楊輝三角的演算法

『壹』 楊輝三角怎麼解

楊輝三角是一個由數字排列成的三角形數表，一般形式如下：

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

… … … … …

楊輝三角最本質的特徵是，它的兩條斜邊都是由數字1組成的，而其餘的數則是等於它肩上的兩個數之和。其實，中國古代數學家在數學的許多重要領域中處於遙遙領先的地位。中國古代數學史曾經有自己光輝燦爛的篇章，而楊輝三角的發現就是十分精彩的一頁。楊輝，字謙光，北宋時期杭州人。在他1261年所著的《詳解九章演算法》一書中，輯錄了如上所示的三角形數表，稱之為「開方作法本源」圖。而這樣一個三角在我們的奧數競賽中也是經常用到，最簡單的就是叫你找規律。現在要求我們用編程的方法輸出這樣的數表。

同時 這也是多項式(a+b)^n 打開括弧後的各個項的二次項系數的規律 即為

0 (a+b)^0 (0 nCr 0)

1 (a+b)^1 (1 nCr 0) (1 nCr 1)

2 (a+b)^2 (2 nCr 0) (2 nCr 1) (2 nCr 2)

3 (a+b)^3 (3 nCr 0) (3 nCr 1) (3 nCr 2) (3 nCr 3)

. ... ... ... ... ...

因此 楊輝三角第x層第y項直接就是 （y nCr x）

我們也不難得到 第x層的所有項的總和 為 2^x (即(a+b)^x中a,b都為1的時候)

[ 上述y^x 指 y的 x次方;(a nCr b) 指 組合數]

其實，中國古代數學家在數學的許多重要領域中處於遙遙領先的地位。中國古代數學史曾經有自己光輝燦爛的篇章，而楊輝三角的發現就是十分精彩的一頁。

楊輝，字謙光，北宋時期杭州人。在他1261年所著的《詳解九章演算法》一書中，輯錄了如上所示的三角形數表，稱之為「開方作法本源」圖。

而這樣一個三角在我們的奧數競賽中也是經常用到，最簡單的就是叫你找規律。具體的用法我們會在教學內容中講授。

在國外,這也叫做"帕斯卡三角形".

『貳』 楊輝三角的規律

楊輝三角，又稱賈憲三角形，帕斯卡三角形，是二項式系數在三角形中的一種幾何排列。以下為 n = 5 的楊輝三角。

1行 1
2行 1 1
3行 1 2 1
4行 1 3 3 1
5行 1 4 6 4 1

性質
1、每個數等於它上方兩數之和。
2、每行 數字左右對稱，由1開始逐漸變大。
3、第n行的數字有n項。
4、第n行數字和為2 n-1。
5、第n行的第m個數和第n-m+1個數相等，即C(n-1,m-1)=C(n-1,n-m)（ 組合數性質
之一） [1]
6、每個數字等於上一行的左右兩個數字之和。可用此性質寫出整個楊輝三角。即第n+1行的第i個數等於第n行的第i-1個數和第i個數之和，這也是組合數的性質之一。即 。 [2]
7、第n行的m個數可表示為C(n-1,m-1)（n-1下標，m-1上標），即為從n-1個不同 元素中取m-1個元素的組合數。
組合數計算方法：C(n,m)=n!/[m!(n-m)!]
8、(a+b)^n的展開式中的各項 系數 依次對應楊輝三角的第(n+1)行中的每一項。 [3]
9、將第2n+1行第1個數，跟第2n+2行第3個數、第2n+3行第5個數……連成一線，這些數的和是第4n+1個 斐波那契數；將第2n行第2個數(n>1)，跟第2n-1行第4個數、第2n-2行第6個數……這些數之和是第4n-2個 斐波那契數。
10、將各行數字相排列，可得11的n-1（n為行數）次方：1=11^0; 11=11^1; 121=11^2……;細心的人可能會發現當n≥5時會不符合這一條性質，其實是這樣的：把第n行的最右面的數字"1"放在個位，然後把左面的一個數字的個位對齊到十位... ...，以此類推，把空位用「0」補齊，然後把所有的數加起來，得到的數正好是11的n-1次方。以n=11為例，第十一行的數為：1,10,45,120,210,252,210,120,45,10,1；

C語言代碼實現列印輸出
網上很多都是利用二維數組實現，對於 n 很小的情況下，當然可以，但對於n比較大的時候，二維數組就比較消耗內存了，以下方法直接利用第7條性質，直接計算輸出楊輝三角，代碼如下所示。

#include<stdio.h>

void print_yanghui_triangle(int n)
{
<span style="white-space:pre"> </span>int i, j, k, s;
<span style="white-space:pre"> </span>for(i = 1; i <= n; i++)
<span style="white-space:pre"> </span>{
<span style="white-space:pre"> </span>for(j = 1; j <= i; j++)
<span style="white-space:pre"> </span>{
<span style="white-space:pre"> </span>s = 1;
<span style="white-space:pre"> </span>k = 1;
<span style="white-space:pre"> </span>//計算第 i 行的第 j 個數
<span style="white-space:pre"> </span>for(k = 1; k < j; k ++)
<span style="white-space:pre"> </span>{
<span style="white-space:pre"> </span>s = s * (i - k)/k;
<span style="white-space:pre"> </span>}
<span style="white-space:pre"> </span>printf("%2d\t", s);
<span style="white-space:pre"> </span>}
<span style="white-space:pre"> </span>printf("\n");
<span style="white-space:pre"> </span>}
}
int main()
{
<span style="white-space:pre"> </span>int n = 0;
<span style="white-space:pre"> </span>
<span style="white-space:pre"> </span>printf("Input line of YangHui Triangle: ");
<span style="white-space:pre"> </span>scanf("%d", &n);
<span style="white-space:pre"> </span>print_yanghui_triangle(n);
<span style="white-space:pre"> </span>
<span style="white-space:pre"> </span>return 0;
}

輸出結果如下：
Input line of YangHui Triangle: 9
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1

總結：注意計算第 i 行第 j 列數字的方法，示範代碼的計算方式，能夠避免很快溢出（按照公式計算，大概 n = 13 就為負數了）。本示範代碼，能夠計算到 n = 30，改成 long long型，能夠處理更多，但仍然避免不了最終溢出。
原文鏈接：https://blog.csdn.net/thomashtq/article/details/43986049

『叄』 楊輝三角的規律是什麼

楊輝三角的規律是每行數字的第一列和最後一列的數字都是1，從第三行開始，除去第一列和最後一列都為數字1以外，其餘每列的數字都等於它上方兩個數字之和。

從規律中我們可以看出楊輝三角形是對稱的，它是二項式系數在三角形中的一種幾何排列。

楊輝三角中n行中的第i個數是i-1中前n-1個數之和，即第n行的數分別為：

（1)中第n行之前的數字之和。

（2)中第n行之前的數字之和。

（3)中第n行之前的數字之和。

（4)中第n行之前的數字之和。

因此，二項式定理與楊輝三角形是一對天然的數形趣遇，它把數形結合帶進了計算數學。求二項式展開式系數的問題，實際上是一種組合數的計算問題。用系數通項公式來計算，稱為「式算」；用楊輝三角形來計算，稱作「圖算」。

『肆』 楊輝三角的公式及原理是什麼

楊輝三角形同時對應於二項式定理的系數。n次的二項式系數對應楊輝三角形的n + 1行。例如在中，2次的二項式正好對應楊輝三角形第3行系數1 2 1。

楊輝三角以正整數構成，數字左右對稱，每行由1開始逐漸變大，然後變小，回到1。第n行的數字個數為n個。第n行的第k個數字為組合數。

楊輝三角，是二項式系數在三角形中的一種幾何排列。在歐洲，這個表叫做帕斯卡三角形。帕斯卡（1623----1662）是在1654年發現這一規律的。

比楊輝要遲393年，比賈憲遲600年。楊輝三角是中國古代數學的傑出研究成果之一，它把二項式系數圖形化，把組合數內在的一些代數性質直觀地從圖形中體現出來，是一種離散型的數與形的結合。

(4)楊輝三角的演算法擴展閱讀：

降冪公式：

1、sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2

2、2cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2

3、tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))

推導公式：

1、1tanα+cotα=2/sin2α

2、tanα-cotα=-2cot2α

3、1+cos2α=2cos^2α

4、、4-cos2α=2sin^2α

5、1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2=2sina(1-sin2a)+(1-2sin2a)sina

兩角和差：

1、1cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ

2、cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ

3、sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ

4、4tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)

5、tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)

『伍』 楊輝三角的規律以及推導公式是什麼

楊輝三角的規律以及推導公式是：

1、每個數等於它上方兩數之和。

2、每行數字左右對稱，由 1 開始逐漸變大。

3、第n 行的數字有n+1 項。

4、第n 行數字和為2(n-1) （2 的(n-1) 次方）。

5 (a+b) n 的展開式中的各項系數依次對應楊輝三角的第(n+1) 行中的每一項。

6、第n 行的第m個數和第n-m 個數相等，即C(n,m)=C(n,n-m) 。

數在楊輝三角中的出現次數。

由1開始，正整數在楊輝三角形出現的次數為∞,1, 2, 2, 2, 3, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 4。

除了1之外，所有正整數都出現有限次，只有2出現剛好一次，6,20,70等出現三次；出現兩次和四次的數很多，還未能找到出現剛好五次的數。120,210,1540等出現剛好六次。

『陸』 楊輝三角公式

楊輝三角，也叫賈憲三角，在外國被稱為帕斯卡三角。與我們現在的學習聯系最緊密的是2項式乘方展開式的系數規律。

與楊輝三角聯系最緊密的是二項式乘方展開式的系數規律，即二項式定理。
例如，在楊輝三角中，第3行的第三個數恰好對應著兩數和的平方的展開式的每一項的系數，
即(a+b)^2;=a^2+2ab+b^2
第4行的四個數恰好依次對應兩數和的立方的展開式的每一項的系數
即(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3
以此類推。
又因為性質6：第n行的m個數可表示為C(n-1,m-1)，即為從n-1個不同元素中取m-1個元素的組合數。因此可得出二項式定理的公式為：(a+b)^n=C(n,0)a^n*b^0+C(n,1)a^(n-1)*b^1+...+C(n,r)a^(n-r)*b^r...+C(n,n)a^0*b^n
因此，二項式定理與楊輝三角形是一對天然的數形趣遇，它把數形結合帶進了計算數學。求二項式展開式系數的問題，實際上是一種組合數的計算問題。用系數通項公式來計算，稱為「式算」；用楊輝三角形來計算，稱作「圖算」。

前提：端點的數為1.
1、每個數等於它上方兩數之和。
2、每行數字左右對稱，由1開始逐漸變大。
3、第n行的數字有n項。
4、第n行數字和為2^(n-1)。
5、第n行的第m個數和第n-m+1個數相等，即C(n-1,m-1)=C(n-1,n-m)，這是組合數性質
6、每個數字等於上一行的左右兩個數字之和。可用此性質寫出整個楊輝三角。即第n+1行的第i個數等於第n行的第i-1個數和第i個數之和，這也是組合數的性質之一。

7、第n行的m個數可表示為C(n-1,m-1)（n-1下標，m-1上標），即為從n-1個不同
楊輝三角的組合數表示元素中取m-1個元素的組合數。
帕斯卡三角形組合數計算方法：C(n,m)=n!/[m!(n-m)!]
8、(a+b)^n的展開式中的各項系數依次對應楊輝三角的第(n+1)行中的每一項。
9、將第2n+1行第1個數，跟第2n+2行第3個數、第2n+3行第5個數……連成一線，這些數的和是第4n+1個斐波那契數；將第2n行第2個數(n>1)，跟第2n-1行第4個數、第2n-2行第6個數……這些數之和是第4n-2個斐波那契數。
10、將各行數字相排列，可得11的N次方：1=11º 11=11¹ 121=11²

楊輝三角的第n行就是二項式展開式的系數列。
對稱性：楊輝三角中的數字左、右對稱，對稱軸是楊輝三角形底邊上的「高」。
結構特徵：楊輝三角除斜邊上1以外的各數，都等於它「肩上」的兩數之和。
這些數排列的形狀像等腰三角形，兩腰上的數都是1。
從右往左斜著看,從左往右斜著看，和前面的看法一樣，這個數列是左右對稱的。
上面兩個數之和就是下面的一行的數。
這行數是第幾行，就是第二個數加一。

『柒』 楊輝三角的什麼（a+b）的五次方，六次方是怎麼算的

具體回答如圖：

每個數等於它上方兩數之和。每行數字左右對稱，由1開始逐漸變大。第n行的數字有n項。第n行的m個數可表示為C(n-1，m-1)，即為從n-1個不同元素中取m-1個元素的組合數。

第n行的第m個數和第n-m+1個數相等 ，為組合數性質之一。

(7)楊輝三角的演算法擴展閱讀：

(a+b)^n的展開式中的各項系數依次對應楊輝三角的第(n+1)行中的每一項。

將第2n+1行第1個數，跟第2n+2行第3個數、第2n+3行第5個數……連成一線，這些數的和是第4n+1個斐波那契數；將第2n行第2個數(n>1)，跟第2n-1行第4個數、第2n-2行第6個數……這些數之和是第4n-2個斐波那契數。

楊輝三角在編程實現中較為容易。最常見的演算法便是用上一行遞推計算；也有運用和組合的對應關系而使用階乘計算的，然而後者速度較慢且階乘容易溢出。編程的輸出大多相類，此處並不過多添加截圖。

『捌』 楊輝三角的規律總結是什麼

楊輝三角形的規律

1、楊輝三角左右兩側的數字都是1，而裡面的數字等於它肩上的兩數之和。

2、第n行的數所組成的數字為11n-1。

3、第n行的數字之和是2n-1。

4、每一斜線上的數字之和等於拐角處的數字。

5、每一斜行的數字相加，組成一個斐波那契數列。

6、每一行的數字分別是（a+b）n這一多項式展開後每一項的系數。

7、楊輝三角中的每一個數字都是組合數。

主要特徵：

（1）具有對稱性；

（2）每一行的首、尾都是1；

（3）中間各數都等於它們兩肩上的數的和。

楊輝三角的規律是每行數字的第一列和最後一列的數字都是1，從第三行開始，除去第一列和最後一列都為數字1以外，其餘每列的數字都等於它上方兩個數字之和。從規律中我們可以看出楊輝三角形是對稱的，它是二項式系數在三角形中的一種幾何排列。