多流演算法

❶ 數學建模網路流演算法重要嗎你們都用什麼演算法呢

1、蒙特卡羅演算法（該演算法又稱隨機性模擬演算法，是通過計算機模擬來解決問題的演算法，
同時可以通過模擬可以來檢驗自己模型的正確性，是比賽時必用的方法）
2、數據擬合、參數估計、插值等數據處理演算法（比賽中通常會遇到大量的數據需要處理，
而處理數據的關鍵就在於這些演算法，通常使用matlab作為工具）
3、線性規劃、整數規劃、多元規劃、二次規劃等規劃類問題（建模競賽大多數問題屬於最優化問題，
很多時候這些問題可以用數學規劃演算法來描述，通常使用lindo、lingo軟體實現）
4、圖論演算法（這類演算法可以分為很多種，包括最短路、網路流、二分圖等演算法，
涉及到圖論的問題可以用這些方法解決，需要認真准備）
5、動態規劃、回溯搜索、分治演算法、分支定界等計算機演算法（這些演算法是演算法設計中比較常用的方法，很多場合可以用到競賽中）
6、最優化理論的三大非經典演算法：模擬退火法、神經網路、遺傳演算法
（這些問題是用來解決一些較困難的最優化問題的演算法，對於有些問題非常有幫助，
但是演算法的實現比較困難，需慎重使用）
7、網格演算法和窮舉法（網格演算法和窮舉法都是暴力搜索最優點的演算法，在很多競賽題中有應用，
當重點討論模型本身而輕視演算法的時候，可以使用這種暴力方案，最好使用一些高級語言作為編程工具）
8、一些連續離散化方法（很多問題都是實際來的，數據可以是連續的，而計算機只認的是離散的數據，因此將其離散化後進行差分代替微分、求和代替積分等思想是非常重要的）
9、數值分析演算法（如果在比賽中採用高級語言進行編程的話，那一些數值分析中常用的演算法比
如方程組求解、矩陣運算、函數積分等演算法就需要額外編寫庫函數進行調用）
10、圖象處理演算法（賽題中有一類問題與圖形有關，即使與圖形無關，論文中也應該要不乏圖片的，
這些圖形如何展示以及如何處理就是需要解決的問題，通常使用matlab進行處理）

❷ 網路流的最大流和最小流是什麼演算法

首先是網路流中的一些定義：
V表示整個圖中的所有結點的集合.
E表示整個圖中所有邊的集合.
G = (V,E) ,表示整個圖.
s表示網路的源點,t表示網路的匯點.
對於每條邊(u,v),有一個容量c(u,v) (c(u,v)>=0)，如果c(u,v)=0，則表示(u,v)不存在在網路中。相反，如果原網路中不存在邊(u,v)，則令c(u,v)=0.
對於每條邊(u,v),有一個流量f(u,v).

一個簡單的例子.網路可以被想像成一些輸水的管道.括弧內右邊的數字表示管道的容量c,左邊的數字表示這條管道的當前流量f.

網路流的三個性質：
1、容量限制: f[u,v]<=c[u,v]
2、反對稱性：f[u,v] = - f[v,u]
3、流量平衡: 對於不是源點也不是匯點的任意結點,流入該結點的流量和等於流出該結點的流量和。
只要滿足這三個性質,就是一個合法的網路流.
最大流問題，就是求在滿足網路流性質的情況下，源點 s 到匯點 t 的最大流量。

求一個網路流的最大流有很多演算法 這里首先介紹 增廣路演算法（EK）
學習演算法之前首先看了解這個演算法中涉及到的幾個圖中的定義：

**殘量網路
為了更方便演算法的實現，一般根據原網路定義一個殘量網路。其中r(u,v)為殘量網路的容量。
r(u,v) = c(u,v) – f(u,v)
通俗地講：就是對於某一條邊（也稱弧），還能再有多少流量經過。
Gf 殘量網路,Ef 表示殘量網路的邊集.

這是上面圖的一個殘量網路。殘量網路（如果網路中一條邊的容量為0,則認為這條邊不在殘量網路中。
r(s,v1)=0,所以就不畫出來了。另外舉個例子：r(v1,s) = c(v1,s) – f(v1,s) = 0 – (-f(s,v1)) = f(s,v1) = 4.
其中像(v1,s)這樣的邊稱為後向弧,它表示從v1到s還可以增加4單位的流量。
但是從v1到s不是和原網路中的弧的方向相反嗎？顯然「從v1到s還可以增加4單位流量」這條信息毫無意義。那麼，有必要建立這些後向弧嗎？
顯然，第1個圖中的畫出來的不是一個最大流。
但是，如果我們把s -> v2 -> v1 -> t這條路徑經過的弧的流量都增加2,就得到了該網路的最大流。
注意到這條路徑經過了一條後向弧:(v2,v1)。
如果不設立後向弧，演算法就不能發現這條路徑。
**從本質上說，後向弧為演算法糾正自己所犯的錯誤提供了可能性，它允許演算法取消先前的錯誤的行為（讓2單位的流從v1流到v2)

注意,後向弧只是概念上的,在程序中後向弧與前向弧並無區別.

**增廣路
增廣路定義：在殘量網路中的一條從s通往t的路徑，其中任意一條弧(u,v)，都有r[u,v]>0。

如圖綠色的即為一條增廣路。

看了這么多概念相信大家對增廣路演算法已經有大概的思路了吧。

**增廣路演算法
增廣路演算法：每次用BFS找一條最短的增廣路徑，然後沿著這條路徑修改流量值（實際修改的是殘量網路的邊權）。當沒有增廣路時，演算法停止，此時的流就是最大流。

**增廣路演算法的效率
設n = |V|, m = |E|
每次增廣都是一次BFS,效率為O(m),而在最壞的情況下需要（n-2增廣。（即除源點和匯點外其他點都沒有連通，所有點都只和s與t連通）
所以,總共的時間復雜度為O(m*n)，所以在稀疏圖中效率還是比較高的。

hdoj 1532是一道可以作為模板題目練手。
模板代碼：

[cpp] view plain print?
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <string>
#include <algorithm>
#include <map>
#include <vector>
using namespace std;
const int N = 1100;
const int INF = 0x3f3f3f3f;

struct Node
{
int to;//終點
int cap; //容量
int rev; //反向邊
};

vector<Node> v[N];
bool used[N];

void add_Node(int from,int to,int cap) //重邊情況不影響
{
v[from].push_back((Node){to,cap,v[to].size()});
v[to].push_back((Node){from,0,v[from].size()-1});
}

int dfs(int s,int t,int f)
{
if(s==t)
return f;
used[s]=true;
for(int i=0;i<v[s].size();i++)
{
Node &tmp = v[s][i]; //注意
if(used[tmp.to]==false && tmp.cap>0)
{
int d=dfs(tmp.to,t,min(f,tmp.cap));
if(d>0)
{
tmp.cap-=d;
v[tmp.to][tmp.rev].cap+=d;
return d;
}
}
}
return 0;
}

int max_flow(int s,int t)
{
int flow=0;
for(;;){
memset(used,false,sizeof(used));
int f=dfs(s,t,INF);
if(f==0)
return flow;
flow+=f;
}
}
int main()
{
int n,m;
while(~scanf("%d%d",&n,&m))
{
memset(v,0,sizeof(v));
for(int i=0;i<n;i++)
{
int x,y,z;
scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
add_Node(x,y,z);
}
printf("%d\n",max_flow(1,m));
}
}

❸ 網路流的最大流演算法

1、augment path，直譯為「增廣路徑」，其思想大致如下：
原有網路為G，設有一輔助圖G'，其定義為V(G') = V(G)，E(G')初始值（也就是容量）與E(G)相同。每次操作時從Source點搜索出一條到Sink點的路徑，然後將該路徑上所有的容量減去該路徑上容量的最小值，然後對路徑上每一條邊<u,v>添加或擴大反方向的容量，大小就是剛才減去的容量。一直到沒有路為止。此時輔助圖上的正向流就是最大流。
我們很容易覺得這個演算法會陷入死循環，但事實上不是這樣的。我們只需要注意到每次網路中由Source到Sink的流都增加了，若容量都是整數，則這個演算法必然會結束。
尋找通路的時候可以用DFS，BFS最短路等演算法。就這兩者來說,BFS要比DFS快得多，但是編碼量也會相應上一個數量級。
增廣路方法可以解決最大流問題，然而它有一個不可避免的缺陷，就是在極端情況下每次只能將流擴大1（假設容量、流為整數），這樣會造成性能上的很大問題，解決這個問題有一個復雜得多的演算法，就是預推進演算法。
2、push label，直譯為「預推進」演算法。
3、壓入與重標記(Push-Relabel)演算法
除了用各種方法在剩餘網路中不斷找增廣路(augmenting)的Ford-Fulkerson系的演算法外，還有一種求最大流的演算法被稱為壓入與重標記(Push-Relabel)演算法。它的基本操作有：壓入，作用於一條邊，將邊的始點的預流盡可能多的壓向終點；重標記，作用於一個點，將它的高度（也就是label）設為所有鄰接點的高度的最小值加一。Push-Relabel系的演算法普遍要比Ford-Fulkerson系的演算法快，但是缺點是相對難以理解。
Relabel-to-Front使用一個鏈表保存溢出頂點，用Discharge操作不斷使溢出頂點不再溢出。Discharge的操作過程是：若找不到可被壓入的臨邊，則重標記，否則對臨邊壓入，直至點不再溢出。演算法的主過程是：首先將源點出發的所有邊充滿，然後將除源和匯外的所有頂點保存在一個鏈表裡，從鏈表頭開始進行Discharge，如果完成後頂點的高度有所增加，則將這個頂點置於鏈表的頭部，對下一個頂點開始Discharge。
Relabel-to-Front演算法的時間復雜度是O(V^3)，還有一個叫Highest Label Preflow Push的演算法復雜度據說是O(V^2*E^0.5)。我研究了一下HLPP，感覺它和Relabel-to-Front本質上沒有區別，因為Relabel-to-Front每次前移的都是高度最高的頂點，所以也相當於每次選擇最高的標號進行更新。還有一個感覺也會很好實現的演算法是使用隊列維護溢出頂點，每次對pop出來的頂點discharge，出現了新的溢出頂點時入隊。
Push-Relabel類的演算法有一個名為gap heuristic的優化，就是當存在一個整數0<k<V，沒有任何頂點滿足h[v]=k時，對所有h[v]>k的頂點v做更新，若它小於V+1就置為V+1。
cpp程序: #include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm>#include<queue>#;inttt,kase;intnn,m;intH[45],X[1004],P[1004],flow[1004],tot,cap[1005];intd[45];intS,T;voidadd(intx,inty,intz){P[++tot]=y;X[tot]=H[x];H[x]=tot;flow[tot]=z;cap[tot]=flow[tot];}queue<int>q;boolbfs(){memset(d,0,sizeof(d));d[S]=1;intx;q.push(S);while(!q.empty()){x=q.front();q.pop();for(inti=H[x];i;i=X[i]){if(flow[i]>0&&!d[P[i]]){d[P[i]]=d[x]+1;q.push(P[i]);}}}returnd[T];}intdfs(intx,inta){if(x==T||a==0)returna;intf=a,tmp;for(inti=H[x];i;i=X[i]){if(flow[i]>0&&d[P[i]]==d[x]+1){tmp=dfs(P[i],min(flow[i],a));flow[i]-=tmp;a-=tmp;flow[i^1]+=tmp;if(!a)break;}}if(f==a)d[x]=-1;returnf-a;}intDinic(){intf=0;while(bfs())f+=dfs(S,inf);returnf;}intmain(){/**輸入過程省略**/intmaxflow=Dinic();printf(%d ,maxflow);return0;}

❹ 求網路最大流的演算法

標號法求增廣路，最短增廣路演算法，預流推進，最高標號的預流推進。

❺ 構造輔助網路後如何用最大流演算法求最小割

在演算法中一般存在最大-最小定理。

1 、最大匹配<==>最小覆蓋

2、 最大流<==>最小割

最大流-最小割定理理解引自呆歐的形象表達：「多粗的管子，水就最多多大流量」，比如從自來水廠到用水大戶工業小區A 能達到的水的最大流量是多大？考慮到可能從水廠到小區有不少到達的水管，那麼最大的流量等於拆掉最少最細的水管後水廠不能給小區A 供水的那些水管流量的集合。當然這種說法並不不嚴謹，因為這里水管不是雙向的，而在網路中談論的信息流卻可是是雙向的。

其實最大流-最小割最難的地方在於構圖了，還有必須掌握Dinic演算法。

高效的求最大流演算法——Dinci演算法：

Dinci演算法是基於「層次圖」的時間效率優先的最大流演算法。

層次：從源點走到終點的最短路長度。層次圖：每次從源點到終點距離最短並且記錄了多條增廣路徑（在找到最短路的過程記錄了多條增廣路徑，因為找最短路徑的過程中自然有分叉，有分叉那麼增廣路徑條數不就變多了么）。在dfs遍歷的時候必須按照層次走。

Dinic演算法的思想是為了減少增廣次數，建立一個輔助網路L，L與原網路G具有相同的節點數，但邊上的容量有所不同，在L上進行增廣，將增廣後的流值回寫到原網路上，再建立當前網路的輔助網路，如此反復，達到最大流

Dinic三步曲：

1、利用原網路構造層次圖，順便判斷原網路還有無增廣路。

2、利用構造的層次圖求此次的最大流，若找不到增廣路了則演算法結束

3、更新原網路，即增廣過程中遇見的邊其正邊以及逆邊的的容量大小。

重復上述的三步。

❻ 演算法有哪些分類

演算法分類編輯演算法可大致分為：

基本演算法、數據結構的演算法、數論與代數演算法、計算幾何的演算法、圖論的演算法、動態規劃以及數值分析、加密演算法、排序演算法、檢索演算法、隨機化演算法、並行演算法，厄米變形模型，隨機森林演算法。

❼ 推送機制四流演算法

咨詢記錄 · 回答於2021-11-23

❽ 數據結構有哪些基本演算法

數據結構是一門研究非數值計算的程序設計問題中的操作對象，以及它們之間的關系和操作等相關問題的學科。

可以理解為：程序設計 = 數據結構 + 演算法

數據結構演算法具有五個基本特徵：輸入、輸出、有窮性、確定性和可行性。

1、輸入：一個演算法具有零個或者多個輸出。以刻畫運算對象的初始情況，所謂0個輸入是指演算法本身定出了初始條件。後面一句話翻譯過來就是，如果一個演算法本身給出了初始條件，那麼可以沒有輸出。比如，列印一句話：NSLog(@"你最牛逼！");

2、輸出：演算法至少有一個輸出。也就是說，演算法一定要有輸出。輸出的形式可以是列印，也可以使返回一個值或者多個值等。也可以是顯示某些提示。

3、有窮性：演算法的執行步驟是有限的，演算法的執行時間也是有限的。

4、確定性：演算法的每個步驟都有確定的含義，不會出現二義性。

5、可行性：演算法是可用的，也就是能夠解決當前問題。

數據結果的基本演算法有：

1、圖搜索（廣度優先、深度優先）深度優先特別重要

2、排序

3、動態規劃

4、匹配演算法和網路流演算法

5、正則表達式和字元串匹配

6、三路劃分-快速排序

7、合並排序（更具擴展性，復雜度類似快速排序）

8、DF/BF 搜索 （要知道使用場景）

9、Prim / Kruskal （最小生成樹）

10、Dijkstra （最短路徑演算法）

11、選擇演算法

❾ 網路流的資料

編輯本段定義
圖論中的一種理論與方法，研究網路上的一類最優化問題 。1955年 ，T.E. 哈里斯在研究鐵路最大通量時首先提出在一個給定的網路上尋求兩點間最大運輸量的問題。1956年，L.R. 福特和 D.R. 富爾克森等人給出了解決這類問題的演算法，從而建立了網路流理論。所謂網路或容量網路指的是一個連通的賦權有向圖 D＝ （V、E、C） ， 其中V 是該圖的頂點集，E是有向邊(即弧)集，C是弧上的容量。此外頂點集中包括一個起點和一個終點。網路上的流就是由起點流向終點的可行流，這是定義在網路上的非負函數，它一方面受到容量的限制，另一方面除去起點和終點以外，在所有中途點要求保持流入量和流出量是平衡的。如果把下圖看作一個公路網，頂點v1…v6表示6座城鎮，每條邊上的權數表示兩城鎮間的公路長度。現在要問 ：若從起點v1將物資運送到終點v6去 ，應選擇那條路線才能使總運輸距離最短�這樣一類問題稱為最短路問題 。 如果把上圖看作一個輸油管道網 ， v1 表示發送點，v6表示接收點，其他點表示中轉站 ，各邊的權數表示該段管道的最大輸送量。現在要問怎樣安排輸油線路才能使從v1到v6的總運輸量為最大。這樣的問題稱為最大流問題。
最大流理論是由福特和富爾克森於 1956 年創立的 ，他們指出最大流的流值等於最小割(截集)的容量這個重要的事實，並根據這一原理設計了用標號法求最大流的方法，後來又有人加以改進，使得求解最大流的方法更加豐富和完善 。最大流問題的研究密切了圖論和運籌學，特別是與線性規劃的聯系，開辟了圖論應用的新途徑。
目前網路流的理論和應用在不斷發展，出現了具有增益的流、多終端流、多商品流以及網路流的分解與合成等新課題。網路流的應用已遍及通訊、運輸、電力、工程規劃、任務分派、設備更新以及計算機輔助設計等眾多領域。

網路流演算法
一、網路流的基本概念
先來看一個實例。
現在想將一些物資從S運抵T，必須經過一些中轉站。連接中轉站的是公路，每條公路都有最大運載量。如下圖：
每條弧代表一條公路，弧上的數表示該公路的最大運載量。最多能將多少貨物從S運抵T？
這是一個典型的網路流模型。為了解答此題，我們先了解網路流的有關定義和概念。
若有向圖G=(V,E)滿足下列條件：
1、 有且僅有一個頂點S，它的入度為零，即d-(S) = 0，這個頂點S便稱為源點，或稱為發點。
2、 有且僅有一個頂點T，它的出度為零，即d+(T) = 0，這個頂點T便稱為匯點，或稱為收點。
3、 每一條弧都有非負數，叫做該邊的容量。邊(vi, vj)的容量用cij表示。
則稱之為網路流圖，記為G = (V, E, C)
譬如圖5-1就是一個網路流圖。
1．可行流
對於網路流圖G，每一條弧(i,j)都給定一個非負數fij，這一組數滿足下列三條件時稱為這網路的可行流，用f表示它。
1、 每一條弧(i,j)有fij≤cij。
2、 除源點S和匯點T以外的所有的點vi，恆有：
該等式說明中間點vi的流量守恆，輸入與輸出量相等。
3、 對於源點S和匯點T有：
這里V(f)表示該可行流f的流量。
例如對圖5-1而言，它的一個可行流如下：
流量V(f) = 5。
2．可改進路
給定一個可行流f=。若fij = cij，稱<vi, vj>為飽和弧；否則稱<vi, vj>為非飽和弧。若fij = 0，稱<vi, vj>為零流弧；否則稱<vi, vj>為非零流弧。
定義一條道路P，起點是S、終點是T。把P上所有與P方向一致的弧定義為正向弧，正向弧的全體記為P+；把P上所有與P方向相悖的弧定義為反向弧，反向弧的全體記為P-。
譬如在圖5-1中，P = (S, V1, V2, V3, V4, T)，那麼
P+ = {<S, V1>, <V1, V2>, <V2, V3>, <V4, T>}
P- = {<V4, V3>}
給定一個可行流f，P是從S到T的一條道路，如果滿足：
那麼就稱P是f的一條可改進路。（有些書上又稱：可增廣軌）之所以稱作「可改進」，是因為可改進路上弧的流量通過一定的規則修改，可以令整個流量放大。具體方法下一節會重點介紹，此不贅述。
3．割切
要解決網路最大流問題，必須先學習割切的概念和有關知識。
G = (V, E, C)是已知的網路流圖，設U是V的一個子集，W = V\U，滿足S U，T W。即U、W把V分成兩個不相交的集合，且源點和匯點分屬不同的集合。
對於弧尾在U，弧頭在W的弧所構成的集合稱之為割切，用（U，W）表示。把割切（U，W）中所有弧的容量之和叫做此割切的容量，記為C（U，W），即：
例如圖5-1中，令U = {S, V1}，則W = {V2, V3, V4, T}，那麼
C(U, W) = <S, V2> + <V1, V2> + <V1, V3>+<V1, V4>=8+4+4+1=17
定理：對於已知的網路流圖，設任意一可行流為f，任意一割切為(U, W)，必有：V(f) ≤ C(U, W)。
通俗簡明的講：「最大流小於等於最小割」。這是「流理論」里最基礎最重要的定理。整個「流」的理論系統都是在這個定理上建立起來的，必須特別重視。
下面我們給出證明。
網路流、可改進路、割切都是基礎的概念，應該扎實掌握。它們三者之間乍一看似乎風馬牛不相干，其實內在聯系是十分緊密的。
二、求最大流
何謂最大流？首先它必須是一個可行流；其次，它的流量必須達到最大。這樣的流就稱為最大流。譬如對圖5-1而言，它的最大流如下：
下面探討如何求得最大流。
在定義「可改進路」概念時，提到可以通過一定規則修改「可改進路」上弧的流量，可以使得總流量放大。下面我們就具體看一看是什麼「規則」。
對可改進路P上的弧<vi, vj>，分為兩種情況討論：
第一種情況：<vi, vj>∈P+，可以令fij增加一個常數delta。必須滿足fij + delta ≤ cij，即delta ≤ cij – fij。
第二種情況：<vi, vj>∈P-，可以令fij減少一個常數delta。必須滿足fij - delta ≥ 0，即delta ≤ fij
根據以上分析可以得出delta的計算公式：
因為P+的每條弧都是非飽和弧，P-的每條弧都是非零流弧，所以delta > 0。
容易證明，按照如此規則修正流量，既可以使所有中間點都滿足「流量守恆」（即輸入量等於輸出量），又可以使得總的流量有所增加（因為delta > 0）。
因此我們對於任意的可行流f，只要在f中能找到可改進路，那麼必然可以將f改造成為流量更大的一個可行流。我們要求的是最大流，現在的問題是：倘若在f中找不到可改進路，是不是f就一定是最大流呢？
答案是肯定的。下面我們給出證明。
定理1 可行流f是最大流的充分必要條件是：f中不存在可改進路。
證明：
首先證明必要性：已知最大流f，求證f中不存在可改進路。
若最大流f中存在可改進路P，那麼可以根據一定規則（詳見上文）修改P中弧的流量。可以將f的流量放大，這與f是最大流矛盾。故必要性得證。
再證明充分性：已知流f，並且f中不存在可改進路，求證f是最大流。
我們定義頂點集合U, W如下：
（a） S∈U，
（b） 若x∈U，且fxy<cxy，則y∈U;
若x∈U，且fyx>0，則y∈U。
（這實際上就是可改進路的構造規則）
（c） W = V \ U。
由於f中不存在可改進路，所以T∈W；又S∈U，所以U、W是一個割切（U, W）。
按照U的定義，若x∈U，y∈W，則fxy = cxy。若x∈W，y∈U，則fxy = 0。
所以，
又因 v(f)≤C(U,W)
所以f是最大流。得證。
根據充分性證明中的有關結論，我們可以得到另外一條重要定理：
最大流最小割定理：最大流等於最小割，即max V(f) = min C(U, W)。
至此，我們可以輕松設計出求最大流的演算法：
step 1. 令所有弧的流量為0，從而構造一個流量為0的可行流f（稱作零流）。
step 2. 若f中找不到可改進路則轉step 5；否則找到任意一條可改進路P。
step 3. 根據P求delta。
step 4. 以delta為改進量，更新可行流f。轉step 2。
step 5. 演算法結束。此時的f即為最大流。
三、最小費用最大流
1．問題的模型
流最重要的應用是盡可能多的分流物資，這也就是我們已經研究過的最大流問題。然而實際生活中，最大配置方案肯定不止一種，一旦有了選擇的餘地，費用的因素就自然參與到決策中來。
圖5-8是一個最簡單的例子：弧上標的兩個數字第一個是容量，第二個是費用。這里的費用是單位流量的花費，譬如fs1=4，所需花費為3*4=12。
容易看出，此圖的最大流（流量是8）為：fs1 = f1t = 5, fs2 = f2t = 3。所以它的費用是：3*5+4*5+7*3+2*3 = 62。
一般的，設有帶費用的網路流圖G = (V, E, C, W)，每條弧<Vi, Vj>對應兩個非負整數Cij、Wij，表示該弧的容量和費用。若流f滿足：
(a) 流量V(f)最大。
(b) 滿足a的前提下，流的費用Cost(f) = 最小。
就稱f是網路流圖G的最小費用最大流。
2．演算法設計
我們模仿求最大流的演算法，找可改進路來求最小費用最大流。
設P是流f的可改進路，定義 為P的費用（為什麼如此定義？）。如果P是關於f的可改進路中費用最小的，就稱P是f的最小費用可改進路。
求最小費用最大流的基本思想是貪心法。即：對於流f，每次選擇最小費用可改進路進行改進，直到不存在可改進路為止。這樣的得到的最大流必然是費用最小的。
演算法可描述為：
step 1. 令f為零流。
step 2. 若無可改進路，轉step 5；否則找到最小費用可改進路，設為P。
step 3. 根據P求delta（改進量）。
step 4. 放大f。轉step 2。
step 5. 演算法結束。此時的f即最小費用最大流。
至於演算法的正確性，可以從理論上證明。讀者可自己思考或查閱有關運籌學資料。
2．最小費用可改進路的求解
求「最小費用可改進路」是求最小費用最大流演算法的關鍵之所在，下面我們探討求解的方法。
設帶費用的網路流圖G = (V, E, C, W)，它的一個可行流是f。我們構造帶權有向圖B = (V』, E』)，其中：
1、 V』 = V。
2、 若<Vi, Vj>∈E，fij<Cij，那麼<Vi, Vj>∈E』，權為Wij。
若<Vi, Vj>∈E，fij>0，那麼<Vj, Vi>∈E』，權為-Wij。
顯然，B中從S到T的每一條道路都對應關於f的一條可改進路；反之，關於f的每條可改進路也能對應B中從S到T的一條路徑。即兩者存在一一映射的邏輯關系。
故若B中不存在從S到T的路徑，則f必然沒有可改進路；不然，B中從S到T的最短路徑即為f的最小費用可改進路。
現在的問題變成：給定帶權有向圖B = (V』, E』)，求從S到T的一條最短路徑。
考慮到圖中存在權值為負數的弧，不能採用Dijkstra演算法；Floyd演算法的效率又不盡如人意——所以，這里採用一種折衷的演算法：迭代法。
設Short[k]表示從S到k頂點的最短路徑長度；從S到頂點k的最短路徑中，頂點k的前趨記為Last[k]。那麼迭代演算法描述如下：（為了便於描述，令n = |V』|，S的編號為0，T的編號為n+1）
step 1. 令Short[k]  +∞（1≤k≤n+1），Short[0]  0。
step 2. 遍歷每一條弧<Vk, Vj>。若Short[k] + <k, j> < Short[j]，則令Short[j]  Short[k] + <k, j>，同時Last[j]  k。倘不存在任何一條弧滿足此條件則轉step 4。
step 3. 轉step 2.
step 4. 演算法結束。若Short[n + 1]= +∞，則不存在從S到T的路徑；否則可以根據Last記錄的有關信息得到最短路徑。
一次迭代演算法的時間復雜度為O(kn2)，其中k是一個不大於n的變數。在費用流的求解過程中，k大部分情況下都遠小於n。
3．思維發散與探索
1）可改進路費用：「遞增！遞增？」
設f從零流到最大流共被改進了k次，每i次選擇的可改進路的費用為pi，那麼會不會有p1≤p2≤p3≤……≤pk呢？
2）迭代法：「小心死循環！嘿嘿……」
迭代法會出現死循環嗎？也就是說，構造的帶權有向圖B中會存在負迴路嗎？
3）費用：「你在乎我是負數嗎？」
網路流圖中的費用可以小於零嗎？
4）容量：「我管的可不僅是弧。」
網路流圖中的「容量」都是對弧而言的，但若是給每個頂點也加上一個容量限制：即通過此頂點的流量的上限；任務仍然是求從S到T的最小費用最大流。你能解決嗎？
四、有上下界的最大流
上面討論的網路流都只對每條弧都限定了上界（其實其下界可以看成0），現在給每條弧<Vi, Vj>加上一個下界限制Aij（即必須滿足Aij≤fij）。
例如圖5-9：
弧上數字對第一個是上界，第二個是下界。若是撇開下界不看，此圖的最大流如圖5-10(a)所示，流量是6；但若是加入了下界的限制，它的最大流量就只有5了，具體方案見圖5-10(b)。
那麼有上下界的網路最大流怎麼求呢？
一種自然的想法是去掉下界，將其轉化為只含上界的網路流圖。這種美好的願望是可以實現的。具體方法如下：
設原網路流圖為G = (V, E, C, A)，構造不含下界的網路流圖G』 = (V』, E』, C』)：
1、 V』 = V∪{S』, T』}
2、 對每個頂點x，令 ，若h-(x)≠0，就添加一條弧<S』, x>，其上界為h-(x)。
3、 對每個頂點x，令 ，若h+(x)≠0，就添加一條弧<x, T』>，其上界為h+(x)。
4、 對於任何<Vi, Vj>∈E，都有<Vi, Vj>∈E』，其上界C』ij = Cij – Aij。
5、 新增<T, S>∈E』，其上界CTS = +∞。
在G』中以S』為源點、T』為匯點求得最大流f』。若f』中從S』發出的任意一條弧是非飽和弧，則原網路流圖沒有可行流。否則可得原圖的一個可行流f = f』 + A，即所有的fij = f』ij + Aij。（其正確性很容易證明，留給讀者完成）
然後再求可改進路（反向弧<Vi, Vj>必須滿足fij≥Aij，而非fij≥0），不斷放大f，直到求出最大流。
我們看到，上幾節所討論的一種可行網路流實際上是{Aij = 0}的一種特殊網路流，這里提出的模型更一般化了。解決一般化的復雜問題，我們採取的思路是將其轉化為特殊的簡單問題，加以研究、推廣，進而解決。這是一種重要的基本思想：化歸——簡單有效。基於這種思想，請讀者自行思考解決：
1、 有上下界的最小流。
2、 有上下界的最小費用最大流。
五、多源點、多匯點的最大流
已知網路流圖有n個源點S1、S2、……、Sn，m個匯點T1、T2、……、Tm，，求該圖的最大流。這樣的問題稱為多源點、多匯點最大流。
它的解決很簡單：
1、 增設一個「超級源」S』，對每個源點Si，新增弧<S』, Si>，容量為無窮大。
2、 增設一個「超級匯」T』，對每個匯點Ti，新增弧<Ti, T』>，容量為無窮大。
3、 以S』為源點、T』為匯點求最大流f。
4、 將f中的S』和T』去掉，即為原圖的最大流。
演算法正確性顯然。
六、頂點有容量限制的最大流
上一節已經提出了這個問題，即對於進出每個頂點的流量也規定一個上限，這樣的最大流如何求？
既然我們已經解決了「邊限制」問題，現在何不把「點限制」問題轉化為「邊限制」呢？具體辦法如下：
1、 對除源點和匯點之外的每個頂點i拆分成兩個頂點i』和i』』。新增一條弧<i』, i』』>，其容量為點i的流量限制。
2、 對於原圖中的弧<i, j>，我們將其變換成<i』』, j』>。
3、 對變換後的圖求最大流即可。
這里我們又一次運用到了化歸的思想：將未知的「點限制」問題轉化為已知的「邊限制」問題。
七、網路流與二部圖的匹配
{二部圖和匹配的定義可參見本書專門介紹二部圖匹配的章節}
設二部圖為G = (X, Y, E)。
增設點S』，對於所有i∈X，新增弧<S』, Xi>，容量為1；增設點T』，對於所有i∈Y，新增一條弧<Yi, T』>，容量也為1。原圖中所有的弧予以保留，容量均為+∞。對新構造出來的網路流圖以S』為源點、T』為匯點求最大流：流量即為最大匹配數；若弧<Xi, Yj>（i∈X，j∈Y）的流量非零，它就是一條匹配邊。
二部圖最大匹配問題解決。
那麼二部圖的最佳匹配問題又如何？
仍然按照上述方法構圖。同時令原圖中弧的費用保持不變；新增弧的費用置為0。然後以S』為源點、T』為匯點求最小費用最大流即可。最大流的費用即為原二部圖最佳匹配的費用。

復制的我快吐了~

❿ 什麼是最大流演算法

最大流不是一個演算法，是一個問題。關於這個問題有很多演算法。比如找增廣路的，預留推進的。。。時間效率各有不同。
最大流問題，你可以這樣想像：源點是工廠，匯點是客戶，工廠到客戶間有很多條有運貨量限制的道路，問工廠到客戶最多可以運多少貨。
這些都可以通過程序實現～至於為什麼要用MATLAB，我就不清楚了～～