普林斯頓演算法

Ⅰ NP完全問題

網路名片 NP完全問題 NP完全問題，是世界七大數學難題之一。 NP的英文全稱是Non-deterministic Polynomial的問題，即多項式復雜程度的非確定性問題。簡單的寫法是 NP=P？，問題就在這個問號上，到底是NP等於P，還是NP不等於P。 目錄 基本簡介 問題詳解 搜索方法 近鄰法(nearest neighbor) 插入法(insertion) 模擬退火演算法(Recuit Algorithm) 遺傳演算法 神經網路演算法 難度結果 基本簡介 問題詳解 搜索方法 近鄰法(nearest neighbor) 插入法(insertion) 模擬退火演算法(Recuit Algorithm) 遺傳演算法 神經網路演算法 難度結果 展開 編輯本段基本簡介 數學上著名的NP問題，完整的叫法是NP完全問題，也即「NP COMPLETE」問題，簡單的寫法，是 NP=P？的問題。問題就在這個問號上，到底是NP等於P，還是NP不等於P。證明其中之一，便可以拿百萬美元大獎。 多流水線調度實際上是一個NP完全問題 這個獎還沒有人拿到，也就是說，NP問題到底是Polynomial，還是Non-Polynomial，尚無定論。 NP裡面的N，不是Non-Polynomial的N，是Non-Deterministic，P代表Polynomial倒是對的。NP就是Non-deterministic Polynomial的問題，也即是多項式復雜程度的非確定性問題。 美國麻州的克雷(Clay)數學研究所於2000年5月24日在巴黎法蘭西學院宣布了一件被媒體炒得火熱的大事：對七個「千僖年數學難題」的每一個懸賞一百萬美元。以下是這七個難題。 「千僖難題」之一： P (多項式演算法)問題對NP (非多項式演算法)問題 「千僖難題」之二： 霍奇(Hodge)猜想 「千僖難題」之三： 龐加萊(Poincare)猜想 「千僖難題」之四： 黎曼(Riemann)假設 「千僖難題」之五： 楊－米爾斯(Yang-Mills)存在性和質量缺口 「千僖難題」之六：納維葉－斯托克斯(Navier-Stokes)方程的存在性與光滑性 「千僖難題」之七：貝赫(Birch)和斯維訥通－戴爾(Swinnerton-Dyer)猜想 NP完全問題排在百萬美元大獎的首位，足見他的顯赫地位和無窮魅力。 編輯本段問題詳解 NP就是Non-deterministic Polynomial的問題，也即是多項式復雜程度的非確定性問題。 什麼是非確定性問題呢？有些計算問題是確定性的，比如加減乘除之類，你只要按照公式推導，按部就班一步步來，就可以得到結果。但是，有些問題是無法按部就班直接地計算出來。比如，找大質數的問題。有沒有一個公式，你一套公式，就可以一步步推算出來，下一個質數應該是多少呢？這樣的公式是沒有的。再比如，大的合數分解質因數的問題，有沒有一個公式，把合數代進去，就直接可以算出，它的因子各自是多少？也沒有這樣的公式。 這種問題的答案，是無法直接計算得到的，只能通過間接的「猜算」來得到結果。這也就是非確定性問題。而這些問題的通常有個演算法，它不能直接告訴你答案是什麼，但可以告訴你，某個可能的結果是正確的答案還是錯誤的。這個可以告訴你「猜算」的答案正確與否的演算法，假如可以在多項式時間內算出來，就叫做多項式非確定性問題。而如果這個問題的所有可能答案，都是可以在多項式時間內進行正確與否的驗算的話，就叫完全多項式非確定問題。 完全多項式非確定性問題可以用窮舉法得到答案，一個個檢驗下去，最終便能得到結果。但是這樣演算法的復雜程度，是指數關系，因此計算的時間隨問題的復雜程度成指數的增長，很快便變得不可計算了。 人們發現，所有的完全多項式非確定性問題，都可以轉換為一類叫做滿足性問題的邏輯運算問題。既然這類問題的所有可能答案，都可以在多項式時間內計算，人們於是就猜想，是否這類問題，存在一個確定性演算法，可以在指數 時間內，直接算出或是搜尋出正確的答案呢？這就是著名的NP=P？的猜想。 解決這個猜想，無非兩種可能，一種是找到一個這樣的演算法，只要針對某個特定NP完全問題找到一個演算法，所有這類問題都可以迎刃而解了，因為他們可以轉化為同一個問題。另外的一種可能，就是這樣的演算法是不存在的。那麼就要從數學理論上證明它為什麼不存在。 前段時間轟動世界的一個數學成果，是幾個印度人提出了一個新演算法，可以在多項式時間內，證明某個數是或者不是質數，而在這之前，人們認為質數的證明，是個非多項式問題。可見，有些看來好象是非多項式的問題，其實是多項式問題，只是人們一時還不知道它的多項式解而已。 上回說到可憐的旅行商想找出走遍所有城市的最短路徑。讓我們用計算機幫他搜索一下。 這就需要用到本篇文章中要介紹的第一門學科了：《人工智慧》。人類的許多活動，如解算題、猜謎語、進行討論、編制計劃和編寫計算機程序，甚至駕駛汽車和騎自行車等等，都需要"智能"。如果機器能夠執行這種任務，就可以認為機器已具有某種性質的"人工智慧"。現在我們就要利用人工智慧，用計算機模擬人的思維來搜索最短路徑。 想像一下，我們人思考問題時，有兩種方法：一種是精確搜索，就是試驗所有的可能性，找出最精確的一個方案。但它在搜索過程中不改變搜索策略，不利用搜索獲得的中間信息，它盲目性大，效率差，用於小型問題還可以，用於大型問題根本不可能；另一種叫做啟發式搜索，它在搜索過程中加入了與問題有關的啟發性信息，用以指導搜索向著一個比較小的范圍內進行，加速獲得結果。 編輯本段搜索方法近鄰法(nearest neighbor) 推銷員從某個城鎮出發，永遠選擇前往最近且尚未去過的城鎮，最後再返回原先的出發點。這方法簡單，也許是多數人的直覺做法，但是近鄰法的短視使其表現非常不好，通常後段的路程會非常痛苦。 插入法(insertion) 先產生連接部分點的子路線，再根據某種法則將其它的點逐一加入路線。比如最近插入法(nearest insertion)，先針對外圍的點建構子路線，然後從剩餘的點裡面評估何者加入後路線總長度增加的幅度最小，再將這個點加入路線。又比如最遠插入法(farthest，insertion)，是從剩餘的點裡面選擇距離子路線最遠的點，有點先苦後甜的滋味。 模擬退火演算法(Recuit Algorithm) 模擬退火演算法來源於固體退火原理，將固體加溫至充分高，再讓其徐徐冷卻，加溫時，固體內部粒子隨溫升變為無序狀，內能增大，而徐徐冷卻時粒子漸趨有序，在每個溫度都達到平衡態，最後在常溫時達到基態，內能減為最小。根據Metropolis准則，粒子在溫度T時趨於平衡的概率為e-ΔE/(kT)，其中E為溫度T時的內能，ΔE為其改變數，k為Boltzmann常數。用固體退火模擬組合優化問題，將內能E模擬為目標函數值f，溫度T演化成控制參數t，即得到解組合優化問題的模擬退火演算法：由初始解i和控制參數初值t開始，對當前解重復「產生新解→計算目標函數差→接受或舍棄」的迭代，並逐步衰減t值，演算法終止時的當前解即為所得近似最優解。 遺傳演算法 遺傳演算法是模擬生物遺傳學和自然選擇機理，通過人工方式所構造的一類搜索演算法 遺傳演算法是解決NP問題的一種較理想的方法 ，從某種程度上說遺傳演算法是對生物進化過程進行的數學方式模擬。生物種群的生存過程普遍遵循達爾文進化准則，群體中的個體根據對環境的適應能力而被大自然所選擇或淘汰。進化過程的結果反映在個體的結構上，其染色體包含若干基因，相應的表現型和基因型的聯系體現了個體的外部特性與內部機理間邏輯關系。通過個體之間的交叉、變異來適應大自然環境。生物染色體用數學方式或計算機方式來體現就是一串數碼，仍叫染色體，有時也叫個體；適應能力是對應著一個染色體的一個數值來衡量；染色體的選擇或淘汰則按所面對的問題是求最大還是最小來進行。 神經網路演算法 根據一個簡化的統計，人腦由百億條神經組成 — 每條神經平均連結到其它幾千條神經。通過這種連結方式，神經可以收發不同數量的能量。神經的一個非常重要的功能是它們對能量的接受並不是立即作出響應，而是將它們累加起來，當這個累加的總和達到某個臨界閾值時，它們將它們自己的那部分能量發送給其它的神經。大腦通過調節這些連結的數目和強度進行學習。盡管這是個生物行為的簡化描述。但同樣可以充分有力地被看作是神經網路的模型。 編輯本段難度結果 雖然百萬美元的獎金和大量投入巨大卻沒有實質性結果的研究足以顯示該問題是困難的，還有一些形式化的結果證明為什麼該問題可能很難解決。 最常被引用的結果之一設計神喻。假想你有一個魔法機器可以解決單個問題，例如決定一個給定的數字是否為質數，但可以瞬間解決這個問題。我們的新問題是，若我們被允許任意利用這個機器，是否存在我們可以在多項式時間內驗證但無法在多項式時間內解決的問題？結果是，依賴於機器能解決的問題，P = NP和P ≠ NP二者都可以證明。這個結論的後果是，任何可以修改來證明該機器的存在性的結果不能解決問題。不幸的是，幾乎所有經典的方法和大部分已知的方法可以這樣修改（我們稱它們在相對化）。 如果這還不算太糟的話，1993年Razborov和Rudich證明的一個結果表明，給定一個特定的可信的假設，在某種意義下「自然」的證明不能解決P = NP問題。這表明一些現在似乎最有希望的方法不太可能成功。隨著更多這類的定理得到證明，該定理的可能證明有越來越多的陷阱要規避。這實際上也是為什麼NP完全問題有用的原因：若有一個多項式時間演算法，或者沒有一個這樣的演算法，對於NP完全問題存在，這將用一種相信不被上述結果排除在外的方法來解決P = NP問題。P=NP問題可以用邏輯命題的特定類的可表達性的術語來重新表述。所有P中的語言可以用一階邏輯加上最小不動點操作（實際上，這允許了遞歸函數的定義）來表達。類似地，NP是可以用存在性二階邏輯來表達—也就是，在關系、函數、和子集上排除了全域量詞的二階邏輯。多項式等級，PH中的語言對應與所有的二階邏輯。這樣，「P是NP的真子集嗎」這樣的問題可以表述為「是否存在性二階邏輯能夠表達帶最小不動點操作的一階邏輯的所不能表達的語言？」 普林斯頓大學計算機系樓將二進制代碼表述的「P=NP?」問題刻進頂樓西面的磚頭上。如果證明了P=NP，磚頭可以很方便的換成表示「P=NP！」。康奈爾大學的Hubert Chen博士提供了這個玩笑式的P不等於NP的證明：「反證法。設P = NP。令y為一個P = NP的證明。證明y可以用一個合格的計算機科學家在多項式時間內驗證，我們認定這樣的科學家的存在性為真。但是，因為P = NP，該證明y可以在多項式時間內由這樣的科學家發現。但是這樣的發現還沒有發生（雖然這樣的科學家試圖發現這樣的一個證明），我們得到矛盾。

Ⅱ 電腦之父是誰

人物簡介
約翰·馮·諾依曼（ John von Neumann，1903－1957），「現代電子計算機之父」，美籍匈牙利人，物理學家、數學家、發明家，「現代電子計算機之父」即電腦（即EDVAC，它是世界上第一台現代意義的通用計算機）的發明者。1903年12月28日生於匈牙 約翰·馮·諾依曼
利的布達佩斯，父親是一個銀行家，家境富裕，十分注意對孩子的教育．馮·諾依曼從小聰穎過人，興趣廣泛，讀書過目不忘．據說他6歲時就能用古希臘語同父親閑談，一生掌握了七種語言．最擅德語，可在他用德語思考種種設想時，又能以閱讀的速度譯成英語．他對讀過的書籍和論文．能很快一句不差地將內容復述出來，而且若干年之後，仍可如此．1911年一1921年，馮·諾依曼在布達佩斯的盧瑟倫中學讀書期間，就嶄露頭角而深受老師的器重．在費克特老師的個別指導下並合作發表了第一篇數學論文，此時馮·諾依曼還不到18歲．1921年一1923年在蘇黎世聯邦工業大學學習．很快又在1926年以優異的成績獲得了布達佩斯大學數學博士學位，此時馮·諾依曼年僅22歲．1927年一1929年馮·諾依曼相繼在柏林大學和漢堡大學擔任數學講師。1930年接受了普林斯頓大學客座教授的職位，西渡美國．1931年他成為美國普林斯頓大學的第一批終身教授，那時，他還不到30歲。1933年轉到該校的高級研究所，成為最初六位教授之一，並在那裡工作了一生． 馮·諾依曼是普林斯頓大學、賓夕法尼亞大學、哈佛大學、伊斯坦堡大學、馬里蘭大學、哥倫比亞大學和慕尼黑高等技術學院等校的榮譽博士．他是美國國家科學院、秘魯國立自然科學院和義大利國立林且學院等院的院士． 1954年他任美國原子能委員會委員；1951年至1953年任美國數學會主席． 1954年夏，馮·諾依曼被發現患有癌症，1957年2月8日，在華盛頓去世，終年54歲．
編輯本段傑出貢獻
主要貢獻
馮·諾伊曼是二十世紀最重要的數學家之一，在純粹數學和應用數學方面都有傑出的貢獻。他的工作大致可以分為兩個時期：1940年以前，主要是純粹數學的研究：在數理邏輯方面提出簡單而明確的序數理論，並對集合論進行新的公理化，其中明確區別集合與類；其後，他研究希爾伯特空間上線性自伴運算元譜理論，從而為量子力學打下數學基礎；1930年起，他證明平均遍歷定理開拓了遍歷理論的新領域；1933年，他運用緊致群解決了希爾伯特第五問題；此外，他還在測度論、格論和連續幾何學方面也有開創性的貢獻；從1936～1943年，他和默里合作，創造了運算元環理論，即現在所謂的馮·諾伊曼代數。 1940年以後，馮·諾伊曼轉向應用數學。如果說他的純粹數學成就屬於數學界，那麼他在力學、經濟學、數值分析和電子計算機方面的工作則屬於全人類。第二次世界大戰開始，馮·諾伊曼因戰事的需要研究可壓縮氣體運動，建立沖擊波理論和湍流理論，發展了流體力學；從1942年起，他同莫根施特恩合作，寫作《博弈論和經濟行為》一書，這是博弈論(又稱對策論)中的經典著作，使他成為數理經濟學的奠基人之一。 馮·諾伊曼對世界上第一台電子計算機ENIAC(電子數字積分計算機)的設計提出過建議，1945年3月他在共同討論的基礎上起草EDVAC(電子離散變數自動計算機)設計報告初稿，這對後來計算機的設計有決定性的影響，特別是確定計算機的結構，採用存儲程序以及二進制編碼等，至今仍為電子計算機設計者所遵循。 1946年，馮·諾依曼開始研究程序編制問題，他是現代數值分析——計算數學的締造者之一，他首先研究線性代數和算術的數值計算，後來著重研究非線性微分方程的離散化以及穩定問題，並給出誤差的估計。他協助發展了一些演算法，特別是蒙特卡羅方法。 40年代末，他開始研究自動機理論，研究一般邏輯理論以及自復制系統。在生命的最後時刻他深入比較天然自動機與人工自動機。他逝世後其未完成的手稿在1958年以《計算機與人腦》為名出版。 馮·諾伊曼的主要著作收集在《馮·諾伊曼全集》(6卷，1961)中。 無論在純粹數學還是在應用數學研究方面，馮·諾依曼都顯示了卓越的才能，取得了眾多影響深遠的重大成果。不斷變換研究主題，常常在幾種學科交叉滲透中獲得成就是他的特色。 最簡單的來說，他的精髓貢獻是2點：2進制思想與程序內存思想。 回顧20世紀科學技術的輝煌發展時，不能不提及20世紀最傑出的數學家之一的馮·諾依曼．眾所周知，1946年發明的電子計算機，大大促進了科學技術的進步，大大促進了社會生活的進步．鑒於馮·諾依曼在發明電子計算機中所起到關鍵性作用，他被西方人譽為"計算機之父"．而在經濟學方面，他也有突破性成就，被譽為「博弈論之父」。在物理領域，馮·諾依曼在30年代撰寫的《量子力學的數學基礎》已經被證明對原子物理學的發展有極其重要的價值。在化學方面也有相當的造詣，曾獲蘇黎世高等技術學院化學系大學學位。與同為猶太人的哈耶克一樣，他無愧是上世紀最偉大的全才之一。 約翰·馮·諾依曼
馮·諾依曼在數學的諸多領域都進行了開創性工作，並作出了重大貢獻．在第二次世界大戰前，他主要從事運算元理論、集合論等方面的研究．1923年關於集合論中超限序數的論文，顯示了馮·諾依曼處理集合論問題所特有的方式和風格．他把集會論加以公理化，他的公理化體系奠定了公理集合論的基礎．他從公理出發，用代數方法導出了集合論中許多重要概念、基本運算、重要定理等．特別在1925年的一篇論文中，馮·諾依曼就指出了任何一種公理化系統中都存在著無法判定的命題． 1933年，馮·諾依曼解決了希爾伯特第5問題，即證明了局部歐幾里得緊群是李群．1934年他又把緊群理論與波爾的殆周期函數理論統一起來．他還對一般拓撲群的結構有深刻的認識，弄清了它的代數結構和拓撲結構與實數是一致的． 他對運算元代數進行了開創性工作，並奠定了它的理論基礎，從而建立了運算元代數這門新的數學分支．這個分支在當代的有關數學文獻中均稱為馮·諾依曼代數．這是有限維空間中矩陣代數的自然推廣． 馮·諾依曼還創立了博弈論這一現代數學的又一重要分支． 1944年發表了奠基性的重要論文《博弈論與經濟行為》．論文中包含博弈論的純粹數學形式的闡述以及對於實際博弈應用的詳細說明．文中還包含了諸如統計理論等教學思想．馮·諾依曼在格論、連續幾何、理論物理、動力學、連續介質力學、氣象計算、原子能和經濟學等領域都作過重要的工作． 馮·諾依曼對人類的最大貢獻是對計算機科學、計算機技術、數值分析和經濟學中的博弈論的開拓性工作． 現在一般認為ENIAC機是世界第一台電子計算機，它是由美國科學家研製的，於1946年2月14日在費城開始運行．其實由湯米、費勞爾斯等英國科學家研製的"科洛薩斯"計算機比ENIAC機問世早兩年多，於1944年1月10日在布萊奇利園區開始運行．ENIAC機證明電子真空技術可以大大地提高計算技術，不過，ENIAC機本身存在兩大缺點：（1）沒有存儲器；（2）它用布線接板進行控制，甚至要搭接幾天，計算速度也就被這一工作抵消了．ENIAC機研製組的莫克利和埃克特顯然是感到了這一點，他們也想盡快著手研製另一台計算機，以便改進。 1944年，諾伊曼參加原子彈的研製工作，該工作涉及到極為困難的計算。在對原子核反應過程的研究中，要對一個反應的傳播做出「是」或「否」的回答。解決這一問題通常需要通過幾十億次的數學運算和邏輯指令，盡管最終的數據並不要求十分精確，但所有的中間運算過程均不可缺少，且要盡可能保持准確。他所在的洛·斯阿拉莫斯實驗室為此聘用了一百多名女計算員，利用台式計算機從早到晚計算，還是遠遠不能滿足需要。無窮無盡的數字和邏輯指令如同沙漠一樣把人的智慧和精力吸盡。 被計算機所困擾的諾伊曼在一次極為偶然的機會中知道了ENIAC計算機的研製計劃，從此他投身到計算機研製這一宏偉的事業中，建立了一生中最大的豐功偉績。 1944年夏的一天，正在火車站候車的諾伊曼巧遇戈爾斯坦，並同他進行了短暫的交談。當時，戈爾斯坦是美國彈道實驗室的軍方負責人，他正參與ENIAC計算機的研製工作。在交談中，戈爾斯坦告訴了諾伊曼有關ENIAC的研製情況。具有遠見卓識的諾伊曼為這一研製計劃所吸引，他意識到了這項工作的深遠意義。 馮·諾依曼由ENIAC機研製組的戈爾德斯廷中尉介紹參加ENIAC機研製小組後，便帶領這批富有創新精神的年輕科技人員，向著更高的目標進軍．1945年，他們在共同討論的基礎上，發表了一個全新的"存儲程序通用電子計算機方案"--EDVAC（Electronic Discrete Variable AutomaticCompUter的縮寫）．在這過程中，馮·諾依曼顯示出他雄厚的數理基礎知識，充分發揮了他的顧問作用及探索問題和綜合分析的能力。諾伊曼以「關於EDVAC的報告草案」為題，起草了長達101頁的總結報告。報告廣泛而具體地介紹了製造電子計算機和程序設計的新思想。這份報告是計算機發展史上一個劃時代的文獻，它向世界宣告：電子計算機的時代開始了。 EDVAC方案明確奠定了新機器由五個部分組成，包括：運算器、邏輯控制裝置、存儲器、輸入和輸出設備，並描述了這五部分的職能和相互關系．報告中，諾伊曼對EDVAC中的兩大設計思想作了進一步的論證，為計算機的設計樹立了一座里程碑。 設計思想之一是二進制，他根據電子元件雙穩工作的特點，建議在電子計算機中採用二進制。報告提到了二進制的優點，並預言，二進制的採用將大簡化機器的邏輯線路。 現在使用的計算機，其基本工作原理是存儲程序和程序控制，它是由世界著名數學家馮·諾依曼提出的。美籍匈牙利數學家馮·諾依曼被稱為「計算機之父」。 實踐證明了諾伊曼預言的正確性。如今，邏輯代數的應用已成為設計電子計算機的重要手段，在EDVAC中採用的主要邏輯線路也一直沿用著，只是對實現邏輯線路的工程方法和邏輯電路的分析方法作了改進。
程序內存
程序內存是諾伊曼的另一傑作。通過對ENIAC的考察，諾伊曼敏銳地抓住了它的最大弱點－－沒有真正的存儲器。ENIAC只在20個暫存器，它的程序是外插型的，指令存儲在計算機的其他電路中。這樣，解題之前，必需先相好所需的全部指令，通過手工把相應的電路聯通。這種准備工作要花幾小時甚至幾天時間，而計算本身只需幾分鍾。計算的高速與程序的手工存在著很大的矛盾。 針對這個問題，諾伊曼提出了程序內存的思想：把運算程序存在機器的存儲器中，程序設計員只需要在存儲器中尋找運算指令，機器就會自行計算，這樣，就不必每個問題都重新編程，從而大大加快了運算進程。這一思想標志著自動運算的實現，標志著電子計算機的成熟，已成為電子計算機設計的基本原則。 1946年7，8月間，馮·諾依曼和戈爾德斯廷、勃克斯在EDVAC方案的基礎上，為普林斯頓大學高級研究所研製IAS計算機時，又提出了一個更加完善的設計報告《電子計算機邏輯設計初探》．以上兩份既有理論又有具體設計的文件，首次在全世界掀起了一股"計算機熱"，它們的綜合設計思想，便是著名的"馮·諾依曼機"，其中心就是有存儲程序原則--指令和數據一起存儲．這個概念被譽為'計算機發展史上的一個里程碑"．它標志著電子計算機時代的真正開始，指導著以後的計算機設計．自然一切事物總是在發展著的，隨著科學技術的進步，今天人們又認識到"馮·諾依曼機"的不足，它妨礙著計算機速度的進一步提高，而提出了"非馮·諾依曼機"的設想． 馮·諾依曼還積極參與了推廣應用計算機的工作，對如何編製程序及搞數值計算都作出了傑出的貢獻． 馮·諾依曼於1937年獲美國數學會的波策獎；1947年獲美國總統的功勛獎章、美國海軍優秀公民服務獎；1956年獲美國總統的自由獎章和愛因斯坦紀念獎以及費米獎。
相關書籍
馮·諾依曼逝世後，未完成的手稿於1958年以《計算機與人腦》為名出版．他的主要著作收集在六卷《馮·諾依曼全集》中，1961年出版。 另外，馮·諾依曼40年代出版的著作《博弈論和經濟行為》，使他在經濟學和決策科學領域豎起了一塊豐碑。他被經濟學家公認為博弈論之父。當時年輕的約翰·納什在普林斯頓求學期間開始研究發展這一領域，並在1994年憑借對博弈論的突出貢獻獲得了諾貝爾經濟學獎。
編輯本段生平經歷
前半生 諾伊曼，著名美籍匈牙利數學家。1903年12月3日生於匈牙利布達佩斯的一個猶太人家庭。 馮·諾依曼的父親麥克斯年輕有為、風度翩翩，憑著勤奮、機智和善於經營，年輕時就已躋身於布達佩斯的銀行家行列。馮·諾依曼的母親是一位善良的婦女，賢慧溫順，受過良好教育。 馮·諾伊曼從小就顯示出數學天才，關於他的童年有不少傳說。大多數的傳說都講到馮·諾伊曼自童年起在吸收知識和解題方面就具有驚人的速度。六歲時他能心算做八位數乘除法，八歲時掌握微積分，十二歲就讀懂領會了波萊爾的大作《函數論》要義。 微積分的實質是對無窮小量進行數學分析。人類探索有限、無限以及它們之間的關系由來已久，l7世紀由牛頓萊布尼茨發現的微積分，是人類探索無限方面取得的一項激動人心的偉大成果。三百年來，它一直是高等學府的教學內容，隨著時代的發展，微積分在不斷地改變它的形式，概念變得精確了，基礎理論扎實了，甚至有不少簡明恰當的陳述。但不管怎麼說，八歲的兒童要弄懂微積分，仍然是罕見的。上述種種傳聞雖然不盡可信，但馮·諾伊曼的才智過人，則是與他相識的人們的一致看法。 1914年夏天，約翰進入了大學預科班學習，是年7月28日，奧匈帝國借故向塞爾維亞宣戰，揭開了第一次世界大戰的序幕。由於戰爭動亂連年不斷，馮·諾依曼全家離開過匈牙利，以後再重返布達佩斯。當然他的學業也會受到影響。但是在畢業考試時，馮·諾依曼的成績仍名列前茅。 1921年，馮·諾依曼通過「成熟」考試時，已被大家當作數學家了。他的第一篇論文是和菲克特合寫的，那時他還不到18歲。麥克斯由於考慮到經濟上原因，請人勸阻年方17的馮·諾依曼不要專攻數學，後來父子倆達成協議，馮·諾依曼便去攻讀化學。 其後的四年間，馮·諾依曼在布達佩斯大學注冊為數學方面的學生，但並不聽課，只是每年按時參加考試。與此同時，馮·諾依曼入柏林大學(1921年)，1923年又進入瑞士蘇黎世聯邦工業大學學習化學。1926年他在蘇黎世的獲得化學方面的大學畢業學位，通過在每學期期末回到布達佩斯大學通過課程考試，他也獲得了布達佩斯大學數學博士學位。 馮·諾依曼的這種不參加聽課只參加考試的求學方式，當時是非常特殊的，就整個歐洲來說也是完全不合規則的。但是這不合規則的學習方法，卻又非常適合馮·諾依曼。馮·諾依曼在柏林大學學習期間，曾得到化學家哈貝爾的悉心栽培。哈貝爾是德國著名的化學家，由於合成氨而獲諾貝爾獎。 逗留在蘇黎世期間，馮·諾依曼常常利用空餘時間研讀數學、寫文章和數學家通信。在此期間馮·諾依曼受到了希爾伯特和他的學生施密特和外爾的思想影響，開始研究數理邏輯。當時外爾和波伊亞兩位也在蘇黎世，他和他們有過交往。一次外爾短期離開蘇黎世，馮·諾依曼還代他上過課。聰明的智慧加上得天獨厚的栽培，馮·諾依曼在茁壯地成長，當他結束學生時代的時候，他已經漫步在數學、物理、化學三個領域的某些前沿。 1926年春，馮·諾依曼到哥廷根大學任希爾伯特的助手。1927～1929年，馮·諾依曼在柏林大學任兼職講師，期間他發表了集合論、代數和量子理論方面的文章。l927年馮·諾依曼到波蘭里沃夫出席數學家會議，那時他在數學基礎和集合論方面的工作已經很有名氣。 l929年，馮·諾依曼轉任漢堡大學兼職講師。1930年他首次赴美，成為普林斯頓大學的客座講師。善於匯集人才的美國不久就聘馮·諾依曼為客座教授。 馮·諾依曼曾經算過，德國大學里現有的和可以期待的空缺很少，照他典型的推理得出，在三年內可以得到的教授任命數是三，而參加競爭的講師則有40名之多。在普林斯頓，馮·諾依曼每到夏季就回歐洲，一直到l933年擔任普林斯頓高級研究院教授為止。當時高級研究院聘有六名教授，其中就包括愛因斯坦，而年僅30歲的馮·諾依曼是他們當中最年輕的一位。 在高等研究院初創時間，歐洲來訪者會發現，那裡充滿著一種極好的不拘禮節的、濃厚的研究風氣。教授們的辦公室設置在大學的「優美大廈」里，生活安定，思想活躍，高質量的研究成果層出不窮。可以這樣說，那裡集中了有史以來最多的有數學和物理頭腦的人才。 l930年馮·諾依曼和瑪麗達·柯維斯結婚。1935年他們的女兒瑪麗娜出生在普林斯頓。馮·諾依曼家裡常常舉辦時間持續很長的社交聚會，這是遠近皆知的。l937年馮·諾依曼與妻子離婚，1938年又與克拉拉·丹結婚，並一起回普林斯頓。丹隨馮·諾依曼學數學，後來成為優秀的程序編制家。與克拉拉婚後，馮·諾依曼的家仍是科學家聚會的場所，還是那樣殷勤好客，在那裡人人都會感到一種聰慧的氣氛。 二次大戰歐洲戰事爆發後，馮·諾依曼的活動越出了普林斯頓，參與了同反法西斯戰爭有關的多項科學研究計劃。l943年起他成了製造原子彈的顧問，戰後仍在政府諸多部門和委員會中任職。1954年又成為美國原子能委員會成員。 馮·諾依曼的多年老友，原子能委員會主席斯特勞斯曾對他作過這樣的評價：從他被任命到1955年深秋，馮·諾依曼幹得很漂亮。他有一種使人望塵莫及的能力，最困難的問題到他手裡。都會被分解成一件件看起來十分簡單的事情，……用這種辦法，他大大地促進了原子能委員會的工作。 晚年 馮·諾依曼的健康狀況一直很好，可是由於工作繁忙，到1954年他開始感到十分疲勞。1955年的夏天，X射線檢查出他患有癌症，但他還是不停的工作，病勢擴展。後來他被安置在輪椅上，繼續思考、演說及參加會議。長期而無情的疾病折磨著他，慢慢地終止了他所有的活動。1956年4月，他進入華盛頓的沃爾特·里德醫院，1957年2月8日在醫院逝世，享年53歲。
集合論、數學基礎
馮·諾依曼的第一篇論文是和菲克特合寫的，是關於車比雪夫多項式求根法的菲葉定理推廣，註明的日期是1922年，那時馮·諾依曼還不滿18歲。另一篇文章討論一致稠密數列，用匈牙利文寫就，題目的選取和證明手法的簡潔顯露出馮·諾依曼在代數技巧和集合論直觀結合的特徵。 1923年當馮·諾依曼還是蘇黎世的大學生時，發表了超限序數的論文。文章第一句話就直率地聲稱「本文的目的是將康托的序數概念具體化、精確。他的關於序數的定義，現在已被普遍採用。 強烈企求探討公理化是馮·諾依曼的願望，大約從l925年到l929年，他的大多數文章都嘗試著貫徹這種公理化精神，以至在理論物理研究中也如此。當時，他對集合論的表述處理，尤感不夠形式化，在他1925年關於集合論公理系統的博士論文中，開始就說「本文的目的，是要給集合論以邏輯上無可非議的公理化論述」。 有趣的是，馮·諾依曼在論文中預感到任何一種形式的公理系統所具有的局限性，模糊地使人聯想到後來由哥德爾證明的不完全性定理。對此文章，著名邏輯學家、公理集合論奠基人之一的弗蘭克爾教授曾作過如下評價：「我不能堅持說我已把(文章的)一切理解了，但可以確有把握地說這是一件傑出的工作，並且透過他可以看到一位巨人」。 1928年馮·諾依曼發表了論文《集合論的公理化》，是對上述集合論的公理化處理。該系統十分簡潔，它用第一型對象和第二型對象相應表示樸素集合論中的集合和集合的性質，用了一頁多一點的紙就寫好了系統的公理，它已足夠建立樸素集合論的所有內容，並藉此確立整個現代數學。 馮·諾依曼的系統給出了集合論的也許是第一個基礎，所用的有限條公理，具有像初等幾何那樣簡單的邏輯結構。馮·諾依曼從公理出發，巧妙地使用代數方法導出集合論中許多重要概念的能力簡直叫人驚嘆不已，所有這些也為他未來把興趣落腳在計算機和「機械化」證明方面准備了條件。 20年代後期，馮·諾依曼參與了希爾伯特的元數學計劃，發表過幾篇證明部分算術公理無矛盾性的論文。l927年的論文《關於希爾伯特證明論》最為引人注目，它的主題是討論如何把數學從矛盾中解脫出來。文章強調由希爾伯特等提出和發展的這個問題十分復雜，當時還未得到滿意的解答。它還指出阿克曼排除矛盾的證明並不能在古典分析中實現。為此，馮·諾依曼對某個子系統作了嚴格的有限性證明。這離希爾伯特企求的最終解答似乎不遠了。這是恰在此時，1930年哥德爾證明了不完全性定理。定理斷言：在包含初等算術(或集合論)的無矛盾的形式系統中，系統的無矛盾性在系統內是不可證明的。至此，馮·諾依曼只能中止這方面的研究。 馮·諾依曼還得到過有關集合論本身的專門結果。他在數學基礎和集合論方面的興趣一直延續到他生命的結束。
三項最重要的數學工作
在1930～1940年間，馮·諾依曼在純粹數學方面取得的成就更為集中，創作更趨於成熟，聲譽也更高漲。後來在一張為國家科學院填的問答表中，馮·諾依曼選擇了量子理論的數學基礎、運算元環理論、各態遍歷定理三項作為他最重要數學工作。 1927年馮·諾依曼已經在量子力學領域內從事研究工作。他和希爾伯待以及諾戴姆聯名發表了論文《量子力學基礎》。該文的基礎是希爾伯特1926年冬所作的關於量子力學新發展的講演，諾戴姆幫助准備了講演，馮·諾依曼則從事於該主題的數學形式化方面的工作。文章的目的是將經典力學中的精確函數關系用概率關系代替之。希爾伯特的元數學、公理化的方案在這個生氣勃勃的領域里獲得了施展，並且獲得了理論物理和對應的數學體系間的同構關系。對這篇文章的歷史重要性和影響無論如何評價都不會過高。馮·諾依曼在文章中還討論了物理學中可觀察算符的運算的輪廓和埃爾米特運算元的性質，無疑，這些內容構成了《量子力學的數學基礎》一書的序曲。 1932世界聞名的斯普林格出版社出版了他的《量子力學的數學基礎》，它是馮·諾依曼主要著作之一，初版為德文，1943年出了法文版，1949年為西班牙文版，1955年被譯成英文出版，至今仍不失為這方面的經典著作。當然他還在量子統計學、量子熱力學、引力場等方面做了不少重要工作。 客觀地說，在量子力學發展史上，馮·諾依曼至少作出過兩個重要貢獻：狄拉克對量子理論的數學處理在某種意義下是不夠嚴格的，馮·諾依曼通過對無界運算元的研究，發展了希爾伯特運算元理論，彌補了這個不足；此外，馮·諾依曼明確指出，量子理論的統計特徵並非由於從事測量的觀察者之狀態未知所致。藉助於希爾伯待空間運算元理論，他證明凡包括一般物理量締合性的量子理論之假設，都必然引起這種結果。 對於馮·諾依曼的貢獻，諾貝爾物理學獎獲得者威格納曾作過如下評價：「在量子力學方面的貢獻，就是以確保他在當代物理學領域中的特殊地位。」 在馮·諾依曼的工作中，希爾伯特空間上的運算元譜論和運算元環論佔有重要的支配地位，這方面的文章大約佔了他發表的論文的三分之一。它們包括對線性運算元性質的極為詳細的分析，和對無限維空間中運算元環進行代數方面的研究。 運算元環理論始於1930年下半年，馮·諾依曼十分熟悉諾特和阿丁的非交換代數，很快就把它用於希爾伯特空間上有界線性運算元組成的代數上去，後人把它稱之為馮·諾依曼運算元代數。 1936～1940年間，馮·諾依曼發表了六篇關於非交換運算元環論文，可謂20世紀分析學方面的傑作，其影響一直延伸至今。馮·諾依曼曾在《量子力學的數學基礎》中說過：由希爾伯特最早提出的思想就能夠為物理學的量子論提供一個適當的基礎，而不需再為這些物理理論引進新的數學構思。他在運算元環方面的研究成果應驗了這個目標。馮·諾依曼對這個課題的興趣貫穿了他的整個生涯。 運算元環理論的一個驚人的生長點是由馮·諾依曼命名的連續幾何。普通幾何學的維數為整數1、2、3等，馮·諾依曼在著作中已看到，決定一個空間的維數結構的，實際上是它所容許的旋轉群。因而維數可以不再是整數，連續級數空間的幾何學終於提出來了。 1932年，馮·諾依曼發表了關於遍歷理論的論文，解決了遍歷定理的證明，並用運算元理論加以表述，它是在統計力學中遍歷假設的嚴格處理的整個研究領域中，獲得的第一項精確的數學結果。馮·諾依曼的這一成就，可能得再次歸功於他所嫻熟掌握的受到集合論影響的數學分析方法，和他自己在希爾伯特運算元研究中創造的那些方法。它是20世紀數學分析研究領域中取得的最有影響成就之一，也標志著一個數學物理領域開始接近精確的現代分析的一般研究。 此外馮·諾依曼在實變函數論、測度論、拓撲、連續群、格論等數學領域也取得不少成果。1900年希爾伯特在那次著名的演說中，為20世紀數學研究提出了23個問題，馮·諾依曼也曾為解決希爾伯特第五問題作了貢獻。
編輯本段一般應用數學
1940年，是馮·諾依曼科學生涯的一個轉換點。在此之前，他是一位通曉物理學的登峰造極的純粹數學家；此後則成了一位牢固掌握純粹數學的出神入化的應用數學家。他開始關注當時把數學應用於物理領域去的最主要工具——偏微分方程。研究同時他還不斷創新，把非古典數學應用到兩個新領域：對策論和電子計算機。

Ⅲ DM5破譯出

早就被破解了，一下是相關報道：
MD5被成功破解，破解者為山東大學王小雲教授
2004年8月17日的美國加州聖巴巴拉，正在召開的國際密碼學會議（Crypto』2004）安排了三場關於雜湊函數的特別報告。在國際著名密碼學家Eli Biham和Antoine Joux相繼做了對SHA-1的分析與給出SHA-0的一個碰撞之後，來自山東大學的王小雲教授做了破譯MD5、HAVAL-128、 MD4和RIPEMD演算法的報告。在會場上，當她公布了MD系列演算法的破解結果之後，報告被激動的掌聲打斷。王小雲教授的報告轟動了全場，得到了與會專家的贊嘆。報告結束時，與會者長時間熱烈鼓掌，部分學者起立鼓掌致敬，這在密碼學會議上是少見的盛況。王小雲教授的報告緣何引起如此大的反響？因為她的研究成果作為密碼學領域的重大發現宣告了固若金湯的世界通行密碼標准MD5的堡壘轟然倒塌，引發了密碼學界的軒然大波。會議總結報告這樣寫道：「我們該怎麼辦？MD5被重創了；它即將從應用中淘汰。SHA-1仍然活著，但也見到了它的末日。現在就得開始更換SHA-1了。」

關鍵詞：碰撞＝漏洞＝別人可以偽造和冒用數字簽名。
Hash函數與數字簽名（數字手印）
HASH函數，又稱雜湊函數，是在信息安全領域有廣泛和重要應用的密碼演算法，它有一種類似於指紋的應用。在網路安全協議中，雜湊函數用來處理電子簽名，將冗長的簽名文件壓縮為一段獨特的數字信息，像指紋鑒別身份一樣保證原來數字簽名文件的合法性和安全性。在前面提到的SHA-1和MD5都是目前最常用的雜湊函數。經過這些演算法的處理，原始信息即使只更動一個字母，對應的壓縮信息也會變為截然不同的「指紋」，這就保證了經過處理信息的唯一性。為電子商務等提供了數字認證的可能性。
安全的雜湊函數在設計時必須滿足兩個要求：其一是尋找兩個輸入得到相同的輸出值在計算上是不可行的，這就是我們通常所說的抗碰撞的；其二是找一個輸入，能得到給定的輸出在計算上是不可行的，即不可從結果推導出它的初始狀態。現在使用的重要計算機安全協議，如SSL，PGP都用雜湊函數來進行簽名，一旦找到兩個文件可以產生相同的壓縮值，就可以偽造簽名，給網路安全領域帶來巨大隱患。
MD5就是這樣一個在國內外有著廣泛的應用的雜湊函數演算法，它曾一度被認為是非常安全的。然而，王小雲教授發現，可以很快的找到MD5的「碰撞」，就是兩個文件可以產生相同的「指紋」。這意味著，當你在網路上使用電子簽名簽署一份合同後，還可能找到另外一份具有相同簽名但內容迥異的合同，這樣兩份合同的真偽性便無從辨別。王小雲教授的研究成果證實了利用MD5演算法的碰撞可以嚴重威脅信息系統安全，這一發現使目前電子簽名的法律效力和技術體系受到挑戰。因此，業界專家普林斯頓計算機教授Edward Felten等強烈呼籲信息系統的設計者盡快更換簽名演算法，而且他們強調這是一個需要立即解決的問題。

這里是破解網站：http://www.cmd5.com/

Ⅳ 以下哪種結構不屬於程序的3種基本控制結構之一

D、馮.諾依曼結構

順序、選擇和循環是程序的三種基本控制結構。無論多復雜的演算法均可通過順序、選擇、循環3種基本控制結構構造出來。每種結構僅有一個入口和出口。由這3種基本結構組成的多層嵌套程序稱為結構化程序。馮·諾依曼結構也稱普林斯頓結構，是一種將程序指令存儲器和數據存儲器合並在一起的存儲器結構。跟基本控制結構無關，因此選擇D、馮.諾依曼結構。

(4)普林斯頓演算法擴展閱讀：

編程語言並不提供專門的控制流語句來表達順序控制結構，而是用程序語句的自然排列順序來表達。計算機按此順序逐條執行語句，當一條語 句執行完畢，控制自動轉到下一條語句。現實世界中這種順序處理的情況是非常普遍的，例如我們接受學校教育一般都是先上小 學，再上中學，再上大學；又如我們燒菜一般都是先熱油鍋，再將蔬菜入鍋翻炒，再加鹽加 佐料，最後裝盤。

Ⅳ P/NP問題的P/NP問題

復雜度類P包含所有那些可以由一個確定型圖靈機在多項式表達的時間內解決的問題；類NP由所有其肯定解可以在給定正確信息的多項式時間內驗證的決定問題組成，或者等效的說，那些解可以在非確定圖靈機上在多項式時間內找出的問題的集合。很可能，計算理論最大的未解決問題就是關於這兩類的關系的:
P和NP相等嗎?
在2002年對於100研究者的調查，61人相信答案是否定的，9個相信答案是肯定的，22個不確定，而8個相信該問題可能所接受的公理獨立，所以不可能證明或證否。[1] 所以P-NP問題也是Clay研究所的七個百萬美元大獎問題之一。
NP-完全問題(或者叫NPC)的集合在這個討論中有重大作用，它們可以大致的被描述為那些在NP中最不像在P中的。(確切定義細節請參看NP-完全)理論計算機科學家現在相信P, NP,和NPC類之間的關系如圖中所示，其中P和NPC類不交。
假設P ≠ NP的復雜度類的圖解.如P = NP則三個類相同.本質上，P = NP問題問道：如果是/不是問題的正面答案可以很快驗證，其答案是否也可以很快計算？這里有一個給你找點這個問題的感覺的例子。給定一個大數Y,我們可以問Y是否是復合數。例如，我們可能問53308290611是否有非平凡的因子。回答是肯定的，雖然手工找出一個因子很麻煩。從另一個方面講，如果有人聲稱答案是對，因為224737可以整除53308290611,則我們可以很快用一個除法來驗證。驗證一個數是除數比首先找出除數來簡單得多。用於驗證一個正面答案所需的信息也稱為證書。所以我們的結論是，給定 正確的證書，問題的正面答案可以很快的(也就是，在多項式時間內)驗證，而這就是這個問題屬於NP的原因。雖然這個特定的問題，證明為也在P類中(參看下面的關於質數在P中的參考),這一點也不明顯，而且有很多類似的問題相信不屬於類P。
限制到是/不是問題並沒有改變問題；即使我們允許更復雜的答案，最後的問題(是否FP = FNP)是等價的。 上面所有的討論假設了P表示「容易」而「不在P中」表示「困難」。這是一個在復雜度理論中常見而且有一定準確性的假設，它在實踐中卻不總是真的，原因包括如下幾點：
它忽略了常數因子。一個需要101000n時間的問題是屬於P的（它是線性時間的），但是事實上完全無法處理。一個需要10-100002n時間的問題不是在P中的（它是指數時間的），但是對於n 取值直到幾千時還是很容易處理的。
它忽略了指數的大小。一個時間復雜度n1000屬於P，但是很難對付。已經證明在P中存在需要任意大的指數的問題（參看時間等級定理）。一個時間復雜度2n/1000的問題不屬於P，但對與n直到幾千還是容易應對的。
它只考慮了最壞情況的復雜度。可能現實世界中的有些問題在多數時候可以在時間n中解決，但是很偶爾你會看到需要時間2n的特例。這個問題可能有一個多項式的平均時間，但最壞情況是指數式的，所以該問題不屬於P。
它只考慮確定性解。可能有一個問題你可以很快解決如果你可以接受出現一點誤差的可能，但是確保正確的答案會難得多。這個問題不會屬於P，雖然事實上它可以很快求解。這實際上是解決屬於NP而還不知道是否屬於P的問題的一個辦法（參看RP， BPP）。
新的諸如量子電腦這樣的計算模型，可能可以快速的解決一些尚未知道是否屬於P的問題；但是，沒有一個它們已知能夠解決的問題是NP完全的。不過，必須注意到P和NP問題的定義是採用象圖靈機這樣的經典計算模型的屬於表述的。所以，即使一個量子計算機演算法被發現能夠有效的解決一個NP完全問題，我們只是有了一個快速解決困難問題的實際方法，而不是數學類P和NP相等的證明。 多數計算機科學家相信P≠NP。該信念的一個關鍵原因是經過數十年對這些問題的研究，沒有人能夠發現一個NP完全問題的多項式時間演算法。而且，人們早在NP完全的概念出現前就開始尋求這些演算法了（Karp的21個NP完全問題，在最早發現的一批中，有所有著名的已經存在的問題]]）。進一步地，P = NP這樣的結果會導出很多驚人的結果，那些結果現在被相信是不成立的，例如NP = 余NP和P = PH。
也有這樣論證的：問題較難求解(NP)但容易驗證(P)，這和我們日常經驗是相符的。
從另一方面講，某些研究者認為我們過於相信P ≠ NP，而應該也去尋找P = NP的證明。例如，2002年中有這樣的聲明：
傾向P≠NP的主要論據是在窮盡搜索的領域完全沒有本質進展。也就是說，以我的觀點，一個很弱的論據。演算法的空間是很大的，而我們只是在開始探索的起點。[ . . . ] 費馬最後定理的解決也顯示非常簡單的[sic]問題可能只有用非常深刻的理論才能解決。
— Moshe Vardi，萊斯大學
過分依賴某種投機不是規劃研究的一個好的導引。我們必須總是嘗試每個問題的兩個方向。偏見可能導致著名的數學家無法解決答案和他們的預計相反的著名問題，雖然他們發展了所有所需的方法。
— Anil Nerode, 康奈爾大學 更正式一些，一個決定問題是一個取一些字元串為輸入並要求輸出為是或否的問題。若有一個演算法（譬如圖靈機，或一個LISP或Pascal的程序並有無限的內存）能夠在最多n^k步內對一個串長度為n的輸入給出正確答案，其中k是某個不依賴於輸入串的常數，則我們稱該問題可以在多項式時間內解決，並且將它置入類P。直觀的講，我們將P中的問題視為可以較快解決的問題。
假設有一個演算法A(w,C)取兩個參數，一個串w，也就是我們的決定問題的輸入串，而另一個串C是「建議證明」，並且使得A在最多n^k步之內產生「是/否」答案（其中n是w的長度而k不依賴於w）。進一步假設
w是一個答案為「是」的例子，當且僅當，存在C使得A(w,C)返回「是」。
則我們稱這個問題可以在非決定性多項式時間內解決，且將它放入NP類。我們把演算法A作為一個所建議的證明的檢驗器，它運行足夠快。（注意縮寫NP代表「Non-deterministic（非確定性）Polynomial（多項式）」而不是代表「Non-Polynomial（非多項式）。） 雖然百萬美元的獎金和大量投入巨大卻沒有實質性結果的研究足以顯示該問題是困難的，還有一些形式化的結果證明為什麼該問題可能很難解決。
最常被引用的結果之一設計神喻。假想你有一個魔法機器可以解決單個問題，例如決定一個給定的數字是否為質數，但可以瞬間解決這個問題。我們的新問題是，若我們被允許任意利用這個機器，是否存在我們可以在多項式時間內驗證但無法在多項式時間內解決的問題？結果是，依賴於機器能解決的問題，P = NP和P ≠ NP二者都可以證明。這個結論的後果是，任何可以修改來證明該機器的存在性的結果不能解決問題。不幸的是，幾乎所有經典的方法和大部分已知的方法可以這樣修改（我們稱它們在相對化）。
如果這還不算太糟的話，1993年Razborov和Rudich證明的一個結果表明，給定一個特定的可信的假設，在某種意義下「自然」的證明不能解決P = NP問題。[3] 這表明一些現在似乎最有希望的方法不太可能成功。隨著更多這類的定理得到證明，該定理的可能證明有越來越多的陷阱要規避。
這實際上也是為什麼NP完全問題有用的原因：若有一個多項式時間演算法，或者沒有一個這樣的演算法，對於NP完全問題存在，這將用一種相信不被上述結果排除在外的方法來解決P = NP問題。 沒人知道多項式時間演算法對於NP完全問題是否存在。但是如果這樣的演算法存在，我們已經知道其中的一些了！例如，下面的演算法正確的接受了一個NP完全語言，但是沒人知道通常它需要多久運行。它是一個多項式時間演算法當且僅當P = NP。
// 接受NP完全語言的一個演算法子集和。
//
// 這是一個多項式時間演算法當且僅當P=NP。
//
// 「多項式時間」表示它在多項式時間內返回「是」，若
// 結果是「是」，否則永遠運行。
//
// 輸入：S = 一個自然數的有限集
// 輸出：是 如果某個S的子集加起來等於0。
// 否則，它永遠運行沒有輸出。
// 注意: 程序數P 是你將一個整數P寫為二進制，然後
// 將位串考慮為一個程序。
// 每個可能的程序都可以這樣產生，
// 雖然多數什麼也不做因為有語法錯誤。
//
FOR N = 1...infinity
FOR P = 1...N
以S為輸入運行程序數P N步
IF 程序輸出一個不同的整數的列表
AND 所有整數都在S中
AND 整數的和為0
THEN
OUTPUT 是 並 停機
若P = NP，則這是一個接受一個NP完全語言的多項式時間演算法。「接受」表示它在多項式時間內給出「是」的答案，但允許在答案是「否」的時候永遠運行。
可能我們想要「解決」子集和問題，而不是僅僅「接受」子集和語言。這表示我們想要它總是停機並返回一個「是」或「否」的答案。是否存在任何可能在多項式時間內解決這個問題的演算法？沒有人知道。但是如果這樣的演算法存在，那麼我們已經知道其中的一些了！只要將上面的演算法中的IF語句替換成下面的語句：
IF 程序輸出一個完整的數學證明
AND 證明的每一步合法
AND 結論是S確實有（或者沒有）一個和為0的子集
THEN
OUTPUT 是 （或者不是如果那被證明了）並停機 普林斯頓大學計算機系樓將二進制代碼表述的「P=NP?」問題刻進頂樓西面的磚頭上。如果證明了P=NP，磚頭可以很方便的換成表示「P=NP！」。[4]
康奈爾大學的Hubert Chen博士提供了這個玩笑式的P不等於NP的證明：「反證法。設P = NP。令y為一個P = NP的證明。證明y可以用一個合格的計算機科學家在多項式時間內驗證，我們認定這樣的科學家的存在性為真。但是，因為P = NP，該證明y可以在多項式時間內由這樣的科學家發現。但是這樣的發現還沒有發生（雖然這樣的科學家試圖發現這樣的一個證明），我們得到矛盾。

Ⅵ 丘奇數 和 丘奇體系 是什麼數學概念

在理論計算機科學中，有了可計算性概念嚴格的數學刻劃，才使證明一系列重要的數學問題的演算法不可解性成為可能。一個眾所周知的事實是，直到1935年著名的「演算法可計算函數都是遞歸函數」這一丘奇論題提出，演算法可計算性這個直觀概念才有了精確的數學刻劃。而同樣需要指出的是，哥德爾(K.Gödel)在此之前的1931年就引進了原始遞歸函數概念，1934年明確給出一般遞歸函數的定義，1934年春還曾與丘奇(A.Church)一起討論如何給「演算法可計算性」下一個精確的數學定義的問題。那麼，為什麼哥德爾沒有適時給出丘奇論題，卻對圖靈工作大加贊賞，從而接受丘奇-圖靈論題呢？
我們認為，其中的最重要原因是，圖靈是完全沿著哥德爾設想的思路對演算法概念給出分析的第一人，圖靈機概念澄清了形式系統概念的內涵；同時，與波斯特20年代的想法一樣，圖靈論題通過指出機器能做什麼，把計算系統引入了物理世界，引發了一場信息革命和心-腦-計算機的大論戰。而且圖靈論題揭示了哥德爾認識到的，可計算性是一個不依賴於形式系統的絕對概念這一事實。
隨著「計算機的發展遵循摩爾定律」這一假說被普遍認可，哥德爾對圖靈工作大加贊賞的幾個因素更加顯示出對計算機發展的理論意義和現實意義。1980年代人們開始討論如何「超越圖靈計算」，將演算法或計算這樣的純粹抽象的數學概念看作物理定律的體現，把計算系統看作自然定律的一個自然結果。特別是認為，丘奇-圖靈論題也同時斷定了一條物理原理，這就是1985年多奇(D.Deutsch)提出的丘奇-圖靈論題的物理版本(也稱多奇原理)。正是基於這一原理，量子計算機的計算本質成為1990年以來人們關注的熱點。我們認為，在當今對認知科學中認知可計算主義研究綱領提出質疑時，更有必要澄清關於丘奇-圖靈論題和多奇原理的內涵，也有必要對量子計算機的計算本質作出恰當的邏輯分析。
1 哥德爾為什麼沒有提出丘奇論題
歷史上，狄特金(R.Dedekind)，皮亞諾(G.Peano)，司寇倫(T.Skolem)，希爾伯特(D.Hilbert)和阿克曼(W.Ackermann)都曾研究過遞歸函數，但哥德爾是第一個精確定義這個概念的。今天我們所稱的「原始遞歸函數」是哥德爾1931年在那篇劃時代的論文中引進的。1934年2-5月，哥德爾在普林斯頓研究院關於不完全性結果的系列講座中又引進了一般遞歸函數概念，指出：
「一般遞歸函數(我們現在稱原始遞歸函數)有著重要的特性，即對於每個給定的自變數值的集合，都能通過有窮程序計算出函數值。」
具有歷史意謂的是哥德爾還對此補充了一個頗具建設性的說明(著名的腳注3)：
「這個命題的逆[即每個通過有窮程序計算的函數都是原始遞歸函數]似乎也是真的，除了[原始]遞歸，…其他形式的遞歸(例如與帶兩個變數的加法相對應的遞歸)是否也是允許的。由於有窮可計算的概念還沒有定義，目前不可能證明這個命題的逆，但是，它完全可以充當一種助探原則。」[6]
哥德爾的這段腳注曾被戴維斯(Martin Davis)認為是丘奇論題的一種形式。 他甚至以「哥德爾論題」的名稱對其重新做了表述:
「每個機械可計算函數都可用一般遞歸函數定義」。
在准備編進《不可判定的》論文集的一篇介紹哥德爾講座的短文中，戴維斯表達了他的這一見解，並將初稿寄給哥德爾進行評價。完全出乎戴維斯意料的是，哥德爾在回信中對此表達了不同見解：
「… 說腳注3是丘奇論題的一種陳述是不正確的。我無非是提出了『有窮可計算程序』與『遞歸程序』是等價的一種猜想。但在系列講座中我根本沒有料想到，我的遞歸概念包含了所有可能的遞歸。」[3]
從這封信中至少我們可以看出，哥德爾1934年春就給出今天意義上的「遞歸函數」的定義了，但是他完全沒有猜到他當時的定義足夠寬，可以包容所有的遞歸。而且他認為，自己對演算法可計算性的猜測(即戴維斯所說的「哥德爾論題」)並不是丘奇論題的等價說法，但它可以充當一種助探原則，幫助人們尋求演算法可計算性概念的一個令人滿意的數學刻劃。
2 從l可定義性到丘奇論題
丘奇是在1935年4月美國數學會的一次報告中宣布他的論題的。事實上，丘奇最早關注可計算性是從l可定義性概念著手的。據當年丘奇的學生克林尼(S.C.Kleene)的說法，到了1933年，丘奇的「l可定義性」已經作為一個成熟的概念在普林斯頓的邏輯學家中流傳。他當時猜測，l可定義函數就是演算法可計算函數，並最終提出這一論題。後來，克林尼曾回憶說：
「當丘奇提出這一論題時，我准備用對角化方法否證它，希望指出演算法可計算函數超出了l可定義函數類。但是我很快認識到做不到這一點。於是，一夜之間我成了丘奇這個論題的支持者。」[9]
據戴維斯考察，盡管丘奇1933-1934年明顯對可計算性概念懷有濃厚興趣，但直到哥德爾作普林斯頓系列講座之前，沒有明顯的跡象表明他認為演算法可計算性與某種嚴格的數學概念相一致，也沒有相關的什麼特別的說法。也許正是在1934年2-5月與哥德爾討論之後，他才形成了明確的見解，並給出後來的丘奇論題的。1935年11月29日，在給克林尼的一封信中，丘奇則對此曾給出了一個多少含糊其詞的說法：
「談及哥德爾、遞歸函數和演算法可計算性概念，這段歷史原本是這樣的。在與哥德爾討論l可定義性概念時，我們發現對於演算法可計算性找不到一個好的定義，我建議，可以用l可定義性充當定義，但是哥德爾認為完全不合適。我回答說，如果你能提供任何一個，哪怕是部分令人滿意的定義，我都將證明它一定包含在l可定義性概念之中。當時哥德爾唯一的想法是，先將演算法可計算性當作一個不確定概念，陳述能描述這個概念公認特性的公理集合，然後在此基礎上再去做其他事情。顯然，後來他認為，可以對厄爾布朗(J.Herbrand)建議的遞歸函數概念沿著可計算性概念的方向加以修正。他特別指出，可以在這個意義上將遞歸和演算法可計算性二者聯系起來。但是，他又說，他並不認為這兩個概念能夠令人滿意地被確認是彼此一致的，除非是在一種助探的意義上。」[3]
當1935年丘奇向數學界宣布他的論題時，他是如下表達的：「採納厄爾布朗的建議，並在一個重要方面作了修正，哥德爾在1934年的系列講座中提出了遞歸函數的定義，這里採取的基本上是哥德爾關於正整數遞歸函數的定義，而且需要強調的是，正整數的演算法可計算函數將被確定為與遞歸函數一致。由於其他關於演算法可計算性的似真定義原本都是導出概念，因此它們或者與遞歸性等價，或者比遞歸性弱。」[3]
顯然，丘奇沒有選擇用「l可定義」的術語陳述他的論題，而是使用了「厄爾布朗-哥德爾一般遞歸函數」的術語。在這里，l可定義性隱含地劃在了「其他演算法可計算性的似真定義」中了。這種措辭給人的印象是，1935年春，丘奇還沒有認定，l可定義性與厄爾布朗-哥德爾一般遞歸是等價的。直到1936年4月，丘奇在《初等數論中的一個不可解問題》中才斷定l可定義性函數就是一般遞歸函數。
在1936年的論文中，丘奇給出了如今我們所知的丘奇論題的標准陳述：「現在我們通過與正整數的遞歸函數(或者正整數的l可定義函數)概念相一致，來定義已經討論過的正整數的演算法可計算的概念。這個選出的與直觀的可計算性概念相符的定義被認為是已經核證了的。」[1]
這里，丘奇把演算法可計算性與遞歸性之間的這種等價稱為「定義」，波斯特(E.Post)1936年曾極力反對定義的提法，認為應當僅僅作為一種工作假說看待 。1943年克林尼指出，描述這種等價性的命題包含了很強的工作假說的特徵，盡管我們確有不得不相信它的充足理由，因此，建議用「論題」的術語表達這個命題。
盡管提出了丘奇論題，但哥德爾當時並不贊成可計算性與遞歸性或l可定義性等價的說法。在他看來，在還沒有找到一組公理刻劃演算法可計算性概念所包含的公認特性之前，不可能有完全令人滿意的嚴格的數學定義。直到1936年圖靈(A.Turing)的結果公布時，哥德爾才承認這個困難已經克服。
3 哥德爾為什麼贊賞圖靈論題
我們認為，正是由於1934-1936年，丘奇、克林尼和哥德爾等人對於可計算性概念的數學刻劃做了一系列工作，最終丘奇提出了他的標准形式的丘奇論題。同時在此期間，圖靈完全獨立於普林斯頓數學家思考可計算性問題，最終以通用圖靈機概念刻劃了演算法可計算性，即「演算法可計算的就是通用圖靈機可實現的」。它可表達為如下「圖靈論題」：
「每個演算法可在一台通用圖靈機上程序化。」
哥德爾在1965年發表的普林斯頓講座筆記(1934)的後記中，對圖靈的工作給予了極高的評價，我們認為，哥德爾不接受丘奇論題，而贊賞圖靈論題的主要原因至少有幾點：
(1) 通用圖靈機概念澄清了形式系統概念
可以說，在哥德爾證明不完全性定理時，形式系統還是一個相當模糊的概念，否則哥德爾會採取更加簡潔的方式證明自己的定理。正是有了圖靈機概念，才使形式系統的特性更加清晰准確地為人們所把握，形式系統不過是一種產生定理的機械程序，圖靈機的工作程序正是數學家在形式系統中實際工作的程序。或者說，形式系統不過是一台准許在某些步驟上按照預定范圍作出選擇的圖靈機。當然，也正是由於有了圖靈機概念，哥德爾關於數學形式系統的不完全性定理才有了各種用圖靈機程序代替形式系統的版本，如停機問題版本以及後來的演算法資訊理論中的復雜性版本等。[10]
(2) 圖靈是沿著最貼近哥德爾設想的研究進路作出結論的
丘奇的工作盡管精道優雅，但他完全基於純粹的數學分析；圖靈的分析不僅僅局限於數學形式世界，它是值得稱道的哲學應用的實例。[3]而且，圖靈是沿著最貼近哥德爾設想的研究進路作出結論的。 哥德爾曾評價說，「圖靈的工作對於『機械程序』(也稱『演算法』,『計算程序』或『組合程序』)概念給出了一種分析，指明這個概念是與『圖靈機』等價的」。而先前給出的其他關於可計算性的等價定義，「無論如何很少適合我們最初的目的」。[2]
那麼，哥德爾所說的「最初目的」是什麼？顯然，是他一直主張的，「先將演算法可計算性當作一種不定義概念，給出能夠描述這個概念公認特性的公理集，在此基礎上再做某些事情」，在他看來，這才是尋求可計算性嚴格的數學刻劃的真正途徑。盡管圖靈並沒有在任何形式化的意義上採用公理化方法處理問題，但是他指明了，「演算法可計算性公認的特性」必然導致一個確定的函數類，這個函數類是可以精確定義的，圖靈給出的清晰准確表達了機械程序概念的圖靈機是指產生部分遞歸函數，而不是指產生一般遞歸函數的圖靈機。因此，在哥德爾那裡，圖靈才是給出准確概念與直觀概念相符的令人信服的理由的第一人，用「可在圖靈機上程序化」或「圖靈機可實現」這個鮮明概念對演算法可計算性的刻劃，既是正確的，又是唯一符合我們最初目的的。
(3) 圖靈機可計算概念揭示了可計算性是一個不依賴於形式系統的事實
為了使我們進一步看出，為什麼圖靈的工作對於哥德爾有如此重要的意義，還應當考察哥德爾對於絕對可計算性概念的理解。1935年6月19日，哥德爾在維也納大學報告「論證明長度」，提到所謂「加速定理」。[7]定理的嚴格陳述用到「在一個形式系統S中一個函數φ(x)是可計算的」這個概念，它是指對每個數m，都存在相應的數n，使φ(m)= n在系統中是可證的。對於滿足每一個系統都比前一個系統更強的形式系統的序列S1,S2,…，稱一個函數在Si中是可計算的，是指它是依賴於i的。
在這次報告中，哥德爾附加了關於「絕對可計算性」的一個說明：「可以指出，在形式系統之一的Si中可計算，甚至在一個超窮類型中可計算的一個函數,在 S1中已經是可計算的。因此，在某種確定的意義上，『可計算』的概念是『絕對的』，而現實中所有其他熟知的元數學概念(如可證,可定義)等，卻完全是依賴於給定系統的。」
哥德爾在這種「絕對的」意義上認識可計算性大致是在1934-1935年，在1946年《關於數學問題的普林斯頓200周年紀念會感言》中，哥德爾又特別強調了這種「絕對性」的意義：
「在我看來，一般遞歸或圖靈機可計算這個概念的極端重要性似乎極大地歸於這樣一個事實，即有了這個概念，就第一次成功地給出有意義的認識論觀念上的一種絕對的定義，即可計算性不依賴於形式系統的選擇。但在所有先前處理的其他情形下，例如，像定義可判定性或可定義性時，都要依賴於給定的語言。盡管絕對可計算性也不過是特殊種類的可判定性概念，但情形已與過去完全不同。」[8]
(4) 圖靈機概念把一個計算系統引入了物理世界
另一個值得哥德爾稱道圖靈工作的原因恐怕就是，同波斯特20年代曾經有過的想法一樣，圖靈通過指出計算機器能做什麼，把一個計算系統引入物理世界，或者說，把一個是否可計算的問題轉換成了一個物理上是否可實現的問題，引發了一場信息革命和心-腦-計算機的大論戰。圖靈實際上指出了，凡是可形式化描述並可以演算法化的東西，都可以找到作為通用圖靈機特例的計算機迅速准確地處理，這一原理開啟了人類智能的機器模擬的新紀元。正如圖靈在《可計算數》一文中所講的，他本人研究可計算性的動機不僅僅在形式上，而在於「心智科學」上。哥德爾甚至直到晚年仍不減探討由圖靈提出的心靈-大腦-計算機的話題的興趣，恐怕也表明他對於心智科學情有所鍾。
5 丘奇-圖靈論題的物理版本與量子計算機的計算本質
哥德爾贊賞圖靈工作的幾個因素，恰是現代理論計算機發展的基礎和動力所在。當第一台通用電子計算機這種物理裝置誕生後，人們真正看到了通用圖靈機的物理實現(雖然沒有無限存儲)。從此，人們開始思考，實在世界本身是可計算的嗎？模擬客觀實在的理想模擬機器原則上究竟是物理可實現的，還是客觀世界完全超出了通用圖靈機所模擬的范疇？對此，相當一部分物理學家抱有樂觀態度。1985年，牛津大學的多奇教授甚至引進了一個頗具啟發的「丘奇-圖靈論題的物理版本」，將「能行可計算的函數」替換為「有限可實現的物理系統」，陳述了他的所謂「多奇原理」(也稱「物理的丘奇-圖靈原理」)：「每個有限可實現的物理系統，總能為一台通用模擬機器以有限方式的操作來完美地模擬」[4]。我們知道，基於現代物理學和生物物理學，許多物理學家認為，從巨大的天體到我們的生命體，直至人類心靈，都是有限可實現的物理系統的子系統，因此，依多奇之見，原則上都可以用通用計算機以有限方式的操作完美的模擬。
顯然，多奇原理是較丘奇-圖靈論題更強的「工作假說」，從丘奇-圖靈論題到多奇原理，我們的可計算疆域在不斷拓展。如果多奇原理是正確的，它將揭示出物理實在的深刻本質。這種基於物理主義和可計算主義的立場也恰是人工智慧專家奉行的各種工作假說的核心。多奇等人完全將演算法或計算這樣的純粹抽象的數學概念看成了物理定律的體現，把計算系統看成了自然定律的一個自然結果，在他們看來，通用計算機的概念不僅為自然規律所認可，而且很可能就是自然規律的內在要求。事實上，我們知道，所有倡導虛擬現實技術、人工生命、人工智慧的人都相信多奇原理的真理性。當然也沒有任何有力的科學證據能夠反駁多奇原理，因為它是一個包含「通用模擬機器」概念的全稱命題，原則上通用模擬機器可實現的演算法(程序)數目是無限的。
依照理論計算機的最新進展，量子計算機的倡導者斷言，能夠實現多奇原理的通用模擬機器只能是量子通用圖靈機。1998年作為「量子領域旗手」的傑拉德·密爾本(G.L.Milburn)指出，物理理論與物理版本的丘奇-圖靈論題密切相關的事實是，物理理論是通過數學給出觀察數據的，這些數據正是那些被我們稱作可計算問題所提供的數據，因此這些數據可通過在一台通用圖靈機上運行的演算法得到。無論是經典的還是量子的物理系統都可以任意高的精度模擬，然而對某些問題，運行程序的時間可能是一個天文數字。如果世界是經典的，可以用蒙特卡羅方法等有效模擬隨機性；但如果世界是具有不可約隨機性的量子的，就不能用基於隱變數的經典隨機性來解釋量子隨機性，量子世界的游戲需遵循費曼規則。因此費曼(R.Feynmen)意識到，解決這一問題的方法是建造一種量子計算機，即利用量子過程本身作為計算手段，計算的基本步驟將在原子或亞原子水平上進行，於是，1998年，丘奇-圖靈論題經多奇原理，又被修正成：
「所有有限可描述的物理測量系統的結果都可以很好地為一台通用量子計算機以有限方式的操作完美地模擬，測量結果的記錄是最終產物。」
這里的「有限可描述的物理測量系統」 是指建立和操縱一個測量裝置的指令必須能夠用有限的代碼來表達；「完美的模擬」是指，模擬產生的數據與真實測量所得的數據無法區分；「最終產物」是指所有的模擬測量必須在某一時刻結束，不再繼續產生新結果。
那麼量子計算機超越經典計算機之處何在？它的計算本質究竟為何？
首先，量子計算機可以完成經典計算機所不能完成的計算：例如，它可以任意的精確度模擬一個量子物理系統，可使求解時間不隨問題的規模呈指數增長。例如，以往要完成一個64位數字分解成質因數的乘積的運算，即使是使用超級計算機也要花比宇宙年齡還要長的時間。而貝爾實驗室的彼德·肖爾(Peter Shor)的量子演算法，依賴於大尺度的量子糾纏，可在量子計算機上以相當短的時間內成功地將一個64位數字分解成質因數的乘積。量子計算機所以具有超出經典圖靈機的能力，在於量子相乾性產生的並行計算的威力。
量子計算機是一個實現計算的物理裝置，是遵循量子物理學規律運行的物理系統，而且量子計算機是一種建立在量子圖靈機基礎上的現代計算機。通用圖靈機的演算法是完全確定性的，在這種確定性演算法中，當圖靈機的當前讀寫頭的狀態和當前存儲單元內容給定時，下一步的狀態及讀寫頭的運動完全確定。在經典的概率演算法中，當前讀寫頭的狀態和當前存儲單元內容給定時，圖靈機以一定的概率變換到下一個狀態及完成讀寫頭的運動。這個概率函數是取值[0，1]的實數，它完全決定了概率圖靈機的性質。量子計算機與經典概率圖靈機的區別僅僅在於當前讀寫頭的狀態和當前存儲單元內容由經典的正交態(0，1)變成了量子態(0，1，0和1的幾率迭加態)，而概率函數則變成了取值為復數的概率振幅函數，於是量子計算機的性質由概率振幅函數確定。量子計算機能作到高效的計算，完全得益於量子迭加效應，即一個原子的狀態可處於0和1的幾率迭加態。一般來講，採用L個量子位，量子計算機可以一次同時對2L個數進行處理，相當於一步計算完成通常經典計算機2L個數的計算。量子計算機就是以量子態對應於計算機的數據和程序(這需要以量子比特取代經典比特)，讀寫頭不同的物理狀態由量子物理描述，機器的動力學機制也由量子物理決定，當然一個更為重要的問題是，我們還必須描述它的輸出，而我們最後需要的又是經典比特，而不是量子比特，這就要解決棘手的「消相乾性」。
但是，我們必須清楚地認識到，無論量子計算機的速度有多快，既然從理論上講，量子計算機不過是一台量子圖靈機，那麼它就必然受到哥德爾定理所設定的邏輯極限的限制，量子計算機不能計算不可計算的函數，也不能解決停機問題。說到底，量子計算機的計算本質上依然是圖靈機計算，即遞歸函數計算，因此丘奇-圖靈論題依然是量子計算機的理論基礎。多奇試圖將整個物理世界納入計算的范圍，試圖以量子計算機模擬人類智能仍然不能擺脫邏輯固有的極限。如果可計算性如哥德爾所言，是不依賴於形式系統的絕對概念，那麼量子計算機也不過是另一個計算速度更快的計算載體而已。
值得思考的是，對計算技術的不懈追求是否能使我們切實在程序中捕獲一個真實的 「一致而完備的」世界？[11]在為大自然中的問題提供一個科學解答過程中是否不存在任何邏輯障礙？除了圖靈機之外，是否存在其他計算模型，比如DNA計算機等，人類心智是否可能是某種超越圖靈機的機器？多奇原理告訴我們，不僅物理學決定了計算機能做什麼，而且反過來，計算機能做什麼，也將決定物理定律最終的性質，多奇原理的本意顯然絕不局限於對計算載體進行變革的意義，而在於指出，真實世界 = 物理世界 = 計算世界。

Ⅶ 分期利率怎麼算

分期利率如果要算的話也是可以的，因為分期利率他的演算法和別的利率演算法是有所不同的，只是根據他的特點進行計算的。

值得一提的是，尤金·法瑪和羅伯特·席勒持有完全不同的學術觀點，前者認為市場是有效的，而後者則堅信市場存在缺陷，這也從另一個側面證明，至今為止人類對資產價格波動邏輯的認知，還是相當膚淺的，與我們真正把握其內在規律的距離，仍然非常遙遠！
行為金融學（BF）
1979年，美國普林斯頓大學的心理學教授丹尼爾·卡納曼（Daniel Kahneman）等人發表了題為《期望理論：風險狀態下的決策分析》的文章，建立了人類風險決策過程的心理學理論，成為行為金融學發展史上的一個里程碑。
行為金融學（Behavioral Finance，簡稱BF）是金融學、心理學、人類學等有機結合的綜合理論，力圖揭示金融市場的非理性行為和決策規律。該理論認為，股票價格並非只由企業的內在價值所決定，還在很大程度上受到投資者主體行為的影響，即投資者心理與行為對證券市場的價格決定及其變動具有重大影響。它是和有效市場假說相對應的一種學說，主要內容可分為套利限制和心理學兩部分。

Ⅷ 美國計算機科學專業名校有哪些

根據PayScale的薪資數據、U.S. News、泰晤士高等教育、ARWU排名以及畢業率等因素，綜合整理出美國學習CS專業的大學，具體如下：
1. 斯坦福大學
斯坦福大學的計算機科學學位提供了人工智慧、生物計算、計算機工程、圖形學、人機交互、信息、系統和理論方面的專業課程。學生還可以決定、設計自己的學習計劃。

2. 加州大學伯克利分校
UCB同時提供計算機科學BS和BA。對理學學士學位感興趣的學生將通過工程學院申請該專業，而這也是最具競爭力的學位之一。文學學士學位由文理學院提供，除提供計算機科學學位外，還提供更廣泛的科學和藝術教育。不過，這兩個學位所學的計算機科學特定課程內容基本相同。

3. 卡內基梅隆大學
卡耐基梅隆大學創建於 1900 年，是一所私立大學。 學校下設有卡耐基技術學院、美術學院、人文與社會科學院、美隆理學院及商業管理系和計算機系。 2012 排名為第 23 名，這里重點要提到的就是該校的計算機專業全美第一 ; 是當之無愧的美國計算機專業 NO.1 。
4. 哈佛大學
哈佛大學計算機科學項目的學生可以通過計算與社會研究中心、應用計算科學研究所和Berkman互聯網與社會中心等中心/機構參與廣泛的研究項目。

5. 耶魯大學
Yale CS系每年大概錄取8 new Ph.D. Students, and from 5 to 15 new masters students, 錄取還是很難拿的。畢業生就業率號稱100%，一般前往Google, Amazon, Microsoft, Oracle, Startup in NYC. 據說教授都不關注就業，因為太簡單。
6. 麻省理工學院
麻省理工學院提供電子科學與工程、電子工程與計算機科學、計算機科學與分子生物學、計算機科學、經濟學和數據科學5個本科計算機科學學位。

7. 普林斯頓大學
學生可以在普林斯頓大學計算機科學的AB和BSE學位之間進行選擇。除了一些核心課程，學生們還可以完全設計自己的專屬課程，確保學生在深入學習演算法、計算機科學理論、計算機系統設計和應用程序的同時，也能獲得更多的自由。

8. 賓夕法尼亞大學
賓夕法尼亞大學的學生想要學習CS專業可以從計算機工程學士學位和應用科學學士學位中進行選擇，二者均提供計算機科學專業。

9. 哥倫比亞大學
哥倫比亞大學提供6個不同的計算機科學和計算機工程學位。其中包括如：人工智慧、自然語言處理、計算復雜性和演算法分析、計算機通信、計算機圖形學、資料庫和計算數學模型等。

10. 達特茅斯學院
在達特茅斯大學的計算機科學系，研究生與世界級的研究人員在一個緊密團結的學院環境中進行密切的交流，這為跨學科和內部的研究提供了大量的機會。該專業與工程、商業、數學、藝術、生物學、社會學和醫學領域的研究人員合作，小班授課，授課教師屢獲學術殊榮。

Ⅸ 光速每小時多少公里

約為108000萬千米每小時。

分析過程如下：

真空光速定義值：c0=299792458m/s，光速計算值：c0=299792.458km/s （一般取300000km/s）。

光速約為300000km/s，也就是30萬千米每秒。

1個小時=3600秒，由此可得：光速=300000×3600=108000萬千米每小時。

(9)普林斯頓演算法擴展閱讀：

光在不同介質中的速度不同，由於光是電磁波，因此光速也就依賴於介質的介電常數和磁導率。在各向同性的靜止介質中，光速是一個小於真空光速c的定值。

如果介質以一定的速度運動，則一般求光速的方法是先建立一個隨動參考系，其中的光速是靜止介質中的光速，然後通過參考系變換得到運動介質中的光速；或者可以直接用相對論速度疊加公式去求運動介質中的光速。

光和聲雖然都具有波動性質，但兩者波速的演算法是完全不同的。以聲音實驗為例：空氣對地面靜止，第1次我們不動測得我們發出的聲音1秒鍾前進了300米；第二次我們1秒鍾勻速後退1米，測得聲音距我們301米。

得到結論：兩次聲音相對地面速度不變，相對我們，第一次300米/秒；第2次301米/秒。在牽涉到的速度遠小於光速的情況下，聲速滿足線性疊加。