不定方程演算法

1. 不定方程的解法.例題:4x+9y=17.求詳細的解答過程.

解不定方程4x+9y=17
4x+9y=17 (#1#）
一眼看出x=2,y=1是它的一組特解,當然還有其它的特解,如x=-7,y=5.
如看不出,可這樣：
4z+y=1 註：將4的倍數集中到4x項,並改用新變數.
易見可令y=1 (z=0),於是立即得 x=2.復雜些的例子另見其它例題.
再看4x+9y=0 (#2#) 的通解是 x=9t,y=-4t
將#1#的任何一個特解與#2#的通解相加,即得到
#1#的通
x=2+9t,y=1-4t
或寫成：
(x,y)=(2+9t,1-4t)
這種疊加方式,稱為線性疊加(原理),在這里的解不定方程用到,另外,
解線性方程組（如二元一次方程組）、求解同餘式組、解微分方程(組)、解插值多項式、求解線性遞推式(遞歸方程),往往用到這個線性疊加原理.（中國剩餘定理、拉格朗日插值法、常數變易法解微分方程及其它類似方法等,實際也都是這個原理）
外一則：
解#3#
x+2y=a
2x+3y=b
先解
#4#
x+2y=a
2x+3y=0
再解
#5#
x+2y=0
2x+3y=b
將#5,4#的解疊加即是#3#的解.
另題：求解不定方程36x+83y=1
36x+83y=1
36z+11y=1 註：將36的倍數集中到項36x上,並改用新變數
3z+11w=1 註：將11的倍數集中到11y上
易見可以z=-7,w=2,逆代即可求得特解x,y.
下面提出一種利於快速計算（特別是手算、口算心算）的細節演算法
將上面三個式子中的兩鄰的進行比較得
x-z+2y=0
3z+y-w=0
故
y=-3z+w=23
x=z-2y=-53
x=-53+83t
y=23-83t
驗證：
36x+83y=(36*(-53)+83*23)
將(36*(-53)+83*23)復制到內存剪貼板,運行windows計算器(開始菜單-運行-calc或calc.exe-可設置成科學型)
粘貼,得到值1
復雜的情況,請參見我的網路空間博文.
例如：377873x=1+499067y
網路搜索下面的關鍵字,或搜上面這個不定方程,可以找到.
中國剩餘定理 不定方程新解法 乘率求法 wsktuuytyh
註：其中,關鍵字wsktuuytyh 來自我的現用名的五筆編碼.wsk何 tuu冬 ytyh州
文章標題是：
中國剩餘定理之我的改進和新記號[散見於博文與答題]-剩餘倍分法的局限-不定方程新解法-乘率求法
其中,有比較簡單的不定方程例子如
如 907x+731y=2107
907x+731y=1
103x=57+211y

2. 設計求解不定方程x1+2x2+3x3+4x4=0的一個演算法

演算法主要是運用錯項相消和1+x+x^2+x^3+...+x^n=[x^(n+1)-1]/(x-1)的一個規律
如果樓主只是要演算法可以不用看我下面的解答，我可是做了3個小時的。。。55555555555.............................. 從晚上9點鏖戰到12點
方程變形得 x^2+2x^3+3x^4+4x^5=0*5=0
即 x^1+2x^2+3x^3+4x^4=0=x^2+2x^3+3x^4+4x^5
化簡抵消，得 x^1+x^2+x^3+x^4=4x^5
此處要用到一個規律，即1+x+x^+x^3+...+x^n=[x^(n+1)-1]/(x-1)
根據規律 1+x^1+x^2+x^3+x^4=4x^5+1
[x^(4+1)-1]/(x-1)=4x^5+1
同時增加 [x^5-1](x-1)/(x-1)=4x5(x-1)+(x-1)
x^5-1=4x^6-4x^5+x-1
移項得 5x^5=4x^6+x
若方程的解為正數，則題目不成立；
若方程的解為0，則方程成立；
若方程的解的范圍為（x<-1）,則│4x^6│必然大於│x│，又4x^6為偶次方，必定為正數，因此(4x^6+x)>0,但是5x^5小於零，方程不成立
若方程的解的范圍是(-1<x<0)，則x不為0，可以將題目上的方程變形為
1+2x+3x^2+4x^3=0
原方程為 x+2x^2+3x^3+4x^4=0
相減得 4x^4-x^3-x^2-x-x=0
4x^4=x^3+x^2+x+1
用規律 4x^4=(4x^4-1)/(x+1)
去分母 4x^4(x+1)=4x^4-1
去括弧 4x^5+4x^4=4x^4-1
4x^5=-1
x^5=-0.25
x=（-0.25的開五次方根）符合條件-1<x<0
綜上所述，原方程有2組解：
x=0,x=(-0.25的開五次方根)

3. （高中數學）關於演算法部分涉及的一道不定方程組問題···

x+y+z=30 ①
35x+25y+10z=680 ②
將②-10①
25x+15y=380→5x+3y=76
特解：(2,22)
∴通解x=2+3k(恆大於0)
y=22-5k
z=6+2k(恆大於0)
22-5k<0
k≥5時，此時x≥17，存在小於20的值
∴會出現負值，你的考慮是對的。
（如果按樓上知友的考慮，0≤x≤15就沒問題）

4. 我國最早提出不定方程問題由什麼引起的

我國最早提出不定方程問題，它由「五家共井」引起。古代，沒有自來水，幾家合用一個水井是常見的事。《九章算術》一書第8章第13題就是「五家共井」問題：

今有五家共井，甲二綆不足，如乙一綆；乙三綆不足，如丙一綆；丙四綆不足，如丁一綆；丁五綆不足，如戊一綆；戊六綆不足，如甲一綆。如各得所不足一綆，皆逮。問井深、綆長各幾何！

用水桶到井中取水，當然少不了繩索，「綆」就是指「繩索」。原題的意思是：

五家共用一水井。井深比2條甲家繩長還多1條乙家繩長；比3條乙家繩長還多1條丙家繩長；比4條丙家繩長還多1條丁家繩長；比5條丁家繩長還多1條戊家繩長；比6條戊家繩長還多1條甲家繩長。如果各家都增加所差的另一條取水繩索，剛剛好取水。試問井深、取水繩長各多少？

雖然該問題是虛構的，它是最早的一個不定方程問題。

用現代符號，可設甲、乙、丙、丁、戊各家繩索長分別為x、y、z、u、v；並深為h。根據題意，可得

2x+y=h，

3y+z=h，

4z+u=h，

5u+v=h，

6v+x=h。

這是一個含有6個未知數、5個方程的方程組。未知數的個數多於方程個數的方程（或方程組）叫不定方程。用加減消元法可得

x=265721h，y=191721h，z=148721h，

u=129721h，v=76721h。

給定h不同的數值，就可得到x、y、z、u、v的各個不同的數值。只要再給定一些特定條件，就可得到確定的組解。原書中只給出一組解，是最小正整數解。

我國古代數學家在《九章算術》的基礎上，對不定方程作出了輝煌的成績。「五家共井」問題是後來百雞術及大衍求一術的先聲。

「五家共井」問題，曾引起世界上很多數學家的注視。在西方數學史書中，把最早研究不定方程的功績歸於希臘丟番都。其實，他在公元250年左右才研究這些問題，要比我國遲200多年。

公元6世紀上半期，張丘建在他的《張丘建算經》中有一個百雞問題：今有雞翁一，值錢五；雞母一，值錢三；雞雛生，值錢一。凡百錢，買雞百隻。問雞翁、母、雛各幾何？

意思是，如果1隻公雞值5個錢；1隻母雞值3個錢；3隻小雞值1個錢。現用100個錢，買了100隻雞。問公雞、母雞、小雞各多少？

設公雞、母雞、小雞分別為x、y、z只，則可得不定方程消去z不難得出

5x+3y+13z=100

x+y+z=100

消去z不難得出

y=7x4

因為y是正整數，所以x必須是4的倍數。

設x＝4t，則y＝25－7t，z＝75＋3t

∵x＞0，∴4t＞0，t＞0；

又∵y＞0，∴25－7t＞0，t＜347

故t＝1，2，3。

∴原方程組有三組答案：

{x＝4，y＝18，z＝78{x＝8，y＝11，z＝81{x＝12，y＝4，z＝84

數學史家評論說，一道應用題有多組答案，是數學史上從未見到過的，百雞問題開了先例。《張丘建算經》中沒有給出解法，只說：「術曰：雞翁每增四，雞母每減七，雞雛每益三，即得。」意思是：如果少買7隻母雞，就可多買4隻公雞和3隻小雞。因為7隻母雞值錢21，4隻公雞值錢20，兩者相差3隻小雞的價格。只要得出一組答案，就可推出其餘兩組。但這解法怎麼來的？書中沒有說明。因此，所謂「百雞術」即百雞問題的解法就引起人們的極大興趣。

稍後，甄鸞在《數術記遺》一書中又提出了兩個「百雞問題」，題目意思與原百雞問題相同，僅數字有所區別。到了宋代，著名數學家楊輝在他的《續古摘奇演算法》一書中，也引用了類似的問題：

「錢一百買溫柑、綠桔、扁桔共一百枚。只雲溫柑一枚七文，綠桔一枚三文，扁桔三枚一文。問各買幾何？」

到了明清時代，還有人提出了多於三元的「百雞問題」。不過，各書均與《張丘建算經》一樣，沒有給出問題的一般解法。

7世紀時，有人對百雞問題提出另一種解法，但只是數字的湊合。到了清代焦循在他的《加減乘除釋》一書中指出其錯誤。之後，不斷有人提出新的解法，但都沒有完全得到普遍解決此類題目的通用方法。例如丁取忠在他的《數學拾遺》中給出一個比較簡易的解法：先設沒有公雞，用100個錢買母雞和小雞共100隻，得母雞25隻、小雞75隻。現在少買7隻母雞，多買4隻公雞和3隻小雞，便得第一組答案。同理可推出其餘兩組。直到19世紀，人們才把這類問題同「大衍求一術」結合起來研究。

百雞問題是一個歷史名題，在世界上有很大影響。國外常見類似的題目。

5. 簡單的不定方程的解法。

我舉一個簡例。
題：求解不定方程36x+83y=1
解：
36x+83y=1
36z+11y=1 註：將36的倍數集中到項36x上，並改用新變數
3z+11w=1 註：將11的倍數集中到11y上
易見可以z=-7,w=2，逆代即可求得特解x,y。
下面提出一種利於快速計算（特別是手算、口算心算）的細節演算法

將上面三個式子中的兩鄰的進行比較得
x-z+2y=0
3z+y-w=0
故
y=-3z+w=23
x=z-2y=-53
通解：
x=-53+83t
y=23-83t
驗證：
36x+83y=(36*(-53)+83*23)
將(36*(-53)+83*23)復制到內存剪貼板，運行windows計算器(開始菜單-運行-calc或calc.exe-可設置成科學型)
粘貼，得到值1

復雜的情況，請參見我的網路空間博文。
例如：377873x=1+499067y

網路搜索下面的關鍵字,或搜上面這個不定方程，可以找到。

中國剩餘定理 不定方程新解法 乘率求法 wsktuuytyh

註：其中，關鍵字wsktuuytyh 來自我的現用名的五筆編碼。wsk何 tuu冬 ytyh州

文章標題是：
中國剩餘定理之我的改進和新記號[散見於博文與答題]-剩餘倍分法的局限-不定方程新解法-乘率求法
其中，有比較簡單的不定方程例子如
如 907x+731y=2107
907x+731y=1
103x=57+211y

6. 不定方程的解法。例題:4x+9y=17。求詳細的解答過程。

解不定方程4x+9y=17
解：
4x+9y=17 (#1#）
一眼看出x=2,y=1是它的一組特解，當然還有其它的特解，如x=-7,y=5。
如看不出，可這樣：
4z+y=1 註：將4的倍數集中到4x項，並改用新變數。
易見可令y=1 (z=0)，於是立即得 x=2. 復雜些的例子另見其它例題。

再看4x+9y=0 (#2#) 的通解是 x=9t, y=-4t
將#1#的任何一個特解與#2#的通解相加，即得到
#1#的通解：

x=2+9t, y=1-4t
或寫成：
(x,y)=(2+9t,1-4t)

這種疊加方式，稱為線性疊加(原理)，在這里的解不定方程用到，另外，
解線性方程組（如二元一次方程組）、求解同餘式組、解微分方程(組)、解插值多項式、求解線性遞推式(遞歸方程)，往往用到這個線性疊加原理。（中國剩餘定理、拉格朗日插值法、常數變易法解微分方程及其它類似方法等，實際也都是這個原理）

外一則：
解#3#
x+2y=a
2x+3y=b
先解
#4#
x+2y=a
2x+3y=0
再解
#5#
x+2y=0
2x+3y=b
將#5,4#的解疊加即是#3#的解。

另題：求解不定方程36x+83y=1
解：
36x+83y=1
36z+11y=1 註：將36的倍數集中到項36x上，並改用新變數
3z+11w=1 註：將11的倍數集中到11y上
易見可以z=-7,w=2，逆代即可求得特解x,y。
下面提出一種利於快速計算（特別是手算、口算心算）的細節演算法

將上面三個式子中的兩鄰的進行比較得
x-z+2y=0
3z+y-w=0
故
y=-3z+w=23
x=z-2y=-53
通解：
x=-53+83t
y=23-83t
驗證：
36x+83y=(36*(-53)+83*23)
將(36*(-53)+83*23)復制到內存剪貼板，運行windows計算器(開始菜單-運行-calc或calc.exe-可設置成科學型)
粘貼，得到值1

復雜的情況，請參見我的網路空間博文。
例如：377873x=1+499067y

網路搜索下面的關鍵字,或搜上面這個不定方程，可以找到。

中國剩餘定理 不定方程新解法 乘率求法 wsktuuytyh

註：其中，關鍵字wsktuuytyh 來自我的現用名的五筆編碼。wsk何 tuu冬 ytyh州

文章標題是：
中國剩餘定理之我的改進和新記號[散見於博文與答題]-剩餘倍分法的局限-不定方程新解法-乘率求法
其中，有比較簡單的不定方程例子如
如 907x+731y=2107
907x+731y=1
103x=57+211y

7. 求解不定方程,2021x+2023y=7,求x,y都是整數的解

因為數字很大，要用到特定方法可以解決它：