于世，对孝和的演段术作了详细解说，使之传播开来．
孝和又在《三部抄》中阐述了“傍书法”和演段术．《三部抄》是《解见题之法》、《解隐题之法》(1685)和《解伏题之法》(1683)三部着作的总称．见题是只用加减乘除即可解答的问题，隐题是只用一个方程就可以解答的问题，伏题是必须用两个以上方程组成的方程组才能解答的问题，这也是三部着作各自名称的来历．《解见题之法》中首次出现傍书法表示的式子．所谓傍书法即在一条短竖线旁边写上文字作为记号来表示数量关系的一种方法．如“甲加乙”、“甲减乙”、“甲
乘乙”分别写成“|甲|乙”、“|甲乙”、“|甲乙”；甲2，甲3，甲4，…
将“甲÷乙”记为“乙|甲”．
孝和就用上述一套符号来处理文字方程，比如方程
甲－乙×x＋丙×x2＋丁×x3＝0
表示为
|甲乙|丙|丁．
如果一个方程有两个未知数，如
3y3＋5xy2＋8x2y＋4x3＝0，
就用“甲”代替y，整个方程表示为
由于“傍书法”可以表示含有两个或者多个未知数的方程，因而“消元”就有了可能，这使得孝和能够用消元法解方程组，从而得出了他的行列式理论．这些内容集中在《解伏题之法》中．书中介绍了一系列以傍书法为基础的算法，他称之为“天元演段术”，后来又扩展为“归源整法”．这一系列的算法传到孝和的第二代弟子松永良弼时，良弼又受其主君内藤政树(1703—1766，“关流”和算家)之命将“归源整法”更名为“点窜术”．点窜术就是用上述的傍书法系统地研究公式变形、解方程(组)、行列式等问题，内容相当于现在的初等代数学．但由于这种代数学不同于西方代数中用a，b，c，…作为记号而采用汉字加短竖线作为记号，因而不仅是日本的而且是整个汉字文化圈内的文化财富，是具有东方风格的符号代数．
2．提出代数方程变换理论和行列式理论
这一研究集中在《解伏题之法》中．书中介绍的方程变换的方法有：略、省、约、缩、叠、括等．把一个方程乘以某一式后从另一方程中减去，称之为“略”；一个方程各项有公因式的就将此公因式约去，称之为“省”；各项有共同的数字系数(他称之为“段数”)时就约去这个公因数，他称之为“约”；两个方程中都不含未知数x的奇次幂时，就用换元法把x2作为一个未知数从而简化方程，称之为“缩”；“叠”是两个方程分别乘以适当的式子再相减以消去某些项；“括”是把相同次幂的系数合起来，即合并同类项．孝和的演段术在这些方法中得到了明确表示．
他用这些方法解方程组的基本思想是，将两个二元方程经过上述变换消去一个未知数，得到一个一元方程，再解这个一元方程．对于二元高次方程组(设两个方程关于x的次数分别是m和n，m≥n，这时方程中每一项中x的幂的系数都是另一未知数y的多项式)，为达到一次消元的目的，他先用叠、括方法从原来的两个方程中导出n个关于x的n－1次方程，这些方程都写成标准形式，即方程右边为0，左边按x的升幂排列，他称这n个方程为“换式”．于是求解原方程组的问题就转化为求解由换式构成的方程组了．将这个方程组的各项中x的幂去掉，得到各项系数(y的多项式或单项式)按原来的位置次序构成的行列式，令这个行列式等于0，得到的这个行列式表示出的关于y的方程即是原方程组消去x后得到的一元方程．这样，解原方程组的问题就转化为解这个一元方程的问题．
为了对这个含有行列式的方程化简、求解，他接着对行列式进行变换．他的行列式理论就是由此引出的．他在书中介绍了两种计算行列式值的方法：逐式交乘法和交式斜乘法．
逐式交乘法的基本思想是，对行列式的各行分别乘以适当的式子，再将各列元素相加，直到除第一列(即x0的系数对应的那一列)外，其余各列元素的和均为零，这时第一列元素的和即为行列式的值．
当行列式阶数较高时，要看出上述各行要乘的因式显然不容易，于是，他在书中又介绍了另一种计算行列式的方法即交式斜乘法．不过他没有说明这种方法的根据，只是对2—5阶行列式的展开给出了规则并用图加以说明．从这些说明看出，他的交式斜乘法大致相当于今天中学里介绍的对角线法或其扩展．
西方对于行列式的研究首次出现在G．W．莱布尼茨(Leibniz)1693年写给G．F．A．洛比达(L’Hospital)的信中，而孝和的《解伏法之法》是1683年完成的，所以孝和的研究比西方的此类研究至少要早10年．西方最早发表的关于行列式研究的着作是G．克莱姆(Cramer)的《代数曲线的分析引论》(Intro－ction àl’analyse des lignes courbes algébriques，1750)，这比《解伏题之法》要晚70年．在行列式方面，关孝和的研究是世界领先的．
3．研究了数字系数高次方程，发现了负根、虚根并提出了判别式概念和相当于多项式函数导函数的多项式
关孝和的这些成就主要包含在《解隐题之法》、《开方算式》及着作集《七部书》中．《七部书》是《开方翻变之法》(1685)、《题术辨议之法》(1685)、《病题明致之法》(1685)、《方阵圆攒之法》(1683)、《算脱验符之法》、《求积》、《毬阙变形草解》这七部着作的总称．
《解隐题之法》、《开方翻变之法》和《开方算式》中记述了解数字系数高次方程的两种近似方法，分别相当于“霍纳法”和“牛顿迭代法”．孝和又将这些解法用在字母系数方程f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn＝0上，从形式上求出了f′(x)＝a1＋2a2x＋…＋nanxn-1，即从形式上求出了多项式函数f(x)的导函数．另外，他考察了只有虚根的方程(他称其为“无商式”)、只有负根的方程(他称其为“负商式”)和方程正、负根的个数问题，给出了判别式的概念，研究了方程正、负根存在的条件．在《题术辨议之法》和《病题明致之法》中，他将导出方程是“无商式”和“负商式”的问题归入“病题”之列，利用他对数字系数方程的研究介绍了变换“予量”而纠正“病题”的方法．
对于无商式f(x)＝0，他主要是变更方程的系数使其判别式取一定的数值，从而使得方程有正根或负根．这样的变换中又得出了f(x)取极大值(或极小值)的条件f′(x)＝a1＋2a2x＋…＋nanxn-1＝0，由此式求出极值点x0，再代入f(x)可以求出极大值(或极小值)．这是今天通用的求极值方法的雏形，孝和称其为“适尽方级法”．这种求极值方法是关孝和独立发现的．
4．将中国的“三差之法”推广为一般的招差法，研究了数论问题并发明“零约术”
这些成果都集中在《括要算法》中．孝和去世之后，其遗稿全部传给了弟子荒木村英(1640—1718)．据说，村英与孝和本来同学于高原吉种门下，后来他又拜孝和为师，由于其在同门弟子中学德俱高，所以得到了孝和的全部遗稿．可是当时村英已年高体弱，就把整理孝和遗稿的工作交给自己的弟子大高由昌．大高由昌从遗稿中抽出数篇编辑成《括要算法》，村英为此作序，并于1712年出版．孝和的有关单行本至今尚存，与此比较看出，大高由昌在编辑时并没有作多大改动．只是孝和原稿中的“诸约之法”不包括“翦管术”，而《括要算法》中将“翦管术”列于“诸约之法”中．
(1)招差法 这是由x＝x1，x2，…，xn和相应的y＝y1，y2，…，yn两组数据确定函数y＝a1x＋a2x2＋…＋anxn的系数的方法，相当于西方数学中的有限差分法．孝和的方法如下：
乘积．
若所有平积相等，就有a3＝a4＝…＝0，这时可取a2＝δz1，a1＝z1－a2x1，这时的招差法称为“一次相乘之法”．若所有的立积都相等，则a4＝a5＝…＝0，可取a3＝δ2z1，再计算zi－a3x2i＝ui(1≤i≤n)，它是u＝a1＋a2x在x＝xi处的值，再对此施行“一次相乘之法”可得a2，a1的值．依此类推．
关孝和称a1，a2，…，an这些系数为“差”，求这些差为“招差”．上述求差的方法就是他的招差法．
对于n＝2，3，4的情况，求f(x)＝a1x＋a2x2＋…＋anxn系数的问题早在中国数学中已得到解决，孝和的贡献主要在于将这种“三差之法”推广到了n为任意自然数的一般招差法．
(2)约术及垛术 他叙述的“约术”有互约、逐约、齐约、遍约、增约、损约、零约、遍通等．其中“逐约术”是给出n个整数a1，a2，…，an，确定各自的一个约数a′1，a′2，…，a′n，使这n个约数两两互素且其和等于a1，a2，…，an的最小公倍数．n＝2时，他把“逐约术”又称为“互约术”．“齐约”是求整数的最小公倍数．“遍约”是用整数的最大公约数分别去除这n个整数．“遍通”是分数通分．“增约”是求级数a＋ar＋ar2＋…的和，“损约”是求级数a－ar－ar2－…的和．“剩一术”是解一次不定方程ax－by＝1的方法．除“增约”和“损约”之外，这些都是数论的内容．
“零约术”是孝和的发明．它是一种确定无限不循环小数的近似分数的方法．在书中他用例子对零约术作了说明．比如边长为1尺的正方
取p1＝1，q1＝1，按下述规则确定后面的pn，qn．若
n，而相应的pn依次是1，3，4，6，7，9，10，11，13，14，16，17，18，20，21，23，24，26，27，28，30，31，33，34，35，37，38，40，41， 43， 44，45， 47，48，50，51，52，54，55，57，58．于是有
它们都出现在上述的近似分数列中．
在《括要算法》最后一卷(贞卷)中，他用自己发明的这种零约术
给出，但他是怎样得到的呢？这一点却没有流传下来．孝和的这一工作给出了一种推导方法．
《括要算法》的第一卷(元卷)中还记述了“垛术”问题，即求
和Sp＝1p＋2p＋3p＋… ＋np(他称其为“方垛积”)与求和
对于方垛积，他用招差法计算出了p＝1，2，3，…，11的情况，然后归纳得出了方垛积一般公式：
对于衰垛积，他也给出一般公式：
值得注意的是，方垛积公式中的B1，B2，…，Bn，…与伯努利数一样．而西方第一部导入伯努利数并给出上述公式的书是数学家雅格布·伯努利(Jacob Bernoulli)的《猜度术》(Ars conj－ectandi，1713)．可见关孝和与伯努利几乎同时发现了伯努利数．
(3)翦管术 数论方面，他还研究了翦管术，即解同余式组b1x≡a1(mod m1)， b2x≡a2(mod m2)，…，bnx≡an(mod mn)的方法．《括要算法》第二卷(亨卷)的“翦管术解”部分举出九个问题说明这种方法，前五个是b1＝b2＝…＝bn＝1的情况，根据m1，m2，…，mn是否两两互素而分为两种情况给出了解法；后四个问题都是b1，b2，…，bn不全为1的情况，利用逐约术和剩一术给出了解法．
翦管术的名称和问题形式在中国宋代杨辉的着作集《杨辉算法》中就有记述，但杨辉解决的同余式组只限于b1＝b2＝…＝bn＝1，且m1，m2，…，mn两两互素的情况，而且由于所举的例子涉及的数据都比较简单，往往是只靠心算就可以解决，而不用剩一术．可以说，孝和是从《杨辉算法》中得到了翦管术的名称和问题形式，但他由于发明了剩一术，又引入了逐约、互约概念，因而对m1，m2，…，mn不全两两互素的情况和b1，b2，…，bn不全为1的同余式组问题也完满地解决了．因此可以说是关孝和发展完善了翦管术．
5．给出了一些曲线求长和立体求积的近似方法
这些研究主要集中在《解见题之法》、《求积》及《毬阙变形草解》中．其中创新性的成果在于他给出了椭圆周长、阿基米德螺线长的近似算法，解决了圆环体、弧环体和十字环的近似求积问题．
(1)椭圆周长与阿基米德螺线长 《解隐题之法》中第一次出现椭圆周长的近似算法．他将椭圆看成是从不同角度看圆时得到的图形，得出椭圆周长L的近近似计算公式：
L2＝π2(长径×短径)＋4×(长径－短径)2．
此书中还解决了“畹背”问题，即求所谓“畹形”长度的问题．如图1，将扇形OAB用半径OC1，OC2，…，OCn-1 n等分，再将半径OA用C′1，C′2，…，C′n-1 n等分，经过OA的各分点以O为圆心分别画弧，得到过C′k点的弧与半径OCk的交点Dk(0≤k≤n，记O点为D0，A点为Dn)，Dk点的轨迹即是“畹形”．可见，畹形就是阿基米德螺线．他给出畹形长(背)的计算公式：
至于他是如何得到这个公式的，书中没有说明．
(2)圆环体、弧环体和十字环的体积 所谓圆环体是圆绕其所在平面上与圆没有公共点的一条直线旋转一周所得到的立体；弧环体则是由弓形绕其所在平面上与弓形没有公共点的一条直线旋转一周所得的立体．关孝和设想，把圆环体截断伸直，圆环体就变成圆柱，因此圆环体的体积就等于这个截面(圆面)的面积乘以这个“圆柱”的高(即圆环体的“中心圆”周长)．他这样计算是假定了“圆环体经截断伸直成圆柱后体积不变”，以此假定为基础，他用弓形的面积乘以弧环体的中心圆周长作为弧环体的体积．这里所说的中心圆是指在圆(或弓形)旋转过程中，圆(或弓形)面上一个特定点所形成的圆，这个特定点就是圆(或弓形)的重心．可见，孝和已经有了“重心”这一概念．他这样计算圆环体、弧环体的体积的方法相当于帕波斯－古尔丁(Pappus－Guldin) 定理所叙述的方法．
所谓“十字环”是指两个圆柱体与一个圆环体互相截取组成的立体，如图2所示，两个圆柱的轴互相垂直且都通过圆环体的重心，圆柱被圆环体的表面所截，并且两圆柱的底半径与圆环体的截面半径相等．这一问题最早出现在槻⒑统蔚摹恫瘟铰肌?)中，孝和首次用近似方法求出了十字环的体积．
另外，《毬阙变形草解》也是主要研究求积问题的着作．不过此书所涉及的多是阙球(用平面去截球体所得)、阙圆柱(用平面去截圆柱所得)、弧锥(底是弓形的锥体)和弧台(两底都是弓形的台体)等复杂的立体．他通过将这些立体变形而给出这些立体的近似求积方法．他把此书命名为《草解》，可见还有未尽之意，这说明上述一类立体的求积是当时最难的求积问题．
6．创立圆理、角术，解决了有关圆弧长、球体积及正多边形的一些问题
“圆理”一词在后来的和算家中常用来总称求解曲线长、图形(平面图形或曲面图形)的面积及立体的体积的方法．但孝和创立的圆理只限于圆、球的有关计算．他关于圆理的研究主要集中在《括要算法》第4卷(贞卷)中，由“求圆周率术”、“求弧矢弦率术”和“求立圆积率术”(立圆即球)三部分组成．他求圆的正 215，216，217边形的周长a，b，c，并对此施以增约术，用a，b，c的一种平均值
作为圆周长的近似值，由此求得圆周率的小数点后11位数字，接着又用
他的“求弧术”是由弦a，矢c，径d来求弧长s的方法，他给出公式：
其中A0， A1， A2， A3， A4， A5是由 c＝c0，c1，c2，c3，c4，c5和相应的s＝s0，s1，s2，s3，s4，s5来确定的．
如果上述插值公式中没有分母(d－c)i(i＝1，2，…，5)，则与牛顿插值公式完全一样．这个公式与牛顿插值公式的原理相同．牛顿插值公式是I．牛顿(Newton)发现的，W．琼斯(Jones)得到牛顿允许后着成《微分法》(Methos differentilis，1711)将其公布于世，而《括要算法》是1709年写成序、跋，1712年出版的，因此可以说关孝和与牛顿几乎同时各自独立地发现了这个公式．
对于球的体积，他提出了“求立圆积率术”，首先用平行平面把球截成50个薄片，将各薄片先看成以各自的接近球心一侧的底面为底的圆柱，求这50个“圆柱”的体积之和；再将各薄片看成是以各自的另一底面为底的圆柱，求出这50个“圆柱”的体积之和，再求出这两个体积和的平均值a作为这50个薄片的总体积．同样将球截成100个、200个薄片，分别如上求出这100个、200个薄片的总体积b和c，用增约术求出
将其作为球体积．虽然这一过程中用增约术的条件并不充足，但他如此分割—转换—求和的求积方法中，积分思想已开始萌芽．
“角术”是建立正多边形的边长与外接圆半径、边长与内切圆半径之间关系式的方法．他对正3—20边形分别给出了这种关系式，而以前的和算家只是求出了边数不大于15的正多边形的上述关系式．另外，孝和在推导过程中所用的几何学上的定理，有一些是仅凭直觉得到的．
7．研究了幻方问题，又用同余式解决了日本流传的古老的“继子立”即“立后嗣”的问题
《七部书》中的《方阵之法·圆攒之法》给出了幻方(他称为“方阵”)和圆攒的一般构造方法，即按一定规律变化n－2阶幻方的每一个数，将其相应地作为“内核”，再在外圈上按一定规则填上4n－4个数就可以得到n阶幻方．这种方法与16世纪德国数学家M．施蒂费尔(Stiefel)首次在其着作《整数算术》(Arithme－tica Integra，1544)中尝试证阴幻方的思想是一致的．
“继子立”是在日本广泛流传的一个古老问题，它说的是，某贵族家有30个孩子，其中15人是前妻所生，15人为后妻所生．要从这30个孩子中选出一个来继承家业，就让这30个孩子排成一圈，从某一个小孩开始往下数，让第10个孩子从圈中退出，再从下一个继续数，数到20时就让对应20的那个孩子从圈中出去．照此数下去，数到整十的数时就把对应该数的孩子从圈中拉出，直到最后剩下一个孩子，就由这个孩子来继承家业．如果现在只剩下一个前妻之子和14个后妻之子了，那么只要从这个前妻之子开始数，就可以使这个孩子成为“继子”．
孝和在《算脱验符之法》中将这个问题理论化并用同余式进行了推导证明．
除上述着作之外，孝和在数学方面还写下了《角法并演段图》、《阙疑抄一百问答术》、《勿惮改答术》等书．在天文历法方面他也有许多着作，如《授时历经立成》四卷、《授时历经立成立法》(1681)、《授时发明》、《四余算法》(1697)、《星曜算法》、《数学杂着》(又名《天文数学杂着》)等．
先前数学对关孝和的影响
从上面的介绍可以看出，关孝和的数学研究有的起源于在他之前的和算着作中的“遗题”．他最初的数学着作《发微算法》是对泽口一之的《古今算法记》(1671)中遗题的解答．他还解答了礒村吉德的《算法阙疑抄》(1659)的100道遗题和村濑义益的《算法勿惮记》(1673)的遗题，至今尚存有关的抄本．有些遗题成为关孝和研究的起点．例如《算法阙疑抄》第45个问题(“圆台斜截口”)引出了他对椭圆的研究；第 41个问题(“俱利加罗卷”，即在圆锥形棒上緾绳，求绳长)引出了他对畹背问题的研究．他的一些重要的思想方法也是从这些着作中得到的．例如，泽口一之在《古今算法记》中通过变换方程系数避开了有两个正根的情况，关孝和由此受启发变换“无商式”和“负商式”系数使其根达到要求，进而得到了求多项式函数的极大值、极小值的“适尽方级法”．他在《题术辨议之法》中，对“碎术”(即“自远至近数次而求所问”的方法，他认为“其术不定也”，因而不是最恰当的方法)问题采用逐次逼近法解决，这可能是从《算法勿惮改》中受到启发的，因为《算法勿惮改》在日本是首次使用逐次逼近法的着作．
但是，他的最主要的数学成就并不能在他之前的和算着作中找到线索，这就在他的研究与先前和算家的研究之间形成了一个“断层”．一些人认为，弥补这个断层的是中国数学和西方数学对他的影响．据日本武林史着作《武林隐见录》(1738)中“关新助算术秩事”一条记载，孝和估计到南部某寺收藏的“唐本”(指古时由中国传到日本的书籍)中可能有数学书，就去南都搜寻，并将其抄录下来带回江户研究．从此类“秩事”中可知关孝和在研究中参考了中国数学着作．
从孝和的数学成果来看，对他的研究产生较大影响的中国数学着作是《杨辉算法》(1378)和清朝的《天文大成管窥辑要》等．《杨辉算法》是杨辉的《乘除通变本末》(上卷为《算法通变本末》，中卷为《乘除通变算宝》，下卷为《法算取用本末》，与史仲荣合着)、《田亩比类乘除捷法》和《续古摘奇算法》三部着作合刻的，在朝鲜重刻后传入日本并保存下来．孝和从《杨辉算法》中得到了“翦管术”的名称和问题形式，并完善了“翦管术”．另外，《杨辉算法》中已有类似于“霍纳法”的解方程方法，大概是孝和从中受到启发，才提出了分别相当于霍纳法和牛顿逼近法的两种解方程方法．
朝黄鼎的《天文大成管窥辑要》对孝和也有影响．孝和的《授时发明》(或称《天文大成三条图解》)就是对此书第三卷的解释，由此看来孝和曾仔细研究过这部书．书中有对元朝郭守敬《授时历》中“三差法”所作的解说，可能由此引出了孝和对“招差法”的研究．
关于西方数学的影响是进入明治时代之后才开始研究的．17世纪中叶荷兰莱顿大学的F．范·斯霍腾(Schooten)教授有一个学生，名叫P．哈特辛乌斯(Hartsingius)，是日本人．这由荷兰阿姆斯特丹大学的D．J．科尔泰韦赫(korteweg)教授给林鹤一博士的信中可知．这个日本人后来是否回到日本已无法证实．但据日本数学史家三上义夫考证，那个时期在日本有一名叫鸠野巴宗的医学家，此人或许就是哈特辛乌斯．如果这个推测正确，则说明当时已经有人将西方数学带回日本了，从而可以认为关孝和的数学研究直接受到西方数学的影响．
从以上的介绍可以看出，关孝和从以往数学家的研究中发现问题，又对这些问题从理论上加以解决或者将其推广为一般性方法．除此之外他还有自己的首创性研究．这些成果奠定了和算的基础，摆脱了日本数学家单纯介绍中国数学的传统束缚，成为后世和算家的典范．
关流数学教育及关流弟子
关孝和作为一个数学家的同时又是一位数学教育家．他一生中亲自授过课的弟子就有几百人，其中最杰出的是荒木村英及建部贤弘、建部贤明两兄弟，村英的弟子中有松永良弼，贤弘的弟子中有中根元圭，元圭弟子中有山路主住等最为着名．孝和与他的弟子们的研究构成了和算的一个最大流派——关流(关流各代数学家系谱如文后图所示)．能培养出这许多杰出的弟子，与孝和创立的教育方式有很大关系．他根据学生的情况分成五个等级分别集中指导，每一级都规定有相应的具体数学内容和具体教材．初级的教以珠算，进而筹算，高级的从演段术到点窜术，随着每一级学生学业的完成而分别授以相应的“免许证”，相当于现在的毕业证，有“见题免许”、“隐题免许”、“伏题免许”、“别传免许”和“印可免许”五个等级．后来这种方式不断发展，成为关流严格的教育制度——五段免许制．只有得到五个等级的免许之后，才可以被称为“关流第几传”，而且最后得到“印可”的只限于几名高徒．后来随着数学研究的发展，加入到各等级的学习内容不断增加，五段免许制日益完善和严格．到了山路主住成为关流掌门人时，据说规定一代弟子中只传一子和高徒二人．
关于所用的教材，除了关孝和的着作之外，其他关流数学家也写过教科书，如山路主住的《关流算术》45卷作为关流入门者的最初教程；久留岛义太的《广益算梯》25卷也作为数学初学者的教材．
可见，关孝和创立的五段免许制体系，已有班级授课制的萌芽．
附：关流系谱参考资料：http://www.cnmaths.com/zttj/Print.asp?ArticleID=51
❺ 124除以几等于几余4有三种算法请问怎么算出
124-4=120
124/10=12,,,4
124/5=25,,,4
124/15=8,,,4
❻ 354除以一位数余数是4有几种算法
除以一位数余数是4，那么除数至少为5。
354-4=350
350=2¹×5²×7¹
350的约数个数为
(1+1)×(2+1)×(1+1)=12(个)
其中约数为一位数的只有2,5,7。这其中大于4的一位数只有5和7。
答：354除以一位数，余数是4的有2种算法。
验证：
354÷5=70……4
354÷7=50……4。
❼ 关孝和的主要着作
《解见题之法》、《解隐题之法》、《解伏题之法》、《开放翻变之法》、《提术辨议之法》、《病题明致之法》、《方阵之法-圆攒之法》、《算脱之法-验符之法》、《求积》、《球阙变形草》、《开方算式》、《八法略诀》、《授时发明》、《授时历经立成之法》、《授时历经立成》、《关订书》、《四余算法》《宿曜算法》、《天文数学杂着》
❽ 七政四余择日法有什么实际的意义
七政四余天星择日法，其算法非常繁复，必须用用事者的东经度和北纬度加入计算，取太阳，太阴，金木水火土五星及四余星，三王星当天所临的宫度，是到山，到向，或30度.60度.120度.180度.与山.命形成的角度关系.并星与星的角度关系.用星的取舍.立命的深浅.等等.一言难尽
❾ 关孝和的主要成就
关孝和改进了朱世杰《算学启蒙》中的天元术算法，开创了和算独有的笔算代数，建立了行列式概念及其初步理论，完善了中国传入的数字方程的近似解法，发现方程正负根存在的条件，对勾股定理、椭圆面积公式、阿基米德螺线、圆周率的研究，开创“圆理”（径、弧、矢间关系的无穷级数表达式）研究，幻方理论，连分数理论等。同时他还写过数种天文历法方面的着作，《授时历经立成》四卷、《授时历经立成立法》、《授时发明》、《四余算法》、《星曜算法》。
❿ 一个数除以2余1、3余2、4余3、5余4、6余5、7余6、8余7、9余8、10余9、11整除
11整除说明这数是11的倍数，
11除以5不余4，所以不是11。
22除以2不余1，所以不是22。
33除以3不余2，所以不是33。
44除以2不余1，所以不是44。
55除以3不余2，所以不是55。
66除以2不余1，所以不是66。
77除以4不余3，所以不是77。
88除以2不余1，所以不是88。
99除以3不余2，所以不是99。
110除以2不余1，所以不是110。
.....................................................
以此推下去为
979