演算法滲透模型
1. 數據挖掘演算法與生活中的應用案例
數據挖掘演算法與生活中的應用案例
如何分辨出垃圾郵件」、「如何判斷一筆交易是否屬於欺詐」、「如何判斷紅酒的品質和檔次」、「掃描王是如何做到文字識別的」、「如何判斷佚名的著作是否出自某位名家之手」、「如何判斷一個細胞是否屬於腫瘤細胞」等等，這些問題似乎都很專業，都不太好回答。但是，如果了解一點點數據挖掘的知識，你，或許會有柳暗花明的感覺。
本文，主要想簡單介紹下數據挖掘中的演算法，以及它包含的類型。然後，通過現實中觸手可及的、活生生的案例，去詮釋它的真實存在。 一般來說，數據挖掘的演算法包含四種類型，即分類、預測、聚類、關聯。前兩種屬於有監督學習，後兩種屬於無監督學習，屬於描述性的模式識別和發現。
有監督學習有監督的學習，即存在目標變數，需要探索特徵變數和目標變數之間的關系，在目標變數的監督下學習和優化演算法。例如，信用評分模型就是典型的有監督學習，目標變數為「是否違約」。演算法的目的在於研究特徵變數（人口統計、資產屬性等）和目標變數之間的關系。
分類演算法分類演算法和預測演算法的最大區別在於，前者的目標變數是分類離散型（例如，是否逾期、是否腫瘤細胞、是否垃圾郵件等），後者的目標變數是連續型。一般而言，具體的分類演算法包括，邏輯回歸、決策樹、KNN、貝葉斯判別、SVM、隨機森林、神經網路等。
預測演算法預測類演算法，其目標變數一般是連續型變數。常見的演算法，包括線性回歸、回歸樹、神經網路、SVM等。
無監督學習無監督學習，即不存在目標變數，基於數據本身，去識別變數之間內在的模式和特徵。例如關聯分析，通過數據發現項目A和項目B之間的關聯性。例如聚類分析，通過距離，將所有樣本劃分為幾個穩定可區分的群體。這些都是在沒有目標變數監督下的模式識別和分析。
聚類分析聚類的目的就是實現對樣本的細分，使得同組內的樣本特徵較為相似，不同組的樣本特徵差異較大。常見的聚類演算法包括kmeans、系譜聚類、密度聚類等。
關聯分析關聯分析的目的在於，找出項目（item）之間內在的聯系。常常是指購物籃分析，即消費者常常會同時購買哪些產品（例如游泳褲、防曬霜），從而有助於商家的捆綁銷售。
基於數據挖掘的案例和應用上文所提到的四種演算法類型（分類、預測、聚類、關聯），是比較傳統和常見的。還有其他一些比較有趣的演算法分類和應用場景，例如協同過濾、異常值分析、社會網路、文本分析等。下面，想針對不同的演算法類型，具體的介紹下數據挖掘在日常生活中真實的存在。下面是能想到的、幾個比較有趣的、和生活緊密關聯的例子。
基於分類模型的案例這裡面主要想介紹兩個案例，一個是垃圾郵件的分類和判斷，另外一個是在生物醫葯領域的應用，即腫瘤細胞的判斷和分辨。
垃圾郵件的判別郵箱系統如何分辨一封Email是否屬於垃圾郵件？這應該屬於文本挖掘的范疇，通常會採用樸素貝葉斯的方法進行判別。它的主要原理是，根據郵件正文中的單詞，是否經常出現在垃圾郵件中，進行判斷。例如，如果一份郵件的正文中包含「報銷」、「發票」、「促銷」等詞彙時，該郵件被判定為垃圾郵件的概率將會比較大。
一般來說，判斷郵件是否屬於垃圾郵件，應該包含以下幾個步驟。
第一，把郵件正文拆解成單片語合，假設某篇郵件包含100個單詞。
第二，根據貝葉斯條件概率，計算一封已經出現了這100個單詞的郵件，屬於垃圾郵件的概率和正常郵件的概率。如果結果表明，屬於垃圾郵件的概率大於正常郵件的概率。那麼該郵件就會被劃為垃圾郵件。
醫學上的腫瘤判斷如何判斷細胞是否屬於腫瘤細胞呢？腫瘤細胞和普通細胞，有差別。但是，需要非常有經驗的醫生，通過病理切片才能判斷。如果通過機器學習的方式，使得系統自動識別出腫瘤細胞。此時的效率，將會得到飛速的提升。並且，通過主觀（醫生）+客觀（模型）的方式識別腫瘤細胞，結果交叉驗證，結論可能更加靠譜。
如何操作？通過分類模型識別。簡言之，包含兩個步驟。首先，通過一系列指標刻畫細胞特徵，例如細胞的半徑、質地、周長、面積、光滑度、對稱性、凹凸性等等，構成細胞特徵的數據。其次，在細胞特徵寬表的基礎上，通過搭建分類模型進行腫瘤細胞的判斷。
基於預測模型的案例這裡面主要想介紹兩個案例。即通過化學特性判斷和預測紅酒的品質。另外一個是，通過搜索引擎來預測和判斷股價的波動和趨勢。
紅酒品質的判斷如何評鑒紅酒？有經驗的人會說，紅酒最重要的是口感。而口感的好壞，受很多因素的影響，例如年份、產地、氣候、釀造的工藝等等。但是，統計學家並沒有時間去品嘗各種各樣的紅酒，他們覺得通過一些化學屬性特徵就能夠很好地判斷紅酒的品質了。並且，現在很多釀酒企業其實也都這么幹了，通過監測紅酒中化學成分的含量，從而控制紅酒的品質和口感。
那麼，如何判斷鑒紅酒的品質呢？
第一步，收集很多紅酒樣本，整理檢測他們的化學特性，例如酸性、含糖量、氯化物含量、硫含量、酒精度、PH值、密度等等。
第二步，通過分類回歸樹模型進行預測和判斷紅酒的品質和等級。
搜索引擎的搜索量和股價波動一隻南美洲熱帶雨林中的蝴蝶，偶爾扇動了幾下翅膀，可以在兩周以後，引起美國德克薩斯州的一場龍卷風。你在互聯網上的搜索是否會影響公司股價的波動？
很早之前，就已經有文獻證明，互聯網關鍵詞的搜索量（例如流感）會比疾控中心提前1到2周預測出某地區流感的爆發。
同樣，現在也有些學者發現了這樣一種現象，即公司在互聯網中搜索量的變化，會顯著影響公司股價的波動和趨勢，即所謂的投資者注意力理論。該理論認為，公司在搜索引擎中的搜索量，代表了該股票被投資者關注的程度。因此，當一隻股票的搜索頻數增加時，說明投資者對該股票的關注度提升，從而使得該股票更容易被個人投資者購買，進一步地導致股票價格上升，帶來正向的股票收益。這是已經得到無數論文驗證了的。
基於關聯分析的案例：沃爾瑪的啤酒尿布啤酒尿布是一個非常非常古老陳舊的故事。故事是這樣的，沃爾瑪發現一個非常有趣的現象，即把尿布與啤酒這兩種風馬牛不相及的商品擺在一起，能夠大幅增加兩者的銷量。原因在於，美國的婦女通常在家照顧孩子，所以，她們常常會囑咐丈夫在下班回家的路上為孩子買尿布，而丈夫在買尿布的同時又會順手購買自己愛喝的啤酒。沃爾瑪從數據中發現了這種關聯性，因此，將這兩種商品並置，從而大大提高了關聯銷售。
啤酒尿布主要講的是產品之間的關聯性，如果大量的數據表明，消費者購買A商品的同時，也會順帶著購買B產品。那麼A和B之間存在關聯性。在超市中，常常會看到兩個商品的捆綁銷售，很有可能就是關聯分析的結果。
基於聚類分析的案例：零售客戶細分對客戶的細分，還是比較常見的。細分的功能，在於能夠有效的劃分出客戶群體，使得群體內部成員具有相似性，但是群體之間存在差異性。其目的在於識別不同的客戶群體，然後針對不同的客戶群體，精準地進行產品設計和推送，從而節約營銷成本，提高營銷效率。
例如，針對商業銀行中的零售客戶進行細分，基於零售客戶的特徵變數（人口特徵、資產特徵、負債特徵、結算特徵），計算客戶之間的距離。然後，按照距離的遠近，把相似的客戶聚集為一類，從而有效的細分客戶。將全體客戶劃分為諸如，理財偏好者、基金偏好者、活期偏好者、國債偏好者、風險均衡者、渠道偏好者等。
基於異常值分析的案例：支付中的交易欺詐偵測採用支付寶支付時，或者刷信用卡支付時，系統會實時判斷這筆刷卡行為是否屬於盜刷。通過判斷刷卡的時間、地點、商戶名稱、金額、頻率等要素進行判斷。這裡面基本的原理就是尋找異常值。如果您的刷卡被判定為異常，這筆交易可能會被終止。
異常值的判斷，應該是基於一個欺詐規則庫的。可能包含兩類規則，即事件類規則和模型類規則。第一，事件類規則，例如刷卡的時間是否異常（凌晨刷卡）、刷卡的地點是否異常（非經常所在地刷卡）、刷卡的商戶是否異常（被列入黑名單的套現商戶）、刷卡金額是否異常（是否偏離正常均值的三倍標准差）、刷卡頻次是否異常（高頻密集刷卡）。第二，模型類規則，則是通過演算法判定交易是否屬於欺詐。一般通過支付數據、賣家數據、結算數據，構建模型進行分類問題的判斷。
基於協同過濾的案例：電商猜你喜歡和推薦引擎電商中的猜你喜歡，應該是大家最為熟悉的。在京東商城或者亞馬遜購物，總會有「猜你喜歡」、「根據您的瀏覽歷史記錄精心為您推薦」、「購買此商品的顧客同時也購買了商品」、「瀏覽了該商品的顧客最終購買了商品」，這些都是推薦引擎運算的結果。
這裡面，確實很喜歡亞馬遜的推薦，通過「購買該商品的人同時購買了**商品」，常常會發現一些質量比較高、較為受認可的書。一般來說，電商的「猜你喜歡」（即推薦引擎）都是在協同過濾演算法（Collaborative Filter）的基礎上，搭建一套符合自身特點的規則庫。即該演算法會同時考慮其他顧客的選擇和行為，在此基礎上搭建產品相似性矩陣和用戶相似性矩陣。基於此，找出最相似的顧客或最關聯的產品，從而完成產品的推薦。
基於社會網路分析的案例：電信中的種子客戶種子客戶和社會網路，最早出現在電信領域的研究。即，通過人們的通話記錄，就可以勾勒出人們的關系網路。電信領域的網路，一般會分析客戶的影響力和客戶流失、產品擴散的關系。
基於通話記錄，可以構建客戶影響力指標體系。採用的指標，大概包括如下，一度人脈、二度人脈、三度人脈、平均通話頻次、平均通話量等。基於社會影響力，分析的結果表明，高影響力客戶的流失會導致關聯客戶的流失。其次，在產品的擴散上，選擇高影響力客戶作為傳播的起點，很容易推動新套餐的擴散和滲透。
此外，社會網路在銀行（擔保網路）、保險（團伙欺詐）、互聯網（社交互動）中也都有很多的應用和案例。
基於文本分析的案例這裡面主要想介紹兩個案例。一個是類似「掃描王」的APP，直接把紙質文檔掃描成電子文檔。相信很多人都用過，這里准備簡單介紹下原理。另外一個是，江湖上總是傳言紅樓夢的前八十回和後四十回，好像並非都是出自曹雪芹之手，這裡面准備從統計的角度聊聊。
字元識別：掃描王APP手機拍照時會自動識別人臉，還有一些APP，例如掃描王，可以掃描書本，然後把掃描的內容自動轉化為word。這些屬於圖像識別和字元識別（Optical Character Recognition）。圖像識別比較復雜，字元識別理解起來比較容易些。
查找了一些資料，字元識別的大概原理如下，以字元S為例。
第一，把字元圖像縮小到標准像素尺寸，例如12*16。注意，圖像是由像素構成，字元圖像主要包括黑、白兩種像素。
第二，提取字元的特徵向量。如何提取字元的特徵，採用二維直方圖投影。就是把字元（12*16的像素圖）往水平方向和垂直方向上投影。水平方向有12個維度，垂直方向有16個維度。這樣分別計算水平方向上各個像素行中黑色像素的累計數量、垂直方向各個像素列上的黑色像素的累計數量。從而得到水平方向12個維度的特徵向量取值，垂直方向上16個維度的特徵向量取值。這樣就構成了包含28個維度的字元特徵向量。
第三，基於前面的字元特徵向量，通過神經網路學習，從而識別字元和有效分類。
文學著作與統計：紅樓夢歸屬這是非常著名的一個爭論，懸而未決。對於紅樓夢的作者，通常認為前80回合是曹雪芹所著，後四十回合為高鶚所寫。其實主要問題，就是想確定，前80回合和後40回合是否在遣詞造句方面存在顯著差異。
這事讓一群統計學家比較興奮了。有些學者通過統計名詞、動詞、形容詞、副詞、虛詞出現的頻次，以及不同詞性之間的相關系做判斷。有些學者通過虛詞（例如之、其、或、亦、了、的、不、把、別、好），判斷前後文風的差異。有些學者通過場景（花卉、樹木、飲食、醫葯與詩詞）頻次的差異，來做統計判斷。總而言之，主要通過一些指標量化，然後比較指標之間是否存在顯著差異，藉此進行寫作風格的判斷。
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2. 三維離散元土石混合體隨機計算模型及單向載入試驗數值模擬
李世海 汪遠年
（中國科學院力學研究所工程科學部 北京 100080）
摘要 針對土石混合體提出了一種隨機計算模型。 在該模型中，可以模擬土石混合比、塊石尺寸、塊石形狀等。給出了隨機模型的實現方法，同時對該隨機模型的演算法可靠性進行了驗證。通過統計分析的方法研究了單軸受壓情況下土石混合體內部應力場分布與土石配比、岩石塊度大小等因素的關系。並進一步給出了土石混合體的應力-應變特性和強度特性。
關鍵詞 隨機模型 土石混合體 統計分析 離散元
岩土工程中經常遇到非連續、不均勻介質，諸如由土石混合體組成的古滑坡體，由碎石堆積的面板堆石壩等。它是介於土體與岩體之間的一種特殊地質體，目前人們對於它的研究還處於探索之中。這類介質的主要特點是：①由鬆散的塊體堆積而成；②塊體的形狀大小不均勻；③塊體在空間隨機分布；④塊體之間經常有充填物。一般來說，塊石和充填土的力學特性可以通過實驗分別獲得，而給出鬆散堆積體的力學特性比較困難，主要原因是：取樣困難、難以進行小尺度的模型實驗、大尺度的模型實驗造價較高、實驗離散度大難以掌握其規律性。因此通過數值模擬的方法研究隨機塊體構成的「岩土」混合體的力學特性是很有意義的。
D.R.Axelrad［1］對離散介質的統計模型及隨機演化與可靠性方面做過比較系統的論述，綜述了分子動力學模型、柵格模型、滲透模型三種離散介質統計模型，這三種模型皆是針對材料的微觀結構提出的，並從能量的角度、運用拓撲幾何以及隨機過程的方法給出了比較詳盡的理論分析。這類模型運用到土石混合體這類更加復雜和不確定的介質還有一定的困難。油新華等［2］對土石混合體做過大型野外水平推剪試驗，在土石混合體的變形特點和抗剪強度方面有一定的認識，可以對數值模擬做一些參考。
本文在對現有3D-NURBM面-面接觸彈性模型［3］塊體單元劃分的基礎上引入了隨機分布特徵參數：塊體密度、彈模、剛度；節理剛度、粘聚力、最大內摩擦角等。用統計分析的方法對單軸受壓情況下土石混合體內部應力場分布進行了研究，分析結果表明土石混合比和塊石尺寸是影響土石混合體內部應力場分布的主要因素。
1 三維離散單元法力學模型及計算方法
本文討論的三維離散元力學模型是基於NURBM（Northwestern University Rigid Block Model）［3］，結合一種新的可變形塊體模型［5］，基本假設如下：①作為單一介質的岩石塊體或充填土體的力學特性是已知的；②每一個塊石或充填土體都是由許多具有相同力學特性的小的岩石或土體塊體單元組成的；③節理的力學參數分為3類：岩石塊體單元之間，土體塊體單元之間以及岩石塊體單元和土體塊體單元之間；④在低應力狀態下，土體可看作彈性體；⑤每一塊體單元的變形可通過應力狀態和本構關系獲得。
2 隨機模型的實現方法
為了實現隨機模型引入了4類參數：①土石混合比；②塊體尺寸；③塊體形狀參數；④一定形狀塊體在空間的方位。
計算方法如下。
2.1 土石混合比的空間分布
現有3 D-NURBM塊體單元劃分是基於三組節理面切割而形成的許多相互接觸的平行六面體單元。給定混合比，對土石塊體單元進行分布的方法如下所述。
定義每一個塊體單元為0到1之間的一個值。設F（x）＝x為0到1之間的均勻分布函數。如果岩塊與土的混合比是ω，分離量A可定義為ω＝A/（1 -A），從而，A＝ω/（1＋ω）。對於每一塊體單元可以賦值0 到1 之間的隨機變數值x，如果F（x）小於A，塊體單元標識為岩石，否則為土體單元。當標識完所有的塊體單元後，岩石和土體塊體單元的分配工作完成，並且整個研究區域的混合比接近1∶4。
2.2 塊體尺寸大小選取
現場岩石塊度的大小不均勻，形狀也不相同。為了使岩石的尺寸接近真正的岩石塊度大小，需要建立塊體尺寸模型。
將整個研究區域劃分成若干個子區域，子區域的三維尺寸與基於隨機意義上的岩石塊度的最大、最小長度相一致。如果子區域在三維方向上的層數分別為Li，Lj，Lk，那麼每一子區域的塊體單元總數（MT）為
2.3 塊體形狀參數
在每個子區域中，相同的MR有很多種集合方式。考慮到子區域單元的總數和石塊所含單元數的個數，可以得到塊體的形狀參數。假定岩石塊體在3個不同方向上的最大層數即形狀參數為N1，N2，N3（分別不大於子區域參數Li，Lj，Lk），這些參數均是隨機產生的，隨機生成方法如下：
土石混合體
［］表示當［］內的數為整數時取其本身，否則取整後再加1；getstoc（m，n）是用來產生m到n之間的整數的隨機生成函數。
2.4 一定形狀塊體在空間的方位
實際情況中，岩體的形狀是千變萬化的。為了更確切地描述岩體，隨機選取平行六面體子區域的一個角點作為起始點進行集中排列岩石單元。當按照形狀參數N1，N2，N3集中排列完所有岩石單元MR後，該子區域岩石單元的隨機聚集排列工作就完成了。除了岩石單元，子區域內剩下的塊體單元都被標識為土體單元。當循環完所有的子區域，整個研究區域的隨機集中排列就結束了。有些情況下，會出現子區域內並非充滿著實際的塊體單元，即在某些研究區域邊界的地方會出現部分子區域不完整現象，給出子區域的實際單元總數（MA）用來判斷子區域是否完整。
2.5 塊體單元和接觸單元物理參數賦值
在三維離散元計算中，研究對象是以塊體和接觸兩部分特理單元形式出現的，對應不同的塊體和接觸，有相應的物理參數：塊體幾何參數、密度、質量、轉動慣量、彈模、泊松比、剛度；接觸剛度、內聚力、最大內摩擦角等。
對應同一種介質這些參數都是固定的，而在不同介質情況下，相應不同介質塊體單元的物理參數與不同接觸單元（比如土-土、土-石、石-石接觸）的物理參數均不同。
3 土石混合體空間分布模擬結果
3.1 混合比隨機分布結果
驗證按一定混合比隨機生成的岩石塊體單元數，算例中研究區域為20m×20m×20m、正交節理且三組節理間距皆為1m，混合比為1∶4，研究區域塊體單元總數（NT）為8000。由表1可看出不同隨機過程生成的岩石塊體單元數基本符合預先給定的混合比要求。
表1 混合比隨機分布計算結果（NT＝8000）
3.2 塊石空間形態隨機分布
圖1是對4m×4m×4m的一個子區域、混合比為1∶4的塊體單元不同次隨機分布集中後的塊體單元形心空間形態示意圖。圖2是對40m×60m×80m的研究區域、三組正交節理（節理間距均為1m）、4m×4m×4m的子區域、混合比為1∶4的塊體單元隨機分布集中後在x＝20.5m斷面上的岩石塊體單元型心分布情況。可以看出不同次隨機過程產生的空間分布隨機性比較好，對於土石混合體，可較接近真實地反映現場地質條件。
圖1 子區域岩石塊體單元隨機集中空間形態示意圖
圖2 某一斷面上岩石塊體單元的分布情況（40%岩石）
4 土石混合體單向載入數值模擬試驗
為研究土石混合體的力學特性，採用了單向載入數值模擬試驗（軸向均布荷載：0.7MPa，側向自由邊界）。
4.1 計算參數選取
4.2 不同隨機生成情況下的塊體應力統計分析
參加的統計量均為各塊體型心上的物理量，分別給出了各統計物理量的平均值和標准方差，並且有
表2 塊體單元物理參數
表3 接觸單元物理參數
算例中研究區域為20m×20m×20m、正交節理且三組節理間距皆為1m、子區域為4m×4m×4m、混合比為1∶4。
表4給出了相同混合比不同隨機過程下的塊體單元最大主應力和最大剪應力的統計分析結果，其中包括均值、最大最小值以及標准差。總共進行了9次隨機模擬，結果顯示均值、最大最小值、標准差的差別分別在1%，10%，5%左右，統計的最大值通常是均值的10倍左右。可以認為不同隨機過程低於15%的差別是可以接受的。
表4 不同隨機過程下塊體單元應力統計分析結果（載入0.7MPa）
更為重要的是知道有多大區域的應力值高於強度值，也就是說在離散元計算中有多少塊體單元的應力值超出強度范圍。圖3給出了在同一塊度大小、不同隨機過程（a）和不同混合比（b）情況下的塊體單元最大剪應力的統計分布圖，其中水平軸代表塊體單元的最大剪應力值，豎直軸代表處在一定應力值下的塊體單元數占總塊體單元數的百分比。由圖中我們可以明顯看出：不同隨機過程下的塊體單元最大剪應力的統計分布差異很小；而不同混合比情況下則差異比較明顯，當100%岩石時，即為均勻介質，塊體單元的最大剪應力值基本上都穩定在0.4 MPa左右。
圖3 不同隨機過程（a）和不同混合比（b）情況下的塊體單元最大剪應力τmax的統計分布圖（相同塊度大小）
由計算輸出結果和統計分析可以看出，不同隨機過程下的結果盡管有一些波動但基本上穩定在某一特定范圍內。由於不同次隨機過程塊體單元的局部分布略有不同導致局部應力集中的差異，所以統計量中的最大值和最小值的最大誤差（Max-error）相對於其他統計量顯得更大。
4.3 不同混合比情況下的塊體單元應力統計分析
算例中研究區域為20m×20m×20m、正交節理且三組節理間距皆為1m、子區域為4m×4m×4m。
統計結果顯示（表5）：岩石塊體含量在40%左右時應力空間分布的離散性最大，而在接近完全岩石或土體時離散性最小，可以忽略。當改變岩石塊度大小時，結果有可能變化，但是我們可以確定混合比對應力的分布有很大的影響。
表5 不同配比情況下的塊體單元應力統計分析（載入0.7MPa）
4.4 不同塊度大小情況下的內部應力場分布
下面的算例是針對不同岩石塊度大小的：研究區域為30m×30m×30m、正交節理且三組節理間距皆為1m、混合比1∶4。
圖4給出了當塊體尺寸分別為5m和15m（即子區域大小）時最大剪應力的分布。由於土體和岩石有著不同的強度，最大剪應力並不能直觀反映混合體內部某一點處的破壞狀態。在此有必要引入一個無量綱量——破壞度l，類似於安全系數：
圖4 不同塊度大小情況下斷面x＝15.5m 上最大剪應力（τmax）等值線圖
土石混合體
式中：c、φ分別為內聚力和最大內摩擦角。顯然相同應力狀態下對於岩石和土體來說破壞度是不同的。根據三維莫爾庫侖准則，對於空間一點，當l＞1時處於穩定狀態（不滑動），而當l＜1時塊體會在節理面上產生滑動。
取岩體的內聚力和最大內摩擦角分別為2MPa，36°；土體的內聚力和最大內摩擦角分別為0.02MPa，27°。
圖5給出了在不同塊度下，斷面x＝15.5 m上破壞度的等值線圖，可以明顯地分辨出哪些區域是破壞危險區域，哪些區域是相對穩定區域。圖6給出了相應於圖4，圖5算例的斷面x＝15.5 m上岩石塊體單元的型心分布圖，由結果我們可以看出岩石塊體單元集中的地方往往是相對高應力狀態區，在岩石和土體交界面的地方容易發生破壞。由於計算中沒有考慮強度准則，即使大部分區域達到了破壞狀態，但是，材料仍然沒有失穩。
圖5 不同塊度大小情況下斷面x＝15.5m 上破壞度l 的等值線圖
圖6 不同塊度大小情況下斷面x＝15.5m 上岩石塊體單元的形心分布圖
4.5 考慮破壞強度的計算結果
在離散元計算中，塊體單元之間可以相互分離和滑動。在對土石混合體進行單向載入過程中，由於空間分布的不均勻性會造成局部應力集中，從而有可能使部分塊體出現滑動和分離，但整體並未表現失穩狀態，只有當較多塊體發生滑動、分離並形成貫通面時，才認為整體發生了破壞。
由以上的統計分析結果可知，土石混合比和岩石塊度大小是影響土石混合體宏觀變形參數和強度參數的兩個重要因素。對土石混合體進行單向數值模擬試驗，分別改變混合比和塊度大小，對其結果作宏觀應力-應變分析。
從圖7中可以看到：
（1）應力、應變關系有「塑性」段出現，塑性是由於滑移面增多的結果。
（2）當岩石含量達到80%時，出現脆性破壞。
（3）岩石含量越高，強度越大。
圖7 相同塊度大小（3m×3m×3m）不同混合比情況下應力-應變曲線圖
（4）土石混合體在岩石含量較低的情況下表現為近似土體的性質，而當岩石含量較高時則表現為近似岩石的性質。
岩石含量為80%時其彈性模量近似為20GPa，與岩石的彈性模量Er＝30GPa比較接近。岩石含量為20%時其彈性模量近似為3GPa，與土體的彈性模量Es＝2GPa比較接近。
圖8表明：
（1）岩石塊度遠小於研究區域時，應力、應變呈現線彈性，即可以認為是宏觀均勻材料。
（2）岩石塊度增大，應力、應變曲線呈現分段線性的現象，應力較大時，區域內滑移接觸面增多，宏觀表現為塑性過程。
（3）隨著岩石塊度增大，破壞強度明顯降低。主要是由於岩石塊度越大，土石混合體內部的弱面就越相對比較集中，從而容易導致整體的失穩。
（4）塊度較小時，土體單元的變形相對充分，導致岩石塊度很小時變形模量較小，而隨著塊度增大變形模量變大。
圖8 相同混合比（40%岩石）不同塊度情況下應力-應變曲線
5 結論
（1）該隨機模型的可靠性較好，數值模擬可以給出土石混合體的隨機分布狀態。
（2）針對同一研究條件，不同隨機過程穩定性較好。
（3）對於不同的土石混合比，在單軸載入下的內部應力場分布會有不同，根據統計分析得出：在土石比為3∶2時，應力場空間分布不均勻性最明顯。
（4）岩石塊度大小對內部應力場分布影響很大，岩石塊體單元集中的地方一般是高應力區。
（5）土石混合體的混合比和岩石塊度大小是影響其變形和破壞特性的兩個重要因素。
參考文獻
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［7］ Cundall P A.A computer model for simulating progressive，large scale movements in blocky rock systems.Proceedings of the International Symposium Rock Fracture，ISRM，Vol.Nancy，1971
3. 如何在小學數學教學中滲透數學建模思想
在《數學課程標准》我們發現這樣一句話——「讓學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型並進行解釋與應用的過程，進而使學生獲得對數學理解的同時，在思維能力、情感態度與價值觀等多方面得到進步和發展。」,這實際上就是要求把學生學習數學知識的過程當做建立數學模型的過程,並在建模過程中培養學生的數學應用意識,引導學生自覺地用數學的方法去分析、解決生活中的問題。明確要求教師在教學中引導學生建立數學模型，不但要重視其結果，更要關注學生自主建立數學模型的過程，讓學生在進行探究性學習的過程中科學地、合理地、有效地建立數學模型。
一、數學模型的概念
數學模型是對某種事物系統的特徵或數量依存關系概括或近似表述的數學結構。數學中的各種概念、公式和理論都是由現實世界的原型抽象出來的,從這個意義上講,所有的數學知識都是刻畫現實世界的模型。狹義地理解,數學模型指那些反映了特定問題或特定具體事物系統的數學關系結構,是相應系統中各變數及其相互關系的數學表達。數學建模就是建立數學模型來解決問題的方法。《數學課程標准》安排了「數與代數」「空間與圖形」「統計與概率」「實踐與綜合應用」四塊學習領域,強調學生的數學活動,發展學生的數感、符號感、空間觀念、以及應用意識與推理的能力。這些內容中最重要的部分,就是數學模型。在小學階段,數學模型的表現形式為一系列的概念系統,演算法系統,關系、定律、公理系統等。
二、小學數學教學滲透數學建模思想的可行性
數學模型不僅為數學表達和交流提供有效途徑，也為解決現實問題提供重要工具，可以幫助學生准確、清晰地認識、理解數學的意義。在小學數學教學活動中，教師應採取有效措施，加強數學建模思想的滲透，提高學生的學習興趣，培養學生用數學意識以及分析和解決實際問題的能力。數學在本質上就是在不斷的抽象、概括、模式化的過程中發展和豐富起來的。數學學習只有深入到「模型」、「建模」的意義上，才是一種真正的數學學習。這種「深入」，就小學數學教學而言，更多地是指用數學建模的思想和精神來指導著數學教學，「從學生已有的生活經驗出發，讓學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型並進行解釋與運用的過程，進而使學生獲得對數學的理解的同時，在思維能力、情感態度與價值觀等多方面得到進入和發展。」
對數學建模這個概念來講也許是新的，但回想我們的日常教學不難發現我們的學生已經有數學建模的思想或意識，只不過沒有從理論的角度把它概括出來而已。例如，在以往教學求比一個數多幾的應用題時，經常碰到這樣一個例題「小明家養了6隻公雞，養的母雞只數比公雞多3 只，母雞有幾只？」在教學此例時老師們都是採用讓學生擺、說等教學活動來幫助學生分析數量關系，理解「同樣多的部分」，但教學效果並沒有我們老師想像的那麼好，一般同學們在解釋數量關系式6+3=9時，母雞和公雞是不分的，極大部分學生都會說6隻公雞加3隻母雞等於9隻母雞。為什麼學生不會用「同樣多的部分」去描述母雞的只數，其原因是十分明顯的，那就是學生在操作時頭腦中已經對現實問題進行簡化，並建立了一個有關母雞只數求法的數學模型，這個模型顯然是一種疊加模型，即6+3=9（只），而6表示什麼在模型中已經是無關緊要，因為實際問題最終要解決的是數量問題。從以上這個教學實例至少可以說明兩點；其一，小學生在解決實際問題時有他自己的數學模型，有他自圓其說的解讀數學模型的方法，因此，小學生也有數學建模能力 。其二，當學生的數學模型一旦建立了以後，即使他的模型是不合理或不規范的，但外人很難改變他的模型結構。
三、小學生如何形成自己的數學建模
一、創設情境，感知數學建模思想。
數學來源於生活，又服務於生活，因此，要將現實生活中發生的與數學學習有關的素材及時引入課堂，要將教材上的內容通過生活中熟悉的事例，以情境的方式在課堂上展示給學生，描述數學問題產生的背景。情景的創設要與社會生活實際、時代熱點問題、自然、社會文化等與數學問題有關的各種因素相結合，讓學生感到真實、新奇、有趣、可操作，滿足學生好奇好動的心理要求。這樣很容易激發學生的興趣，並在學生的頭腦中激活已有的生活經驗，也容易使學生用積累的經驗來感受其中隱含的數學問題，從而促使學生將生活問題抽象成數學問題，感知數學模型的存在。
如教學平均數一課，新課伊始出示兩個小組一分鍾做題道數：
第一組 9 8 9 6
第二組 7 10 9 8
教師提問：哪組獲勝，為什麼？
這時出示，第一組請假的一位同學後來加入比賽。
第一組 9 8 9 6 8
第二組 7 10 9 8
師：根據比賽成績我們判定一組獲勝。
此時有學生提出異議：雖然第一組做對的總道數比第二組多，但是兩個隊的人數不同，這樣比較不公平。
師：那怎麼辦呢？
生：可以用平均數進行比較。
師：什麼是平均數？
學生根據自己的生活經驗進行總結。
本節課平均數這一抽象的知識隱藏在具體的問題情境中，學生在兩次評判中解讀、整理數據，產生思維沖突，從而推進數學思考的有序進行。學生從具體的問題情境中抽出平均數這一數學問題的過程就是一次建模的過程，
二、參與探究，主動建構數學模型
數學家華羅庚通過多年的學習、研究經歷總結出：對書本中的某些原理、定律、公式，我們在學習的時候不僅應該記住它的結論、懂得它的道理，而且還應該設想一下人家是怎樣想出來的，怎樣一步一步提煉出來的。只有經歷這樣的探索過程，數學的思想、方法才能沉積、凝聚，從而使知識具有更大的智慧價值。動手實踐、自主探索與合作交流是學生學習數學的重要方式。學生的數學學習活動應當是一個主動、活潑的、生動和富有個性的過程。因此，在教學時我們要善於引導學生自主探索、合作交流，對學習過程、學習材料、學習發現主動歸納、提升，力求建構出人人都能理解的數學模型。
如教學圓錐的體積一課：
1、回顧、猜想：
師：請同學們回憶我們在學習圓柱的體積推導過程中，應用了哪些數學思想方法？
生：運用了轉化的方法。
師：猜一猜圓錐的體積能否轉化成已經學過的圖形的體積？它會與學過的哪種立體圖形有關？
學生大膽進行猜想，有的猜能轉化成圓柱、有的猜能轉化成長、正方體。
2、動手驗證
師：請同學們利用手中的學具進行操作，研究圓錐體積的計算方法。
教師給學生提供多個圓柱、長方體、正方體和圓錐空盒（其中圓柱和圓錐有等底等高關系的、有不等底不等高關系的，圓錐與其他形體沒有等底或等高關系）、沙子等學具，學生分小組動手實驗。
3、反饋交流
生1：我們選取了一個圓錐和一個正方體進行實驗，將正方體中倒滿沙子，然後倒入圓錐容器中，到了四次，還剩下一些，發現圓錐體與這個圓柱體之間沒有關系。
生2：我們組選取的是圓錐和圓柱，這個圓錐與這個圓柱之間也沒存在關系，然後我們換了一個圓柱，這個圓柱的體積是這個圓錐體積的三倍。
4、歸納總結。
師：那麼存在3倍關系的圓柱和圓錐的底面有什麼關系?它們的高又有什麼關系?
生3：底面積相等，高也相等。
師：圓柱的體積和同它等底等高圓錐的體積的有什麼關系?
生：圓柱的體積是圓錐體積的3倍。
生：圓錐的體積是同它等底等高的圓柱體權的1/3。
師：是不是所有的等底等高的圓柱、圓錐都存在這樣的關系？請每個組都選出這樣的學具進行操作驗證。
生：匯報後師板書:
圓錐的體積等於同它等底等高的圓柱體積的1/3。
師：如果沒有圓柱這一輔助工具，我們怎樣計算圓錐的體積？
生：圓錐的體積等於底面積乘高乘1/3。
在上述教學過程中，教師提供豐富的實驗材料，學生需要從中挑選出解決問題必須的材料進行研究。學生的問題不是一步到位的，通過不斷地猜測、驗證、修訂實驗方案，再猜測、再驗證這樣的過程，逐步過渡到復雜的、更一般的情景，學生在主動探索嘗試過程中，進行了再創造學習，以抽象概括方式自主總結出圓錐體積計算公式。這一環節的設計，不僅發展了學生的策略性知識，同時讓學生經歷猜測與驗證、分析與歸納、抽象與概括的數學思維過程。學習過程中學生有時獨立思考，有時小組合作學習，有時是獨立探索和合作學習相結合，學生在新知探索中充分體驗了數學模型的形成過程。
三、解決問題，拓展應用數學模型
用所建立的數學模型來解答生活實際中的問題，讓學生能體會到數學模型的實際應用價值，體驗到所學知識的用途和益處，進一步培養學生應用數學的意識和綜合應用數學知識解決問題的能力，讓學生體驗實際應用帶來的快樂。解決問題具體表現在兩個方面：一是布置數學題作業，如基本題、變式題、拓展題等；二是生活題作業，讓學生在實際生活中應用數學。通過應用真正讓數學走入生活，讓數學走近學生。用數學知識去解決實際問題的同時拓展數學問題，培養學生的數學意識，提高學生的數學認知水平，又可以促進學生的探索意識、發現問題意識、創新意識和實踐意識的形成，使學生在實際應用過程中認識新問題，同化新知識，並構建自己的智力系統。
如在學生掌握了速度、時間、路程之間關系後，先進行單項練習，然後出示這樣的變式題：
1、汽車4小時行駛了240千米，12小時可行駛多少千米？
2、火車的速度是每小時130千米，火車早上8：00出發，14：00到站，兩站之間的距離是多少千米？
學生在掌握了速度乘時間等於路程這一模型後，進行變式練習，學生基本能正確解答，說明學生對基本數學模型已經掌握，並能夠從4小時行駛了240千米中找到需要的速度，從8：00至14：00中找到所需時間。雖然兩題敘述不同，但都可以運用同一個數學模型進行解答。掌握了數學模型，學生解答起數學問題來得心應手。
又如學習了圓的周長後設計這樣的題目：怎樣利用你的自行車測量學校到家裡的實際距離。
這一問題的設計既考慮與學生生活的真實情景相結合，又能引起學生的猜測、估計、操作、觀察、思考等具體的學習活動，並能使學生在具體的學習活動中學會搜集資料、分析問題。在解決實際問題中，學生需要搜集大量的信息，並從信息中剔除無用信息，留下有用信息，構建起數學模型，並運用數學模型進行計算、解決問題。在這一過程中，學生易於形成實事求是的態度以及進行質疑和獨立思考的習慣，激發學生的創新精神。因此，我們在教學過程中，應注重學生建模思想的形成與運用。
綜上所述，小學數學建模思想的形成過程是一個綜合性的過程，是數學能力和其他各種能力協同發展的過程。在數學教學過程中進行數學建模思想的滲透，不僅可以使學生體會到數學並非只是一門抽象的學科，而且可以使學生感覺到利用數學建模的思想結合數學方法解決實際問題的妙處，進而對數學產生更大的興趣。通過建模教學，可以加深學生對數學知識和方法的理解和掌握，調整學生的知識結構，深化知識層次。同時，培養學生應用數學的意識和自主、合作、探索、創新的精神，為學生的終身學習、可持續發展奠定基礎。因此在數學課堂教學中，教師應逐步培養學生數學建模的思想、方法，形成學生良好的思維習慣和用數學的能力。
4. 模型與演算法之間是什麼關系
模型是一類問題的解題步驟，亦即一類問題的演算法。如果問題的演算法不具有一般性，就沒有必要為演算法建立模型，因為此時個體和整體的對立不明顯，模型的抽象性質也體現不出來。
數學模型還沒有一個統一的准確的定義，因為站在不同的角度可以有不同的定義。不過我們可以給出如下定義。"數學模型是關於部分現實世界和為一種特殊目的而作的一個抽象的、簡化的結構。"具體來說，數學模型就是為了某種目的，用字母、數字及其它數學符號建立起來的等式或不等式以及圖表、圖象、框圖等描述客觀事物的特徵及其內在聯系的數學結構表達式。
演算法（Algorithm）是指解題方案的准確而完整的描述，是一系列解決問題的清晰指令，演算法代表著用系統的方法描述解決問題的策略機制。也就是說，能夠對一定規范的輸入，在有限時間內獲得所要求的輸出。如果一個演算法有缺陷，或不適合於某個問題，執行這個演算法將不會解決這個問題。不同的演算法可能用不同的時間、空間或效率來完成同樣的任務。一個演算法的優劣可以用空間復雜度與時間復雜度來衡量。
5. 數據挖掘十大經典演算法及各自優勢
數據挖掘十大經典演算法及各自優勢
不僅僅是選中的十大演算法，其實參加評選的18種演算法，實際上隨便拿出一種來都可以稱得上是經典演算法，它們在數據挖掘領域都產生了極為深遠的影響。
1. C4.5
C4.5演算法是機器學習演算法中的一種分類決策樹演算法,其核心演算法是ID3演算法. C4.5演算法繼承了ID3演算法的優點，並在以下幾方面對ID3演算法進行了改進：
1) 用信息增益率來選擇屬性，克服了用信息增益選擇屬性時偏向選擇取值多的屬性的不足；2) 在樹構造過程中進行剪枝；3) 能夠完成對連續屬性的離散化處理；4) 能夠對不完整數據進行處理。
C4.5演算法有如下優點：產生的分類規則易於理解，准確率較高。其缺點是：在構造樹的過程中，需要對數據集進行多次的順序掃描和排序，因而導致演算法的低效。
2. The k-means algorithm 即K-Means演算法
k-means algorithm演算法是一個聚類演算法，把n的對象根據他們的屬性分為k個分割，k < n。它與處理混合正態分布的最大期望演算法很相似，因為他們都試圖找到數據中自然聚類的中心。它假設對象屬性來自於空間向量，並且目標是使各個群組內部的均 方誤差總和最小。
3. Support vector machines
支持向量機，英文為Support Vector Machine，簡稱SV機（論文中一般簡稱SVM）。它是一種監督式學習的方法，它廣泛的應用於統計分類以及回歸分析中。支持向量機將向量映射到一個更 高維的空間里，在這個空間里建立有一個最大間隔超平面。在分開數據的超平面的兩邊建有兩個互相平行的超平面。分隔超平面使兩個平行超平面的距離最大化。假 定平行超平面間的距離或差距越大，分類器的總誤差越小。一個極好的指南是C.J.C Burges的《模式識別支持向量機指南》。van der Walt 和 Barnard 將支持向量機和其他分類器進行了比較。
4. The Apriori algorithm
Apriori演算法是一種最有影響的挖掘布爾關聯規則頻繁項集的演算法。其核心是基於兩階段頻集思想的遞推演算法。該關聯規則在分類上屬於單維、單層、布爾關聯規則。在這里，所有支持度大於最小支持度的項集稱為頻繁項集，簡稱頻集。
5. 最大期望(EM)演算法
在統計計算中，最大期望（EM，Expectation–Maximization）演算法是在概率（probabilistic）模型中尋找參數最大似然 估計的演算法，其中概率模型依賴於無法觀測的隱藏變數（Latent Variabl）。最大期望經常用在機器學習和計算機視覺的數據集聚（Data Clustering）領域。
6. PageRank
PageRank是Google演算法的重要內容。2001年9月被授予美國專利，專利人是Google創始人之一拉里·佩奇（Larry Page）。因此，PageRank里的page不是指網頁，而是指佩奇，即這個等級方法是以佩奇來命名的。
PageRank根據網站的外部鏈接和內部鏈接的數量和質量倆衡量網站的價值。PageRank背後的概念是，每個到頁面的鏈接都是對該頁面的一次投票， 被鏈接的越多，就意味著被其他網站投票越多。這個就是所謂的「鏈接流行度」——衡量多少人願意將他們的網站和你的網站掛鉤。PageRank這個概念引自 學術中一篇論文的被引述的頻度——即被別人引述的次數越多，一般判斷這篇論文的權威性就越高。
7. AdaBoost
Adaboost是一種迭代演算法，其核心思想是針對同一個訓練集訓練不同的分類器(弱分類器)，然後把這些弱分類器集合起來，構成一個更強的最終分類器 (強分類器)。其演算法本身是通過改變數據分布來實現的，它根據每次訓練集之中每個樣本的分類是否正確，以及上次的總體分類的准確率，來確定每個樣本的權 值。將修改過權值的新數據集送給下層分類器進行訓練，最後將每次訓練得到的分類器最後融合起來，作為最後的決策分類器。
8. kNN: k-nearest neighbor classification
K最近鄰(k-Nearest Neighbor，KNN)分類演算法，是一個理論上比較成熟的方法，也是最簡單的機器學習演算法之一。該方法的思路是：如果一個樣本在特徵空間中的k個最相似(即特徵空間中最鄰近)的樣本中的大多數屬於某一個類別，則該樣本也屬於這個類別。
9. Naive Bayes
在眾多的分類模型中，應用最為廣泛的兩種分類模型是決策樹模型(Decision Tree Model)和樸素貝葉斯模型（Naive Bayesian Model，NBC）。 樸素貝葉斯模型發源於古典數學理論，有著堅實的數學基礎，以 及穩定的分類效率。同時，NBC模型所需估計的參數很少，對缺失數據不太敏感，演算法也比較簡單。理論上，NBC模型與其他分類方法相比具有最小的誤差率。 但是實際上並非總是如此，這是因為NBC模型假設屬性之間相互獨立，這個假設在實際應用中往往是不成立的，這給NBC模型的正確分類帶來了一定影響。在屬 性個數比較多或者屬性之間相關性較大時，NBC模型的分類效率比不上決策樹模型。而在屬性相關性較小時，NBC模型的性能最為良好。10. CART: 分類與回歸樹
CART, Classification and Regression Trees。 在分類樹下面有兩個關鍵的思想。第一個是關於遞歸地劃分自變數空間的想法；第二個想法是用驗證數據進行剪枝。
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6. 滲透理論的介紹
滲透理論是溶質滲透模型的簡稱。傳質理論模型之一，由希格比（Higbie）於1935年提出。這一模型考慮了為雙膜理論所忽略的、形成濃度梯度的過度時間。
7. 遺傳演算法的基本原理
遺傳演算法的基本原理和方法
一、編碼
編碼：把一個問題的可行解從其解空間轉換到遺傳演算法的搜索空間的轉換方法。
解碼（解碼）：遺傳演算法解空間向問題空間的轉換。
二進制編碼的缺點是漢明懸崖（Hamming Cliff），就是在某些相鄰整數的二進制代碼之間有很大的漢明距離，使得遺傳演算法的交叉和突變都難以跨越。
格雷碼（Gray Code）：在相鄰整數之間漢明距離都為1。
（較好）有意義的積木塊編碼規則：所定編碼應當易於生成與所求問題相關的短距和低階的積木塊；最小字元集編碼規則，所定編碼應採用最小字元集以使問題得到自然的表示或描述。
二進制編碼比十進制編碼搜索能力強，但不能保持群體穩定性。
動態參數編碼（Dynamic Paremeter Coding）：為了得到很高的精度，讓遺傳演算法從很粗糙的精度開始收斂，當遺傳演算法找到一個區域後，就將搜索現在在這個區域，重新編碼，重新啟動，重復這一過程，直到達到要求的精度為止。
編碼方法：
1、 二進制編碼方法
缺點：存在著連續函數離散化時的映射誤差。不能直接反映出所求問題的本身結構特徵，不便於開發針對問題的專門知識的遺傳運算運算元，很難滿足積木塊編碼原則
2、 格雷碼編碼：連續的兩個整數所對應的編碼之間僅僅只有一個碼位是不同的，其餘碼位都相同。
3、 浮點數編碼方法：個體的每個基因值用某一范圍內的某個浮點數來表示，個體的編碼長度等於其決策變數的位數。
4、 各參數級聯編碼：對含有多個變數的個體進行編碼的方法。通常將各個參數分別以某種編碼方法進行編碼，然後再將他們的編碼按照一定順序連接在一起就組成了表示全部參數的個體編碼。
5、 多參數交叉編碼：將各個參數中起主要作用的碼位集中在一起，這樣它們就不易於被遺傳運算元破壞掉。
評估編碼的三個規范：完備性、健全性、非冗餘性。
二、選擇
遺傳演算法中的選擇操作就是用來確定如何從父代群體中按某種方法選取那些個體遺傳到下一代群體中的一種遺傳運算，用來確定重組或交叉個體，以及被選個體將產生多少個子代個體。
常用的選擇運算元：
1、 輪盤賭選擇（Roulette Wheel Selection）：是一種回放式隨機采樣方法。每個個體進入下一代的概率等於它的適應度值與整個種群中個體適應度值和的比例。選擇誤差較大。
2、 隨機競爭選擇（Stochastic Tournament）：每次按輪盤賭選擇一對個體，然後讓這兩個個體進行競爭，適應度高的被選中，如此反復，直到選滿為止。
3、 最佳保留選擇：首先按輪盤賭選擇方法執行遺傳演算法的選擇操作，然後將當前群體中適應度最高的個體結構完整地復制到下一代群體中。
4、 無回放隨機選擇（也叫期望值選擇Excepted Value Selection）：根據每個個體在下一代群體中的生存期望來進行隨機選擇運算。方法如下
（1） 計算群體中每個個體在下一代群體中的生存期望數目N。
（2） 若某一個體被選中參與交叉運算，則它在下一代中的生存期望數目減去0.5，若某一個體未被選中參與交叉運算，則它在下一代中的生存期望數目減去1.0。
（3） 隨著選擇過程的進行，若某一個體的生存期望數目小於0時，則該個體就不再有機會被選中。
5、 確定式選擇：按照一種確定的方式來進行選擇操作。具體操作過程如下：
（1） 計算群體中各個個體在下一代群體中的期望生存數目N。
（2） 用N的整數部分確定各個對應個體在下一代群體中的生存數目。
（3） 用N的小數部分對個體進行降序排列，順序取前M個個體加入到下一代群體中。至此可完全確定出下一代群體中M個個體。
6、無回放余數隨機選擇：可確保適應度比平均適應度大的一些個體能夠被遺傳到下一代群體中，因而選擇誤差比較小。
7、均勻排序：對群體中的所有個體按期適應度大小進行排序，基於這個排序來分配各個個體被選中的概率。
8、最佳保存策略：當前群體中適應度最高的個體不參與交叉運算和變異運算，而是用它來代替掉本代群體中經過交叉、變異等操作後所產生的適應度最低的個體。
9、隨機聯賽選擇：每次選取幾個個體中適應度最高的一個個體遺傳到下一代群體中。
10、排擠選擇：新生成的子代將代替或排擠相似的舊父代個體，提高群體的多樣性。
三、交叉
遺傳演算法的交叉操作，是指對兩個相互配對的染色體按某種方式相互交換其部分基因，從而形成兩個新的個體。
適用於二進制編碼個體或浮點數編碼個體的交叉運算元：
1、單點交叉（One－pointCrossover）：指在個體編碼串中只隨機設置一個交叉點，然後再該點相互交換兩個配對個體的部分染色體。
2、兩點交叉與多點交叉：
（1） 兩點交叉（Two－pointCrossover）：在個體編碼串中隨機設置了兩個交叉點，然後再進行部分基因交換。
（2） 多點交叉（Multi－pointCrossover）
3、均勻交叉（也稱一致交叉，UniformCrossover）：兩個配對個體的每個基因座上的基因都以相同的交叉概率進行交換，從而形成兩個新個體。
4、算術交叉（ArithmeticCrossover）：由兩個個體的線性組合而產生出兩個新的個體。該操作對象一般是由浮點數編碼表示的個體。
四、變異
遺傳演算法中的變異運算，是指將個體染色體編碼串中的某些基因座上的基因值用該基因座上的其它等位基因來替換，從而形成以給新的個體。
以下變異運算元適用於二進制編碼和浮點數編碼的個體：
1、基本位變異（SimpleMutation）：對個體編碼串中以變異概率、隨機指定的某一位或某幾位僅因座上的值做變異運算。
2、均勻變異（UniformMutation）：分別用符合某一范圍內均勻分布的隨機數，以某一較小的概率來替換個體編碼串中各個基因座上的原有基因值。（特別適用於在演算法的初級運行階段）
3、邊界變異（BoundaryMutation）：隨機的取基因座上的兩個對應邊界基因值之一去替代原有基因值。特別適用於最優點位於或接近於可行解的邊界時的一類問題。
4、非均勻變異：對原有的基因值做一隨機擾動，以擾動後的結果作為變異後的新基因值。對每個基因座都以相同的概率進行變異運算之後，相當於整個解向量在解空間中作了一次輕微的變動。
5、高斯近似變異：進行變異操作時用符號均值為P的平均值，方差為P2的正態分布的一個隨機數來替換原有的基因值。
8. 模型與演算法之間是什麼關系
模型是一類問題的解題步驟，亦即一類問題的演算法。如果問題的演算法不具有一般性，就沒有必要為演算法建立模型，因為此時個體和整體的對立不明顯，模型的抽象性質也體現不出來。
數學模型還沒有一個統一的准確的定義，因為站在不同的角度可以有不同的定義。不過我們可以給出如下定義。"數學模型是關於部分現實世界和為一種特殊目的而作的一個抽象的、簡化的結構。"具體來說，數學模型就是為了某種目的，用字母、數字及其它數學符號建立起來的等式或不等式以及圖表、圖象、框圖等描述客觀事物的特徵及其內在聯系的數學結構表達式。
演算法（Algorithm）是指解題方案的准確而完整的描述，是一系列解決問題的清晰指令，演算法代表著用系統的方法描述解決問題的策略機制。也就是說，能夠對一定規范的輸入，在有限時間內獲得所要求的輸出。如果一個演算法有缺陷，或不適合於某個問題，執行這個演算法將不會解決這個問題。不同的演算法可能用不同的時間、空間或效率來完成同樣的任務。一個演算法的優劣可以用空間復雜度與時間復雜度來衡量。
9. 如何在小學數學教學中滲透數學思想
摘要： 數學思想方法是人類思想文化寶庫中的瑰寶，是數學的精髓。「小學數學思想方法」是在小學數學中運用的研究問題的思想和方法。探討在小學數學教學中滲透數學思想方法有利於深刻地理解數學的內容和知識體系；有利於提高學生的數學素質；有利於對學生進行美育的滲透和辨證唯物主義的啟蒙教育；有利於教師以較高的觀點分析處理小學教材。本論文從分析教材和參考教育資料上探討小學數學教材中數學思想方法的重要性，搜索和概括小學數學中幾種常用的數學思想方法及教學策略，例如符號化思想、數學模型、統計思想等；滲透數學思想方法的教學中證明：有目的、有計劃的滲透數學思想方法可以讓不同程度的學生從中受益，從而提高數學學習的效率及教學質量。
關鍵詞：數學思想方法 滲透
小學數學教學不僅要傳授學生知識，而且也要在教學中滲透數學思想方法。數學思想方法是數學知識不可分割的有機組成部分，小學數學教材中，蘊含了許多數學思想和方法，如符號化思想、數學模型思想、統計思想、化歸思想、組合思想、變換思想、對應思想、極限思想、集合思想、轉化建模的思想以及猜想、驗證的方法和反證法等。學生對數學的學習不單純是知識的獲得和反復的操練，貫穿始終的還有數學思想方法。如果說數學教材中的基礎知識和基本技能是一條明線的話，那麼蘊含在教材中的數學思想方法就是一條暗線。教師要注意數學思想方法的滲透，抓住教學內容中的有利因素，有意識地加以引導，有目的、有選擇、適時地進行滲透,使學生在潛移默化中掌握數學思想方法。
一、 教學中滲透數學思想方法是必然趨勢。
所謂數學思想，是指人們對數學理論與內容的本質認識，它直接支配著數學的實踐活動。所謂數學方法， 是指某一數學活動過程的途徑、程序、手段，它具有過程性、層次性和可操作性等特點。數學思想是數學方法 的靈魂，數學方法是數學思想的表現形式和得以實現的手段，因此，人們把它們稱為數學思想方法。小學數學教學中滲透數學思想方法的必要性主要有以下四點：
1、創新人才培養的需要。當今世界，科技發展突飛猛進，知識經濟初見端倪，國際競爭日趨激烈，人的素質的提高和「人才高地」的構築，越來越成為經濟增長和社會發展的決定性因素。素質教育的重要性被凸現出來。數學教學也應實施素質教育，我國《全日制義務教育數學課程標准》明確指出：義務教育階段的數學課程致力於學生體會數學與自然及人類社會的密切聯系，了解數學的價值，增進對數學的理解和應用數學的信心；學會運用數學的思維方式去觀察分析現實社會，去解決日常生活中和其他學科學習中的問題；形成勇於探索，勇於創新的科學精神；獲得對未來社會生活和進一步發展所必需的重要數學知識，（包括數學知識，數學活動經驗）以及基本的思想方法和必要的應用技能。創新人才需要高素質的人，高素質的人必須具備優秀的思維品質，而數學是思維的科學，思維能力是數學能力的核心。在數學教學中滲透數學思想方法是培養學生的創新意識最根本的途徑。
2、數學教學改革的需要。根據有關調查發現，在數學教學中數學思想方法的教學不受重視。相當一部份教師根本沒有把數學思想方法納入教學目標。而加強數學思想方法的教學是進一步提高數學教學質量的需要。從數學教材體系看，整個小學數學教材中貫穿著兩條主線，一是寫進教材的最基礎的數學知識，它是明線，一貫很受重視，必須切實保證學生學好。另一條是數學能力培養和數學思想方法的滲透，這是條暗線，較少或沒有直接寫進教材，但對小學生的成長卻十分重要，也越來越引起人們的重視。在教學中不能只注重數學知識的教學，忽視數學思想方法的教學。兩條線應在課堂教學中並進，無形的數學思想將有形的數學知識貫穿始終。重視數學思想方法的教學有利於教師從整體上把握數學教學目的，將數學的本質、知識形成的過程，解決問題的過程展示給學生，教學達到事半功倍。現在教學中存在重知識結論的教學，輕知識發生過程的教學；重知識達標評價，輕數學思想形成的評價；重學生眼前的分數利益，輕學生的長遠素質發展等的現狀。一些教師對數學思想方法的理解不深透，數學思想方法的滲透教學在課堂教學中短時期難以見成效。因此，在小學數學教學中，數學思想方法的教學難以規范有序的實施，成為被人遺忘、冷落的「角落」。數學教學若是堅持 「數學知識的教學」則遠遠不能培養數學的思維能力，而數學思維能力的培養需要數學思想方法的教學與滲透。基於以上現狀，數學思想方法的教學在小學數學教學法中有必要進行實踐與探索。
3、 在認知心理學里，思想方法屬於元認知范疇，它對認知活動起著監控、調節作用，對培養能力起著決定性 的作用。學習數學的目的「就意味著解題」（波利亞語），解題關鍵在於找到合適的解題思路，數學思想方法 就是幫助構建解題思路的指導思想。因此，向學生滲透一些基本的數學思想方法，提高學生的元認知水平，是 培養學生分析問題和解決問題能力的重要途徑。
4、小學數學教學的根本任務是全面提高學生素質，其中最重要的因素是思維素質，而數學思想方法就是增強 學生數學觀念，形成良好思維素質的關鍵。如果將學生的數學素質看作一個坐標系，那麼數學知識、技能就好 比橫軸上的因素，而數學思想方法就是縱軸的內容。淡化或忽視數學思想方法的教學，不僅不利於學生從縱橫 兩個維度上把握數學學科的基本結構，也必將影響其能力的發展和數學素質的提高。因此，向學生滲透一些基 本的數學思想方法，是數學教學改革的新視角，是進行數學素質教育的突破口。
二、現行小學數學教材中主要數學思想方法的知識分布及其教學策略。
現行的小學數學無論是新教材還是舊教材從教材內容看，小學數學解題常用到數學模型、符號化思想、統計思想、化合思想、組合思想等。這些數學思想方法對幫助學生解決實際問題有著重要的作用。
1、 符號化思想。
英國著名哲學家、數學家羅素說過：「什麼是數學？數學就是符號加邏輯」。小學教材中大致出現如下幾類符號：（1）個體符號：表示數的符號，如：1、2、3、4…，0；a,b,c,…，π，χ以及表示小數、分數、百分數的符號。（2）數的運算符號：+，-，×（·），÷（/，:）。（3）關系符號：=，≈，>，<，≠等。（4）結合符號：（），〔 〕等以及表示角度的計量單位符號和表示豎式運算的分隔符號等。
由於數學符號的抽象性和小學生思維習慣的具體性之間存在著矛盾，又由於符號常常是概念的代表。所以教師在教學中滲透符號化思想就要注意：①讓學生正確理解與使用數學符號。在實際的教學中，學生在使用這些數學符號時往往會出現如下的錯誤。例如：在教學低年級文字題「90比60 多幾？」小學生由於對加法的意義的不理解，往往看「多」就用「+」，看「少」就用「-」。誤列式為「90+60」。又例高年級文字題「一個數的6倍少24是180，求這個數是多少？」學生也往往看見「倍」用「×」，看「少」就用「-」，誤列式為「（180-24）×6」。象這樣的例子，教師在教學中注意讓學生理解符號的內涵，正確理解使用符號所表示的概念。如果只從解法上予以糾正而不從符號化思想上予以滲透，將事倍功半，學生今後還會出現類似的錯誤。②掌握日常語言與符號語言間的轉化。數學教學實際上是數學語言的教學。在教學活動中，要幫助學生初步學會簡單的數學符號語言和日常語言的轉化，即將日常語言敘述的數量關系或空間形式轉化為數學符號語言。反之，也能將符號語言轉化為問題，看懂抽象的符號所反映的數量關系或空間形式。例如：
小營村有棉田75公頃， 已知一個數的60%是 解:設全村耕地面積是
是全村耕地面積的60% 全分析轉化75，求這個數是多少？ χ公頃。
村耕地面積是多少公頃？ X 60%=75
日常語言 數學語言 符號語言
因此，教師在教學當中要引導學生用數學語言描述生活語言，而不要機械的把數學符號灌輸給學生，從而培養學生抽象思維能力。③在填數中滲透變元思想。小學數學教科書在不同階段，對變元思想有不同水平、不同形式的滲透，以便讓學生逐步了解變元思想。例如：3.□7>3.27，45.16<45.1□，學生在方框里填上一個數很容易，但教師要明白，若將方框里填上χ就變成一元一次不等式。因此，教師應引導學生繼續思考：方框內最多可以填幾個數？這種思考能是學生初步了解變元思想。④在字母表示數中滲透符號化思想。在小學教材中，用字母表示數有表示運算定律，表示數量關系，面積體積公式等。例如：加法交換律：a+b=b+a,路程=速度×時間用字母表示s=vt，等。教師在教學用字母表示數時要循序漸進，從學生的生活中、原有的認知結構結合起來自然的建構。
2、 數學模型方法。
著名數學家華羅庚先生說：「數無形時不直觀，形無數時難入微」，這句話形象簡練地指出了形和數的互相依賴、相互制約的辯證關系。數學模型是對客觀事物的空間形式和數量關系的一個近似的反映。數學模型可做廣義和狹義理解。按廣義的理解，凡一切數學概念、數學公式、數學理論體系、方程式和演算法系統都可以叫做數學模型。數學模型可以分為三類：①概念型數學模型，如實數、函數、集合、向量等。②方法型模型，如各種方程、公式等。③結構型模型，如群、環、域、向量空間等。數學模型在解題中的基本構造如下：
實際問題
數學抽象
數學模型 還原說明
演算 推理
數學模型的解
由於數學模型的直觀性能將概念的本質屬性變得明顯，學生掌握較容易，因此，在小學數學教學中恰當地滲透數學模型方法，有助於小學生掌握數學知識，增強解題能力，提高數學教學的效果。小學數學教學一般運用的是概念型數學模型和方法型的數學模型。
① 集合模型在教學中的滲透。三角形按角分類可以用下圖表示：
三角形
直角三角形
銳角三角形鈍角三角形
學生弄懂集合圖的含義後，在今後的學習中會嘗試用集合圖來表示概念間的聯系。如：
平行四邊形
長方形
正方形
在應用題的解題中，教師也可以啟發學生用集合圖來幫助分析題意探尋解題方法。如：工程隊計劃修一條長250千米公路，第一天修了全長的20%，第二天修了全長的40%，剩下的第三天修完，第三天修了多少千米？
250千米（「1」）
第一天第二天 第三天
20% 40% ？
從圖中可以看出，第三天修的路長是全長250千米的（1-20%-40%） ，此題迎刃而解：250×（1-20%-40%）=100（千米）。
②方程模型在教學中的滲透。列方程解應用題的關鍵是用數學模型來模擬數量關系，即根據條件用兩種不同的方式表示同一量，列出已知數與未知量之間的關系式。在小學中高年級已逐步用方程來解答文字題與應用題。例如：一個工廠原來每天製造機器零件1800個，比現在少10%，現在每天製造機器零件多少個？
解：設現在每天製造機器零件χ個。
現在每天製造 原來每天製造 原來每天製造機
機器零件 — 比現在少10%， = 器零件1800個
χ 10%χ 1800
於是列出方程：χ-10%χ=1800。也就是原來每天製造機器零件1800個相當於現在的（1-10%）。還可列出方程χ·（1-10%）=1800。
③幾何模型在教學中的滲透。解應用題時，若能將難題的數學問題化為與之相關的圖形，通過作圖來構造幾何模型，再根據圖形的性質和特點解題，將會使問題的解答簡易直觀。例如：一台壓路機輪寬6米，如果它一分鍾行駛200米，照這樣計算，一小時它壓過路面是多少平方米？
200米
輪寬6米
從圖中可以看出，這題實際就是求60個長200米、寬6米的長方形的面積。6×200×60=32000（平方米）。
④公式模型在教學中的滲透。數學公式既是反映客觀世界數學關系的符號，又是現實世界抽象出來的數學模型，因為它摒棄了各個事物的個別屬性，因此它更具有典型的意義。例如：工作總量=工作效率×工作時間，路程=速度×時間，總產量=單產量×公頃數等。利用這些抽象出來的數學模型可以解決許多相關的題。例題「一件工作，甲單獨做要6小時，乙單獨做要用4小時，甲做完1/3後，兩人合作，還要幾小時做完？」解決這道題將工作總量看作單位「1」，甲的工作效率看作1/6，乙的效率看作1/4，根據工作總量=工作效率×工作時間這個公式模型，列式得出：（1-1/3）÷（1/6+1/4）=1.6（小時）。
3、統計思想
統計的基本思想是：從局部觀測資料的統計特徵來推斷整個系統的狀態，或判斷某一論斷以多大的概率來保證其正確性，或者算出發生錯誤判斷的概率。統計方法是由「局部到整體」、「由特殊到一般」的科學方法。小學數學中統計思想體現在：簡單的數據整理和求平均數，簡單的統計表和統計圖。學生在會整理、製表、作圖的同時要能從數據、圖表中發現一些相關的問題，得出一些結論。在教材的編排上，在低中年級讓學生領悟略樸素的統計思想後，在中年級學習數據整理的方法上到高年級進一步按數據的大小分組統計的整理方法和復式條形統計圖以及折線統計圖。除了按課本的安排教學外，教師也可在平時的教學中有機的滲透統計的思想。例如：在課前布置學生收集有關的資料。如《億以內數的讀寫》一課，可讓學生收集生活中有關億以內數的相關數據，通過課前收集、課上的交流與整理不僅學生學會了讀寫這些數，而且在接受國情教育中體會了統計的思想。在有些課上也可當堂收集資料統計數據，為教學內容服務。如《三步應用題》一課，課上調查同學們的定報情況，包括人數，單價，數量，報刊的種類等。通過圖表等形式，提出問題，圍繞著三步應用題的解題思路進行教學。這樣的教學，教師有意識的滲透統計思想，學生學到生活中的數學，學習的有效性大大提高。當然，在小學數學中統計思想的滲透只能是初步的，僅僅涉及到整理樣本數據的一些最簡單的方法。至於總體推測，只是引導學生作些初步的想像和估算，以逐步接受統計思想的熏陶，同時也為今後的進一步學習打下基礎。
4、.化歸思想
化歸思想是把一個實際問題通過某種轉化、歸結為一個數學問題，把一個較復雜的問題轉化、歸結為一個 較簡單的問題。應當指出，這種化歸思想不同於一般所講的「轉化」、「轉換」。它具有不可逆轉的單向性。
例1 、狐狸和黃鼠狼進行跳躍比賽，狐狸每次可向前跳4 1／2 米，黃鼠狼每次可向前跳2 3／4米。它們每 秒種都只跳一次。比賽途中，從起點開始，每隔12 3／8米設有一個陷阱， 當它們之中有一個掉進陷阱時，另 一個跳了多少米？
這是一個實際問題，但通過分析知道，當狐狸（或黃鼠狼）第一次掉進陷阱時，它所跳過的距離即是它每 次所跳距離4 1／2（或2 3／4）米的整倍數，又是陷阱間隔12 3／8米的整倍數，也就是4 1／2和12 3／8的「 最小公倍數」（或2 3／4和12 3／8的「最小公倍數」）。針對兩種情況，再分別算出各跳了幾次，確定誰先掉 入陷阱，問題就基本解決了。上面的思考過程，實質上是把一個實際問題通過分析轉化、歸結為一個求「最小 公倍數」的問題，即把一個實際問題轉化、歸結為一個數學問題，這種化歸思想正是數學能力的表現之一。
5、.組合思想
組合思想是把所研究的對象進行合理的分組，並對可能出現的各種情況既不重復又不遺漏地一一求解。
例4 在下面的乘法算式中，相同的漢字代表相同的數字， 不同的漢字代表不同的數字，求這個算式。
從小愛數學
× 4
──────
學數愛小從
分析：由於五位數乘以4的積還是五位數， 所以被乘數的首位數字「從」只能是1或2，但如果「從」＝1， 「學」×4的積的個位應是1，「學」無解。所以「從」＝2。
在個位上，「學」×4的積的個位是2，「學」＝3或8。但由於「學」又是積的首位數字，必須大於或等於 8，所以「學」＝8。
在千位上，由於「小」×4不能再向萬位進位，所以「小」＝1 或0。若「小」＝0，則十位上「數」×4＋ 3（進位）的個位是0，這不可能，所以「小」＝1。
在十位上，「數」×4＋3（進位）的個位是1，推出「數」＝7。
在百位上，「愛」×4＋3（進位）的個位還是「愛」，且百位必須向千位進3，所以「愛」＝9。
故欲求乘法算式為
2 1 9 7 8
× 4
──────
8 7 9 1 2
上面這種分類求解方法既不重復，又不遺漏，體現了組合思想。
6、在實際的教學中由於執教者對教材的理解不同，對同一教學內容會用不同的思想方法進行教學。有的教學內容往往通過幾種數學思想方法去分析與解答。因此，教師在教學中要充分理解教材的教育功能，挖掘其隱藏的數學思想方法，在導出結論、尋找方法、揭示規律的過程中，使學生掌握其來龍去脈，培養學生自覺運用數學思想方法的意識。除以上例舉的五種思想方法外，變換思想、對應思想、極限思想、集合思想、聯想思想、、歸納猜想方法、演繹法轉化建模的思想以及猜想、驗證的方法和反證法等在小學數學教學中也時常應用，教師也應注意有意識地在教學中滲透。
三、在日常教學中滲透數學思想方法。
新一輪基礎教育課程改革制定的新《課程標准》特別關注學生在知識與技能、過程與方法、情感態度與價值觀這三個維度。《課程標准》中提到：義務教育階段的數學課程應突出體現基礎性、普及性和發展性，使數學教育面向全體學生，實現人人學到有價值的數學；人人都獲得必需的數學；不同的人在數學上得到不同的發展。這就要求我們教師在教學中不能只關注知識與技能，更要關注技能與方法。
1、 滲透數學思想方法教學的原則
（1）過程性原則。
在教學中滲透數學思想方法時，不直接點明所應用的數學思想方法，而是通過精心設計的教學過程，有意識的引導學生潛移默化地領會蘊含其中的數學思想和方法。例如：在教學加法交換律時，通過一個猜球的小游戲，讓學生用日常生活語言敘述游戲中：「變與不變的道理」。然後，進一步讓學生用圖形或數學符號表示，進而抽象出數學模型A+B=B+A。
（2）反復性原則。
數學方法屬於邏輯思維的范疇，學生對它的領會和掌握具有一個「從個別到一般，從具體到抽象，從感性到理性，從低級到高級」的認知過程。那麼，教師在教學中應作到滲透與反復相結合。例如：在教學運算定律的應用、典型應用題及解決一些實際問題時，反復滲透集合模型、方程模型、集合模型、公式模型等各種數學模型方法。
（3）系統性原則。
數學思想方法的滲透要由淺入深，不能隨意性太強，對一種數學思想方法挖掘到什麼程度，學生能理解到什麼程度，教師要心中有數。所以，教師在制定教學計劃時，要充分了解這一冊教材中可以結合哪些內容進行什麼數學思想方法的滲透，再結合後續的教學整理出數學思想方法教學的系統。
（3）明確性原則。
數學思想方法如果長期、反復、不明確的滲透，學生就不會有意識的領會與使用。所以，在一個教學階段，教師就要有意識的總結我們解題時所應用到的思想方法，使得學生對數學思想方法的規律、運用方法適度明確化，利於今後的學習。
2、 滲透數學思想方法的有效途徑
（1） 在知識的發生過程中，適時滲透數學思想方法。
在教學中教師不要簡單的給出定義，不要過早的下結論，不要死板的找關聯，這利於培養學生的分析、觀察、比較、抽象、概括的邏輯思維加工的能力。例如：在教學「小數的性質」一課，教師不是簡單地告訴學生什麼是小數的性質，而是通過比較0.10與0.100的大小，由學生自己揭示小數的性質。學生分小組討論0.10與0.100相等的理由有五、六種之多。有的利用數形結合的方法來驗證；有的用實際測量的方法驗證；有的用商不變的性質類比驗證；有的用反證法驗證等等。
（2） 通過小結、復習提煉概括數學思想方法。
在每一個單元整理與復習時，除了讓學生整理數學知識點，還要讓學生回憶解題是所應用到的一些典型的思想方法。從而讓學生運用這些方法來解決實際問題。
（3） 在教學中注意多種數學思想方法的綜合運用。
在解決實際問題的過程中，往往需要多種方法同時運用才能奏效。那麼，在教學時注意引導學生綜合運用的能力。
（4） 注意總結與評價。
在進行一段時間的訓練後，結合學生的作業、測試，教師要及時的給學生總結與評價。評價時不要簡單的對結果做出是非的評價，而要通過分析學生的解題思路及運用到的一些數學思想方法給予肯定。以此激勵學生的創新能力，激發他的學習動力。
已經有人通過實驗研究一學期的教學，在研究過程中不斷的改進與總結，初步看見一些成效。從學生的成績可以看出，在教學中有目的、有計劃、有序列的進行數學思想方法的滲透，學生能夠接受，可以讓不同程度的學生受益，鍛煉他們的思維能力，增強解決問題的能力，從而提高教學質量。
四、結論
在小學數學中滲透數學思想方法隨著新一輪課程改革的進行已放在重要而顯性的地位。每一個教師都要在實踐中積極地改革與嘗試。通過有效的實踐與研究，在小學數學中滲透數學思想方法是可行的，學生是完全可以接受的，並且通過有目的、有計劃、有序列的滲透，學生的思維能力得以增強，不同的學生都得到不同的收獲，他們得到的不僅是「魚」，還有「漁」，對學生的長遠發展有著積極的意義及深遠的影響。教師在這一研究中，提高了自身的數學修養，提升了教學理念，真正以「人」為本提高了課堂效益與教學質量。