欧几里得算法与欧几里得

Ⅰ 什么是欧几里得算法，它有什么意义

欧几里得算法即辗转相除法，用以求两个数的最大公约数（或者最小公倍数）
证明如下
假设x,y的最大公约数为d
且设x=k1*d，y=k2*d;
则有z=x-y=(k1-k2)*d;
也必定能被d整除，所以通过两个数不断辗转，直到其中一个变为0为止，以此最终快速得出两个数的最大公约数。
在算法的应用上是用求余以加速运算的速度。
总的来说，欧几里得算法的意义就是快速求得两个数的最大公约数。

Ⅱ 欧几里得算法

计算过程一模一样，只是最后对1001取模：
1 = 167 - 166
= 167 - (834 - 4 * 167)
= 5 * 167 - 834
= 5 *(1001 - 834) - 834
= 5 * 1001 - 6 *834
= 5 * 1001 - 6 * (3837 -3 *1001)
= 23 * 1001 - 6 *3837
然后对等式两端同时除以模1001得

6 * 3837 = 1 (mod 1001)
于是 x ＝ 6

Ⅲ 最早的算法是什么，他的背景及来源

欧几里得算法被人们认为是史上第一个算法。

欧几里得算法又称辗转相除法，用于计算两个正整数a，b的最大公约数。

欧几里得算法产生的背景：
我们知道，约公元前300年，古希腊着名数学家欧几里得在前人基础上写成的不配名着《几何原本》，几乎包括了中小学所学习的平面几何、立体几何的全部内容。如此古老的几何内容，自然成了历次数学课程改革关注的焦点。其中最为激进的，如法国布尔巴基学派主要人物狄奥东尼甚至喊出了“欧几里得滚出去”的口号。但改来改去，欧氏几何的一些内容，仍然构成了多数国家中小学数学几何部分的主要内容。有人称之为“不倒翁现象”。

Ⅳ 欧几里德的欧几里德算法

欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理：
定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)
证明：a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b
假设d是a,b的一个公约数，则有
d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r
因此d是(b,a mod b)的公约数
假设d 是(b,a mod b)的公约数，则
d | b , d |r ，但是a = kb +r
因此d也是(a,b)的公约数
因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证。
欧几里德算法就是根据这个原理来做的，其算法用C++语言描述为：
void swap(int & a, int & b)
{
int c = a;
a = b;
b = c;
}
int gcd(int a,int b)
{
if(0 == a )
{
return b;
}
if( 0 == b)
{
return a;
}
if(a > b)
{
swap(a,b);
}
int c;
for(c = a % b ; c > 0 ; c = a % b)
{
a = b;
b = c;
}
return b;
}
用PASCAL(DELPHI)语言可以描述为：
procere swap(var a,b:integer);
var
c:integer;
begin
c:=a;
a:=b;
b:=c;
end;
function gcd(a,b:integer):integer;
var
c:integer;
begin
if a=0 then
exit(b);
if b=0 then
exit(a);
if a>b then
swap(a,b);
repeat
c:=a mod b;
a:=b;
b:=c;
until c=0;
gcd:=b;
end;

Ⅳ 穷举法和欧几里得算法的利弊

穷举法简单但不高级，欧几里得算法从理论还是从效率上都是很好的但是不能算素数过大的。
欧几里得算法也叫辗转相除法。这是数论和代数学中的重要方法。从整数的除法可知:对任给二整数a，b，0，必有二整数q及r存在,使得a=qb+r，0≤rb，并且q及r是唯一存在的，这是数论的一条基本定理，整数的一系列重要性质都可以由此得到，如果反复利用这一基本定理,就可以得到因为每进行一次除法，余数就至少减一，而b是有限的正整数，所以最多进行b次，总可以得到一个余数是零的等式，即rn+1=0。上面的方法叫做欧几里德算法。

Ⅵ 欧几里德算法的简单解释

[编辑本段]欧几里得算法的概述 欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a，b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理： 定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b) 证明：a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b 假设d是a,b的一个公约数，则有 d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r 因此d是(b,a mod b)的公约数 假设d 是(b,a mod b)的公约数，则 d | b ， d |r ，但是a = kb +r 因此d也是(a,b)的公约数 因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证 [编辑本段]欧几里得算法原理 Lemma 1.3.1 若 a, b 且 a = bh + r, 其中 h, r , 则 gcd(a, b) = gcd(b, r). 证明. 假设 d1 = gcd(a, b) 且 d2 = gcd(b, r). 我们证明 d1| d2 且 d2| d1, 因而可利用 Proposition 1.1.3(2) 以及 d1, d2 皆为正数得证 d1 = d2. 因 d1| a 且 d1| b 利用 Corollary 1.1.2 我们知 d1| a - bh = r. 因为 d1| b, d1| r 且 d2 = gcd(b, r) 故由 Proposition 1.2.5 知 d1| d2. 另一方面, 因为 d2| b 且 d2| r 故 d2| bh + r = a. 因此可得 d2| d1. Lemma 1.3.1 告诉我们当 a > b > 0 时, 要求 a, b 的最大公因数我们可以先将 a 除以 b 所得馀数若为 r, 则 a, b 的最大公因数等于 b 和 r 的最大公因数. 因为 0r < b < a, 所以当然把计算简化了. 接着我们就来看看辗转相除法. 由于 gcd(a, b) = gcd(- a, b) 所以我们只要考虑 a, b 都是正整数的情况. Theorem 1.3.2 (The Euclidean Algorithm) 假设 a, b 且 a > b. 由除法原理我们知存在 h0, r0 使得 a = bh0 + r0, 其中 0r0 < b. 若 r0 > 0, 则存在 h1, r1 使得 b = r0h1 + r1, 其中 0r1 < r0. 若 r1 > 0, 则存在 h2, r2 使得 r0 = r1h2 + r2, 其中 0r2 < r1. 如此继续下去直到 rn = 0 为止. 若 n = 0 (即 r0 = 0), 则 gcd(a, b) = b. 若 n1, 则 gcd(a, b) = rn - 1. 证明. 首先注意若 r0 0, 由于 r0 > r1 > r2 > ... 是严格递减的, 因为 r0 和 0 之间最多仅能插入 r0 - 1 个正整数, 所以我们知道一定会有 nr0 使得 rn = 0. 若 r0 = 0, 即 a = bh0, 故知 b 为 a 之因数, 得证 b 为 a, b 的最大公因数. 若 r0 > 0, 则由 Lemma 1.3.1 知 gcd(a, b) = gcd(b, r0) = gcd(r0, r1) = ... = gcd(rn - 1, rn) = gcd(rn - 1, 0) = rn - 1. 现在我们来看用辗转相除法求最大公因数的例子 Example 1.3.3 我们求 a = 481 和 b = 221 的最大公因数. 首先由除法原理得 481 = 2 . 221 + 39, 知 r0 = 39. 因此再考虑 b = 221 除以 r0 = 39 得 221 = 5 . 39 + 26, 知 r1 = 26. 再以 r0 = 39 除以 r1 = 26 得 39 = 1 . 26 + 13, 知 r2 = 13. 最后因为 r2 = 13 整除 r1 = 26 知 r3 = 0, 故由 Theorem 1.3.2 知 gcd(481, 221) = r2 = 13. 在利用辗转相除法求最大公因数时, 大家不必真的求到 rn = 0. 例如在上例中可看出 r0 = 39 和 r1 = 26 的最大公因数是 13, 利用 Lemma 1.3.1 马上得知 gcd(a, b) = 13. 在上一节 Corollary 1.2.5 告诉我们若 gcd(a, b) = d, 则存在 m, n 使得 d = ma + nb. 当时我们没有提到如何找到此 m, n. 现在我们利用辗转相除法来介绍一个找到 m, n 的方法. 我们沿用 Theorem 1.3.2 的符号. 首先看 r0 = 0 的情形, 此时 d = gcd(a, b) = b 所以若令 m = 0, n = 1, 则我们有 d = b = ma + nb. 当 r0 0 但 r1 = 0 时, 我们知 d = gcd(a, b) = r0. 故利用 a = bh0 + r0 知, 若令 m = 1, n = - h0, 则 d = r0 = ma + nb. 同理若 r0 0, r1 0 但 r2 = 0, 则知 d = gcd(a, b) = r1. 故利用 a = bh0 + r0 以及 b = r0h1 + r1 知 r1 = b - r0h1 = b - (a - bh0)h1 = - h1a + (1 + h0h1)b. 因此若令 m = - h1 且 n = 1 + h0h1, 则 d = r1 = ma + nb. 依照此法, 当 r0, r1 和 r2 皆不为 0 时, 由于 d = gcd(a, b) = rn - 1 故由 rn - 3 = rn - 2hn - 1 + rn - 1 知 d = rn - 3 - hn - 1rn - 2. 利用前面推导方式我们知存在 m1, m2, n1, n2 使得 rn - 3 = m1a + n1b 且 rn - 2 = m2a + n2b 故代入得 d = (m1a + n1b) - hn - 1(m2a + n2b) = (m1 - hn - 1m2)a + (n1 - hn - 1n2)b. 因此若令 m = m1 - hn - 1m2 且 n = n1 - hn - 1n2, 则 d = ma + nb. 上面的说明看似好像当 r0 0 时对每一个 i {0, 1,..., n - 2} 要先将 ri 写成 ri = mia + nib, 最后才可将 d = rn - 1 写成 ma + nb 的形式. 其实这只是论证时的方便, 在实际操作时我们其实是将每个 ri 写成 mi'ri - 2 + ni'ri - 1 的形式慢慢逆推回 d = ma + nb. 请看以下的例子. Example 1.3.4 我们试着利用 Example 1.3.3 所得结果找到 m, n 使得 13 = gcd(481, 221) = 481m + 221n. 首先我们有 13 = r2 = 39 - 26 = r0 - r1. 而 r1 = 221 - 5 . 39 = b - 5r0, 故得 13 = r0 - (b - 5r0) = 6r0 - b. 再由 r0 = 481 - 2 . 221 = a - 2b, 得知 13 = 6(a - 2b) - b = 6a - 13b. 故得 m = 6 且 n = - 13 会满足 13 = 481m + 221n. 要注意这里找到的 m, n 并不会是唯一满足 d = ma + nb 的一组解. 虽然上面的推演过程好像会只有一组解, 不过只能说是用上面的方法会得到一组解, 并不能担保可找到所有的解. 比方说若令 m' = m + b, n' = n - a, 则 m'a + n'b = (m + b)a + (n - a)b = ma + nb = d. 所以 m', n' 也会是另一组解. 所以以后当要探讨唯一性时, 若没有充分的理由千万不能说由前面的推导过程看出是唯一的就断言是唯一. 一般的作法是假设你有两组解, 再利用这两组解所共同满足的式子找到两者之间的关系. 我们看看以下的作法. Proposition 1.3.5 假设 a, b 且 d = gcd(a, b). 若 x = m0, y = n0 是 d = ax + by 的一组整数解, 则对任意 t , x = m0 + bt/d, y = n0 - at/d 皆为 d = ax + by 的一组整数解, 而且 d = ax + by 的所有整数解必为 x = m0 + bt/d, y = n0 - at/d 其中 t 这样的形式. 证明. 假设 x = m, y = n 是 d = ax + by 的一组解. 由于已假设 x = m0, y = n0 也是一组解, 故得 am + bn = am0 + bn0. 也就是说 a(m - m0) = b(n0 - n). 由于 d = gcd(a, b), 我们可以假设 a = a'd, b = b'd 其中 a', b' 且 gcd(a', b') = 1 (参见 Corollary 1.2.3). 因此得 a'(m - m0) = b'(n0 - n). 利用 b'| a'(m - m0), gcd(a', b') = 1 以及 Proposition 1.2.7(1) 得 b'| m - m0. 也就是说存在 t 使得 m - m0 = b't. 故知 m = m0 + b't = m0 + bt/d. 将 m = m0 + bt/d 代回 am + bn = am0 + bn0 可得 n = n0 - at/d, 因此得证 d = ax + by 的整数解都是 x = m0 + bt/d, y = n0 - at/d 其中 t 这样的形式. 最后我们仅要确认对任意 t , x = m0 + bt/d, y = n0 - at/d 皆为 d = ax + by 的一组整数解. 然而将 x = m0 + bt/d, y = n0 - at/d 代入 ax + by 得 a(m0 + bt/d )+ b(n0 - at/d )= am0 + bn0 = d, 故得证本定理. 利用 Proposition 1.3.5 我们就可利用 Example 1.3.4 找到 13 = 481x + 221y 的一组整数解 x = 6, y = - 13 得到 x = 6 + 17t, y = - 13 - 37t 其中 t 是 13 = 481x + 221y 所有的整数解

希望采纳

Ⅶ 欧几里得算法

欧几里得算法又称辗转相除法，用于计算两个正整数的最大公约数。

此算法用于求解方程 的整数解。
证明推导过程：
首先列出方程组：

根据欧几里得算法：

根据多项式恒等定理：

以此递推公式可以用递归函数求解。

Ⅷ 欧几里得是历史上有名的数学家，但在近代却有人说他是骗子，是真的吗

我觉得欧几里得不是骗子，毕竟历史摆在这里，他所写的《几何原本》可是一本数学巨作，相对于奠定了欧洲数学的基础，他也被称为“几何之父”，是数学界的巨头，这样的人物经过历史的检验，对数学做出了极大的贡献，我觉得骗子之名立于他身上是不妥的。

Ⅸ 欧几里得算法是什么

欧几里得算法又称辗转相除法，是指用于计算两个非负整数a，b的最大公约数。应用领域有数学和计算机两个方面。计算公式gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)。

辗转相除法的算法步骤为，两个数中用较大数除以较小数，再用出现的余数除除数。

再用出现的余数（第二余数）去除第一余数，如此反复，直到最后余数是0为止。

辗转相除法是利用以下性质来确定两个正整数a和b的最大公因子的：

1、若r是a ÷ b的余数，且r不为0，则gcd(a,b) = gcd(b,r)。

⒉、a和其倍数之最大公因子为a。

另一种写法是：

⒈、令r为a/b所得余数（0≤r），若r= 0，算法结束；b即为答案。

⒉、互换：置a←b，b←r，并返回第一步。

Ⅹ 欧几里德算法

The Euclidean Algorithm
欧几里德算法(又称辗转相除法)是一种用于快速寻找两个整数的最大公约数的技巧。

最大公约数 Greatest Common Divisor (GCD)：整数 A 和 B 的最大公约数是指能够同时整除 A 和 B 的最大整数。

使用欧几里德算法寻找 GCD(A,B) 的过程如下：

欧几里德算法使用了下述特性：

如果 A 和 B 其中一个为 0，便可利用前两个特性得出 GCD。 第三个特性帮助我们将大而复杂的问题化简为小而容易解决的问题。 欧几里德算法先利用第三个特性迅速化简问题，直至可以通过前两个特性求解为止。

证明 GCD(A,0)=A 的过程如下：

GCD(0,B)=B 的证明过程与此类似，区别仅在于用 B 替换 A。

先证明较简单的 GCD(A,B)=GCD(B,A-B)，再证明 GCD(A,B)=GCD(B,R)

根据定义 GCD(A,B) 可均分 A。因此，A 一定是 GCD(A,B) 的倍数，即 X⋅GCD(A,B)=A ，此处的 X 是某个整数。 根据定义 GCD(A,B) 可均分 B。因此，B 一定是 GCD(A,B) 的倍数，即 Y⋅GCD(A,B)=B ，此处的 Y 是某个整数。

根据 A-B=C 可得出：

由此可见 GCD(A,B) 可均分 C。 上图的左侧部分展示了此证明，提取如下：

证明 GCD(B,C) 均分 A
根据定义 GCD(B,C) 可均分 B。因此，B 一定是 GCD(B,C) 的倍数，即 M⋅GCD(B,C)=B ，此处的 M 是某个整数。 根据定义 GCD(B,C) 可均分 C。因此，C 一定是 GCD(B,C) 的倍数，即 N⋅GCD(B,C)=B ，此处的 N 是某个整数。

根据 A-B=C 可得出:

B+C=A
M⋅GCD(B,C) + N⋅GCD(B,C) = A
(M + N)⋅GCD(B,C) = A
由此可见 GCD(B,C) 可均分 A。 下图展示了此证明：

证明 GCD(A,B)=GCD(A,A-B)
根据定 GCD(A,B) 均分 B
同时，已证明 GCD(A,B) 均分 C
因此，GCD(A,B) 是 B 和 C 的公约数
由于 GCD(B,C) 是 B 和 C 的最大公约数，所以 GCD(A,B) 必须小于或等于 GCD(B,C)。

根据定义 GCD(B,C) 均分 B
同时，已证明 GCD(B,C) 均分 A
因此，GCD(B,C) 是 B 和 A 的公约数
由于 GCD(A,B) 是 A 和 B 的最大公约数，所以 GCD(B,C) 必须小于或等于 GCD(A,B)。

∵ GCD(A,B)≤GCD(B,C) 且 GCD(B,C)≤GCD(A,B) ∴ GCD(A,B)=GCD(B,C) 即 GCD(A,B)=GCD(B,A-B)

下图的右侧部分展示了此证明的图示：

前面已证明了 GCD(A,B)=GCD(B,A-B) 另外，对于 GCD( ) 而言，括号中各项的顺序并不重要，因此 GCD(A,B)=GCD(A-B,B) 那么，如果反复应用 GCD(A,B)=GCD(A-B,B)，便可得到： GCD(A,B)=GCD(A-B,B)=GCD(A-2B,B)=GCD(A-3B,B)=...=GCD(A-Q⋅B,B) 由于 A= B⋅Q + R 可得 A-Q⋅B=R，所以 GCD(A,B)=GCD(R,B) 。 由于括号中各项的顺序并不重要，因此最终可得： GCD(A,B)=GCD(B,R)

找寻 270 和 192 的最大公约数：

A=270, B=192

A=192, B=78

A=78, B=36

A=36, B=6

A=6, B=0

从上面的过程可以看出： ∵ GCD(270,192) = GCD(192,78) = GCD(78,36) = GCD(36,6) = GCD(6,0) = 6 ∴ GCD(270,192) = 6