求微分的算法

⑴ 求函数的微分

在数学中，微分是对函数的局部变化率的一种线性描述。微分可以近似地描述当函数自变量的取值作足够小的改变时，函数的值是怎样改变的。

定义
设函数y = f(x)在x0的邻域内有定义，x0及x0 + Δx在此区间内。如果函数的增量Δy = f(x0 + Δx) - f(x0)可表示为 Δy = AΔx + o(Δx)（其中A是不依赖于Δx的常数），而o(Δx)是比Δx高阶的无穷小，注：o读作奥密克戎，希腊字母,那么称函数f(x)在点x0是可微的，且AΔx称作函数在点x0相应于自变量增量Δx的微分，记作dy，即dy = AΔx。函数的微分是函数增量的主要部分，且是Δx的线性函数，故说函数的微分是函数增量的线性主部（△x→0）。
通常把自变量x的增量 Δx称为自变量的微分，记作dx，即dx = Δx。于是函数y = f(x)的微分又可记作dy = f'(x)dx。函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此，导数也叫做微商。
当自变量X改变为X+△X时，相应地函数值由f(X)改变为f(X+△X)，如果存在一个与△X无关的常数A，使f(X+△X)-f(X)和A·△X之差是△X→0关于△X的高阶无穷小量，则称A·△X是f(X)在X的微分，记为dy，并称f(X)在X可微。一元微积分中，可微可导等价。记A·△X=dy，则dy=f′(X)dX。例如：d(sinX)=cosXdX。
微分概念是在解决直与曲的矛盾中产生的，在微小局部可以用直线去微分近似替代曲线，它的直接应用就是函数的线性化。微分具有双重意义：它表示一个微小的量，因此就可以把线性函数的数值计算结果作为本来函数的数值近似值，这就是运用微分方法进行近似计算的基本思想。

⑵ 微分公式是什么

基本微分公式是dy=f'（x）dx。

微分公式的推导设函数y = f(x)在某区间内有定义，x0及x0+△x在这区间内，若函数的增量Δy = f(x0 +Δx)−f(x0)可表示为Δy = AΔx + o(Δx)，其中A是不依赖于△x的常数，o(Δx)是△x的高阶无穷小，则称函数y = f(x)在点x0是可微的。

学习微积分的方法有：

1、课前预习

一个老生常谈的话题，也是提到学习方法必将的一个，话虽老，虽旧，但仍然是不得不提。虽然大家都明白该这样做，但是真正能够做到课前预习的能有几人，课前预习可以使我们提前了解将要学习的知识，不至于到课上手足无措，加深我们听课时的理解，从而能够很快的吸收新知识。

2、记笔记

这里主要指的是课堂笔记，因为每节课的时间有限，所以老师将的东西一般都是精华部分，因此很有必要把它们记录下来，一来可以加深我们的理解，好记性不如烂笔头吗，二来可以方便我们以后复习查看。

3、认真听讲

对于大学生，特别是大一新生，学习方式与上高中时有了很大不同，上课时老师基本都用PPT来讲课，但是，千万不要认为上课不用听，下课把老师的PPT拷贝下来学习就可以了，老师上课会渗透很多PPT上没有的内容，如果错过了，在PPT上是找不到的。

4、课后复习

同预习一样，是个老生常谈的话题，但也是行之有效的方法，课堂的几十分钟不足以使我们学习和消化所学知识，需要我们在课下进行大量的练习与巩固，才能真正掌握所学知识。

⑶ 求微分是不是就是按求导数的算法算，最后乘上dx

是的。

y=f(x)；y'=f'(x)=dy/dx，所以 dy=y'dx=f'(x)dx。

一元函数：y（x）dy=y'（x）dx。

多元函数：u（x，y，z）=∂u/∂xdx+∂u/∂ydy+∂u/∂zdz。

导数

函数的局部性质。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。

⑷ 微积分是怎么样计算的

对于一元函数有，可微<=>可导=>连续=>可积

对于多元函数，不存在可导的概念，只有偏导数存在。函数在某处可微等价于在该处沿所有方向的方向导数存在，仅仅保证偏导数存在不一定可微，因此有：可微=>偏导数存在=>连续=>可积。

可导与连续的关系：可导必连续，连续不一定可导；

可微与连续的关系：可微与可导是一样的；

可积与连续的关系：可积不一定连续，连续必定可积；

可导与可积的关系：可导一般可积，可积推不出一定可导；

可导，即设y=f(x)是一个单变量函数， 如果y在x=x0处左右导数分别存在且相等，则称y在x=x[0]处可导。如果一个函数在x0处可导，那么它一定在x0处是连续函数。

函数可导的条件：

如果一个函数的定义域为全体实数，即函数在其上都有定义。函数在定义域中一点可导需要一定的条件：函数在该点的左右导数存在且相等，不能证明这点导数存在。只有左右导数存在且相等，并且在该点连续，才能证明该点可导。

可导的函数一定连续；连续的函数不一定可导，不连续的函数一定不可导。

⑸ 怎么用MATLAB求微分并求值

用MATLAB求微分并求值的方法：

f =x^2+exp(x^2)+sin(x)*cos(2*x+1)

1、diff(S,'v')：对符号对象S 中指定的符号变量v，求其1阶导数。

2、diff(S)：对符号对象S 中的默认的独立变量求其1阶导数。

3、diff(S,n)：对符号对象S中的默认的独立变量求其n阶导数。

4、diff(S,'v',n)：对符号对象S 中指定的符号变量v求其n阶导数。

即：

>> syms x n
>> y=sin(x)^n*cos(n*x);
>> Xd=diff(y)
Xd =
sin(x)^n*n*cos(x)/sin(x)*cos(n*x)-sin(x)^n*sin(n*x)*n
>> Nd=diff(y, n)
Nd =
sin(x)^n*log(sin(x))*cos(n*x)-sin(x)^n*sin(n*x)*x

而微分值则要按照上述方法，然后调用函数subs（）完成所求值就能求得了。

⑹ 数值计算day7-数值微分

上一节课主要介绍了曲线拟合与插值，曲线拟合主要包括线性拟合（单特征线性回归和非线性拟合（非线性方程特征变换、高阶多项式拟合），插值包括多项式插值（拉格朗日形式、牛顿形式）、样条插值（线性插值、二次样条插值、三次样条插值），其中三次样条插值还有一个便于求解的拉格朗日形式。这里的曲线拟合与机器学习中的回归问题非常相似，具有很大的参考意义。本节课主要介绍几种求解微分的数值方法。

给定一个函数 ， 在 处的微分 定义为： 图上的解释是 在 处的斜率：

前向、后向以及中心差分法是最简单的有限差分法：

例： ，计算 在 处的微分
(a)
真实值： ,
前向差分：
后向差分：
中心差分：
(b)
前向差分：
后向差分：
中心差分：

可以看到中心差分最为准确，且两点间距变小时，差分计算会更为准确。
MATLAB实现：

分别写出 四点的泰勒展开：

可以看到： 进一步得： 这是一阶微分的 三点前向公式 ，具有二阶准确度，类似地，可以得到如下具有二阶准确度的 三点后向公式 ：

注意：

前面两式相加，得 可得 此即为 三点中心差分公式 ，具有二阶准确度。类似地，推导可得如下 五点中心差分公式 ： 具有四阶准确度。

另一方面： 可得 此即为 三点前向差分公式 ，具有一阶准确度，类似可得如下具有一阶准确度 三点后向差分公式 ：

MATLAB实现：

对点 进行拉格朗日多项式插值，有
此时 因此 当 时，有 此式与 三点前向差分公式 一致。

Richardson外推加速算法能够把两个低精度的方法组合成一个高精度的计算方法，假设 是一种数值微分计算方法， 是估计的微分， 和 是估计误差，可以看到，具有二阶精度，如果把间距调整为 ，则 其精度仍是二阶的。但是有： 因此， 可以看到，具有四阶精度。

举个例子，考虑一阶微分的两点中心差分法（二阶精度）： 缩短间距，有 按照Richardson外推加速算法，有 进一步 因此 可以看到，精度提高到了四阶。

本节课主要介绍了一些数值微分算法，对于一阶微分，最常用的有两点前向差分（精度为 ）、两点后向差分（精度为 ）以及两点中心差分算法（精度为 ），其表达式均可以通过处理泰勒展开式来得到。通过处理泰勒展开式还可以得到一阶微分的三点前向差分和三点后向差分算法，精度与两点中心差分一致。对于二阶微分，同样可以利用泰勒展开，得到三点前向差分、三点后向差分以及三点中心差分算法。另一方面，还可以通过拉格朗日插值公式，得到相应的微分计算公式。这些公式又都可以很容易推广到多元函数的数值微分中去。最后，对于两个精度不高的微分算法，可以通过Richardson外推加速算法得到一个精度更高的算法，在实际问题中具有很广泛的应用。

⑺ 求解微分方程的方法

已知微分方程的通解怎么求这个微分方程
答：求导！如：1。x^2-xy+y^2=c
等式两边对x求导：2x-y-x(dy/dx)+2y(dy/dx)=0
故dy/dx=(2x-y)/(x-2y)；或写成
2x-y-(x-2y)y′=0
若要求二阶微分方程则需再求导一次：
2-y′-(1-2y′)y′+(x-2y)y〃=0
2。e^(-ay)=c1x+c2
-ay′e^(-ay)=c₁(一阶微分方程）
-ay〃e^(-ay)-ay′(-ay′)e^(-ay)=0，即a²(y′)²-ay〃=0(二阶微分方程）

⑻ 如何求函数的微分

操作方法
01
令y=f(x)，若f(x)连续可导，则对于f(x)有微分公式:dy=f'(x)dx

⑼ 高数微分怎么求

（1）dx可以乘过去是因为微分的定义，以及微分的计算公式dy=f'(x)dx

（2）不定积分∫f(x)dx中的被积表达式f(x)dx，按其定义的确仅仅是形式的东西，但是由性质：

d[∫f(x)dx]=(∫f(x)dx)'dx=f(x)dx发现，它恰好就是原函数的微分，所有可以看做微分。

（3）真正有问题的是定积分中的被积表达式，以下用∫(a,b)f(x)dx表示从a到b对f(x)求定积分。

这里的f(x)dx真正是完全角式的了，与微分相去甚远，有很多书把定积分记作∫(a,b)f，根本就不写出积分变量来，因为由定积分的定义知，这个自变量是什么根本不重要，那么定积分该怎么计算呢？定积分中的换元积分法以及分部积分法又怎么来的呢？这个就是牛顿和莱布尼兹的贡献！！！

解决问题的关键：变上限积分∫(a,x)f(t)dt这个东西按定义是个定积分，但是当x变动的时候，它是个函数，而最最重要的是它的微分d[∫(a,x)f(t)dt]=f(x)dx,由此我们又一次看到定积分的被积表达式部分与微分联系了起来，这个结论是微积分部分最重要的一个结论，它的一个直接的结果就是牛顿-莱布尼兹公式。

⑽ 这些函数的微分怎么求啊

这些函数的的微分怎么求？两种方法①复合函数的微分，可以象求导一样，从外函数到内函数一层一层地往里求，类似于求导的链式法则；②先求函数的导数，再求函数的微分。