最小二乘演算法原理

① 最小二乘法的原理是什麼怎麼使用

最小二乘法（又稱最小平方法）是一種數學優化技術。它通過最小化誤差的平方和尋找數據的最佳函數匹配。利用最小二乘法可以簡便地求得團侍亂未知的數據，並使得這些求得的數據與實際數據之間談帆誤差的平方和為最小。最小二乘法還可用於曲線擬合。其他一些優化問題也可通過最小化能量或最大化熵用最小二乘法來表達。

在我們研究兩個變數（x,y）之間的相互關系時，通常可以得到一系列成對的數據（x1,y1.x2,y2... xm,ym）；將這些數據描繪在x -y直角坐標系中，若發現這些點在一條直線附近，可以令這條直線方程如（式1-1）。

最小時，可用函數 φ 對a0、a1求偏導數，令這兩個偏導數等於零。

∑2(a0 + a1*Xi - Yi）=0（式1-4)

∑2Xi（a0 +a1*Xi - Yi）=0（式1-5)

亦即：

na0 + （∑Xi ) a1 = ∑Yi （式1-6)

（∑Xi ) a0 + （∑Xi^2 ) a1 = ∑（Xi*Yi) （式1-7)

得到的兩個關於a0、 a1為未知數的兩個方程組，解這兩個方程組得出：

a0 = （∑Yi) / n - a1（∑Xi) / n （式1-8)

a1 = [n∑(Xi Yi) - （∑Xi ∑Yi)] / (n∑Xi^2 -∑Xi∑Xi)（式1-9)

這時把a0、a1代入（式1-1）中， 此時的(式1-1）就是我們回歸的一元線性方程即：數學模型。

在回歸過程中，回歸的關聯式不可能全部通過每個回歸數據點（x1,y1. x2,y2...xm,ym），為了判斷關聯式的好壞，可藉助相關系數「R」，統計量「F」，剩餘標准偏差「S」進行判斷；「R」越趨近於 1 越好；「F」的絕對值越大越好；「S」越趨近於 0 越好。

R = [∑XiYi - m （∑Xi / m）（∑Yi / m)]/ SQR{[∑Xi2 - m （∑Xi / m)2][∑Yi2 - m （∑Yi / m)2]} （式1-10) *

在（式1-10）中，m為樣本容量，即實驗次數；Xi、Yi分別為任意一組實驗數據X、Y的數值。

② 簡述最小二乘估計原理。

最小二乘估計的基本原理

對於x和y的n對觀察值，用於描述其關系的直線有多條，究竟用哪條直線來代表兩個變數之間的關系，需要有一個明確的原則。

這時用距離各觀測點最近的一條直線，用它來代表x與y之間的關系與實際數據的誤差比其它任何直線都小。根據這一思想求得直線中未知常數的方法稱為最小二乘法，即使因變數的觀察值與估計值之間的離差平方和達到最小來求得µº和µ¹的方法。

(2)最小二乘演算法原理擴展閱讀

例子

已知有一個這樣的方程組：

Ax=bAx=b

其中A∈Rm×nA∈Rm×n ; x∈Rn×kx∈Rn×k, b∈Rm×kb∈Rm×k

當 m=nm=n 時，且 ranA=nranA=n 時，這是一個適定方程組，有唯做盯一解 x=A−1bx=A−1b

當 m<nm<n 時，或者 ranA<nranA<n 時，這是一個欠定方程組，有無窮多個解。對於這種情況，我們使用 ran(A)ran(A) 中與 bb 距離最近的向量對應的 xx 作為最小二乘解。

而相應的ran(A)ran(A) 中的這個向量就是 bb 在空間 ran(A)ran(A) 中的投影。

當 m>nm>n 時，即方程的個數大於未知數的個數，最小二乘超定系統問題。超定問題是最小二乘的關鍵，最小二乘的的意思就純友和是最小化殘差(resial)的平方和。

給定 mm 個數據，(a1,b1)(a1,b1), (a2,b2)(a2,b2),…,(am,bm)(am,bm), 以及一個模型函數 b=f(a,x)b=f(a,x) ，其中{x1,x2,...,xn}{x1,x2,...,xn}就是要估計的參數，該參數的估計就是通過最小化如下殘差的平方和告液求得：

S=∑mi=1∥bi−f(ai,xi)∥2S=∑i=1m‖bi−f(ai,xi)‖2

其中殘差為 ri=bi−f(ai,xi)ri=bi−f(ai,xi) 根據殘差函數關於未知參數是否線性，可以最把小二乘分為線性最小二乘和非線性最小二乘。

③ 最小二乘法的基本原理是什麼

最小二乘法，實際上是想讓擬合的直線方程與實際的誤差最小。由於誤差有正有負，所以，如果用誤差的和來作為指標，那最後的結果是零，指導意義不能滿足要求。如果用誤差的絕對值來計算的話，那應該好一些，但由於函數計算中，絕對值的和的計算和分析是比較復雜的，也不易。所以，人們發明了用誤友櫻世差的平方來作為擬合的指標，由於平方總是正的，在統計計算中比較方便，所以頌襲誤差的最小平方和（最小二乘好肢法）就應運而生了。

④ 最小二乘法的基本原理是什麼

最小二乘法：

總離差猜敏改不能用n個離差之和

來表示，通常是用離差的平方和，即

作為總離差，並使之達到最小，這樣回歸直線就是所有直線中Q取最小值的那拿頃一條，這種使「離差平方和最小」的方法，叫做最小二乘法：

由於絕對值使得計算不變，在實際應用中人穗判們更喜歡用：Q=（y1-bx1-a）²+（y2-bx-a²）+。。。+（yn-bxn-a）²

這樣，問題就歸結於：當a，b取什麼值時Q最小，即到點直線y=bx+a的「整體距離」最小。

用最小二乘法求回歸直線方程中的a,b有下面的公式

⑤ 什麼是最小二乘法原理

最小二乘法是一種數學優化技術，它通過最小化誤差的平方和找到一組數據的最佳函數匹配。
最小二乘法是用最簡的方法求得一些絕對不可知的真值，而令誤差平方之和為最小。
最小二宴檔乘法通常用於曲線擬合。很多其他的優化問題也可通過最小化能量或最大化熵用最小二乘形式表達。
比如從最簡單的一次函數y=kx+b講起
已知坐標軸上有些點(1.1,2.0),(2.1,3.2),(3,4.0),(4,6),(5.1,6.0),求經過這些點的圖象的一次函數關系式臘頃.
當然這條直線不可能經過每一個點,我們只要做到5個點到這條直線的距離晌局亂的平方和最小即可,這這就需要用到最小二乘法的思想.然後就用線性擬合來求.講起來一大堆。