双立方插值算法
① Matlab中插值函数
MATLAB中的插值函数为interp1，其调用格式为： yi= interp1(x,y,xi,'method') 其中x，y为插值点，yi为在被插值点xi处的插值结果；x,y为向量， 'method'表示采用的插值方法，MATLAB提供的插值方法有几种： 'method'是最邻近插值， 'linear'线性插值； 'spline'三次样条插值； 'cubic'立方插值．缺省时表示线性插值。 注意：所有的插值方法都要求x是单调的，并且xi不能够超过x的范围。 例：在一 天24小时内，从零点开始每间隔2小时测得的环境温度数据分别为 12，9，9，10，18 ，24，28，27，25，20，18，15，13 问题：推测中午12点（即13点）时的温度． 功能 一维数据插值（表格查找）。该命令对数据点之间计算内插值。它找出一元函数f(x)在中间点的数值。其中函数f(x)由所给数据决定。 x：原始数据点 Y：原始数据点 xi：插值点 Yi：插值点 (1)yi = interp1(x,y,xi,method) 用指定的算法计算插值： ’nearest’：最近邻点插值，直接完成计算； ’linear’：线性插值（缺省方式），直接完成计算； ’spline’：三次样条函数插值。 ’cubic’：该方法保留单调性与数据的外形； 功能 二维数据内插值 (1)ZI = interp2(X,Y,Z,XI,YI,method) 返回矩阵ZI，其元素包含对应于参量XI 与YI（可以是向量、或同型矩阵） 的元素， 即Zi(i,j) ←[Xi(i,j),yi(i,j)]。用户可以输入行向量和列向量Xi 与Yi，此时，输出向量Zi 与矩阵meshgrid(xi,yi)是同型的。 (2)ZI = interp2(Z,XI,YI) 缺省地，X=1:n、Y=1:m，其中[m,n]=size(Z)。再按第一种情形进行计算。 用指定的算法method 计算二维插值： ’linear’：双线性插值算法（缺省算法）； ’nearest’：最临近插值； ’spline’：三次样条插值； ’cubic’：双三次插值。 (4)VI = interp3(X,Y,Z,V,XI,YI,ZI,method) 找出由参量X,Y,Z决定的三元函数V=V(X,Y,Z)在点（XI,YI,ZI）的值。 %用指定的算法method 作插值计算： ‘linear’：线性插值（缺省算法）； ‘cubic’：三次插值； ‘spline’：三次样条插值； ‘nearest’：最邻近插值。 功能 数据格点 (1)ZI = griddata(x,y,z,XI,YI,method) 用二元函数z=f(x,y)的曲面拟合有不规则的数据向量x,y,z。griddata 将返回曲面z 在点（XI,YI）处的插值。曲面总是经过这些数据点（x,y,z）的输入参量（XI,YI）通常是规则的格点（像用命令meshgrid 生成的一样）。 用指定的算法method 计算： ‘linear’：基于三角形的线性插值（缺省算法）； ‘cubic’： 基于三角形的三次插值； ‘nearest’：最邻近插值法； ‘v4’：MATLAB 4 中的griddata 算法。 功能 三次样条数据插值 格式 (1)yy = spline(x,y,xx) 功能 生成用于画三维图形的矩阵数据 格式 [X,Y] = meshgrid(x,y) 将由向量x，y（可以是不同方向的）指定的区域[min(x)，max(x) ， min(y) ， max(y)] 用直线x=x(i),y=y(j) （ i=1,2,…,length(x) ，j=1,2,…,length(y)）进行划分。这样，得到了length(x)*length(y)个点， 这些点的横坐标用矩阵X 表示，X 的每个行向量与向量x 相同；这些点的纵坐标用矩阵Y 表示，Y 的每个列向量与向量y 相同。其中X,Y可用于计算二元函数z=f(x,y)与三维图形中xy 平面矩形定义域的划分或曲面作图。 [X,Y] = meshgrid(x) %等价于[X,Y]=meshgrid(x,x)。 [X,Y,Z] = meshgrid(x,y,z) %生成三维阵列X,Y,Z，用于计算三元函数v=f(x,y,z)或三维容积图。② 数字图像处理——图像插值
网上有很多介绍插值算法的，但感觉收获都不大
介绍三种图像插值算法：最近邻内插，双线性内插，双三次内插（双立方内插）
三次插值即用三阶多项式拟合原函数（也应该有其他用途）。假设三次拟合函数为
在matlab中，图像被定义为一个三维向量，若不考虑图像的通道数，可以将图像看作一个二维矩阵处理。matlab图像矩阵中坐标值映射到二维坐标系中，每一个像素块对应的是一个点，但实际的像素块是有一定尺寸的。
在进行双线性插值和双三次插值时，需要用坐标值拟合函数，为了简化计算，总是选取 作为局部坐标系原点，其中 为待插值坐标。
当出现这些情况时，补充这些像素的灰度值为图像内最相邻像素块的灰度值。
进行坐标变换后，选取与内插点 欧式距离最近的像素值进行插值。在程序中，使用将 按照四舍五入的舍入方式选取最近邻的像素块。
双线性内插是线性内插的二维实现，在x维度先进行线性插值，再由得到的值对y维度进行插值。在局部坐标系中，选取 相邻的四个像素进行双线性内插。由在数学原理中的推导可知
双三次内插是三次插值的二维实现。选取与 相邻的16个像素进行双三次内插，局部坐标系中x与y坐标范围均为 。由数学原理中的推到可知
最近邻插值法的优点是计算量很小，运算速度较快。但它仅使用离待测采样点最近的像素的灰度值作为该采样点的灰度值，而没考虑其他相邻像素点的影响，因而重新采样后灰度值有明显的不连续性，会产生明显的马赛克和锯齿现象。
双线性插值法效果要好于最近邻插值，计算量较大。缩放后图像质量高，基本克服了最近邻插值灰度值不连续的特点，因为它考虑了待测采样点周围四个直接邻点对该采样点的相关性影响。但是，此方法未考虑到各邻点间灰度值变化率的影响, 具有低通滤波器的性质, 从而导致缩放后图像的高频分量受到损失, 图像边缘在一定程度上变得较为模糊，丢失了一些细节信息。
双立方插值计算量最大，运算速度慢。双立方插值用三阶函数逼近，不仅考虑到周围四个直接相邻像素点灰度值的影响，还考虑到它们灰度值变化率的影响，能够产生比双线性插值更为平滑的边缘，计算精度很高，处理后的图像细节损失最少，效果最佳。
③ 图像双三次插值算法原理及python实现
一. 图像双三次插值算法原理：
假设源图像 A 大小为 m*n ，缩放后的目标图像 B 的大小为 M*N 。那么根据比例我们可以得到 B(X,Y) 在 A 上的对应坐标为 A(x,y) = A( X*(m/M), Y*(n/N) ) 。在双线性插值法中，我们选取 A(x,y) 的最近四个点。而在双立方插值法中，我们选取的是最近的16个像素点作为计算目标图像 B(X,Y) 处像素值的参数。如图所示：
如图所示 P 点就是目标图像 B 在 (X,Y) 处对应于源图像中的位置，P 的坐标位置会出现小数部分，所以我们假设 P 的坐标为 P(x+u,y+v)，其中 x,y 分别表示整数部分，u,v 分别表示小数部分。那么我们就可以得到如图所示的最近 16 个像素的位置，在这里用 a(i,j)(i,j=0,1,2,3) 来表示。
双立方插值的目的就是通过找到一种关系，或者说系数，可以把这 16 个像素对于 P 处像素值的影响因子找出来，从而根据这个影响因子来获得目标图像对应点的像素值，达到图像缩放的目的。
BiCubic基函数形式如下：
二. python实现双三次插值算法
from PIL import Image
import numpy as np
import math
# 产生16个像素点不同的权重
def BiBubic(x):
x=abs(x)
if x<=1:
return 1-2*(x**2)+(x**3)
elif x<2:
return 4-8*x+5*(x**2)-(x**3)
else:
return 0
# 双三次插值算法
# dstH为目标图像的高，dstW为目标图像的宽
def BiCubic_interpolation(img,dstH,dstW):
scrH,scrW,_=img.shape
#img=np.pad(img,((1,3),(1,3),(0,0)),'constant')
retimg=np.zeros((dstH,dstW,3),dtype=np.uint8)
for i in range(dstH):
for j in range(dstW):
scrx=i*(scrH/dstH)
scry=j*(scrW/dstW)
x=math.floor(scrx)
y=math.floor(scry)
u=scrx-x
v=scry-y
tmp=0
for ii in range(-1,2):
for jj in range(-1,2):
if x+ii<0 or y+jj<0 or x+ii>=scrH or y+jj>=scrW:
continue
tmp+=img[x+ii,y+jj]*BiBubic(ii-u)*BiBubic(jj-v)
retimg[i,j]=np.clip(tmp,0,255)
return retimg
im_path='../paojie.jpg'
image=np.array(Image.open(im_path))
image2=BiCubic_interpolation(image,image.shape[0]*2,image.shape[1]*2)
image2=Image.fromarray(image2.astype('uint8')).convert('RGB')
image2.save('BiCubic_interpolation.jpg')
三. 实验结果：
四. 参考内容：
https://www.cnblogs.com/wojianxin/p/12516762.html
https://blog.csdn.net/Ibelievesunshine/article/details/104942406
④ 怎样图象放大但是不变模糊
插值算法与图像分辨率
尽管软件计算不能真正提高照片的分辨率，但使用好的插值算法提高照片的像素数，可以使输出效果大为改善。Photoshop通过某些插值的计算方法，在周围像素色彩的基础上用数学公式计算丢失像素的色彩，可以增加一些不存在的像素，使图像看上去平滑、干净。在Photoshop里插值算法有三种：最近像素插值算法（Nearest Neighbor interpolation）、双线性插值算法（Bilinear interpolation）、双立方插值算法（Bicubic interpolation）。
最近像素插值算法是最简单的一种插值算法，当图片放大祥吵时，缺少的像素通过直接使用与之最接近的原有的像素的颜色生成，也就是说照搬旁边的像素。它是三种内插值方式中质量最差的一种，用该方法修改后的图像边缘有锯齿，但速度较快。
双线性插值算法是沿水平和垂直方向对周谨歼侍围像素取样，然后建立像素颜色总数的平均颜色值。这种算法极大地消除了锯齿现象，在计算速度与质量两改慧个方面都居于三种方法中间地位。
双立方插值算法是在水平、垂直和对角线方向对像素取样，然后使用总颜色的加权平均值建立新像素，它是三者中运算速度最慢，但效果最佳的一种。
对于不同的对象，使用合理的插值算法可以达到理想的效果。分为以下两种情况：
1. 对于以单线条为主的图形，如屏幕上的对话框、菜单栏、图标、文字、线条稿等：
下图为使用Print Screen键直接拷贝屏幕的原始图像，及通过插值算法放大3倍。
⑤ 【图像缩放算法】双立方（三次）插值
当我们进行图像缩放的时候，我们就需要用到插值算法。常见的插值有：
用双立方插值得到的结果图笑冲搭上的某个像素是由原图上的16个像素值进行判坦加权平均得到。所以接下来关键点就是如何求解对应的16个像素位置以及各自的系数。
最后，我们将所有的像素点乘以其对应的系数并加权相碰拿加就得到我们最后所求点的像素值。公式如下：