求最短路徑演算法

Ⅰ 求寫最短路徑演算法。由A地到E地，途經B（B1，B2，B3）C（C1，C2，C3）地，基於矩陣乘法求最短路徑。給出步驟

們把求A →E 的最短路分解為四個階段A →B →C→D →E 來求解。每一個階段可以用一個矩陣來表示，這個矩陣稱為權矩陣。相鄰階段的路徑可以用權矩陣的乘積來表示。但這里的矩陣乘法和普通矩陣乘積運算的區別是:普通矩陣乘積其對應元素是相應元素乘積的代數和,這里把元素相乘改為相加,元素的代數和改為取小運算,如果不同層節點間沒有連接,則視它們之間的距離為無窮大. 如果是求極大,改為取大運算,此時如果不同層節點間沒有連接，則視它們的距離為0。
如下：
由A地到B地的距離可表示為：A[2 5 8]
由B地到C地的權矩陣可表示為
[3，6，5；7，10，8；4，9，6]
因此由A到C的權矩陣為[2，5，8][3，6，5；7，10，8；4，9，6]＝[5，8，7]
因此由A到D的權矩陣為[5，8，7)][7，5；3，4；5，2]＝[11 ，9]
由A→E的權矩陣為：[11 ，9][4，2)]=[15,11]
因此從家裡到學校的最短距離為11百米，最近的路徑為從A地出發經過B1地C1地D2地到達E地。

下面我們給出基於「矩陣乘法」求解最短路的演算法:
第一階段:計算出圖中從起始點到終點最短路的長度.
step1 劃分出該網路圖中的層次關系(網路劃分為N 層,起點為第一層,終點為第N 層) ;
step2 依次給出從第i 層到第i + 1 層的權矩陣( i= 1 ,2 , …, N21) ; (若第i 層有m 個頂點;第i + 1 層有n
個頂點, 則從第i 層到第i + 1 層的權矩陣為m *n
階) .
step3 按照我們定義的矩陣乘法計算出最短路的
數值.
第二階段:尋找最短路所經過的中間點.
(利用第一階段中step2 的數據) 計算出從第i 層到
終點的最短路, 對比與i21 層到終點的最短路, 從而確
定出第i 層上最短路所經過的頂點( i = 2 , …, N21) .

Ⅱ 【16】在圖中，求一個頂點到其他頂點的最短路徑的演算法思想

在圖中，求一個頂點到其他頂點的最短路徑，常見的演算法有Dijkstra、Bellman-Ford以及Floyd。其中，Dijkstra演算法是從初始頂點開始依次向周圍擴散，採用廣度優先的思想，得到各個點的最短路徑。時間復雜度為O(n)。

貝爾曼-福特演算法則是對每一條邊進行編號，然後循環遍歷邊，計算邊的終點數據，即終點 = 起點 + 邊的權值。當圖有m個頂點時，需要遍歷m-1次以確保結果的正確性。這種方法適用於可能存在負權重邊的情況。

Floyd演算法不同，它能夠計算任意兩個頂點之間的最短距離。其核心思想是從任意頂點i開始，通過任意頂點j，判斷是否能夠以更短的距離到達其他任意頂點k。這種方法的時間復雜度為O(n^2)，其中n是圖中頂點的數量。

Dijkstra演算法的執行步驟如下：首先將所有頂點的距離設置為無窮大，僅將起點距離設置為0。然後從起點出發，按照廣度優先遍歷，更新鄰接點的最短距離。直到所有頂點都被確認，即完成所有最短路徑的計算。

貝爾曼-福特演算法的執行步驟包括：初始化邊的編號，然後從第1條邊開始，計算每個節點的新值。執行m-1次遍歷後，即可得到正確的結果，其中m是頂點的數量。如果邊的編號順序不同，可能需要多次遍歷才能得到正確結果。

Floyd演算法的執行步驟較為直觀，其核心在於通過遍歷所有頂點對，檢查是否通過其他任意頂點能夠實現更短的路徑。這種方法的時間復雜度為O(n^2)，適用於計算任意兩個頂點之間的最短路徑。

綜上所述，這三種演算法各有優缺點。Dijkstra演算法適用於圖中沒有負權重邊的情況，並且在時間復雜度上相對較低；貝爾曼-福特演算法能夠處理負權重邊，但時間復雜度較高；Floyd演算法適用於計算任意兩個頂點之間的最短路徑，但在時間復雜度上相對較慢。選擇哪種演算法取決於具體問題的需求和圖的特性。