剖分球体算法

⑴ 滚球法的推理过程

滚球法是一种计算接闪器保护范围的方法。它的计算原理为以某一规定半径的球体，在装有接闪器的建筑物上滚过，滚球体由于受建筑物上所安装的接闪器的阻挡而无法触及某些范围，把这些范围认为是接闪器的保护范围。这就是滚球法。

下面介绍在实际工程中是如何运用滚球法的：
由于使用避雷针做为接闪器时得到的保护范围，一般具有较好的轴对称性；而使用避雷带等其它接闪器时所得到的保护范围一般没有轴对称性，并且较为复杂，因此本文中只讨论以避雷针做为接闪器的情况。
首先规定以下几个条件：
① 滚球半径为R（根据GB50057-2010可选30、45、60m）。
②地面无论坡度θ多大判链携均为绝对平面。
③ 避雷针高度H指针尖竖直至地面的距离，针尖以下部分均视为接闪器。针杆均为竖直安装，即避雷针与竖直轴重合。
一、 常规唤姿单针（θ=0， H=R）这种情况的保护范围沿竖直轴具有完全轴对称性，任选一个通过竖直轴的轴线剖面如下图滚球球心的运动轨迹为：L(直线)+A(圆弧)+L(直线)注：A=π一个半径为R的球沿θ=0的地面滚动，当它遇到高度H=R的避雷针时被阻碍，让它翻过针尖继续向前滚。滚球离开避雷针后我们即可看到滚球无法触掘伏及的范围就是滚球外圆运动轨迹的内包络线与地面间的范围。这就是该剖面上的保护范围。由于保护范围沿竖直轴具有完全轴对称性，令该包络线沿竖直轴旋转得到的实体就是实际空间的保护范围。如果被保护的建筑物完全在该实体的范围内，则我们认为这样的保护是有效的

⑵ 求球公式的证明

用经纬网剖分球面，连结球心与球面上各分点，经纬网剖分地很细时，就可以将这个球看成由许多很细的圆锥构成，其中球心作为这些圆锥的公共顶点，设这些圆锥的底面积分别为s1,s2,s3,...,sn,则球的体积（4/3）pi*R^3可近似认为是(1/3)R(s1+s2+s3+...+sn),当n→∞时，(s1+s2+s3+...+sn)→球的表面积s,从而
（4/3）pi*R^3=(1/3)Rs，s=4pi*R^2.（微积分的推导方法也有很多种）
所谓导数，说明白一点即变化率。对于一个半径为R的球，给它一个微小增量
ΔR（ΔR视为一个整体），则此球体积变化量为（4/3）pi*（R+ΔR）^3-（4/3）*pi*R^3=4pi*R^2(ΔR+ΔR^2/好逗R+ΔR^3/R^2),这个量可看作两个同心且大小不一的球体之间的球壳的体积，当ΔR很小时，可近似认为此球壳内外表面积相等，将其在平面上“摊开”，则此“摊开”后的几何体高度为ΔR，从而其上下表面积均可认为是4pi*R^2(ΔR+ΔR^2/R+ΔR^3/R^2)/ΔR=4pi*R^2(1+ΔR/R+ΔR^2/R^2),当ΔR→0
时，此球壳表友山卖面积（即球的表面积）为4pi*R^2。（以上的过程是按照导数定义来的）
对于一个半径为r的圆,给它一个微小增量Δr（Δr视为一个整体）,则其面积变化量为pi*(r+Δr)^2-pi*r^2=2pi*r(Δr+Δr^2/(2r)),这个量可看作两个同心且大小不一的圆之间唯歼的圆环的面积，当Δr很小时，可近似认为此圆环内外周长相等，将其在直线上“摊开”，则此“摊开”后的“长方形”宽度为Δr，从而其上下长为
2pi*r(Δr+Δr^2/2)/Δr=2pi*r(1+Δr/(2r)),当Δr→0时，此圆环周长（即圆的周长）为2pi*r。（以上的过程是按照导数定义来的）

⑶ 球体的体积为什么不是圆的面积乘以圆的周长的一半是有损耗吗初三学生求简单讲解~~我知道球体体积公式

球的体积公式是根据“放在同一水平面上的两个几何体，同时被同一个在任意高升圆度上（注意是任意）的水平面截得的面积都相等，这样两个几何体体积相等”的原理，通过等体积变换证明得出的！如果是圆的面积乘上半稿笑扒周长，就相当于是底面为圆高为半周长的圆柱体积了，显然键昌这样的圆柱体与球的体积不符合上述的祖桓等体积原理的！

⑷ Mesh is Art（2）：从富勒球结构说起

前文我们大概讲述了网格的定义、在不同领域的应用、基本元素以及它的数据结构。其中数据结构那一小节里欲言又止，是因为想详细地弄清楚一种数据结构的特性就必须有大量的实际操作经验，本文就来通过一个实际工程案例来讲讲网格的一些基本概念以及它们在实际工程中是如何体现的。

上一篇我说过，网格是一种思维，为了更好地佐证这一点这次我就拿个实际案例来使大家感受这句话。据说，最高效的学习方法是按照“提出问题→作出假设→反复尝试→得出结论”这样的过程来执行的，我也看多过很多文章写作方式是在模拟这套模式，这次我也来试着写一下，希望能为设计师和工程师们带来启发。

我想一提到这个人所有人第一反应就是他的轻质圆形穹顶结构（具体点是一个三角网架搭建起来的球形穹顶结构）。我不是结构师，在这里我不过多探讨这个结构是否合理或者怎么施工做到的，也没有查阅过这个结构的相关资料，今天我们只从网格的角度上来讨论这个结构的形。

我当时看到这个结构，脑子里就产生了小问题， 问题一，这个球体上的三角形是全等三角形吗？问题二，这个球体上的三角形是均匀的吗？ “均匀”这个词比较模糊，换言之，三角形都有顶点对吧，每个顶点可能连接着不同数量的三角形，在这里我们把“均匀”描述成，每个顶点连接的三角形的数量是相等的吗？如果不相等，那怎样的分布看起来会比较好？

这两个问题的意义很是大的：如果这个球面上的三角形全等，意味着它们的边长都相等， 意味着在施工上可以批量加工等长的杆件 ；如果三角形都是均匀的， 意味着施工上的节点链接三角单元的数量是固定的，那么可能只需要使用固定数量且角度可变的连接节点即可。无论怎么说，这两个问题关系着大量人工作业的成本 。讲真，这两个问题要是深究起来，没有很好的离散几何底子是不太容易算出来这两个问题的答案的。不过好在计算机发达的今天，我们可以借助三维建模软件去感性地思考这些问题，当然，如第一篇前言所说，我无法精准地证明这件事，但是对于设计师而言，我想有一个近似确定的概念就够了（严格追究下去不是我们的工作）。不过不管怎么说，我们得先有一套描述问题的方法，先辩仿跟大家来“约定俗成”一些概念，以确保后面说我的想法时能更加方便理解。

首先，前面照片也看到了，这个球壳并不是真的球，其实准确的说是一个球体被一个平面切割后保留的部分。那么它与平面切割的交界处就产生了边界，那么我们称这个边界上的点（可以认为是工程上的节点，网格上叫顶点）为 边界顶点 ，在边界上的（工程上的）杆件称为 边界边 ，其他就是 内部顶点和内部边 ，模燃这点概念还是很好理解的，下面是相对严格一些的定义。

在一个网格中，如果的一条边只属于一个面，称这条边为 边界边(boundary edge) ；如果一个顶点属于边界边则称此顶点为 边界顶点(或边界点，boundary vertex) ；至少包含一个边界顶点的面称为 边界面(boundary face) 。 非边界的边、顶点和面分别称为 内部边(internal edge)、内部顶点(internal vertex)和内部面(internal face) 。网格中具有携码纤公共边的两个顶点互为 邻接顶点 。

上文中我们经常提到“某个顶点所连接三角面的个数”，这段话非常长而且非常绕口，我们直接称其为 网格顶点的价(Valence) 。这个概念非常重要，它经常作为判定网格质量的依据之一。更严格的定义是： 顶点的价(Valence)是指与该顶点通过公共边相连的顶点个数 。如前文所说，在幕墙领域，价数统一，意味着施工上的节点链接三角单元的数量是固定的，那么可能只需要使用固定数量且角度可变的连接节点即可（这里再重复一遍）。

通过图4我们会发现，一个网格顶点的价变化多端，但是凭借我们强大的识别能力一眼就能看出，这张图中，价为6的顶点是“主流”，价为5和7的顶点是“非主流”。为了区分这些顶点，我们把“主流”顶点称为正则顶点，“非主流”顶点称为奇异顶点。这在多通四边管网格的交错点会特别明显地体现出来，如图5所示。

​人是很聪明的动物，儿时玩过“大家来找茬”游戏，这时候很能派上用场，我想再复杂的网格，你也一眼就能识别出哪些顶点是奇异顶点，所以我想我也不用给出严格定义了，一眼就能看出来，试试图6。

当然网格还有其他重要的概念，比如非流行、法向等等，我们放到后面再将，现在应该回到我们的富勒球结构问题了。

数学老师从小教导我们，研究一个问题，必须要研究到这个问题的最本质。通过上文我们了解了网格这么多的概念，不难想到，这个问题的最核心问题是 奇异点的数量和分布 。我们先抛个问题，即 一个球体的三角剖分可能没有奇异点吗 （把一个几何体划分成若干三角形组合的图形叫做三角剖分）？答案当然是否定的，至少我没见过。对于我们这些没有代数拓扑和微分几何知识的人来说，让我们证明这个问题是不可能的。但是我们可以想象啊！

大家可以跟着我来推理，Ummmm， 网格没有奇异点→网格都是均匀的三角形→均匀三角形的话，那么应该是近似正三角形→近似的正三角形每个角都是近似60度的→正三角形要想密铺的话一定是由六个正三角形拼起来→六个三角形拼起来就是个正六边形。 OK，到这就关键了，我们可以把问题转化为， 能否只用六边形去密铺一个球体！ 这显然是不可能的啊，要不然足球怎么不是全六边形的？

上面的推理太快，再慢点说，看到图4时很多人发现了，顶点价为6的三角形是占主导的，这是巧合吗？当然不是，我们先假设一堆三角形的顶点交于一点，要想保证每个三角形三边的长度都比较均匀、近似相等，那这三个三角形都应该是趋近于正三角形的，又因为相交三角形汇于一点实现了密铺，则它们的角度之和是360度，平摊下来，每个角度都是趋近于60度的，那么它们的顶点价数就是趋近于6，尽管我没法从数学上证明这一点，但就是这个样子。所以，一般来说，控制过网格边长所产生的三角网格的正则顶点价数就是6（除非是仅由奇异顶点构成的图形，比如二十面体）。

既然只用六边形拼不出一个球，那怎样才能拼出一个球形呢？建筑学老师教导过我们，要学会利用前人的成果。数学家已经替我们证明了， 12个五边面和20个六边面构成的足球啊 ，既均匀又合理（具体的证明去谷歌吧）。但是足球这个形状还不是最本质的，我们还可以继续剖析，因为五边形和六边形都不是最最基本的几何图形。刚才也提到了，六边形可以看作是六个三角形拼出来的图形，这里面的顶点都是正则的，所以奇异点不可能在这，那么奇异点只可能在五边形里了，OK，那我们顺次连接五边形的中点看看能得到什么（图8）。

现在我们在每个大的三角面里面都填上小三角形（Loop细分算法），并将它们用拉普拉斯圆滑算法处理一下，如下面的动图所示（这两个算法不用较真，后面的文章会说）。因为小三角形都是在大三角形面上填上去的，所以无论细分多少次，奇异点的数量都不会变，每次细分都会继承原始网格的奇异点。

图13是1928根杆件的长度分布表，然后将杆件的长度分布进行着色呈现出如图所示的结果，最短的杆件和最长的杆件误差在百分之17.7，这个数虽然很大，但是杆件分布范围非常规律，在施工上完全可以按照图中的颜色进行分组加工。

所以最终的结论是，杆件长度分布非常规律，施工上可以采取分组加工的方式进行标准化生产，节点上除了奇异点处的节点是五通节点，其他节点均为固定的六通节点。

相信通过这个项目大家理解了网格的这些概念，尤其是奇异点的重要性。当然这还只是开始，还有更多的骚操作和特性值得去探索。 很多建筑问题的本质都是几何问题，而网格则是将工程问题转化成几何问题的纽带。关于网格更多的内容还请继续关注：AlbertLiDesign

​

⑸ 哪位大神 能够用 ICEM 划分这个几何体，特别是里面的球体。是相切的关系。

1、首先导入几何。本例的几何是在spaceclaim中随便画的。导入的几何如图1所示。

图1 原始穗判几何 图2 创建块并切割
2、划分基础块并进行切割。按几何特征将其切成三段。圆柱、两个半球。如图2所示。
3、进行块的关联，并对齐。如图3所示。

图3 关联对齐后的块 图4 选择face进行O切分
4、O型剖分。最重要尺盯的一步，注意我选择的Face。注意不能选任何显式的Face，所选择的两个Face是隐藏的。在其大概位置点击就能选取。点中键确认选择，然后选取所有的块，进行O型切分。
5、最终块如图5所示陵族和。设置网格尺寸，预览或生成网格。最终网格如图6所示。

图5 最终块 图6 内部网格

⑹ 篮球里什么是二三联防，进攻方最好的剖解方法是什么

联防和紧逼防守是两的不j同的概念 联防又a叫区k域防守，是指队0员在防守站位的时候不v是针对进攻队2员进行盯防，而祥做是保持整体的防守阵型守住特庆宴乎定的区d域，最常用的有2-0-2联防、2-2联防或0-2联防，2-2联防一v般的站位方7法是8个o队8员呈弧形站在罚球线稍以5内2，左右两侧的队8员负责防守底线到36度角的区l域，中7间的队5员负责正面区s域防守，这三n名队7员只能在自己g负责的防守区p域内1有限的活动，而另外两名队4员则在外线进行骚扰性防守，他们的活动范围要大l很多，但他们和里面的球员需保持相应的距离，里面的球员也x要保持对应的距离，否则阵型容易破。而破联防的方4法其实也y不x难，我们可以6看出来联防的重心1偏向内1线，对于z外线的防守就显的心5有余而力k不g足，因此进攻队8员可以5通过不v断的挡拆-突破分2球来使得队1友n在外线获得空位投篮的机会，也f可以1通过吸引4防守然后队6员空切3来打破联防阵型，当然前提是你的外线命中5率要过得去，否则进攻队7员空位投不q进球，其他的队3友w基本上i抢不y到篮板，因为7内7线都被防守球员占据。一y旦进攻方3的命中8率好，那么a防守一r方6势必要把阵型往外拉干w扰你的中6远距离投篮，这样内6线的防守球员就会失位，这样进攻方2就可以7依靠突破或者空切2得分1，这就相当于h破了d对手3的联防。 紧逼防守是一a种主动性的防守，一k般结合着盯人a防守，它是指每个n防守球员都紧贴自己t所防守的球员，使其接球和进攻难度加大h，而对进攻方0的持球队2员进行压迫性防守或者包夹，这样可以5造成他运球或传球失误，以2此来为4己u方0获得进攻机会，但事实上r这种防守方1法在比5赛中5不j是经常的采用，因为7它要耗费防誉悉守一z方5相当大s的体力u。在对方3进攻顺畅而己j方8进攻不s利的时候可以1突然使用紧逼防守来打乱对方6的节奏，造对方1的主动失误，或者在比6赛的要紧关头也c可采用这种方7法。当然进攻方4可以4通过快速突破和快速分6球，快速跑位来破解，总之j就是一h个x快字。 无m论什8么w防守方6法肯定都有自身的弱点，在球场上z只有通过互1相变换，互2相结合才r能发挥它们的最大w作用！！ 2-0-2联防的话可把球打到88度,那是防守薄弱的地方2,2-7的话,就可找一n个y人j提到罚球线进行策应,注意内4外配合,inside-out,还有就是5分3球了f,这个v很关键。紧逼的话应队8友a间拉开s距离,多传球少8运球,尽量减少2横传求,运球队7员不w要往边线的地方2带球,避免被夹击。其实说起来简单,理论要能成为8实际,还要费一w番功夫z sb雳zкu浮x擗x擗d埽ok

⑺ 球体上联剖与对称四极剖面装置的视电阻率异常

为了获得联剖和对称四极剖面装置在球体上的ρ_s理论曲线，应先给出具体计算公式。对于MN→0情况，只需对公式（1⁃3⁃85）的电位U₁沿观测方向S（S可以是X方向，也可以是Y方向或其他方向），求一次微商并取负号，便可得观察点处的电场强度E₁。然后再由本章第一节所给出的相应 ρ_s表达式，即得ρ_s计算公式。

对于MN≠0情况，只要写出M点和N点之间电位差的表达式，然后再代入本章第一节的相应ρ_s表达式，也可得到ρ_s的计算公式。

图2⁃1⁃14 球体上联剖和对称四极剖面装置的计算简图

如图2⁃1⁃14所示的MN≠0情况由球外一次场电位表达式（1⁃3⁃85）出发，当只取n=1的一项时，可得球体主剖面上

和

的近似计算公式为

地电场与电法勘探

式中

地电场与电法勘探

（一）低阻球体上的

、

和

剖面曲线

在图2⁃1⁃15中，给出了按（2⁃1⁃40）式算得的不同极距（AO）之联剖

与

曲线，图中也画出了

）曲线。对联剖面曲线面言，无论哪种极距（AO），其

和

曲线在球心正上方（或球顶上）均有一个交点（

=

），并在交点左边

＞

，右边则

＞

。交点处的视电阻率值ρ_s＜ρ₁。通常将这种性质的交点称为“正交点”或“低阻交点”。由图可见这时

的极小值出现在球体右边，而

的极小值则出现在球体左边。

对于对称四极ρ_s曲线而言，由图可见，在球心正上方有

＜ρ₁的极小值异常。

下面根据地下电流分布的规律对以上异常加以解释。如对AMN装置的

曲线而言，当装置位于球体左边并离球体很远时，球体对A极供入地下电流分布状态的畸变作用可忽略不计，相当于均匀介质情况，此时测点处的 j_MN=j₀。故

=ρ₁。当装置向右移动时，因低阻球体“吸引”电流，所以使得位于供电电极右边的 MN 处之 j_MN增大（j_MN＞j₀），故

开始上升（

＞ρ₁），并在某一位置取得极大值。随着AMN继续向右移动，由于球体是在地下，因而球体对位于地面的A极流出电流的“吸引”作用是向下的，这样MN处的电流密度又逐渐减小，致使 j_MN＜j₀，于是

＜ρ₁。j_MN的不断减小一直继续到MN极越过球顶以后，并在某一位置（此位置与极距 AO 大小，球体埋深以及球体半径大小有关）上达到最小，即j_MN≪j₀。致使这里

有极小值。

图2⁃1⁃15 低阻球体上联剖和对称四极装置的ρ_s剖面曲线

μ₁₂=0.05；h₀=1.5r

以后，随着装置的右移，球体对A极电流的“吸引”作用开始减弱，于是j_MN有所增大（仍小于j₀），

开始向ρ₁靠近（仍小于ρ₁），直到向右离开球体很远（实际上≥2AO就可以了）时，因j_MN=j₀，所以

又等于围岩电阻率ρ₁了。

对于

也可用相同方法对曲线作定性解释，这里不再重复。

当然，球体的作用也可用一个等效的电流偶极子来代替。那时用正常电流场（点源A的场）和异常电流场（偶极子的场）的叠加方法对曲线进行解释也可以，只是要注意偶极距的方向随A极相对球体位置的不同将发生改变就行了。

下面再来看ρ_s曲线的形态特征和异常大小与电极距AO（或

）的关系。

由图2⁃1⁃15可见，当电极距较小（AO=2r₀）时，

和

曲线组成一个横8字（∞）形，球顶上有“正交点”，两侧有极小点。当AO加大到球心埋藏深度的2～3 倍时，如AO=4r₀情况，

和

曲线除在球体两侧有两个主极小点外，在离球体较远的两边还出现两个次级小点。它们的出现，是由于供电电极A或B通过球体上方时，球体向下吸引电流形成的。因此

曲线的次级极小点在球体右侧，而

曲线的次级极小点是位于球体左侧。并且次级极小点的水平坐标与

和

曲线交点间的距离大悄答纳约等于AO（或BO）长度。由图还可举清看出，AO=4r₀与AO=2r₀的曲线相比，

和

二条曲线的分异性变差了，两个主极小点的距离也变小了。

随着极距的进一步增加，如AO=8r₀，即AO＞5h₀时，次级极小点已离开球体很远，且极小值也变得很小。与此同时，

和启没

曲线的分异性进一步变差，两条曲线以及两个主极小点已趋于重合，两条曲线几乎变成一条曲线，这时球体附近的电流场已近似于均匀场，实际上与相同条件下中间梯度装置的ρ_s曲线已没什么差别了。

对于对称四极剖面的

曲线而言，如图所示，随着极距的增加，曲线由宽变窄，由缓变陡，当极距很大

时，

曲线亦即等于中间梯度的ρ_s曲线了。

可见，大极距的联剖与大极距对称四极ρ_s曲线，与中间梯度在相同条件下的ρ_s曲线是等同的。因此，在中间梯度装置中用来确定球心埋藏深度的半定量解释方法，这里仍可利用。

下面讨论异常大小与电极距的关系。如用下式表示相对异常：

地电场与电法勘探

则由计算结果图2⁃1⁃16可知，当AO在0～2r₀范围内增加时，异常随极距的增加明显上升，但当AO超过球体半径三倍时，则异常便接近饱和状态。故在实际工作中，当寻找近等轴状矿体时，为了获得明显的ρ_s异常，对h₀≤2r₀的情况，只要采用大于三倍矿体半径的电极距（AO）就够了。

图2⁃1⁃16 球体上联剖与对称四极剖面ρ_s异常与电极距的关系

μ₁₂=0.05

对于对称四极剖面而言，如图2⁃1⁃16所示，它取得接近饱和值时的异常所需要的极距，约为球体半径的五倍以上。

（二）高阻球体上的

、

和

剖面曲线

如图2⁃1⁃17所示，高阻球体上的联剖和对称四极ρ_s曲线与低阻球体情况所不同者，乃是在球顶上联剖的

和

曲线有大于ρ₁的“反交点”，即此时在球体左边为

＞

，而在球体右边则为

＞

。

曲线在球顶上有

＞ρ₁的极大值。

图2⁃1⁃17 高阻球体上联剖与对称四极装置的ρ_s剖面曲线

μ₁₂=0.05

由图可见，随极距

的增加，ρ_s曲线出现次级极大点，并向远离球体的方向外移，而联剖主极大点的间距却减少，异常范围变窄，

和

二条曲线的分异性变差，最后趋于重合。

由图还可看出，随着极距的增加，联剖和对称四极的ρ_s异常也变大，最后趋于渐近饱和值，并与中梯的ρ_s异常相等了。

高阻球体上联剖和对称四极ρ_s异常的特征及变化规律，也可用电流密度分布的概念或用等效电流偶极子的作用进行定性解释。由于解释方法与低阻球类似，故不赘述。

综上所述，根据联剖

和

二条曲线的交点坐标，可确定球体中心在地面的投影位置，并由交点的性质，可指明球体相对围岩电阻率的高低。“正交点”说明球体为低阻，“反交点”则为高阻。对于对称四极

曲线而言，根据其极小值点或极大值点的坐标，可确定球心在地面投影位置，并能指出球体是低阻或是高阻。对比联剖和对称四极在球体上的ρ_s异常可以看出，不论是高阻球还是低阻球，就异常变化幅度而论，除极距很大情况外，一般联剖异常总较对称四极为大。

最后指出，测量极MN的大小对ρ_s异常是有影响的，其作用是随着MN的增大使异常减小，曲线变平滑。计算结果表明，MN＜2r₀时与MN→0情况相差不多。当MN≥2r₀时，则异常明显减弱。

⑻ ANSYS如何建立球体并将其表面分别用三角形和quadratic patch剖分

用sph4命令建模，裂侍毁再用工作平面切割，然后分网成六面体单元。例谈裤如肆备：

fini

/cle

/title,lovz

/prep7

et,1,70

mp,kxx,1,100

/pnum,volu,1

sph4,,,0.1

vsbw,all

wprot,,90

vsbw,all

wprot,,,90

vsbw,all

esize,0.01

vmesh,all