解线性方程组的算法

㈠ 线性方程组的解法

高斯消元法（Gaussian Elimination）这种算法，最早记录于中国的《九章算术》。对于欧洲而言，则是牛顿最早发现了此种方法。不过直到高斯于1810年的发明，此算法才被广为接受。故而该算法在数学界被称为高斯消元法。

高斯消元法的核心包括三点。

（1）方程组中两个方程的位置互换，方程的解不变

（2）方程组中的某个方程乘以非零数 k，方程的解不变

（3）方程组的某个方程乘以非零数 k，加上另一个方程，方程的解不变

我们将这三种变换，称为线性方程组的变换。当然，变换的目的是为了消元（消减方程组中某些方程中未知数的个数），以达到最终求解方程组的目标，而不是无意识的随机变换。比如线性方程组：

㈡ 怎样用LU分解法解线性方程组

Ax=B，改写成Ly=B，Ux=y的方程组。就相当于将A=LU分解成了两个矩阵。称为矩阵A的三角分解，或LU分解。如果L为单位下三角阵，则叫Doolittle分解，若U为单位上三角阵，则叫Crout分解。只要A的各顺序主子式不为零，则A可唯一分解成一个单位下三角阵L与一个上三角阵U的乘积。

•设Ax=b，A=LU，则Ax=LUx=b

于是令Ux=y，则Ly=b

这样原来方程能化为两个简单方程组

在线性代数中， LU分解(LU Decomposition)是矩阵分解的一种，可以将一个矩阵分解为一个单位下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积（有时是它们和一个置换矩阵的乘积）。LU分解主要应用在数值分析中，用来解线性方程、求反矩阵或计算行列式。

(2)解线性方程组的算法扩展阅读：

相关算法：

LU分解在本质上是高斯消元法的一种表达形式。实质上是将A通过初等行变换变成一个上三角矩阵，其变换矩阵就是一个单位下三角矩阵。

这正是所谓的杜尔里特算法：从下至上地对矩阵A做初等行变换，将对角线左下方的元素变成零，然后再证明这些行变换的效果等同于左乘一系列单位下三角矩阵，这一系列单位下三角矩阵的乘积的逆就是L矩阵，它也是一个单位下三角矩阵。这类算法的复杂度一般在(三分之二的n三次方) 左右。

㈢ 线性方程组的通解方法是什么

非齐次线性方程组的通解=齐次线性方程组的通解+非齐次线性方程组的一个特解（η=ζ+η*）。非齐次线性方程组是常数项不全为零的线性方程组。

若x1=c1，x2=c2，…，xn=cn代入所给方程各式均成立，则称（c1，c2，…，cn）为一个解。若c1，c2，…，cn不全为0，则称（c1，c2，…，cn）为非零解。若常数项均为0，则称为齐次线性方程组，它总有零解（0，0，…，0）。两个方程组，若它们的未知量个数相同且解集相等，则称为同解方程组。

(3)解线性方程组的算法扩展阅读：

对有解方程组求解，并决定解的结构。这几个问题均得到完满解决：所给方程组有解，则秩(A）=秩（增广矩阵）；若秩(A）=秩=r，则r=n时，有唯一解；r消元法求解。

当非齐次线性方程组有解时，解唯一的充要条件是对应的齐次线性方程组只有零解；解无穷多的充要条件是对应齐次线性方程组有非零解。但反之当非齐次线性方程组的导出组仅有零解和有非零解时，不一定原方程组有唯一解或无穷解，事实上，此时方程组不一定有 ，即不一定有解。

克莱姆法则（见行列式）给出了一类特殊线性方程组解的公式。n个未知量的任一齐次方程组的解集均构成n维空间的一个子空间。

㈣ 如何用行列式解线性方程组请举例说明下。

用行列式解线性方程组，即Crammer法则

用它的前提条件是：线性方程组AX=b方程的个数与未知量的个数相同，即系数矩阵A是一个方阵

系数矩阵A的行列式|A|≠0

则方程组有唯一解:xi=Di/D

D=|A|

Di是D中第i列换成b得到的行列式

性质

①行列式A中某行（或列）用同一数k乘，其结果等于kA。

②行列式A等于其转置行列式AT（AT的第i行为A的第i列）。

③若n阶行列式|αij|中某行（或列）；行列式则|αij|是两个行列式的和，这两个行列式的第i行（或列），一个是b1，b2，…，bn；另一个是с1，с2，…，сn；其余各行（或列）上的元与|αij|的完全一样。

㈤ 线性方程组的基础解系如何求得

通过分别令自由变量为1，解出其它变量，得到一个解向量。

基础解系需要满足三个条件：

1、基础解系中所有量均是方程组的解。

2、基础解系线性无关,即基础解系中任何一个量都不能被其余量表示。

3、方程组的任意解均可由基础解系线性表出，即方程组的所有解都可以用基础解系的量来表示。

值得注意的是基础解系不是唯一的，因个人计算时对自由未知量的取法而异。

(5)解线性方程组的算法扩展阅读：

先求出齐次或非齐次线性方程组的一般解，即先求出用自由未知量表示独立未知量的一般解的形式，然后将此一般解改写成向量线性组合的形式，则以自由未知量为组合系数的解向量均为基础解系的解向量。

由此易知，齐次线性方程组中含几个自由未知量，其基础解系就含几个解向量。先确定自由未知量，可以设AX=b的系数矩阵A的秩为r，并假设A经过初等行变换化。

㈥ 线性方程组的解有哪些规律

D1就是把D中的第1列的数, 换成方程组等号右边的数。

D2就是把D中的第2列的数, 换成方程组等号右边的数。

克莱姆法则：是将方程组等式右侧的向量，替换到系数矩阵的第几行，得到新的行列式。

假若有n个未知数，n个方程组成的方程组： 克莱姆法则

a11X1+a12X2+．．．+a1nXn = b1

a21X1+a22X2+．．．+a2nXn = b2

an1X1+an2X2+．．．+annXn = bn

(6)解线性方程组的算法扩展阅读：

一般来说，用克莱姆法则求线性方程组的解时，计算量是比较大的。使用克莱姆法则求线性方程组的解的算法时间复杂度依赖于矩阵行列式的算法复杂度O(f(n))，其复杂度为O(n·f(n))，一般没有计算价值，复杂度太高。. 对具体的数字线性方程组，当未知数较多时往往可用计算机来求解。用计算机求解线性方程组目前已经有了一整套成熟的方法。

㈦ 线性方程组通解怎么求

矩阵消元法.将线性方程组的增广矩阵通过行的初等变换化为行简化阶梯形矩阵，则以行简化阶梯形矩阵为增广矩阵的线性方程组与原方程组同解。当方程组有解时，将其中单位列向量对应的未知量取为非自由未知量，其余的未知量取为自由未知量，即可找出线性方程组的解。

关于未知量是一次的方程组，其一般形式为

当r<n时，则任意给自由未知量的一组值，由⑶可求出x1，x2，…，xr的值即方程组⑴的一个解，此时方程组⑴的解不只一个。当r=n时，则方程组⑵不含自由未知量，由⑶给出方程组⑴的唯一解。当m=n=r时，公式⑶称为克莱姆规则。

㈧ 高等代数中解线性方程组的方法有几种

高等代数中解线性方程组的方法：分两大类：一、直接法：按选元分不选主元法和选主元法(列选、全选)。接不同消元方法又分：1、高斯消元法。2、高斯主元素法。3、三角解法。4、追赶法。二、迭代法：1、雅可比迭代法。2、高斯—塞德尔迭代法。3、超松驰迭代法。

㈨ 线性代数有几种解线性方程组的方法

第一种 消元法 ,此法 最为简单,直接消掉只剩最后一个未知数,再回代求余下的未知数,但只适用于未知数个数等于方程的个数,且有解的情况.
第二种 克拉姆法则,如果行列式不等于零,则用常数向量替换系数行列式中的每一行再除以系数行列式,就是解；
第三种 逆矩阵法,同样要求系数矩阵可逆,直接建立AX=b与线性方程组的关系,X=A^-1.*b就是解
第四种 增光矩阵法,利用增广矩阵的性质(A,b)通过线性行变换,化为简约形式,确定自由变量,（各行中第一个非零元对应的未知数除外余下的就是自由变量）,对自由变量进行赋值,求出其它未知数,然后写成基础解析的形式,最后写出通解.
这种方法需要先判别:增广矩阵的秩是否等于系数矩阵的秩,相等且小于未知数个数,则无穷多解；等于未知数个数,唯一解.秩不想等,无解.
第五种 计算机编程,随便用个软件,譬如Matlab,输入密令,
目前这5中教为适用,适合一切齐次或者非齐次线性方程组.

㈩ 高斯消元法解线性方程组

高斯消元法解线性方程组如下：

高斯消元法，是线性代数中求解线性方程组的一种算法。它通常被理解为在相应的系数矩阵上执行的一系列操作。要对矩阵执行行缩减，可以使用一系列基本行操作修改矩阵，直到矩阵的左下角尽可能地用零填充。

基本行操作有三种类型:

交换两行

将一行乘以一个非零数字

将一行的倍数添加到另一行

运用以上方法作，一个矩阵总是可以被转换成一个上三角矩阵，实际上是一个行阶梯形。一旦所有的主系数(每一行中最左边的非零项)都为1，并且包含主系数的每一列在其他地方都为零，这个矩阵就称为行简化阶梯形。最终的形式是独特的;换句话说，它与所使用的行操作序列无关。

例如，在接下来的行运算序列中(每一步可能进行多个初等运算)，第三和第四个矩阵是行简化阶梯形矩阵，最终的矩阵是唯一的行简化阶梯形矩阵。

一旦y也从第三行中删除，结果是三角形形式的线性方程组，因此算法的第一部分完成。从计算的角度来看，以相反的顺序求解变量更快，这一过程被称为反向替换。人们看到的解决办法是z= 1,y= 3，和x= 2。所以原始方程组有唯一的解。

第二列描述了刚刚执行了哪些行操作。所以第一步x从...中消除L2通过添加 3 / 2 L一到L2。接下来，x从...中消除L3通过添加L一到L3。