反問題新演算法

① 聯合反演的定義

正演問題是根據一個模型計算其響應。反演問題則希望能夠從觀測到的響應中推導出實際模型。這正是解釋的基本功能，即根據地震觀測確定地球內部物理特性的分布（問題的參數）。解釋時通常採用反演演算法。

由於地球物理數據局限性和不精確性，涉及方程組解常常不存在精確的唯一解答或不能用穩定收斂的數值方法求得其精確解。這時只能依據某種推測求出反問題的一個可以接受的解估計，常把這種求反問題的解估計統稱為廣義反演方法。

反演並沒有唯一解，也就是說，不同模型可能得到同一種觀測結果。原因可能是反演方法不完善，也可能是存在不確定性因素。不確定性存在的結果是：無數個模型都常常能得到同一種觀測結果，這一點會使對反演的作用產生懷疑。不過，加入約束條件通常可以限制物理特性參數的取值范圍，這樣可將局限於一個很窄的范圍內。仔細地建立模型一般可消除大部分的不唯一性。

關於聯合反演的定義，不同的專家學者有不同的定義。美·謝里夫認為是綜合應用各種類型的數據，得到地下地質情況更合理的解釋，減少解釋的多解性。

研究認為，非震—地震間的聯合反演是綜合應用不同岩石物性的地球物理數據（在盆地勘探初期，利用重磁電、地質、地震、測井等資料），得到地下地質情況更合理的解釋。為滿足所已有的地球物理數據的最終大地模型，利用地震資料解釋作為約束條件，模擬及主觀解釋以建立與各種地球物理資料數據一致的地質模型，利用不同物性之間有相關的內在聯系，平面推斷反演，反復迭代、核實驗證，使界面模型解釋趨於合理，接近實際。方法有同步反演、順序反演、剝離法反演、伸展反演等。

根據合肥盆地地質特點，本課題應用順序反演方法。其定義：一種單獨的數據結果為另一種數據反演提供初始模型或作為另一種數據輸入。此次採用順序反演法中的一種-剝離法，其應用條件：上下界面物性差異顯著；剝離的界面已由另一種方法確定。根據本區地球物理場特徵，揭示各主要界面間存在比較大的物性差異，符合了該方法的適應條件。

（一）重力填層正反演方法的應用

布格重力異常是綜合異常，是地下所有剩餘密度體所產生的重力值之和。為了獲得深部目標層的構造所產生的重力異常，須從布格重力異常中消去目標層系以外的所有已知的剩餘密度構造體所產生的重力值。為此，項目組開發應用了剝（填）層技術。

所謂剝層方法，就是利用已知構造的深度和密度（差），用重力正演計算出構造層產生的重力異常值，原始布格重力異常值與構造層重力異常值之和或差值，消除了這些構造體影響後的剩餘重力異常，該異常的特徵反映了未知密度體的特徵。

根據不同的地質——地球物理特徵，剝皮可採用剝層與填層兩種方式。剝層方式是通過重力正演和疊加的計算、將已知構造層物質變為空氣（密度為零）的等效過程。通常，當密度構造由淺到深，形態變緩時，採用此種方式較為適宜；填層方式雖同樣是重力正演和疊加計算，但其最終是使構造面之上物質的密度轉換成構造面之下物質的密度。在採用這種方式時，即使已知的深層構造較淺部構造更為復雜，亦能看出填層後消除已知構造的效果。合肥盆地的地質構造特徵是深部構造較淺部構造更為復雜，所以採用填層方式更為適宜。

鑒於實際分布中地層經常會有缺失，即淺部的密度為σ₁的地層直接與深部的密度為σ_n的地層相接觸，而缺失了密度為σ₂，σ₃，等地層，其時，界面的密度差應為Δσ_1，n=σ_n-σ₁，但為了便於正演計算，利用純數學的等效原理，界面的密度差可改為：Δσ_1，n=σ_n-σ₁=σ_n-σ₃+σ₃-σ₂+σ₂-σ₁=Δσ_3，n+Δσ_2，3+Δσ_1，2。

由此可見，當進行重力填層計算時所說的某地某深度有某地層時，有可能實際並不存在該地層（如上述的σ₂和σ₃地層），這些實際缺失地層的出現，是由地層密度差通過純數學分解而得出來的。

根據重力場的理論與實踐可知，地面各點的重力觀測值與質量源的距離的平方成反比。在空間域中，密度界面埋藏較淺時，重力異常的特徵為場值大，異常梯度陡；而深源場則表現為場值小、異常梯度緩。根據上述原理，利用滑動平均法，可以分離不同深度界面間的場，即實現背景場的分離。

在反演合肥盆地結晶基底時，首先利用滑動平均法，去掉結晶基底面以下的重力異常。背景場分離掉以後，局部異常是結晶基底以上各密度界面的綜合反映，要反演結晶基底，首先要分離出結晶基底的重力異常。由於結晶基底以上各個密度界面，已通過地震資料解釋清楚，利用重力填層原理，即可分離出結晶基底層的重力異常；利用長方體U函數法，反演求的結晶基底的深度。

（二）線性剖面聯合反演

勝利油田物探研究院於2001年初引進了美國的LCT重磁震處理解釋一體化軟體系統，為合肥盆地的重磁電震聯合反演提供了技術保障。

根據探區實際情況，此次為獲得比較合理的地質模型，採用了以下反演基本技術路線：建立地震地質模型—計算重、磁等場數據的理論正演曲線—理論正演曲線與野外實測數據進行對比—修改和校正地質模型，修正模型的物性參數，再次擬合，反復多次，當兩者基本重合時，所設計的地質模型可較好地反映地下地質結構和地層物性特徵。

（三）平面外推—統計推斷聯合反演

概率-統計方法是以數理統計、概率論和隨機過程等理論為工具，根據相當數量的反演問題解具有概率性質而提出的一些數理統計的模式識別方法。

聯合反演的目的在於，利用迭代方法，根據觀測到的地震記錄推斷產生這些記錄的物理特性參數的空間分布。反演常被線性化，即假設各個參數滿足線性關系。但是，許多問題本質上是非線性的，通常的做法是利用逐次線性近似來解決。首先給定一個起始模型（可以是均一的半無限空間）。然後利用誤差場來修改模型，使誤差場變小，再利用新的誤差場修改模型，不斷循環進行這個過程，目的就是縮小誤差場。重復迭代直到誤差場小於某個門限值或相繼兩次迭代結果的誤差小於一個門限值為止。

1.方法原理

根據場論，重磁異常函數f（x，y，z）（g（x，y，z）或T（x，y，z））作為物理場位函數，顯然

合肥盆地中新生代構造演化與油氣地質特徵

在其定義的空間域D內是無限連續可微的，並可展成三維空間的泰勒（B.Taylor）級數：

合肥盆地中新生代構造演化與油氣地質特徵

特別當（x₀，y₀，z₀）=（0，0，0）∈D時，f（x，y，z）又可展成三維空間的麥克勞倫（C.Maelaurin）級數。

根據調和函數性質，在區域緯度變化不大的條件下，研究三維空間的f（x，y，z）的問題又可簡化為常用的研究二維空間的f（x，y）的問題，其泰勒、麥克勞倫級數展開為

合肥盆地中新生代構造演化與油氣地質特徵

勘探初期當缺少物性參數或物性參數樣品不夠多的情況下，怎樣進行重磁震聯合反演呢?

重磁力分別可用表達形式相似的庫侖定律、萬有引力定律計算，其對應的重磁場、重磁位盡管有標量與矢量之分，但用統一的場論在同母體分布的條件下也可將二者用泊松公式統一起來，用重力場的引力位勢梯度表達磁力場的位勢，反之亦然。

等效地質體的假定：在誤差允許並保持目標層重磁異常及其反演界面深度不變的基礎上，將反演上（下）界面當作由目標層上擠（下壓）而構成的縱向地層厚度為單位厚度、橫向均質體積元（面元）為可數個的等效地質體——特殊等效界面，使得按目標層體積元連續計算與按特殊等效界面面元離散計算的正演重磁異常及反演上（下）界面深度是一致的。一是可把特殊等效界面的「密度、磁化率」稱作綜合反映目標地層密度與磁性的等效密度、磁化率；二是可把目標層簡化成特殊等效界面可數個面元（網格）的建模反演研究。對於以上假定，從萬有引力、庫侖定律出發，不難建立其對應的方程組，以證明等效地質體的存在。當目標層層厚大大小於頂、底深度時，等效密度、磁化率則可視為目標層層段厚度加權的密度、磁化率。

獨立母體分布的假定：泛指被分離的地質異常體應屬同一概率分布的假定；為的是保證重磁異常場原函數、逆函數及其復合函數在其定義域內具有無限連續可微的特性，以便將其在空間域內予以級數展開，進行場源分離，以及實施重磁震反演建模。一般來講，依坳陷、凹陷、窪陷等順序，利用重磁差值趨勢面場源分離技術，採用從深到淺、從大到小，漸次縮小到目標層系母體分布范圍的方法，逐級進行精細分解，提取目標地層重磁異常及其極值重磁異常。而高次趨勢面剩餘異常，則主要用於提取斷裂系統、劃分獨立母體分布范圍；除含測量、計算誤差外，大多為斷裂、火成岩等地質突發事件所產生的隨機異常，是在其比例尺度內濾波濾不掉、趨勢面擬合不去的特殊信息。

2.運算公式

不失一般性，假定每一地質異常體皆可分解為可數個密度與磁性獨立母體分布的地質異常體，從萬有引力、庫侖定律易知，其深度（距離）h及其對應的重力異常g、磁力異常t，以及密度σ、磁化率τ所構成的逆函數h=H_重（g，σ）、h=H_磁（t，τ），與重磁異常場原函數一樣，同樣在其有意義的定義域內，也是無限連續可微的函數。並且，因在已知h與g、t的條件下必然也可求出屬於同一母體分布的密度、磁化率函數：σ=σ（h，g）、τ=τ（t，h），進而又可將h=H_重（g，σ）、h=H_磁（t，τ）簡化為僅有兩個獨立變數的函數：h=H_重（g）、h=H_磁（t）。用泰勒（傅立葉）級數在空間（波數）域內予以展開，建立重磁異常g、t與h的一元多項式（三角函數關系式），以避開中淺層統層難度大及密度、磁化率測試分析少的矛盾。從而，便可用泰勒級數在空間域內對一般並非有解析解的重震、磁震反演逆函數直接予以展開，分別建立重震、磁震隨機反演理論模型，並給出表徵逼近模型程度的擬合度：

合肥盆地中新生代構造演化與油氣地質特徵

重力g與磁力t之間具有相關性，其簡化的逆函數h=f_重（g）、h=f_磁（t）疊合所構成的新函數，應是保持無限連續可微的復合函數：h=f（g，t），同樣可用泰勒（傅立葉）級數在空間（波數）域內予以展開，把h=f（g，t）的復雜求解問題簡化為多項式（三角函數）的最優逼近問題。而具有特大樣品的重磁震信息，正是求解h=f（g，t）多項式（三角函數）系數的理想基礎。

同樣，對於任一具有獨立母體分布的地質異常體來說，不難從數學上建立重磁力場強度與位勢的微積分關系，把重磁單向轉換的泊松公式，拓展成為重力強度、位勢與磁力強度、位勢間雙向轉換的關系式。近幾年高解析度重磁協同地震技術已在西方地球物理公司大范圍推廣應用，不得不更新有無密度與磁性界面及高精度重磁所解決油氣勘探問題的傳統概念。重磁之間的這種特殊相關性，隨著重磁技術的迅速發展，對重震、磁震、重磁震反演建模更具有實用價值。由重磁逆函數h=H_重（g）、h=H_磁（t）所構成的重磁震聯合反演疊加逆函數h=H（g，t），雖然仍為無限連續可微的函數，但是由於重磁間並非簡單線型關系、磁性與密度並非為均勻分布；因此，在建模時則不應是不消除重磁線型相關性的簡單疊加函數，而應是保持重磁相對獨立性的復合逆函數。這樣，便可用泰勒級數在空間域內將重磁震聯合反演復合逆函數h=H（g，t）予以展開，建立保持重磁相對獨立性的重磁震隨機反演理論模型，並給出表徵逼近模型程度的擬合度：

合肥盆地中新生代構造演化與油氣地質特徵

其中：公式（4-3）、（4-5）、（4-8）式中的余項為（m+1）階無窮小量，當m足夠大時呈正態分布；但三式中的m所表達的階數並不一定相同。

利用已知地震解釋、重磁場源分離提供的h與g、t的樣品，把密度、磁化率（嚴格地講，剩餘密度、磁化率）當作隱含在系數之中的待估參數，求解最優逼近公式（4-5）→公式（4-8）的一元m次趨勢面方程式，分別建立實際應用的重震、磁震統計推斷聯合反演模型；求解保持重磁相對獨立的最優逼近公式（4-9）→公式（4-10）的二元m次趨勢面方程式，建立重磁震統計推斷聯合反演模型，以及檢驗、控制反演模型精度的深度誤差正態分布模式與深度概率分布模式。

3.技術方法實現

數據采樣：根據提供的31條地震測線資料解釋成果，提取兩大主要地質界面（印支面和結晶基底）的深度數據和斷層數據。

重磁場頻率域轉換與場源分離界面拾取：重磁力異常的頻率（波數）域轉換過程是：首先對異常資料進行傅立葉正變換得到異常資料的頻譜；而後把異常的頻譜與轉換相應的頻率響應函數點積，得到處理後異常的頻譜；最後對處理後異常的頻譜進行傅立葉反變換，從而得到處理後的異常。

重磁力場是綜合場，重磁力異常是地下各層密度界面、磁性體及地質體的綜合反映。它是多因素（場源值、觀測誤差等）、多深度（淺層及深層的密度界面）、全空間（地下半空間）重磁力場的總和。這種場的特點是它既提供了劃分不同密度界面的可能性，但亦形成了重磁力異常解釋的多解性。

對布格重力異常而言，由於地殼厚度變化引起的大區域場；由基底起伏及以上各密度界面引起的沉積岩異常；由基底岩性不同造成密度差異產生的基岩岩性異常。如何分離相互疊加的重磁力異常是首要解決的問題，也是重磁電震聯合反演的基礎。

在場源分離的基礎上，按照趨勢面擬合度及擬合度速率變化曲線分析識別與地震解釋的目標層系深度（印支面-盆地基底和結晶基底）相關度最佳的趨勢面次數。從統計角度看，拐點多出現在中低次趨勢面分析的擬合度急劇上升變化階段，而平緩點則一般出現在高次趨勢面分析的擬合度平緩變化階段，是確定趨勢面次數、剔除隨機異常及選擇差值趨勢面次數、分離復合與疊合地質體場源異常的理論依據與重要參數（圖4-11）。根據合肥盆地地層發育特徵及周緣露頭采樣獲取的岩石物性參數，進行概率統計分析。

重力異常場數據分析結果：8次趨勢面與結晶基底的相關度最高，15次趨勢面與盆地基底的相關度最高；磁力異常場數據分析結果：7次趨勢面與結晶基底的相關度最高，18次趨勢面與盆地基底的相關度最高。

圖4-11 異常趨勢面擬合度速率圖

在保持深度與重磁異常不變的條件下，把15次重力、18次磁力趨勢面視作由印支面下伏地層上擠而構成的單位厚度的等效地質異常體的重磁異常，進一步利用重、磁趨勢面分析分南、北、西北區剔除其背景異常，提取出與深度一一對應的極值重磁異常。

按封閉區分重磁將h=f_重（g）、h=f_磁（t）用泰勒（傅立葉）級數在空間（波數）域內予以展開，建立g、t與h的一元多項式（三角函數關系式），分別選擇重磁差值趨勢面最佳次數，並取其相關系數作為重磁的權函數：R_重、R_磁。

數據加權處理：按現有的差值趨勢面軟體，對h（地震解釋層數據）、g（重力）、t（磁力）首先按封閉區進行數據標准化，然後再對重磁加權處理：g=|R_重|g，t=|R_磁|t。

地質模型建立：模型建立過程包括很多內容，首先是確定模型的適用性即不但滿足地質研究需要，而且於實際工作中具可行性。如果選擇的網格太細，例如允許包括不能檢測到的非常薄的異常層，會大大地增加計算量，如果網格太粗，平滑效應就非常嚴重，使結果缺少應用價值。

由於探區面積大，地質差異明顯，界面起伏變化劇烈。因此，分不同區帶，針對區塊差異性建立了多個重、磁、震、電反演模型。

在模型建立過程中，主要採用了模式識別技術。模式識別是一種特殊形式的標定方法，即多參數標定方法。模式識別就其本意來講，它是利用計算機或其他分析儀器來模擬人類認識外部世界信息的能力的一門新興學科中的重要組成部分，也是一門應用相當廣泛、且具相對獨立性的實用技術。

模式識別的主要步驟包括：① 確立已知模式；② 提取特徵參數；③ 對黑箱式映射的模擬或進行標准樣本學習；④ 根據模擬或學習得到的推理規則，對其他樣本作判別分類；⑤ 對判別分類結果作地質解釋並驗證。

地球物理觀測到的數據通常由三部分組成，即區域地球物理異常信號、局部地球物理異常信號以及由表層不均勻性、觀測誤差和地球物理場中未被處理模型考慮的變異等構成的干擾。通常假定滿足相加模型。

所謂的信號檢測是判斷觀測數據中有無信號存在的問題；所謂的信號估計則是在確定信號存在於觀測數據中的情況下估計信號參數的問題。

在地球物理數據處理中，使用信號檢測與估計的方法遵循了下列基本原則：①根據研究對象的地質-地球物理模型提出相應的數學模型；②對異常信號與干擾的頻譜特徵和相關特徵要作詳細研究；③根據不同准則選擇適當的濾波器，對異常的存在與否作出統計判定；④對所選方法的處理質量和信號檢測的可靠性作出合理評價。

② 反演方法分類與進展

反演水文地質參數的方法可根據正演計算所用的方法分為解析法和數值法。解析法主要以泰斯（Thies）公式為代表，具體又有配線法、直線圖解法等。數值法求參按其求解方法又可分為試估-校正法和最優化計算方法。

試估-校正法的優點是能充分利用水文地質工作者對一個地區水文地質條件的各種認識，達到識別參數的目的。但是，該方法無收斂判別准則，很難達到最優識別，工作量比較大。使用該方法，結果的可靠性和花費時間的多少取決於調參者的經驗和技巧。

最優化方法是將水文地質參數識別歸結為求極值問題。即求水文地質參數使得誤差評價函數達到最小。

在實際應用時，解析法求參的配線法和直線圖解法等很難應用於數值法的反演問題中，但數值法反演的各種方法均可用於解析法的反演求參之中，因此嚴格的分類是不存在的。

Neuman^［2］按求參使用的判別原則將反演方法分為兩類，直接解法和間接解法。

直接解法是從聯系水頭和水文地質參數的偏微分方程或其離散形式出發，把水頭的實際觀測值作為已知數，把水文地質參數作為待求的未知數直接來解。具體方法有局部直接求逆法、數學規劃法等。實際上，利用裘布衣公式或蒂姆公式計算滲透系數也是一種直接解法。直接解法由於計算上穩定性差，在實際計算中應用較少。

間接解法利用正問題的解是適定的這一重要性質，把解逆問題化為解一系列的正問題。其基本思想是先假設一組水文地質參數作為初值，用數值法計算水頭。求出水頭的計算值和實測值之間的誤差，不斷修改水文地質參數，反復計算水頭，直到水頭的計算值和實測值很好擬合時為止。此時的水文地質參數值就是所求的水文地質參數值。

設共有n個水文地質參數，用符號p₁，p₂，…，p_n來代表。同時假設在j號觀測點上i 時刻的計算水頭為（t_i），實測水頭為（t_i），比較的觀測點總數為 N 個，比較的時間段為 M 個。通常用平均誤差絕對值及平均誤差平方和來表示擬合的程度。稱為評價函數（也稱目標函數）E。顯然，E 是所給出的參數值的函數。評價函數的表達式如下：

含水層參數識別方法

由上面二式很易看出，目標函數愈小，擬合得愈好。只要改變水文地質參數p₁，p₂，…，p_n的值，可得出不同的目標函數值。解逆問題實質上就是尋找一組水文地質參數，使目標函數為極小。一般而言，（1-15）式擬合判別准則最好，（1-16）式擬合判別准則次之。

無論是直接方法或間接方法求參，最終的問題均歸結為如何調整參數使得評價函數E達到極小值。到目前為止探索出的各種方法很多，William W-G Yeh在1986年綜述了參數反演方法。表1-1和表1-2是他列出的直接方法和間接方法參數識別的研究成果。從已有文獻看，用於識別水文地質參數的最優化方法主要有：最速下降法、逐個修正法、Gauss Newton法、Powell方法、單純形法、線性規劃法、二次規劃法、擬線性化方法和罰函數法等。

表1-1 直接法參數識別模型

地下水系統的參數估計方法可分為方程誤差准則法和輸出誤差准則法^［11］，逆問題的這種分類方法最初來源於Neuman的直接方法和間接方法分類^［2］。方程誤差准則方法在一般的逆邊值問題中將模型參數作為獨立的變數。逆問題的求解方法包括能量衰減法^［12］，線性規劃法^［13］，誤差流最小模方法^［14］，多目標決策過程^［2］，Galerkin方法^［15］，代數逼近法^［12］，歸納法^［16］，線性規劃和二次規劃法^［17］，罰函數法^［18］，結合Kriging法的廣義逆矩陣法^［19］。表1-1給出了方程誤差准則法的一個總結。

輸出誤差准則法進行參數估計是基於逆問題的優化或控制模型。優化模型的目標是最小化輸出誤差。參數估計的目的是在參數上下限的范圍內，盡可能地滿足含水層系統的水量或水質方程。參數值不斷地更新直到模型的響應最有效地逼近歷史的觀測數據。

基於擬線性化^［20］的控制技術已用來求解含水層參數問題。演算法包括擬線性化^{［21，22］}，優化控製法^{［23，24］}，Kalman濾波技術^{［25，26］}。

表1-2 間接方法參數識別模型

續表

數學規劃技術已廣泛應用於水文地質和石油工程的參數識別問題。梯度尋求法^［27］，多水平優化方法^［28］，線性規劃^［29］，二次規劃^［29］，Gauss-Newton法^［30］，修正的Gauss-Newton法^{［31，32］}，Newton-Raphson方法^［33］，共軛梯度法^［34］等均屬此類方法。輸出誤差准則法見表1-2。

近年來，禁忌搜索演算法、模擬退火演算法、遺傳演算法、人工神經網路法等近代優化方法不斷發展，其中部分研究成果已用來求解地下水逆問題。Harrouni等^［35］用簡單二進制遺傳演算法和邊界元結合進行地下水邊界和參數識別，Morshed等^［36］用簡單二進制遺傳演算法和神經網路結合進行滲透系數估計，金菊良等^［37］用加速二進制遺傳演算法求解的泰斯（Thies）模型的逆問題，姚姚^［38］分別用模擬退火方法和二進制遺傳演算法討論了地球物理反演問題，石琳珂用二進制遺傳演算法討論了地球物理反演問題，並對遺傳演算法進行了部分改進，這些方法均可對水文地質反演求參起到很好的引導作用。

③ 地球物理學中的反演計算

反演是地球物理中的重要領域。依據地球表面觀測到的各種地球物理場資料，通過計算去推斷地球內部的結構、物質組成和動力學過程。可以說地球物理學從誕生起便踏著反演的進步路徑在發展。

1.地球物理反演理論的發展

地球物理學中的反演問題最早主要是針對地球內部結構的探索。1907年赫格羅斯（Herglotz）首先由地球物理資料的定量分析提出了地震波走時數據的反演；1909年莫霍洛維奇（MohorovicicA.）發現地殼與地幔之間的一級不連續面；1912年古登堡（Guten-berg）發現古登堡面；1923年康拉德（Conrad）發現地殼中間界面；1935年萊曼（Leh-mann）發現地球內核和外核的分界面。這些人在地球物理學發展史上均寫下了不朽的篇章，對地球物理反演學術思想的形成和發展起到極大的推動作用。

20世紀50年代前後，隨著觀測技術的不斷提高，人們對地球內部的認識不斷深化，地球內部圈層有了基本模型。由於電子計算機的使用，使得已發展起來的試錯法和擬合法可以通過計算機來實現。到了60年代地球物理工作者已可以利用電子計算機對地球模型參數進行自動的修正反演，即發展為自動擬合法或最優化法。

1970年以前地球物理反演研究的主要特點：

（1）採用均勻各向同性地球模型；

（2）反演問題在數學上僅涉及微積分或古典積分方程；

（3）觀測數據與假定模型正演計算結果等同；

（4）對解的不唯一性未做深入分析，而是以觀測數據與用推測模型求得結果進行類比；

（5）在計算技術上僅涉及了初等數值分析，如數值微積分、最小二乘法解超定方程組等。

20世紀60年代由於各類運用於計算的新演算法不斷涌現，快速傅里葉（Fourier）變換和高速褶積的廣泛應用，基於二次曲面分割的地球模型已不能滿足新的要求，而迫使地球物理反演計算必須提高解析度。因此反演理論在70年代前後發展迅速，並做出了重要貢獻（Backusetal.，1967，1968，1970）。

巴庫斯和吉伯特（一位是地球物理學家，另一位是數學家）的地球物理反演理論（BG理論）是建立在模型為連續的情況下，故必導致方程組欠定，難於在快速電子計算機上實現。為此，維津斯（Wiggins，1972）和傑克遜（Jackson，1972）先後提出了與BG理論相應的廣義反演方法。後經帕克（Parker，1976）等人的整理與推廣，使BG理論在20世紀70年代後期得到廣泛應用。

基於勘探地球物理學的快速發展，20世紀80年代以來的偏微分方程反演進一步得到發展。20世紀90年代以來，非線性理論在自然科學各個領域均得到極大重視，當然這要比線性反演復雜得多。

我國在地球物理反演理論和方法研究方面起步較晚。BG理論於20世紀70年代引入我國，並在解決某些地球物理數據分析中得以應用。

2.地球物理反演中解的不唯一性原因分析

地球物理學可以根據地面或者高空的觀測資料（如來自深部的地震波、電磁場、熱流、重力場等）來推斷地下的結構、構造和物質屬性等情況，即地球物理學中的反演或反問題（InversionProblem）。在各種地球物理場（重、磁、電、熱）給出的數據中，雖然含有地下各種物性結構的信息，但在對數據進行計算與解釋（即反演）的過程中，即便是使用同樣的資料，所得的答案卻不盡相同。這是反演的多解性，或解的非唯一性。

造成反演多解的原因，有數學上的問題，如解法不穩定、觀測誤差等，但其根本的原因是不可能得到地球深部直接的觀測數據，而僅靠地面的觀測資料，其「信息」量是不夠的。地震波雖然可以穿透地球，帶來深部的三維信息，但地震圖震相識別仍有很大的不確定性。為此，不論是一維、二維還是三維或四維反演，減少多解性都需要對各種地質地球物理資料進行綜合分析，加強對地震圖記錄的震相識別，需要依據豐富的資料，即在多因素約束下提出科學而又合理的初始模型，並對反演進行約束。反演問題是地球物理學中理論與方法核心問題之一。

④ 反函數的演算法

均值不等式
F最小=2根號下(1500*15)=300

⑤ 資料處理與反演解釋

高密度電阻率法的測量系統在施工現場採集到大量關於地電斷面結構特徵的地質信息，並以數字的形式保存在隨機存儲器中。將其傳入微機進行數據轉換、處理與解釋，然後生成供推斷解釋用的各類圖件。圖1.4.6為高密度電阻率法資料處理與解釋系統框圖，實際工作中可根據具體情況的需要選用其中某些過程。

圖1.4.6 高密度電阻率法數據處理與解釋流程框圖

1.4.3.1 濾波處理方法

三電位電極系中，偶極和微分排列所測視電阻率曲線隨著水平極距的加大，曲線由單峰變為雙峰。繪成斷面圖時，除了和地質對象相對應的主異常外，一般還會出現強大的伴隨異常。為消除或減弱三電位電極系視電阻率曲線中振盪成分的影響，簡化異常形態，可以採用數字濾波方法，並將這種濾波稱為擴展偏置濾波。

擴展偏置濾波器有4個非零的權系數：0.12，0.38，0.38，0.12。在濾波計算中，無論間隔系數為幾的剖面測量結果，都應把濾波系數置於4個活動電極所對應的點上，在電極之間插入和電位相同的零系數。例如，n=2，濾波器長度為7，相應的權系數依次是：0.12，0，0.38，0，0.38，0，0.12。圖1.4.7為二維地電模型正演模擬曲線的濾波處理結果。由圖可見，未經濾波的剖面曲線隨間隔系數的增大，曲線形態復雜；經濾波處理後的剖面曲線，形態大為簡化，伴隨異常的幅值減小並遠離主極值。

圖1.4.7 二維地電模型正演模擬曲線的濾波處理

點畫線為濾波前原始曲線；實線為濾波後的結果

1.4.3.2 視比值參數

(1)T_s比值

高密度電阻率法的野外觀測結果除了可以繪制相應裝置的視電阻率斷面圖外，根據需要還可繪制兩種比值參數圖。考慮到三電位電極系中三種視電阻率異常的分布規律，選擇了溫納β裝置和溫納γ裝置兩種裝置的測量結果為基礎的一類比值參數。該比值參數的計算公式為

電法勘探

由於溫納β和溫納γ這兩種裝置在同一地電體上所獲得的視電阻率總是具有相反的變化規律，因此用T_s參數繪制的比值斷面圖，在反映地電結構的分布形態方面，遠比相應裝置的視電阻率斷面圖清晰和明確的多。

圖1.4.8 是對所謂地下石林模型的正演模擬結果。模型的電性分布如圖1.4.8 c所示，其中溫納a裝置的

擬斷面圖(圖1.4.8a)幾乎沒有反映，而T_s比值斷面圖(圖1.4.8b)則清楚地反映了上述模型的電性分布。

圖1.4.8 模型上方視電阻率和比值參數T_s等值線斷面圖

(2)λ_s比值

另一類比值參數是利用聯合三極裝置的測量結果為基礎組合而成的，其表達式為

電法勘探

式中：ρ_s(i)和ρ_s(i+1)分別表示剖面上相鄰兩點視電阻率值，計算結果示於i和i+1 點之間。

根據前面所學知識，有

電法勘探

則

lgλ_s(i，i+1)=lgF^A(i)-lgF^B(i+1)

而lgF^A的差商為

電法勘探

令Δx=1，則lg λ_s為lg F^A曲線的差商，或者說lg λ_s描述了岐離帶曲線剖面水平方向的變化率。

圖1.4.9表徵比值參數λ_s在反映地電結構能力方面所作的模擬實驗。視電阻率

斷面圖(圖1.4.9a)只反映了基底的起伏變化，而λ_s比值斷面圖(圖1.4.9b)卻同時反映了基底起伏中的低阻構造。

圖1.4.9 模型上方視電阻率和比值參數λ_s等值線斷面圖

1.4.3.3 統計處理

統計處理包括以下內容：

(1)利用滑動平均計算視電阻率的有效值，例如，三點平均

ρ_x(i)=[(ρ_s(i-1)+ρ_s(i)+ρ_s(i+1)]/3

式中：ρ_x(i)為i點的視電阻率有效值，i=1，2，3，…。

(2)計算統計參數

平均值：

=

·

ρ_x(i)(N 為斷面上的總測點數)

標准差：σ_A=∑

(3)計算電極調整系數

電法勘探

式中：

(L)為電極距為L時全部視電阻率觀測數據平均值。

(4)計算相對電阻率

電法勘探

通過計算相對電阻率，可以在一定程度上消除背景影響，相對視電阻率等值線斷面圖更能明顯地反映地電體沿剖面的橫向變化。

(5)對視參數分級

為了對視參數進行分級，首先必須按平均值和標准差關系確定視參數的分級間隔。間隔太小，等級過密，間隔太大，等級過稀，這都不利於反映地電體的分布。一般情況下，以採用五級制為宜，即根據平均值和標准差的關系劃分四個界限

電法勘探

利用上述視參數的分級間隔，可將斷面上各點的ρ_s(i)或ρ_y(i)劃分成不同的等級，用不同的符號或灰階表示時，便得到視參數異常灰度圖。例如，ρ_s(i)＜D₁，低阻；ρ_s(i)=D₁～D₂，較低阻；ρ_s(i)=D₂～D₃，中等；ρ_s(i)=D₃～D₄，較高阻；ρ_s(i)＞D₄，高阻。

視參數的等級斷面圖在一定條件下能比較直觀和形象反映地下介質的電性分布特徵。當然，我們也可用不同的顏色來表示不同的等級，得到視參數異常色譜圖。

統計處理原則上適應於三電位電極系中各種電極排列的測量結果，只是在考慮視電阻率參數圖示時，由於偶極和微分兩種排列的異常和地電體之間具有復雜得對應關系，因此一般只對溫納a裝置的測量結果進行統計處理。溫納-斯倫貝爾格熱裝置的測量結果也可進行統計處理。

1.4.3.4 高密度電阻率法二維反演

在地球物理學中，地球物理反演是利用在地球表面觀測到的物理數據推測地球內部介質物理狀態的空間變化及物性結構。如果把地球物理問題分為資料採集、數據處理和反演解釋三個階段的話，那麼，資料採集是基礎，數據處理是手段，反演解釋才是地球物理工作最終目的。

在高密度電阻率法中，僅根據高密度電阻率法的視參數等值線斷面圖(ρ_s、T_s、λ_s)或視參數分級灰度圖來進行定性解釋顯然是很不夠的。為了獲得地下介質電性分布更為精確的電性結構與空間分布，目前最常用的方法是進行視電阻率斷面二維反演。

(1)二維反演的基本原理

二維反演同一維反演的數學實質相同，都是要尋找一個地電模型，使其對應的理論計算值與實測視電阻率在一定法則下重合最好。數學上將求解這類問題的方法稱為最優化方法。

用計算機對物探異常進行定量解釋的最優化演算法，實際上是求解多元函數極值的一種方法。最優化演算法種類很多，如最速下降法(高斯法)、共軛梯度法、牛頓法、變尺度法(擬牛頓法)、最小二乘法、阻尼最小二乘法(馬奎特法)、單純性法等。

在電法資料定量解釋中，最優化演算法的基本步驟可歸結為：

1)給出實測視電阻率離散值。

2)根據已知物性資料、地質資料和定性解釋成果，確定地電模型，即給出地電模型初值。

3)通過正演計算得到地電斷面的理論值。

4)評定理論計算值和實測視電阻率的擬合程度，即通過計算擬合差來判定擬合程度。

5)若擬合差不符合要求，則修改模型參數值，並根據修改後的地電模型參數重新計算理論值。

6)再次評定擬合程度，反復修改地電模型參數，直至擬合差達到事先給定精度為止。

7)此時地電模型參數即為解釋結果。

完成上述過程的關鍵是用何種方法來評定擬合程度，以及如何修改模型參數。

評定擬合程度時，由於精確的地球模型我們並不知道，只能用方差來衡量它的質量，通常採用理論計算值和實測視電阻率兩者偏差平方來作為衡量標准，即

電法勘探

式中：ε(x)為目標函數；δ_k(x)為偏差函數；E_k為實測數據；f_k(x)為理論計算值；k為離散點之順序；m為采樣點數；x為理論模型參量。

式(1.4.4)的意思是，建立一個目標函數，使總誤差恰好是向量δ(x)的歐幾里得長度的平方。在數學上，范數經常作為長度或大小的某種度量，並且用一組雙豎直線段來表示。如

即為向量e的范數。以向量元素的n次冪之和為基礎的范數是最常用的，並且稱之為L_n，如

L₁范數：

電法勘探

L₂范數：

電法勘探

隨著冪次的逐步提高，e的最大元素的權也逐步增大。最小二乘法系用L₂范數來定量表示長度。這里有一個問題，為什麼採用L₂范數而不是採用其他范數呢?這要看數據的特性。依據前述可知，冪次不同，對不同大小的誤差所加的權也不同。換句話說，低階范數對不同尺度給予的權相差不大，而高階范數對大誤差給予優惠。當數據服從高斯分布時，此時應用L₂范數解是最合理的。然而，雖然高斯分布的數據在地球物理測量中是很常見的，但是大多數據集中總有那麼幾個「壞」數據，它們的存在說明數據並不完全服從高斯分布的統計性質。在反演之前不曾把這些壞數據去掉的話，那麼最好用使L₁范數最小化的反演方法，如線性規劃法等，因為這時最小二乘法給予壞數據的權仍然過大。

如果給定初值x⁽⁰⁾，修正量為Δx，修正後的參量為x⁽¹⁾，則有

x⁽¹⁾=x⁽⁰⁾+Δx

參量修正後使目標函數ε(x)為最小值，即

電法勘探

此時擬合程度最佳。這就是最小二乘法意義下的最優化方法，即最小二乘法。最小二乘法實際上是一種反問題的長度解法，由於其簡單易行，在電法資料解釋中得到廣泛應用。

如何求取修正參量Δx很重要。求取方法有多種，但不管那種演算法都是通過不同途徑修正Δx大小和方向，以達到擬合最佳的目的。

(2)二維斷面反演的阻尼最小二乘法

設在被研究的地電斷面Ω域上，待求的地電模型參數為M個(即M個待求的電阻率ρ₁，ρ₂，…，ρ_M)。通常，我們是將Ω域按一定法則剖分，例如，可按照圖1.4.10進行剖分(變網格)，每個網格單元對應一個電阻率。這些單元中的模型參量，可用向量ρ=(ρ₁，ρ₂，…，ρ_M)表示。實測視電阻率擬斷面上，取N個視電阻率采樣值(即

，i=1，2，…，N)。

圖1.4.10 二維斷面反演網格剖分示意圖

二維擬斷面反演是不斷修改地電模型的電阻率參數，使理論模型擬斷面向實測擬斷面逼近。在理論計算值(

，i=1，2，…，N)向實測視電阻率

逼近過程中，通過不斷改變電阻率值ρ，使理論計算的

與實測視電阻率

之間的誤差盡可能小(一般＜5%)，以此作為衡量實測視電阻率

和理論計算

間擬合程度。通常採用對數型擬合方差F作為擬合視電阻率的目標函數(注意，以下的對數運算均系對電阻率的數值{ρ_i}_Ω·m進行)，但簡化記為

電法勘探

式(1.4.6)中

是根據初始模型參數正演計算的結果，它是地電斷面參數ρ和電極距的函數，即

=

(ρ，d_i)(d_i為與電極距有關的量)。目標函數F反映了實測擬斷面數據與理論擬斷面數據間的擬合程度，是模型參數的函數。二維視電阻率擬斷面反演的目的就是要找到一組模型參數ρ=(ρ₁，ρ₂，…，ρ_M)，使目標函數取得最小值，即

電法勘探

由於理論計算的

(ρ，d_i)是模型函數ρ的非線性函數，故式(1.4.7)被稱為非線性最小二乘問題，求取模型參數ρ擬合過程相當於數學上求多元函數極小值問題。對於非線性函數F直接求出ρ是很困難的，為此需要對非線性函數進行線性化近似處理。對假定的地電斷面，給出一組模型參數初值ρ⁰=

(

，

，…，

)，將ln

(ρ，d_i)在初值ρ⁰附近做泰勒級數展開，將二階和二階以上的偏導數項略去，展開式的結果如下

電法勘探

令

電法勘探

電法勘探

則式(1.4.8)可寫為

電法勘探

將式(1.4.11)代入式(1.4.6)，可得到目標函數F的近似表達式

電法勘探

將式(1.4.12)右端記為

，則非線性最小二乘問題式(1.4.7)即可轉換為線性最小二乘問題

電法勘探

根據極值存在的必要條件，使F達到最小的Δρ_j(j=1，2，…，M)，應滿足下列方程組

電法勘探

整理後得

電法勘探

將式(1.4.15)寫成矩陣形式

A^TAΔρ=A^TΔG (1.4.16)

式(1.4.16)即為目標函數(式(1.4.13))的法方程。其中：N×M矩陣A稱為雅可比矩陣，其元素由式(1.4.9)來確定；ΔG為列向量，其元素為

電法勘探

求解方程式(1.4.16)，可得出模型參數的修正量Δρ，取ρ¹=ρ⁰+Δρ作為新的模型近似值，若

F(ρ¹)＜F(ρ⁰)

且F(ρ¹)＜ε(ε為給定精度)，則ρ¹作為二維地電斷面的反演解釋結果。若達不到精度，則以ρ¹取代ρ⁰重復以上過程，直至求出符合精度要求的模型參數為止。

以上求解過程的特點是將非線性最小二乘問題(式(1.4.7))轉化為求解一系列最小二乘問題——式(1.4.13)，雖然每一步求得的Δρ只是

=min的極小元，還不能使F(ρ¹+Δρ)達到極小，但只要模型參數初值ρ⁰選取得當，這種逐步線性化的過程是收斂的。

法方程組的系數矩陣A^TA，一般病態十分嚴重，甚至奇異。為保證反演過程收斂，增強法方程線的數值穩定性，可採用改進的阻尼最小二乘法(馬奎特法)

(A^TA+λS)Δρ=A^TΔG (1.4.18)

式中：λ為阻尼因子；S為對角矩陣。

總結以上阻尼最小二乘法的反演思路我們可將其歸納為以下四個主要步驟：

1)給出初值；

2)計算理論擬斷面(用2.5維數值模擬方法作正演計算)；

3)解法方程：(A^TA+λS)Δρ=A^TΔG；

4)讓ρ¹=ρ⁰+Δρ作為新模型參數，重新迭代反演。

可以看出，阻尼最小二乘法的主要計算工作量是解法方程，而要解法方程組，關鍵在於求出系數矩陣A(雅可比矩陣，Jacobian Matrix)，A中元素用式(1.4.9)來計算。可見雅可比矩陣的計算是反演成像計算中很重要的一步。

計算雅克比矩陣的方法有很多種。均勻介質模型是最為理想化的初始模型，利用這個理想化的模型，就可用解析的方法來計算偏導數值雅可比矩陣，這樣就可以節約大量的機時，這里我們不再進行討論。

1.4.3.5 高密度電阻率法的應用

(1)野外工作技術

A.測網布置

地球物理工作的測區一般是由地質任務確定的，總的原則與剖面法和測深法相同。對主要應用於工程及環境地質調查中的高密度電法而言，按工程地質任務所給出的測區往往是非常有限的，我們只能在需要解決工程問題的有限范圍內布設測線、測網，可供選擇的餘地往往有限，這是一般工程物探經常遇到的情況。測網布設除了建立測區的坐標系統外，還包含了技術人員試圖以多大的網度和怎樣的工作模式去解決所遇到的工程地質問題。在這里，經驗和技巧非常重要。特殊情況下，高密度電阻率法可布設不規則的測線和測網，盡可能在有限的測區內獲得更多的測量數據。

B.裝置選擇

通常使用的裝置還如上述四種類型(溫納、偶極-偶極、三極和溫納-斯倫貝爾格熱裝置)。不同廠家的測量系統基本上以這幾種裝置為主，但也各有特點。有的高密度電阻率儀提供了十多種裝置以供選擇。不同裝置可聯合使用，也可根據需要單獨使用某一種裝置。在高密度電阻率法中，合理地選擇工作裝置或其組合裝置，可以提高採集數據對目標體的敏感度，放大異常，從而提高解析度。選擇一個合適的工作裝置應考慮以下方面因素：探測目標的特性、探測深度、有效探測范圍、信號強度、裝置對地下電阻率水平或垂向變化分辨能力、場地雜訊本底水平以及儀器靈敏度等。

當一個排列布好後，應盡量多地採集幾個裝置數據，以供後續處理和解釋之用；同時，在一個地區工作時，除特殊情況外，應盡可能保持裝置類型的一致，這樣做的目的也是為了剖面的連接和解釋的方便。

C.最小電極間距和排列長度的選擇

最小電極間距和排列長度的選擇取決於地質對象的大小和埋藏深度。要保證有足夠的橫向解析度，探測目標體橫向上至少要有2～3根電極通過。同時，由於高密度電阻率法實際上是一種二維測深剖面方法，所以在保證最大極距能夠探測到主要地質對象的前提下，還要考慮圍岩背景也能在二維斷面圖中得到充分的反映。如對小而深的探測目標體，要求較小的電極間距和較多的電極數。

對於長剖面，可以通過電極的移動來獲得連續的斷面數據。圖1.4.11是溫納-斯倫貝爾格熱裝置通過兩次移動來獲得18a剖面長度的例子。一般地，在剖面對接時要重疊3～4個點，重疊點的數據取兩次測量的平均值。

圖1.4.11 溫納-斯倫貝謝裝置移動測量示意圖

(2)高密度電阻率法在工程與環境地質中的應用

近年來，高密度電阻率法在場地勘察、公路及鐵路隧道勘查、壩基及橋墩選址、采空區和溶洞探測、地裂縫調查以及水庫滲漏研究等領域得到廣泛應用，取得了明顯的地質效果和顯著的經濟效益。下面用幾個高密度電阻率法的實際例子來說明該方法的應用效果。

A.在煤氣管道勘查中的應用

場地地形有較小起伏，測線左側是水田，右側是砂石路。煤氣管道包裹石棉網並塗有瀝青，為高阻反映。實測時，最小電極間隔Δx=0.3 m，電極數為N=30，n_max=9。圖1.4.12是經過地形改正後的ρ_s等值線斷面圖，圖1.4.13是經過地形改正後並進行比值計算得到的視參數T_s等值線斷面圖，兩圖的高值等值線圈位置與管道位置相符，但T_s等值線斷面圖比ρ_s等值線等面圖異常明顯，這一結果與探地雷達探測結果一致，並與開挖後實際情況相符。

圖1.4.12 煤氣管道ρ_s等值線斷面圖

B.在水庫壩體探測中的應用

中坊水庫位於江西省廣昌縣境內，該水庫建於20世紀50年代初期，壩體主要用素填土築成。1989年初發現左壩肩背水面漏水，漏水位置位於土壩體與左壩肩接觸面不遠。當時發現滲水時滲水量很小，看不到明水。後來滲水量越來越大，到1998年滲水量達2 373.8 m³/d。如不採取措施，將影響壩體的安全。為了確定漏水通道及為續後灌漿加固處理提供資料，我們採用了高密度電阻率法和自然電場法進行了綜合勘查。

圖1.4.13 煤氣管道T_s等值線斷面圖

以壩體與左壩肩接觸面為中心，沿著壩體走向布置了一條高密度電阻率法剖面。最小電極間隔Δx=1 m，電極總數P_sum=60。設第一根電極處x=0，接觸面位置在x=29.5 m處。圖1.4.14是經二維反演後得到的溫納a裝置電阻率等值線斷面圖，圖中清晰地反映了壩體與左壩肩接觸面位置。

圖1.4.14 橫穿壩體與左壩肩接觸面高密度剖面電阻率等值線斷面圖

通過本次工作(綜合高密度電法、自然電場法以及水文地質調查結果)，基本查清水庫漏水地段及漏水通道位置。觀察結果表明，土壩體是完整的，從土壩與山體的接觸面(接觸面向壩體一側傾斜)起一直延伸到山體內的范圍內是滲水區。山體為花崗斑岩、風化程度比較高，裂隙發育，土壩體與山體的接觸面及山體是漏水的通道，為後續打鑽灌漿加固處理提供了依據。

近年來，在重大場地的工程地質調查、壩基及橋墩選址、采空區及地裂縫探測等方面，高密度電阻率法均取得較好的地質效果，實例很多。

⑥ 數學模型反演解法概述

數值模擬反問題常常轉化為優化問題，函數優化就是求一個函數的最優值以及達到該最優值的最優點，而最優化演算法本質上是一個最優值的搜索過程。經典的優化演算法如牛頓法、單純形法、共軛方向法、最速下降法和罰函數法等，一般對目標函數要求連續、可微甚至於高階可微、單峰等；需要對函數求一階、二階導數；受初值影響較大，演算法容易陷入局部最小值，對於多峰函數優化問題具有較大局限性。

20世紀80年代初期以來，地下水水流與溶質遷移模型和數值優化方法相結合越來越普遍，目前常用的主要有以下兩種方法。

3.4.7.1 數學規劃方法

主要包括線性規劃（LP），該方法廣泛應用於線性目標函數及流量約束的地下水管理問題，解線性規劃的軟體主要有AQMAN，MODMAN，MODOFC，MODFLIP；非線性規劃（NLP）；混合整數線性規劃（MILP）；混合整數非線性規劃（MINLP）。其中線性規劃法計算效率較高，但僅適用於承壓含水層，通常不能有效地處理溶質運移問題。非線性規劃與動態規劃的應用較廣泛，計算效率上有優勢，但需要計算目標函數對決策變數的導數即梯度，因此，該方法又被稱為梯度法，在目標函數很復雜，而且為非線性時，結果往往會陷於一個局部最優解而不能識別全局最優解。

3.4.7.2 全局優化方法

主要以啟發式搜索技術為根據的一類優化方法，包括模擬退火法、遺傳演算法、禁忌搜索法、人工神經網路法、外圍近似法等，這些方法有識別全局或接近全局范圍內最優解的能力。全局優化法能夠模仿一定的自然系統，通常計算量很大。本書主要介紹4種現階段應用廣泛發展較為迅速的優化演算法。

遺傳演算法（Genetic Algorithms，GA）是一類借鑒生物界自然選擇（Natural Selection）和自然遺傳機制的隨機搜索演算法（Random Searching Algorithms），求解問題一般包括編碼、計算適應度、選擇、交叉、變異、循環回到計算適應度，反復進行直到滿足終止條件。該演算法是處理一般非線性數學模型優化的一類新的優化方法，對模型是否線性、連續、可微等不作限制，也較少受優化變數數目和約束條件的束縛，其本質是一種高效、並行、全局搜索的方法，能在搜索過程中自動獲取和積累相關搜索空間的知識，並自適應地控制搜索過程以求得最優解。目前已廣泛用於函數優化、參數辨識、機器學習、神經網路訓練、結構設計和模糊邏輯系統等方面。常用的GA計算程序有MGO（Molar Groundwater Optimizer），模塊化地下水優化程序，該程序是地下水水質管理的通用優化模型。將水流和遷移模擬程序與遺傳演算法相結合，能適應非線性復雜目標函數，能夠處理水頭、梯度、水流以及濃度等約束條件。SOMOS程序，實現了包括遺傳演算法和人工神經網路的優化演算法，能處理經濟、環境以及地下水管理體積等問題，同時SOMOS可以將MODFLOW和MT3DMS作為模型的組成部分進行運算。但是目前遺傳演算法的應用還存在明顯的不足，主要表現為以下幾點：

1）GA的演算法設計和關鍵控制參數選擇對優化性能的影響明顯，直接影響演算法的搜索效率和優化性能，甚至導致「早熟」收斂；

2）參數識別研究中的編碼方案以二進制編碼為主，計算量和存儲量大。

人工神經網路（Artificial Neural Network，ANN）是由大量神經元通過極其豐富和完善的聯結而構成的自適應非線性動態系統，它使用大量簡單的相連的人工神經元來模仿生物神經網路的能力，從外界環境或其他神經元獲得資訊，同時加以簡單的運算，將結果輸出到外界或其他人工神經元。神經網路在輸入資訊的影響下進入一定狀態，由於神經元之間相互聯系以及神經元本身的動力學特性，這種外界刺激的興奮模式會自動地迅速演變成新的平衡狀態。人工神經網路是一種計算系統，包括軟體與硬體，它使用大量簡單相連的人工神經元來模仿生物神經網路的能力。人工神經網路是生物神經元的簡單模擬，它從外界環境或者其他神經元取得資訊，同時加以非常簡單的運算，輸出其結果到外界環境或者其他人工神經元。人工神經網路系統反映了人腦功能的許多基本特性，但它並不是人腦神經系統的真實寫照，而只是對其作某種簡化、抽象和模擬，這也是當前的現實情況。是目前對人腦神經及其智能機理的研究水平所能做到的，對人腦智能機理的簡化、抽象和模擬是人工神經網路研究的基本出發點。

支持向量機是基於統計學理論的VC維理論和結構風險最小化原理而提出的一種新的機器學習方法。與傳統的神經網路學習方法相比，支持向量機從結構風險最小化原則出發，求解的是一個二次規劃問題而得到全局最優解，有效地解決了模型選擇與過學習問題、非線性和維數災難以及局部極小等問題，在解決小樣本、非線性、高維模式識別問題中表現出許多特有的優勢。

模擬退火演算法是對固體退火過程的模擬。在金屬熱加工工藝中，將金屬材料加熱到某一高溫狀態後，讓其慢慢冷卻，隨著溫度的降低，物質的能量將逐漸趨近於一個較低的狀態，並最終達到某種平衡。模擬退火演算法是基於金屬退火的機理而建立的一種全局最優化方法，它能夠以隨機搜索技術從概率的意義上找出目標函數的全局最小點。模擬退火演算法的主要缺點是解的質量與求解時間之間存在矛盾，該演算法對於多應力期模型和大量水文地質參數的反演，收斂緩慢，得不到滿意的結果。

⑦ 省考行測：反演算法

在廣東省考行測資料分析題目中，經常會遇到一些列式之後和一個比較整的數據比較大小的題目，此時我們可以化除為乘，化減為加，不用計算很多不整的數據，從而簡化運算。

例1：2017年糧食產量為a，2016年為b。問：增長率是否超過20%?

中公解析：糧食產量增長率超過20%，即(a-b)÷b>20%。將除法轉乘法，得到a-b>0.2b，即a-b>0.2b時，2017年增長率超過20%。

這種方法就叫反演算法，通過分析題干特點，將題目進行巧妙轉化從而簡化計算。

可以利用反演算法的題型一般會具有以下特點：題干要求滿足某個或某些條件的指標個數，通常是指兩數之比或增長率在某個范圍內，給出的比值一般簡單易算。

具體使用方法可以總結為以下三步：

第一步：將除法轉化為乘法;

第二步：檢驗「>」或「<」關系是否成立;

第三步(視情況而定)：若正而計數個數較多，可先從反面計數，再用總數相減。

我們再通過幾道例題練習一下。

例2：2017年第一季度，某省農林牧漁業增加值361.78億元，比上年同期增長5.9%，高於上年同期0.2個百分點，具體情況如下：

該省種植業增加值119.21億元，比上年同期增長8.2%。林業增加值34.84億元，比上年同期增長8.3%。畜牧業增加值176.64億元，比上年同期增長4.2%，增速比上年同期加快2.1個百分點。漁業增加值9.22億元，比上年同期增長4.5%。農林牧漁服務業增加值21.87億元，比上年同期增長3.8%。

問題：2017年第一季度，該省占農林牧漁業增加值比重超過三成的包括：

A.種植業、漁業

B.林業、畜牧業

C.種植業、畜牧業

D.農林牧漁服務業、林業

【答案】C。中公解析：根據題干信息判斷考查現期比重。比重超過三成，即部分/整體>30%。計算每個指標所佔的比重比較耗時，可直接使用反演算法，簡化計算過程。

首先得到2017年第一季度該省農林牧漁業增加值的三成，為361.78×30%≈362×0.3=108.6億元。再查找材料中超過該值的只有種植業和畜牧業，分別為l19.21億元、176.64億元。故本題選C。

例3：

⑧ 計票反演算法

摘要 例】(判斷正誤)24304÷(1+23%)超過了2萬。

⑨ 百度問答請討論為什麼對於現實問題的反問題考慮數據和模型的不確定性很重要

摘要 不確定性:

⑩ 如何理解神經網路裡面的反向傳播演算法

反向傳播演算法（BP演算法）主要是用於最常見的一類神經網路，叫多層前向神經網路，本質可以看作是一個general nonlinear estimator，即輸入x_1 ... x_n 輸出y，視圖找到一個關系 y=f(x_1 ... x_n) （在這里f的實現方式就是神經網路）來近似已知數據。為了得到f中的未知參數的最優估計值，一般會採用最小化誤差的准則，而最通常的做法就是梯度下降，到此為止都沒問題，把大家困住了很多年的就是多層神經網路無法得到顯式表達的梯度下降演算法！

BP演算法實際上是一種近似的最優解決方案，背後的原理仍然是梯度下降，但為了解決上述困難，其方案是將多層轉變為一層接一層的優化：只優化一層的參數是可以得到顯式梯度下降表達式的；而順序呢必須反過來才能保證可工作——由輸出層開始優化前一層的參數，然後優化再前一層……跑一遍下來，那所有的參數都優化過一次了。但是為什麼說是近似最優呢，因為數學上除了很特殊的結構，step-by-step的優化結果並不等於整體優化的結果！不過，好歹現在能工作了，不是嗎？至於怎麼再改進（已經很多改進成果了），或者採用其他演算法（例如智能優化演算法等所謂的全局優化演算法，就算是沒有BP這個近似梯度下降也只是局部最優的優化演算法）那就是新的研究課題了。