演算法中的計算

㈠ 一文講透演算法中的時間復雜度和空間復雜度計算方式

作為一名「程序猿」，大家應該都聽過這么一句話：程序=數據結構+演算法。

這句話是由瑞士計算機科學家尼古拉斯·沃斯（Niklaus Wirth）在 1984 年獲得圖靈獎時說的一句話，這位大佬還以這句話為名出了一本書《Algorithms + Data Structures=Programs》，從此這句話就成為了大家耳熟能詳的一句名言。

隨著時間的推移，不管這句話是不是非常准確，但至少能說明數據結構與演算法對程序來說是非常核心的基礎，如果我們想要寫出更多優秀優雅的代碼，那麼數據結構與演算法是必須要掌握好的。

很多人可能覺得，我不會演算法，代碼一樣寫得很"溜"，演算法這東西似乎用處不大。現在互聯網的發達，我們想要什麼幾乎都可以在網上找到現成的，各種框架功能十分強大，似乎看起來確實不用演算法也可以寫出「好代碼」。然而假如我們不懂演算法，比如項目中用到了排序，我們如何評估代碼的執行效率？再比如最常用的 ArrayList 和 LinkedList ，我們該如何選擇，又比如說我們需要去集合中找某一個數，又該如何寫出性能優秀的代碼呢？

同樣的代碼，如何判斷誰的代碼是優秀的代碼？可讀性，可擴展性，健壯性可能都可以用來判定，然而這些東西我覺得並不能直接體現出你代碼的優秀，因為對用戶而言，訪問你的代碼響應速度快那就是優秀的代碼，相反，動輒響應幾秒甚至更長時間的介面，恐怕就算你可讀性再好，再健壯也稱不上是好代碼。

所以說一段代碼是否優秀，最直接的判斷標准就是性能，而如果要寫出高性能的代碼，那麼就必須要了解演算法，而且拋開這個因素，但凡不想一輩子都寫 CRUD 代碼的，也需要去了解演算法，我們使用的很多框架和中間件底層都有數據結構和演算法的身影，學好演算法對我們源碼閱讀時理解其設計思想也是大有裨益的。

要說功利性的目的，那就是面試，目前很多大廠的面試，演算法基本必面，所以想進大廠的話，咱們也得好好學學演算法。

提到演算法，很多人的第一反應就是太難學了，學不會，或者說經常是看完就忘了，但是其實對於我們一個普通的開發者而言，因為並不需要我們去發明演算法，我們需要的僅僅只是去靈活的運用演算法，所以並不需要非常扎實的數據基礎，當然基本的數學常識還是要有的。

如果說需要去發明設計一款演算法，那就要去推導去證明演算法的可行性，這種是需要具有非常扎實的數學基礎的，一般人確實無法做到，然而我們普通程序員口中提到演算法無非是二分查找法，哈希演算法等，高級一點的就還有回溯，貪心，動態規劃等等，這些所謂的演算法都是已經有現成的公式了，我們要做的無非就是理解它，然後靈活的運用它。這就和我們以前學習數學公式一樣，給你一個公式，然後你去做題，做題的過程其實就是去靈活地運用這個公式。

演算法也是同理，都是有特定方法和特定思路的，我們也並不需要去推導證明這種方式為什麼可行，所以學習演算法沒有其他訣竅，就是先理解思路，然後多練，等熟練了，自然就可以靈活運用了，也不會說學了立刻就忘了。學完就忘無非兩個原因，一是沒理解，二是沒有練習鞏固。

數據結構與演算法經常是放在一起講，這兩者是沒辦法獨立的，因為演算法是為了達到某種目的的一種實現方式，而數據結構是一種載體，也就是說演算法必須依賴數據結構這種載體，否則就是空談。換句話說：數據結構是為演算法服務的，而演算法又需要作用在特定的數據結構之上。

一個演算法到底好不好，我們如何去評價？前面我們提到了，你的代碼好不好，最直觀的就是看響應速度，演算法也一樣，同樣實現一個目的（比如說排序），誰的演算法速度快，我們就可以認為誰的演算法更優，如果說兩種演算法實現的速度差不多，那麼我們還可以去評價演算法所佔用的空間，誰佔用的空間少，那麼就可以認為誰的演算法更優，這就是演算法的基礎：時間復雜度和空間復雜度。

學習演算法之前，我們必須要學會如何分析時間復雜度和空間復雜度（也就是「快」和「省」），否則自己寫出來的演算法自己都不知道演算法的效率。

接觸過演算法的都知道，演算法的時間復雜度是用大寫的「O」來表示的，比如： O(1) ， O(n) ， O(logn) ， O(nlogn) ， O(n²) 等等。

變數指的是變數，也就是一段代碼的執行時間是隨著變數的變化而變化的，而不變指的是常量，也就是不論我的變數如何改變，執行時間都不會改變。

接下來我們就實際的來分析下常用時間復雜度的例子來練習一下。

0(1) 復雜度演算法也稱之為常數階演算法。這里的 1 是用來代指常量，也就是說這個演算法的效率是固定的，無論你的數據量如何變化，效率都一樣，這種復雜度也是最優的一種演算法。

上面的示例中不論有多少行代碼，時間復雜度都是屬於常數階段。換言之：只要代碼不存在 循環 ， 遞歸 等循環類調用，不論代碼有多少行，其復雜度都是常數階。

O(n) 復雜度演算法也稱之為線性階段。比如下面這個示例我們應該怎麼分析復雜度呢？

前面常量階沒分析是因為常量階比較容易理解，接下來我們就以線性階這個為例子來分析下具體是怎麼得到的。

我們假設每一行代碼的執行時間是 T ，那麼上面這段代碼的執行復雜度是多少呢？

答案很明顯，那就是 T+n*T ，也就是 (n+1)T ，而在演算法中有一個原則，那就是常量可以被忽略，所以就得到了 nT ，換成大 O 表示法就是 O(n) 。

這只是一個簡略的計算過程，大家也不用較真說每行代碼執行時間可能不一樣之類的，也不要較真說 for 循環佔用了一行，下面的大括弧也佔用了一行，如果要較真這個，那我建議可以去想一下 1=1 為什麼等於 2 。

演算法中的復雜度反應的只是一個趨勢，這里 O(n) 反應的就是一個趨勢，也就是說隨著 n 的變化，演算法的執行時間是會降低的。

知道了上面的線性階，那麼平方階就很好理解了，雙層循環就是平方階，同理，三次循環就是立方階， k 次循環就是 k 次方階。

O(logn) 也稱之為對數階，對數階也很常見，像二分查找，二叉樹之類的問題中會見到比較多的對數階復雜度，但是對數階也是比較難理解的一種演算法復雜度。

下面我們還是來看一個例子：

這段代碼又該如何分析復雜度呢？這段代碼最關鍵的就是要分析出 while 循環中到底循環了多少次，我們觀察這個循環，發現 i 並不是逐一遞增，而是不斷地翻倍： 1->2->4->8->16->32->64 一直到等於 n 為什麼才會結束，所以我們得到了這樣的一個公式： 2^x=n 。

也就是說我們只要計算出 x 的值，就得到了循環次數，而根據高中的數學知識我們可以得到 x=log2n （ 2 在下面，是底數，試了幾種方法都打不出來，放棄了），所以根據上面線性階的分析方法，我們省略常量，就得到了示例中的演算法復雜度為 O(log2n) 。

同樣的分析方式，下面的例子，我們可以很快地分析出復雜度就為 O(log3n) ：

上面得到的 log3n 我們可以再做進一步的轉換： log3n=log32 * log2n ，而 log32 （注意這幾個地方的情況 3 是底數，在下面） 是一個常量，常量可以省略，所以也就得到了： O(log3n)=O(log2n) 。同樣的道理，不論底數是多少，其實最終都可以轉化成和 O(log2n) 相等，正因為如此，為了方便，我們演算法中通常就會省略底數，直接寫作 O(logn) 。

上面的數學公式大家如果忘了或者看不懂也沒關系，只要記住不論對數的底數是多少，我們都算作 O(logn) ，而對於一個演算法的復雜度是否是對數階，還有一個簡易的判斷方法： 當循環中下標以指定倍數形式衰減，那麼這就是一個對數階 。

如果理解了上面的對數階，那麼這種線性對數階就非常好理解了，只需要在對數階的演算法中再嵌一層循環就是線性對數階：

分析了前面這些最常用的時間復雜度，其實我們可以得到以下規律：

除了上面常用的復雜度之外，另外還有指數階，階層階，根號階等，這些接觸的相對會較少，我們就不特意做分析了，如果大家感興趣的話，可以自己去了解下。

前面我們分析的都是只有一段代碼比較復雜的情況下得到的復雜度結果，那麼假如我一個演算法中，有多段代碼都比較復雜呢？這時候復雜度該如何分析？

我們先看下面這個例子：

這個例子中有三個循環，首先第一個，是一個常量，那麼根據前面的結論，不論這個常量是多大，都屬於常量級，所以第一個循環中的復雜度為 O(1) ，第二個和第三個循環我們前面也分析過，復雜度分別為 O(n) 和 O(n²) 。

也就是這一段代碼中有三段代碼產生了三種不同復雜度，而且這三個復雜度可以很明顯得到的大小關系為： O(1)<o(n)<o(n²) span=""> </o(n)<o(n²)> ，像這種在同一個演算法中有明確大小關系的，我們就可以直接取最大值作為這個演算法的復雜度，所以這個例子中演算法的復雜度就是 O(n²) 。

接下來我們再來看一個例子：

這個例子我們同樣對三段循環分別分析可以分別得到如下復雜度： O(1) ， O(m) ， O(n) 。這時候我們只能知道 O(1) 最小可以忽略，但是後面兩個無法卻無法確定大小，所以這時候我們需要取兩段循環復雜度之和來作為演算法的復雜度，所以可以得到這個例子的演算法復雜度為： O(m+n) 。

上面分析的時間復雜度都是比較簡單的，實際演算法中可能會比示例中復雜的多，而且我們示例中只要是循環都是無腦循環，也就是一定從頭循環到尾，然而實際中我們有時候並不需要從頭循環到尾，可能中途就會結束循環，所以我們根據實際情況，又可以將時間復雜度從以下四個方面來進一步分析：

這四種類型的時間復雜度在這里只會介紹前面三種，因為第四種比較復雜，而且使用場景也非常有限，而且對於這四種復雜度的分析，大家也作為了解就可以，不敢興趣的朋友們可以跳過這一小部分，因為在絕大部分情況我們只需要分析最壞復雜度就行，也就是假設循環全部執行完畢場景下的時間復雜度。

我們通過一個例子來理解下最好時間復雜度：

這個方法就是在一個指定數組中找到指定元素的下標，找不到就返回 -1 ，這個方法比較簡單，應該比較好理解。

注意這個方法中的循環體，如果找到元素，那麼就直接返回，這就會有一個現象，那就是我這個循環體到底會循環多少次是不確定的，可能是 1 次，也可能是 n （假設數組的長度） 次，所以假如我們要找的元素就在數組中的第一個位置，那麼我循環一次就找到了，這個演算法的復雜度就是 O(1) ，這就是最好情況時間復雜度。

理解了最好時間復雜度，那麼最壞時間復雜度也很好理解了，那就是數組中不存在我要找到元素，或者說最後一個值才是我要找的元素，那麼這樣我就必須循環完整個數組，那麼時間復雜度就是 O(n) ，這也就是最壞時間復雜度。

最好時間復雜度和最壞時間復雜度畢竟只有特殊情況才會發生，概率還是相對較小，所以我們很容易就想到我們也需要有一個平均時間復雜度。

我們簡單的來分析一下，為了便於分析，我們假設一個元素在數組和不在數組中的概率都為 1/2 ，然後假如在數組在，那麼又假設元素出現在每個位置的概率也是一樣的，也就是每個位置出現元素的概率為： 1/n 。

所以最終得到的平均時間復雜度應該等於元素在數組中和元素不在數組中兩種情況相加。

因為元素在數組中的概率為 1/2 ，然後在每個位置出現的概率也為 1/n 。假如元素出現在第一個位置，復雜度為 1*(1/2n) ；假如元素出現在第二個位置，復雜度為 2 * (1/2n) ，最終得到當前場景下時間復雜度為： 1*(1/2n) + 2 * (1/2n) + ... + n*(1/2n) =(n+1)/4。

前面已經假定了元素不在數組中的概率為 1/2 ，所以當前場景下的時間復雜度為： n * (1/2) ，因為元素不在數組中，那麼這個演算法必然會將整個循環執行完畢，也就循環是 n 次。

最後我們把兩種情況的復雜度之和相加就得到了平均時間復雜度： (n+1)/4 + n/2 = (3n+1)/4 ，最終我們將常數類的系數忽略掉，就得到了平均時間復雜度為 O(n) 。

均攤時間復雜度的演算法需要使用攤還分析法，計算方式相對有點復雜，而且使用場景很有限，本文就不做過多介紹了。

空間復雜度全稱就是漸進空間復雜度，用來表示演算法的存儲空間與數據規模之間的增長關系。和時間復雜度一樣，空間復雜度也是用大 O 進行表示。

其實學會了分析時間復雜度，那麼空間復雜度的分析就簡單了，主要就看我們在一個演算法當中到底有沒有使用到了額外的空間來進行存儲數據，然後判斷這個額外空間的大小會不會隨著 n 的變化而變化，從而得到空間復雜度。

我們來看一個給數組賦值例子，假設這就是一個演算法，我們可以來分析下這個演算法的空間復雜度：

一開始定義了一個變數，這里需要空間，但是這是一個常量級的（不隨 n 的變化而變化），然後再定義了一個數組，數組的長度為 n ，這里數組也需要佔用空間，而且數組的空間是隨著 n 的變化而變化的，其餘代碼沒有佔用額外空間，所以我們就可以認為上面示例中的空間復雜度為 O(n) 。

對於演算法的空間復雜度也可以簡單的進行總結一下：

本文主要講述了為什麼要學習演算法，也簡單減少了數據結構與演算法之間的關系，隨後主要介紹了演算法中的入門知識：時間復雜度和空間復雜度。想要學好演算法，必須要掌握如何分析一個演算法的時間復雜度和空間復雜度，只有自己會分析這兩個個衡量演算法主要性能的標准，才能更好的寫出性能優秀的演算法，同時我們也講到了最好時間復雜度，最壞時間復雜度，平均時間復雜度和均攤時間復雜度，不過這四種復雜度的計算方式大家作為了解即可，等實際確實需要使用到再來回顧也不遲。

㈡ 在演算法設計中，怎麼計算出演算法是指數計算時間還是多項式計算時間呢

舉個例子: for(i=1:i<n:i++)

{
index ++;
for(j=1:j<n;j++)
{
sum ++;
}
}

對於一個確定的n，要算n^2 +n次，其中有兩項，隨著n增加，增長速度最快的是n^2這一項（導數最大），所以，這就是一個多項式級復雜度的演算法（n^2級）

for(k=1:k<2^n;k++)
{
abc ++;
}

for(i=1:i<n:i++)

{
index ++;
for(j=1:j<n;j++)
{
sum ++;
}
}

這個裡面，對於一個確定的n，要計算2^n+n^2+n次，很顯然，現在隨著n的增長，增加速度最快的是2^n這一項，所以他是一個指數級復雜度的演算法（2^n級）

現在懂了吧？一個演算法的復雜度很可能是某幾項的加總，其中有一項增長最快，它是多項式型，就是多項式級，是指數型，就是指數級。是階乘型，就是階乘級。另外，如果最高項是2*n^2這樣的，那麼復雜度仍然是n^2，系數不要。

㈢ 演算法空間復雜度具體怎麼算

數據結構中演算法空間復雜度計算方法：

一個演算法的空間復雜度只考慮在運行過程中為局部變數分配的存儲空間的大小，它包括為參數表中形參變數分配的存儲空間和為在函數體中定義的局部變數分配的存儲空間兩個部分。

若一個演算法為遞歸演算法，其空間復雜度為遞歸所使用的堆棧空間的大小，它等於一次調用所分配的臨時存儲空間的大小乘以被調用的次數(即為遞歸調用的次數加1，這個1表示開始進行的一次非遞歸調用)。

空間復雜度(Space Complexity)是對一個演算法在運行過程中臨時佔用存儲空間大小的量度，記做S(n)=O(f(n))。

而一般的遞歸演算法就要有O(n)的空間復雜度了，因為每次遞歸都要存儲返回信息。一個演算法的優劣主要從演算法的執行時間和所需要佔用的存儲空間兩個方面衡量。

㈣ 什麼是演算法演算法有哪些分類

分類演算法是在數學和計算機科學之中，演算法為一個計算的具體步驟，常用於計算、數據處理和自動推理。

精確而言，演算法是一個表示為有限長列表的有效方法。演算法應包含清晰定義的指令用於計算函數，演算法分類可以根據演算法設計原理、演算法的具體應用和其他一些特性進行分類。

具體意義：

如果一個演算法有缺陷，或不適合於某個問題，執行這個演算法將不會解決這個問題。不同的演算法可能用不同的時間、空間或效率來完成同樣的任務。一個演算法的優劣可以用空間復雜度與時間復雜度來衡量。

演算法中的指令描述的是一個計算，當其運行時能從一個初始狀態和（可能為空的）初始輸入開始，經過一系列有限而清晰定義的狀態，最終產生輸出並停止於一個終態。一個狀態到另一個狀態的轉移不一定是確定的。隨機化演算法在內的一些演算法，包含了一些隨機輸入。

㈤ BBR演算法中輪數計算方法

        輪數在擁塞演算法中是一個重要的概念，基於丟包的擁塞演算法中，比如reno演算法在擁塞避免階段，每輪進行一次擁塞窗口加1，bic演算法也是每輪進行一次擁塞窗口增加，只是增加的幅度不同，而基於時延的擁塞演算法，如vegas演算法，檢測出一輪內的最小rtt_us值，與rtt_min對比推斷得到當前網路的數據包排隊的情況。這些例子中可以看出，對於演算法的實現都需要考慮輪數的統計。

        那演算法是如何計算輪數的呢？主要分為三種，一種形如reno，bic這類演算法中，輪數的計算建立在 某一輪能發送snd_cwnd個數據包，當累計了snd_cwnd個數據包確認，就為一輪結束。演算法中有個snd_cwnd_cnt變數用來累計當前輪已經收到了多少的數據包確認，當該值大於等於擁塞窗口snd_cwnd，就認為一輪結束了。

以reno為例，w為控制增窗的頻率快慢，reno中等於snd_cwnd

   void tcp_cong_avoid_ai(struct tcp_sock *tp, u32 w)

   {

        if (tp->snd_cwnd_cnt >= w) { //累計了snd_cwnd個ack數據包

            if (tp->snd_cwnd < tp->snd_cwnd_clamp)//未超過申明的最大窗口值

                tp->snd_cwnd++;

             tp->snd_cwnd_cnt = 0; //累計ack個數清零

         } else {//累計ack個數

            tp->snd_cwnd_cnt++;

        }

}

        第二類，如vegas這種基於時延的擁塞演算法中，用序列號進行區分，記錄某一輪的起始點對應的snd_nxt，當snd_nxt所對應的數據包沒有發生重傳，被接收端ack確認的時間即為一個rtt，也就是一輪，如下圖所示，數據包a被ack確認時，只有線段SEQ1以上的數據包是之後發送的，當這區間某個數據包被ack確認，說明已經經過了一輪rtt，新一輪中，只有線段SEQ2以上的數據包是之後發送的。

以vegas演算法為例，

if (after(ack, vegas->beg_snd_nxt)) {

    /* Do the Vegas once-per-RTT cwnd adjustment. */

    /* Save the extent of the current window so we can use this

    * at the end of the next RTT.

    */

    vegas->beg_snd_nxt  = tp->snd_nxt;

    ...

}

        第三種就是bbr演算法中所使用的輪數計算方法，用時間來區分，每個數據包發送都記錄當前交付到對端的數據包個數delivered，某一時刻T為一輪的起始點，對應的交付到對端個數為D，時間小於T的記錄的delivered都小於D，之後發送的數據包記錄的delivered都大於等於D，當接收端收到ack(sack)數據包對應發送的delivered大於等於D，說明T時刻之後發送的數據包至少有個一到達了接收端，即經過了一輪RTT。

        如上圖所示，時刻T1所對應的tp->delivered 為D，那時刻T1右側發送的數據包都是之後發送的，記錄prior_delivered都大於等於D，當兩個重傳數據包被ack確認時，其對應的prior_delivered都為D，說明T1時刻之後發送的兩個數據包經過一個RTT傳輸已經被接收，已經經過了一輪，開始了新一輪，而此時tp->delivered為D+2，之後發送的數據包記錄的prior_delivered都大於等於D+2，當收到ack確認的數據包記錄的prior_delivered大於等於D+2，說明時間已經又過了一輪，新一輪已經開始。

/* See if we've reached the next RTT */

if (!before(rs->prior_delivered, bbr->next_rtt_delivered)) {

    bbr->next_rtt_delivered = tp->delivered;

    bbr->rtt_cnt++;

    bbr->round_start = 1;

    ...

}

rs->prior_delivered就為每個ack(sack)確認的包發送時記錄的tp->delivered值，當其大於等於某一輪起始的delivered值，就為新一輪開始。

        這三種不同的方法，bic演算法中這樣處理是由於比如窗口每輪增加5個包，並不是一輪結束後窗口加5，而是每經過1/5的窗口值就進行擁塞窗口加1的操作。vegas演算法中，需要統計一輪內最小rtt_us，需要知道某一輪的起始和結束點，定期的重置當前輪內追蹤到的最小rtt_us以及調整窗口值。然而，BBR演算法不僅負責擁塞避免階段的發包，而且還接管了擁塞丟包狀態下發包行為，而vegas演算法中的輪數計算只能用於不丟包的open/disorder狀態，假設某個時刻發生大面積丟包，擁塞窗口驟降，需要經過兩三輪的重傳才能重傳完畢，才能推進snd_una，進而更新輪數。這對BBR來說是非常不合適了，因為已經擁塞丟包了，網路狀況很有可能已經變差了，而這時卻因為計算出來的輪數偏小，不能及時的更新最大帶寬值，進而延遲了網路處於擁塞的狀態時間。

㈥ 計算教學中如何正確處理算理和演算法的關系

計算的算理是指計算的理論依據，通俗地講就是計算的道理。算理一般由數學概念、定律、性質等構成，用來說明計算過程的合理性和科學性。計算的演算法是計算的基本程序或方法，是算理指導下的一些人為規定，用來說明計算過程中的規則和邏輯順序。

算理和演算法既有聯系，又有區別。算理是客觀存在的規律，主要回答「為什麼這樣算」的問題；演算法是人為規定的操作方法，主要解決「怎樣計算」的問題。算理是計算的依據，是演算法的基礎，而演算法則是依據算理提煉出來的計算方法和規則，它是算理的具體體現。算理為計算提供了正確的思維方式，保證了計算的合理性和可行性；演算法為計算提供了便捷的操作程序和方法，保證了計算的正確性和快速性。算理和演算法是計算教學中相輔相成、缺一不可的兩個方面。

處理好算理與演算法的關系對於突出計算教學核心，抓住計算教學關鍵具有重要的作用。當前，計算教學中「走極端」的現象實質上是沒有正確處理好算理與演算法之間關系的結果。一些教師受傳統教學思想、教學方法的支配，計算教學只注重計算結果和計算速度，一味強化演算法演練，忽視算理的推導，教學方式「以練代想」，學生「知其然，不知其所以然」，導致教學偏向「重演算法、輕算理」的極端。與此相反，一些教師片面理解了新課程理念和新教材，他們把過多的時間用在形式化的情境創設、動手操作、自主探索、合作交流上，在理解算理上大做文章，過分強調為什麼這樣算，還可以怎樣算，卻缺少對演算法的提煉與鞏固，造成學生理解算理過繁，掌握演算法過軟，形成技能過難，教學走向「重算理、輕演算法」的另一極端。

如何正確處理算理與演算法的關系，防止「走極端」的現象，廣大數學教師在教學實踐中進行了有益的探索，取得了許多成功經驗。比如，「計算教學要尋求算理與演算法的平衡，使計算教學『既重算理，又重演算法」「把算理與演算法有機融合，避免算理與演算法的『硬性對接』」「引導學生在理解算理的基礎上自主地生成演算法，在演算法形成與鞏固的過程中進一步明晰算理」「計算教學要讓學生探究並領悟算理，及時抽象並掌握演算法，力求形成技能並學會運用」等等，這些觀點對於計算教學少走彎路、提高計算教學質量具有重要作用。

對此，筆者認為，處理計算教學中算理與演算法的關系還應注意以下五點：一是算理與演算法是計算教學中有機統一的整體，形式上可分，實質上不可分，重演算法必須重算理，重算理也要重演算法；二是計算教學的問題情境既為引出新知服務，體現「學以致用」，也為理解算理、提煉演算法服務，教學要注意在「學用結合」的基礎上，以理解算理，掌握演算法，形成技能為主；三是算理教學需藉助直觀，引導學生經歷自主探索、充分感悟的過程，但要把握好演算法提煉的時機和教學的「度」，為演算法形成與鞏固提供必要的練習保證；四是演算法形成不能依賴形式上的模仿，而要依靠算理的透徹理解，只有在真正理解算理的基礎上掌握演算法、形成計算技能，才能算是找到了算理與演算法的平衡點；五是要防止算理與演算法之間出現斷痕或硬性對接，要充分利用例題或「試一試」中的「可以怎樣算？」「在小組里說一說，計算時要注意什麼？」等問題，指導學生提煉演算法，為算理與演算法的有效銜接服務。

㈦ 什麼叫演算法演算法有哪幾種表示方法

演算法（Algorithm）是指解題方案的准確而完整的描述，是一系列解決問題的清晰指令，演算法代表著用系統的方法描述解決問題的策略機制。計算機科學家往往將「演算法」一詞的含義限定為此類「符號演算法」。「演算法」概念的初步定義：一個演算法是解決一個問題的進程。而並不需要每次都發明一個解決方案。

已知的演算法有很多，例如「分治法」、「枚舉測試法」、「貪心演算法」、「隨機演算法」等。

(7)演算法中的計算擴展閱讀

演算法中的「分治法」

「分治法」是把一個復雜的問題拆分成兩個較為簡單的子問題，進而兩個子問題又可以分別拆分成另外兩個更簡單的子問題，以此類推。問題不斷被層層拆解。然後，子問題的解被逐層整合，構成了原問題的解。

高德納曾用過一個郵局分發信件的例子對「分治法」進行了解釋：信件根據不同城市區域被分進不同的袋子里；每個郵遞員負責投遞一個區域的信件，對應每棟樓，將自己負責的信件分裝進更小的袋子；每個大樓管理員再將小袋子里的信件分發給對應的公寓。

㈧ c語言中什麼是演算法有哪些描述演算法的例子

1、有窮性（有限性）。任何一種提出的解題方法都是在有限的操作步驟內可以完成的。
如果在有限的操作步驟內完不成，得不到結果，這樣的演算法將無限的執行下去，永遠不會停止。除非手動停止。例如操作系統就不具有有窮性，它可以一直運行。
2、一個演算法應該具有以下七個重要的特徵：
1）有窮性（finiteness）
演算法的有窮性是指演算法必須能在執行有限個步驟之後終止
2）確切性(definiteness)
演算法的每一步驟必須有確切的定義；
3）輸入項(input)
一個演算法有0個或多個輸入,以刻畫運算對象的初始情況,所謂0個輸入是指演算法本身定出了初始條件；
4）輸出項(output)
一個演算法有一個或多個輸出,以反映對輸入數據加工後的結果.沒有輸出的演算法是毫無意義的；
5）可行性(effectiveness)
演算法中執行的任何計算步都是可以被分解為基本的可執行的操作步,即每個計算步都可以在有限時間內完成；
6）
高效性（high
efficiency）
執行速度快,佔用資源少；
7）
健壯性（robustness）
健壯性又稱魯棒性，是指軟體對於規范要求以外的輸入情況的處理能力。所謂健壯的系統是指對於規范要求以外的輸入能夠判斷出這個輸入不符合規范要求，並能有合理的處理方式。

㈨ rsa演算法中的mod運算

15^27(mod 33)=15*15^26( mod 33)=15*(15^2)^13(mod 33)=15*27^13(mod 33)=15*27*27^12(mod 33)=9*(27^4)^3(mod 33)=9*9^3(mod 33)=9^4(mod 33)=27(mod 33)
不知道樓主看懂沒,簡言之就是把乘方分開處理,

㈩ 數學的各種演算法

演算法（Algorithm）是指解題方案的准確而完整的描述，是一系列解決問題的清晰指令，演算法代表著用系統的方法描述解決問題的策略機制。也就是說，能夠對一定規范的輸入，在有限時間內獲得所要求的輸出。如果一個演算法有缺陷，或不適合於某個問題，執行這個演算法將不會解決這個問題。不同的演算法可能用不同的時間、空間或效率來完成同樣的任務。一個演算法的優劣可以用空間復雜度與時間復雜度來衡量。
演算法中的指令描述的是一個計算，當其運行時能從一個初始狀態和（可能為空的）初始輸入開始，經過一系列有限而清晰定義的狀態，最終產生輸出並停止於一個終態。一個狀態到另一個狀態的轉移不一定是確定的。隨機化演算法在內的一些演算法，包含了一些隨機輸入。
形式化演算法的概念部分源自嘗試解決希爾伯特提出的判定問題，並在其後嘗試定義有效計算性或者有效方法中成形。這些嘗試包括庫爾特·哥德爾、Jacques Herbrand和斯蒂芬·科爾·克萊尼分別於1930年、1934年和1935年提出的遞歸函數，阿隆佐·邱奇於1936年提出的λ演算，1936年Emil Leon Post的Formulation 1和艾倫·圖靈1937年提出的圖靈機。即使在當前，依然常有直覺想法難以定義為形式化演算法的情況。
一個演算法應該具有以下五個重要的特徵：
有窮性
（Finiteness）
演算法的有窮性是指演算法必須能在執行有限個步驟之後終止；
確切性
(Definiteness)
演算法的每一步驟必須有確切的定義；
輸入項
(Input)
一個演算法有0個或多個輸入，以刻畫運算對象的初始情況，所謂0個輸入是指演算法本身定出了初始條件；
輸出項
(Output)
一個演算法有一個或多個輸出，以反映對輸入數據加工後的結果。沒有輸出的演算法是毫無意義的；
可行性
(Effectiveness)
演算法中執行的任何計算步驟都是可以被分解為基本的可執行的操作步，即每個計算步都可以在有限時間內完成（也稱之為有效性）。
一、數據對象的運算和操作：計算機可以執行的基本操作是以指令的形式描述的。一個計算機系統能執行的所有指令的集合，成為該計算機系統的指令系統。一個計算機的基本運算和操作有如下四類：[1]
1.算術運算：加減乘除等運算
2.邏輯運算：或、且、非等運算
3.關系運算：大於、小於、等於、不等於等運算
4.數據傳輸：輸入、輸出、賦值等運算[1]
二、演算法的控制結構：一個演算法的功能結構不僅取決於所選用的操作，而且還與各操作之間的執行順序有關。
演算法可大致分為基本演算法、數據結構的演算法、數論與代數演算法、計算幾何的演算法、圖論的演算法、動態規劃以及數值分析、加密演算法、排序演算法、檢索演算法、隨機化演算法、並行演算法，厄米變形模型，隨機森林演算法。
演算法可以宏泛地分為三類：
一、有限的，確定性演算法 這類演算法在有限的一段時間內終止。他們可能要花很長時間來執行指定的任務，但仍將在一定的時間內終止。這類演算法得出的結果常取決於輸入值。
二、有限的，非確定演算法 這類演算法在有限的時間內終止。然而，對於一個（或一些）給定的數值，演算法的結果並不是唯一的或確定的。
三、無限的演算法 是那些由於沒有定義終止定義條件，或定義的條件無法由輸入的數據滿足而不終止運行的演算法。通常，無限演算法的產生是由於未能確定的定義終止條件。
希望我能幫助你解疑釋惑。