數學壓縮映像

Ⅰ 介紹函數不動點

函數的不動點，在數學中是指被這個函數映射到其自身一個點
不動點原理
不動點原理是數學上一個重要的原理，也叫壓縮映像原理或Banach不動點定理，完整的表達：完備的度量空間上，到自身的一個壓縮映射存在唯一的不動點。用初等數學可以這么理解：連續映射f的定義域包含值域，則存在一個x使得f(x)=x 不動點的概念可以推廣到一般的拓撲空間上。 假設X是拓撲空間， f:X→X是一個連續映射， 且存在x∈X， 使得f(x)=x, 就稱x是不動點
不動點應用
1 利用f(x)的不動點解方程（牛頓切線法）
2 利用f(x)的不動點求函數或多項式的解析式
3 利用f(x)的不動點討論n-周期點問題
4 求解數列問題（求解一階遞歸數列的通項公式）
5 求解一階遞歸數列的極限

Ⅱ 數學分析關於壓縮映像原理的一道題目！！

如圖所示，用到中學的遞推數列求通項公式的方法也可以哦

Ⅲ 是壓縮映像原理還是壓縮映射原理

是壓縮映像原理

Ⅳ 函數問題。證明：若f[f(x)]存在唯一不動點,則f(x)也存在唯一不動點

設a是f(f(x))的唯一不動點，f(f(a))=a。

設f(a)=b，則f(b)=f(f(a))=a，f(f(b))=f(a)=b。

所以b也是f(f(x))的不動點。由唯一性，得到b=a，所以f(a)=a，從而a是f(x)的不動點。

如果f有其它的不動點c，則c也是f(f(x))的不動點，由唯一性得c=a，所以a是f(x)的唯一不動點。

原理

不動點原理是數學上一個重要的原理，也叫壓縮映像原理或巴拿赫不動點定理，完整的表達：完備的度量空間上，到自身的一個壓縮映射存在唯一的不動點。

用初等數學可以這么理解：連續映射f的定義域包含值域，則存在一個x使得f(x)=x。不動點的概念可以推廣到一般的拓撲空間上。 假設X是拓撲空間， f:X→X是一個連續映射， 且存在x∈X， 使得f(x)=x, 就稱x是不動點。

Ⅳ f(x)=x的根是f(x)的不動點,怎麼理解這句話,它的幾何意義是什麼

不動點
函數的不動點，在數學中是指被這個函數映射到其自身一個點。例如，定義在實數上的函數f，
f(x) = x2 -3x + 4，
則2 是函數f的一個不動點，因為 f (2) = 2。
也不是每一個函數都具有不動點。例如 f(x) = x + 1就沒有不動點。因為對於任意的實數，x永遠不會等於x + 1。用畫圖來說，不動點意味著點 (x,f(x)) 在直線y = x上，或者換句話說，函數f的圖像與那根直線有共點。這個例子的情況是，這個函數的圖像與那根直線是一對平行線。

不動點原理是數學上一個重要的原理，也叫壓縮映像原理或Banach不動點定理，完整的表達：
完備的度量空間上，到自身的一個壓縮映射存在唯一的不動點。
用初等數學可以這么理解：
連續映射f的定義域包含值域，則存在一個x使得f(x)=x

不動點的概念可以推廣到一般的拓撲空間上。

假設X是拓撲空間， f: : X→X是一個連續映射， 且存在x∈X， 使得f(x) = x, 就稱x是不動點。

Ⅵ 證明壓縮映像原理

f的絕對值不大於a
若a=1
則f的絕對值不大於1
則f在[-1，1]之間啊
則f存在不動點。

Ⅶ 壓縮映射原理求極限

壓縮映射原理是泛函分析中最基本的存在性定理.本文通過對考研中數列極限的典型例題的解析，歸納總結出適合壓縮映射原理求極限數列的一般形式，展示壓縮映射原理在解決遞推數學列極限中的優越性.

關鍵詞: 壓縮映射原理 極限 遞推數列

壓縮映射原理是著名的波蘭數學家Stefan Banach在1922年提出的，它是整個分析科學中最常用的存在性理論，應用非常廣泛，如隱函數存在性定理、微分方程解的存在唯一性.這里我們主要研究壓縮映射原理在數列極限中的應用.許多參考資料都講過這個方面的應用，如文獻[1-3].在前人的基礎上，筆者結合自己的教學體會，系統歸納總結了壓縮映射原理在一類遞推數列極限中的應用，進一步展示其優越性.

1.基本概念和定理

為了結構的完整和敘述的方便，我們給出文獻中的幾個概念和定理.

定義1.1設(X，ρ)為一個度量空間，T是X到X的映射，若存在0<α<1，使得,坌x，y?X，有ρ(Tx，Ty)?αρ(x，y)，則稱T是X到X的一個壓縮映射.

定理1.2(壓縮映射原理)設(X，ρ)為一個完備的距離空間，T是X到X的一個壓縮映射，則T在X上存在唯一的不動點，即存在唯一的x?X，使得Tx=x.

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事實上，這兩個結果在一般的實數R上也成立，有如下結果.

2.應用

類型一:直接應用定理型

下面我們看一道競賽試題.

由於壓縮映射原理在許多教材中沒有給出，但其實用性很強，因此在教學過程可以補充給出，讓學有餘力的學生自己查閱相關文獻.這類題目常見於考研試題和競賽試題，只要出現迭代數列形式，就可以嘗試利用壓縮映射原理來考慮，問題的關鍵是確定函數是否為壓縮函數，同時一定要注意函數的定義域.我們可以把這類問題歸結為如下形式.

類型二:先轉化再應用型

這類問題中雖然沒有明顯的迭代條件，但可以先考慮通常的方法，如單調有界定理、柯西收斂逐准則及夾逼定理等，也可以嘗試往壓縮映射原理條件上去湊，或許有意外的收獲.以上幾個例子都是數列極限中常見的典型例題，但幾乎所有的教學參考書籍都沒有提及利用壓縮映射原理解決該問題，事實上，利用該方法解決上述例題更簡潔.數學分析中很多問題的解決都得益於把已知條件往解決方法原理的條件上「湊」，這種「湊」是一種技巧、策略，它是解決數學分析中問題的常見策略，初學者需要仔細體會.

數列極限的求解方法多種多樣，每種方法都有其條件要求和適用范圍，需要靈活運用.壓縮映射原理也不例外，在應用是時一定要注意條件的驗證，同時要注意其使用范

Ⅷ 如果一個函數的導數幾乎處處小於1，那麼這個函數是壓縮映射嗎

有這樣一個定理：若函數f(x)在[a,b]上
可導
且|f`(x)|<1,則函數f(x)是壓縮映射
證明如下：
對任意的x,y∈[a,b]，且x≠y，由
微分中值定理
有：存在ζ，使|f(x)-f(y)|=|f(ζ)||x-y|<|x-y|
所以f(x)是一個壓縮映像。

Ⅸ 什麼是不動點

動點,是一個函數術語,在數學中是指「被這個函數映射到其自身一個點」.
不動點原理是數學上一個重要的原理,也叫壓縮映像原理或巴拿赫（Banach）不動點定理,完整的表達：完備的度量空間上,到自身的一個壓縮映射存在唯一的不動點.用初等數學可以這么理連續映射f的定義域包含值域,則存在一個x使得f(x)=x 不動點的概念可以推廣到一般的拓撲空間上.假設X是拓撲空間,f:X→X是一個連續映射,且存在x∈X,使得f(x)=x,就稱x是不動點.

Ⅹ 大學生數學競賽

解：知道「壓縮映像」原理嗎？

不管怎樣先介紹一下壓縮映像原理：

對於任一數列{xn}而言，若存在常數r，使得對於任一的n∈N，有：

|x(n+1)-x(n)|≤r|x(n)-x(n-1)|,0＜r＜1.(括弧里的數表示下標)

則數列{xn}收斂。

證明如下：

因為|x(n+p)-x(n)|≤∑|x(k)-x(k-1)|（n+1≤k≤n+p）

≤∑r^(k-1)|x(1)-x(0)|

=|x(1)-x(0)|·[r^n-r^(n+p)]/(1-r)

二當n趨向於正無窮時，[r^n-r^(n+p)]/(1-r)趨向於0。

由柯西收斂准則知{xn}收斂。

下面證明本題：

因為x(n+2)-x(n+1)=ε{sin[x(n+1)]-sin[x(n)]}

由中值定理有：ε{sin[x(n+1)]-sin[x(n)]}

=ε·[x(n+1)-x(n)]cos(x′) (x′介於x(n)和x(n+1)之間)

所以有|x(n+2)-x(n+1)|=ε·|x(n+1)-x(n)||cos(x′)|

≤ε·|x(n+1)-x(n)| 0＜ε＜1

利用壓縮映像原理可知收斂。

即limξ存在，設limξ=x。

那麼就有x=a+ε·sin(x),即x是方程x=a+ε·sin(x)的唯一根。

若有兩個根則與極限唯一性矛盾。