祖沖之的演算法

1. 祖沖之還創造了「開差冪」、「開差立」等的演算法是怎麼樣的

祖沖之還創造了「開差冪」、「開差立」等的演算法。「開差冪」是已知長方形的面積及長寬之差求其長及寬。「開差立」是已知長方體的體積及最短棱與其他兩棱之差求其長、寬、高。這分別相當於解二次方程x(x+a)=A和三次方程x(x+a)(x+b)=V。他還和兒子祖日恆一道，在世界上最早發現了「等積原理」。

2. 我國古代的數學家祖沖之當年是怎樣計算圓周率的

圓周率並不是通過先作圓，然後量周長和直徑，最後算出來的。因為這樣做的誤差很大，測量誤差不可避免。事實上，古代數學家在很長一段時間里都是用幾何方法來計算圓周率。

祖沖之在劉徽割圓術的基礎上，算到了正24576邊形，並根據劉徽圓周率不等式，確定了圓周率的下限（肭數）為3.1415926，上限（盈數）為3.1415927。並且，祖沖之還順便給出了圓周率的一個近似分數355/113，其前六位都是正確的。

3. 數學家祖沖之是怎樣求出圓周率的

祖沖之在數學上的傑出成就，是關於圓周率的計算．秦漢以前，人們以"徑一周三"做為圓周率，這就是"古率"．後來發現古率誤差太大，圓周率應是"圓徑一而周三有餘"，不過究竟余多少，意見不一．直到三國時期，劉徽提出了計算圓周率的科學方法--"割圓術"，用圓內接正多邊形的周長來逼近圓周長．劉徽計算到圓內接96邊形，求得π=3.14，並指出，內接正多邊形的邊數越多，所求得的π值越精確．祖沖之在前人成就的基礎上，經過刻苦鑽研，反復演算，求出π在
3.1415926與3.1415927之間．並得出了π分數形式的近似值，取為約率，取為密率，其中取六位小數是3.141929，它是分子分母在1000以內最接近π值的分數．祖沖之究竟用什麼方法得出這一結果，現在無從考查．若設想他按劉徽的"割圓術"方法去求的話，就要計算到圓內接16，384邊形，這需要化費多少時間和付出多麼巨大的勞動啊！由此可見他在治學上的頑強毅力和聰敏才智是令人欽佩的．祖沖之計算得出的密率，外國數學家獲得同樣結果，已是一千多年以後的事了．為了紀念祖沖之的傑出貢獻，有些外國數學史家建議把π=叫做"祖率"．
古人計算圓周率，一般是用割圓法。即用圓的內接或外切正多邊形來逼近圓的周長。Archimedes用正96邊形得到圓周率小數點後3位的精度；劉徽用正
3072邊形得到5位精度；Ludolph
Van
Ceulen用正262邊形得到了35位精度。這種基於幾何的演算法計算量大，速度慢，吃力不討好。隨著數學的發展，數學家們在進行數學研究時有意無意地發現了許多計算圓周率的公式。下面挑選一些經典的常用公式加以介紹。除了這些經典公式外，還有很多其它公式和由這些經典公式衍生出來的公式，就不一一列舉了。

4. 祖沖之是怎麼算出圓周率的

在祖沖之之前，中國數學家劉徽提出了計算圓周率的科學方法——「割圓術」，用圓內接正多邊形的周長來逼近圓周長，用這種方法，劉徽計算圓周率到小數點後4位數。

祖沖之在前人的基礎上，經過刻苦鑽研，反復演算，將圓周率推算至小數點後7位數（即3.1415926與3.1415927之間），並得出了圓周率分數形式的近似值。

祖沖之究竟用什麼方法得出這一結果，現在無從查考。如果設想他按劉徽的「割圓術」方法去求的話，就要計算到圓內接16000多邊形，這需要花費多少時間和付出多麼巨大的勞動啊！

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祖沖之認為自秦漢以至魏晉的數百年中研究圓周率成績最大的學者是劉徽，但並未達到精確的程度，於是他進一步精益鑽研，去探求更精確的數值。

祖沖之在圓周率方面的研究，有著積極的現實意義，他的研究適應了當時生產實踐的需要。他親自研究度量衡，並用最新的圓周率成果修正古代的量器容積的計算。

古代有一種量器叫做「 釜 」，一般的是一尺深，外形呈圓柱狀，祖沖之利用他的圓周率研究，求出了精確的數值。他還重新計算了漢朝劉歆所造的「律嘉量」， 利用「祖率」校正了數值。以後，人們製造量器時就採用了祖沖之的「祖率」數值。

5. 祖沖之是怎麼算出π的

祖沖之是和他兒子一起從事這項研究工作的，當時條件很差。他們在一間大屋的地上畫了一個直徑1丈的大圓。從內接正6邊形開始計算，12邊形，24邊形，48邊形的翻翻，一直算到96邊形，計算的結果和劉徽的一樣。接著，內接邊數再逐次翻翻，邊數每翻一次，要進行7次加減運算，2次乘方，2次開方，運算的數字都很大，很復雜，在當時的條件下，是十分困難的。祖沖之父子一直把邊形算到24576邊，得出了圓周率在3·1415926和3·1415927之間，精確到了小數點後7位。其近似分數是 355/113，被稱為"密率"。德國數學家奧托在1573年重新得出這個近似分數。當時，歐洲人還不知道在一千多年之前祖沖之就己經算出來了。後來荷蘭人安托尼茲也算出這個近似分數，於是歐洲人就把這個稱為"密率"的近似分數叫著"安托尼茲率"。日本數學家認為應該恢復其本來面目，肯定祖沖之在圓周率方面研究的貢獻，改稱"祖率"才對。

6. 祖沖之如何求得圓周率

祖沖之算出圓周率（π）的真值在3.1415926和3.1415927之間，相當於精確到小數第7位，簡化成3.1415926，祖沖之因此入選世界紀錄協會世界第一位將圓周率值計算到小數第7位的科學家。祖沖之還給出圓周率(π)的兩個分數形式：22/7（約率）和355/113（密率），其中密率精確到小數第7位。祖沖之對圓周率數值的精確推算值，對於中國乃至世界是一個重大貢獻，後人將「約率」用他的名字命名為「祖沖之圓周率」，簡稱「祖率」。

東漢張衡推算出的圓周率值為3.162。三國時王蕃推算出的圓周率數值為3.155。魏晉的著名數學家劉徽在為《九章算術》作注時創立了新的推算圓周率的方法——割圓術，將圓周率的值為邊長除以2，其近似值為3.14；並且說明這個數值比圓周率實際數值要小一些。劉徽以後，探求圓周率有成就的學者，先後有南朝時代的何承天，皮延宗等人。何承天求得的圓周率數值為3.1428，皮延宗求出圓周率值為22/7≈3.14。

祖沖之認為自秦漢以至魏晉的數百年中研究圓周率成績最大的學者是劉徽，但並未達到精確的程度，於是他進一步精益鑽研，去探求更精確的數值。

根據《隋書·律歷志》關於圓周率（π）的記載：「宋末，南徐州從事史祖沖之，更開密法，以圓徑一億為一丈，圓周盈數三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒數三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正數在盈朒二限之間。密率，圓徑一百一十三，圓周三百五十五。約率，圓徑七，周二十二。」祖沖之把一丈化為一億忽，以此為直徑求圓周率。他計算的結果共得到兩個數：一個是盈數（即過剩的近似值），為3.1415927；一個是朒

圓周率

數（即不足的近似值），為3.1415926。

盈朒兩數可以列成不等式，如:3.1415926（*）<π（真實的圓周率）<3.1415927（盈），這表明圓周率應在盈朒 兩數之間。按照當時計算都用分數的習慣，祖沖之還採用了兩個分數值的圓周率。一個是355/113（約等於3.1415927），這一個數比較精密，所以祖沖之稱它為「密率」。另一個是22/7（約等於3.14），這一個數比較粗疏，所以祖沖之稱它為「約率」。

祖沖之在圓周率方面的研究，有著積極的現實意義，他的研究適應了當時生產實踐的需要。他親自研究度量衡，並用最新的圓周率成果修正古代的量器容積的計算。古代有一種量器叫做「 釜 」，一般的是一尺深，外形呈圓柱狀，祖沖之利用他的圓周率研究，求出了精確的數值。他還重新計算了漢朝劉歆所造的「律嘉量」， 利用「祖率」校正了數值。以後，人們製造量器時就採用了祖沖之的「祖率」數值。

7. 祖沖之的割圓術求圓周率是否過於繁瑣

公元263年，中國數學家劉徽在《九章算術注》中提出「割圓」之說，他從圓內接正六邊形開始，每次把邊數加倍，直至圓內接正96邊形，算得圓周率為3.14或157/50，後人稱之為徽率。書中還記載了圓周率更精確的值3927/1250（等於3.1416）。劉徽斷言「割之彌細，所失彌少，割之又割，以至於不可割，則與圓合體，而無所失矣」。魯道夫·范·科伊倫（Ludolph van Ceulen，1540年1月28日—1610年12月31日），荷蘭數學家，生於德國希爾德斯海姆，後移居荷蘭執教擊劍和數學。1580年在荷蘭代爾夫特（Ddlft）成為數學教師。1600年，他被萊頓大學聘認為第一位數學教授，後在萊頓去世。魯道夫·科伊倫把他一生的大部分時間花在計算圓周率上。他運用的是1800年前阿基米德所適用的割圓法，將圓周率計算到小數點後第35位。他對自己的這個成就感到非常自豪，以致這個數被刻在他的墓碑上（可惜這塊墓碑已經丟失）；直到今天，德國人還常常稱這個數為「魯道夫數」。他的計算成果就是這個數字：3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288。如果按照你的測量方法，估計拿根不變形的繩子繞地球赤道圍一圈都算不出這35位數。而且赤道也不是理想的圓形，另外還有海拔的影響。圓是一種抽象實體，這個世界中並不存在完全標準的圓，只有無限近似於圓的物體。所有的圓錐曲線也是如此，直角，三角形，四面體，也是如此。你一旦使用幾何概念，不管承認與否，你就進入了數學抽象的世界。

8. 祖沖之演算法集的介紹

祖沖之演算法集（ZUC演算法）是由我國學者自主設計的加密和完整性演算法，包括祖沖之演算法、加密演算法128-EEA3和完整性演算法128-EIA3，已經被國際組織3GPP推薦為4G無線通信的第三套國際加密和完整性標準的侯選演算法。由中國科學院信息工程研究所信息安全國家重點實驗室和中國科學院數據與通信保護研究教育中心（DCS中心）聯合主辦的《第一屆祖沖之演算法國際研討會》將於2010年12月2至3在北京召開。本次國際研討會對於加強祖沖之演算法研究分析成果的國內和國際交流，擴大祖沖之演算法的公開平評估范圍，加強祖沖之演算法的安全性評估力度，進而推進祖沖之演算法4G通信國際加密標準的進度具有重要的現實意義。

9. 祖沖之取得的成就有哪些

1、數學成就

祖沖之算出圓周率（π）的真值在3.1415926和3.1415927之間，相當於精確到小數第7位，簡化成3.1415926，祖沖之因此入選世界紀錄協會世界第一位將圓周率值計算到小數第7位的科學家。

祖沖之還給出圓周率(π)的兩個分數形式：22/7（約率）和355/113（密率），其中密率精確到小數第7位。

祖沖之對圓周率數值的精確推算值，對於中國乃至世界是一個重大貢獻，後人將「約率」用他的名字命名為「祖沖之圓周率」，簡稱「祖率」。

2、歷法成就

祖沖之吸取了趙厞的理論，加上他自己的觀察，認為十九年七閏的閏數過多，每二百年就要差一天，而趙厞六百年二百二十一閏也不十分准確。因此，祖沖之提出了391年144閏月的新閏法。

祖沖之的閏周精密程度極高，按照他的推算，一個回歸年的長度為365.2428141日，與今天的推算值僅相差46秒。一直到南宋的《統天歷》，才採用了比這更精確的數據。

3、天文成就

祖沖之對木、水、火、金、土等五大行星在天空運行的軌道和運行一周所需的時間，也進行了觀測和推算，給出了更精確的五星會合周期。

木星398.903日（誤差0.019日），火星780.031日（誤差0.094日），土星378.070日（誤差0.022日），金星583.931日（誤差0.009日），水星115.880日（誤差0.002日）。

4、機械製造

祖沖之設計製造過水碓磨、銅制機件傳動的指南車、千里船、定時器等。祖沖之改良了水碓磨。在西晉初年，杜預改進發明了「連機碓」和「水轉連磨」。

一個連機碓能帶動好幾個石杵一起一落地舂米；一個水轉連磨能帶動八個磨同時磨粉。祖沖之又在這個基礎上進一步加以改進，把水碓和水磨結合起來，生產效率就更加提高了。

5、其他成就

著有《易義》《老子義》《莊子義》《釋論語》等關於哲學的書籍，都已經失傳了。文學作品方面他著有《述異記》，在《太平御覽》等書中可以看到這部著作的片斷。

參考資料來源：網路——祖沖之