加密插值

㈠ matlab差值，現在有數據 （x,y,z） 現在將這些點加密，z線性插值就可以，請問怎麼編

你沒給數據的話只能告訴你一下函數了。help 一下interp2函數，這是做二維插值的，另外，插值前請柵格化x，y，用meshgrid函數

㈡ matlab插值

不清楚你的具體問題，給你如下的例子。你可以參考下。
§2 插值問題

在應用領域中，由有限個已知數據點，構造一個解析表達式，由此計算數據點之間的函數值，稱之為插值。
實例：海底探測問題
某公司用聲納對海底進行測試，在5×5海里的坐標點上測得海底深度的值，希望通過這些有限的數據了解更多處的海底情況。並繪出較細致的海底曲面圖。
一、一元插值
一元插值是對一元數據點(xi,yi)進行插值。
1． 線性插值：由已知數據點連成一條折線，認為相臨兩個數據點之間的函數值就在這兩點之間的連線上。一般來說，數據點數越多，線性插值就越精確。
調用格式：yi=interp1(x,y,xi,』linear』) %線性插值
zi=interp1(x,y,xi,』spline』) %三次樣條插值
wi=interp1(x,y,xi,』cubic』) %三次多項式插值
說明：yi、zi、wi為對應xi的不同類型的插值。x、y為已知數據點。
例1：已知數據：
x 0 .1 .2 .3 .4 .5 .6 .7 .8 .9 1
y .3 .5 1 1.4 1.6 1.9 .6 .4 .8 1.5 2
求當xi=0.25時的yi的值。
程序：
x=0:.1:1;
y=[.3 .5 1 1.4 1.6 1 .6 .4 .8 1.5 2];
yi0=interp1(x,y,0.025,'linear')
xi=0:.02:1;
yi=interp1(x,y,xi,'linear');
zi=interp1(x,y,xi,'spline');
wi=interp1(x,y,xi,'cubic');
plot(x,y,'o',xi,yi,'r+',xi,zi,'g*',xi,wi,'k.-')
legend('原始點','線性點','三次樣條','三次多項式')
結果：yi0 = 0.3500

要得到給定的幾個點的對應函數值，可用：
xi =[ 0.2500 0.3500 0.4500]
yi=interp1(x,y,xi,'spline')
結果：
yi =1.2088 1.5802 1.3454
(二) 二元插值
二元插值與一元插值的基本思想一致，對原始數據點(x,y,z)構造見世面函數求出插值點數據(xi,yi,zi)。
一、單調節點插值函數，即x,y向量是單調的。
調用格式1：zi=interp2(x,y,z,xi,yi,』linear』)
『liner』 是雙線性插值 (預設)
調用格式2：zi=interp2(x,y,z,xi,yi,』nearest』)
』nearest』 是最近鄰域插值
調用格式3：zi=interp2(x,y,z,xi,yi,』spline』)
『spline』是三次樣條插值
說明：這里x和y是兩個獨立的向量，它們必須是單調的。z是矩陣，是由x和y確定的點上的值。z和x,y之間的關系是z(i,:)=f(x,y(i)) z(:,j)=f(x(j),y) 即：當x變化時，z的第i行與y的第i個元素相關，當y變化時z的第j列與x的第j個元素相關。如果沒有對x,y賦值，則默認x=1:n, y=1:m。n和m分別是矩陣z的行數和列數。
例2：已知某處山區地形選點測量坐標數據為：
x=0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
y=0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6
海拔高度數據為：
z=89 90 87 85 92 91 96 93 90 87 82
92 96 98 99 95 91 89 86 84 82 84
96 98 95 92 90 88 85 84 83 81 85
80 81 82 89 95 96 93 92 89 86 86
82 85 87 98 99 96 97 88 85 82 83
82 85 89 94 95 93 92 91 86 84 88
88 92 93 94 95 89 87 86 83 81 92
92 96 97 98 96 93 95 84 82 81 84
85 85 81 82 80 80 81 85 90 93 95
84 86 81 98 99 98 97 96 95 84 87
80 81 85 82 83 84 87 90 95 86 88
80 82 81 84 85 86 83 82 81 80 82
87 88 89 98 99 97 96 98 94 92 87
其地貌圖為：
對數據插值加密形成地貌圖。
程序：
x=0:.5:5;
y=0:.5:6;
z=[89 90 87 85 92 91 96 93 90 87 82
92 96 98 99 95 91 89 86 84 82 84
96 98 95 92 90 88 85 84 83 81 85
80 81 82 89 95 96 93 92 89 86 86
82 85 87 98 99 96 97 88 85 82 83
82 85 89 94 95 93 92 91 86 84 88
88 92 93 94 95 89 87 86 83 81 92
92 96 97 98 96 93 95 84 82 81 84
85 85 81 82 80 80 81 85 90 93 95
84 86 81 98 99 98 97 96 95 84 87
80 81 85 82 83 84 87 90 95 86 88
80 82 81 84 85 86 83 82 81 80 82
87 88 89 98 99 97 96 98 94 92 87];
mesh(x,y,z) %繪原始數據圖
xi=linspace(0,5,50); %加密橫坐標數據到50個
yi=linspace(0,6,80); %加密縱坐標數據到60個
[xii,yii]=meshgrid(xi,yi); %生成網格數據
zii=interp2(x,y,z,xii,yii,'cubic'); %插值
mesh(xii,yii,zii) %加密後的地貌圖
hold on % 保持圖形
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %生成網格數據
plot3(xx,yy,z+0.1,'ob') %原始數據用『O』繪出

2、二元非等距插值
調用格式：zi=griddata(x,y,z,xi,yi,』指定插值方法』)
插值方法有： linear % 線性插值 (默認)
bilinear % 雙線性插值
cubic % 三次插值
bicubic % 雙三次插值
nearest % 最近鄰域插值
例：用隨機數據生成地貌圖再進行插值
程序：
x=rand(100,1)*4-2;
y=rand(100,1)*4-2;
z=x.*exp(-x.^2-y.^2);
ti=-2:.25:2;
[xi,yi]=meshgrid(ti,ti); % 加密數據
zi=griddata(x,y,z,xi,yi);% 線性插值
mesh(xi,yi,zi)
hold on
plot3(x,y,z,'o')

㈢ 我有一些散點（x,y,z）,x，y為坐標，z表示高程。MATLAB如何對地形圖散點進行插值

x=[129 140 103.5 88 185.5 195 105 157.5 107.5 77 81 162 162 117.5];
y=[7.5 141.5 23 147 22.5 137.5 85.5 -6.5 -81 3 56.5 -66.5 84 -33.5];
z=-[4 8 6 8 6 8 8 9 9 8 8 9 4 9];
xi=75:1:200;
yi=-50:1:150;
zi=griddata(x,y,z,xi,yi','cubic')
subplot(1,2,1), plot(x,y,'*')
subplot(1,2,2), mesh(xi,yi,zi)

㈣ 疊前地震數據重建方法研究

霍志周

（中國石化石油勘探開發研究院，北京 100083）

摘 要 地震勘探的目的是為了獲得地下構造的精確成像。由於人為因素和環境原因，地震數據在空間方向上往往是不規則采樣或缺失采樣的，因此經常需要在空間方向對缺失的地震數據進行重建。最小范數傅立葉重建方法是基於估算非規則采樣地震數據傅立葉系數的方法，一旦准確求得這些系數，就可以通過傅立葉反變換將地震數據重建到任何合適的空間位置。該方法的主要優點是既可以處理規則采樣數據有空道的情況，也可以處理非規則采樣的數據；該方法的缺點是無法重建含空間假頻以及含空隙過大的地震數據。針對含空間假頻的地震數據重建問題，本文通過將最小范數傅立葉重建方法和多步自回歸方法相結合，較好地克服了最小范數傅立葉重建方法的缺點。通過對不同的理論和實際地震數據算例的驗證，表明了該重建方法的有效性和實用性。

關鍵詞 地震數據重建 最小范數反演 傅立葉變換 多步自回歸

Research on Pre－stack Seismic Data Reconstruction Method

HUO Zhizhou

（Exploration and Proction Research Institute，SINOPEC，Beijing 100083，China）

Abstract The objective of exploration seismology is to obtain an accurate image of the subsurface.Due to human－related reasons and environmental circumstances，more often than not the seismic data can be irregularly sampled or missing sampled in spatial direction.Therefore，it often needs to reconstruct missing seismic data along spatial direction.Fourier reconstruction with minimum norminversion is based on estimating the Fourier coefficients that describe the irregularly sampled seismic data，and once these coefficients have been obtained， seismic data can be reconstructed on any suitable spatial location via inverse Fourier transformation.The main advantages of Fourier reconstruction are flexible，as it can not only handle regularly sampled data with gaps，but also can handle irregularly sampled data.The disadvantage of this method is that the method can』t handle spatially aliased seismic data and seismic data with large gaps.In this article，for reconstruction question of spatially aliased seismic data，Fourier reconstruction with minimum norminversion and multi－step autoregressive method is combine.This method overcomes the shortcomings of the Fourier reconstruction method.Several different theoretical and practical seismic data would be reconstructed using multi－step autoregressive method，that prove the effectiveness and practicality of this method。

Key words seismic data reconstruction；minimum norm inversion；Fourier transforms；multistep autoregressive

眾所周知，地震數據的採集嚴重影響地震數據最終的成像結果，而地震數據採集中很常見的一個問題就是地震數據沿著空間方向是非規則采樣或是稀釋采樣的。地震數據在空間方向上稀疏采樣的原因主要是出於經濟因素的考慮，稀疏采樣比較經濟，但意味著採集到較少的數據，而且會導致地震數據中含有空間假頻，尤其是在3D地震勘探中。引起地震數據在空間方向上非規則采樣的原因主要有：地表障礙物的存在（建築物、道路、橋梁等）或地形條件因素（禁采區和山區、森林、河網地區等）、儀器硬體（地震檢波器、空氣槍、電纜等）問題引起的採集壞道以及海洋地震數據採集時電纜的羽狀漂流等。在地震數據處理過程中，非規則采樣和稀疏采樣不但會引起人為誤差，而且會對基於多道技術的DMO、FK域濾波、速度分析、多次波衰減、譜估計和波動方程偏移成像等方法的處理結果帶來嚴重的影響，因此通過對原有的地震數據進行重建，使其包含的地球物理信息更加真實地反映地下地質體的地球物理特徵，使得後續地震數據處理能夠更好地滿足對復雜地質構造進行精細刻畫的要求，為油氣勘探提供更有效的指示和幫助等具有重要的現實意義^［1，2］。

基於傅立葉變換的地震數據重建方法不需要地質或地球物理假設，只要求地震數據是空間有限帶寬的，並且計算效率高。傅立葉重建方法利用最小二乘反演估算非規則采樣數據的傅立葉系數，如何更好地估算傅立葉系數是該方法的核心。一旦傅立葉系數被正確估算出來，數據可以重建到任意采樣網格上。Duijndam等^［3］將傅立葉重建方法應用於非規則采樣地震數據的規則化上，並成功解決了參數選擇等一系列問題。Hindriks和Duijndam^［4］將該方法擴展到3D地震數據重建中。Liu和Sachhi^［5］提出了最小加權范數插值的傅立葉重建方法，該帶限重建方法利用自適應譜加權范數的正則化項來約束反演方程的解，將數據的帶寬和頻譜的形狀作為帶限地震數據重建問題的先驗信息，因此得到了比傳統的帶限數據傅立葉重建方法更好的解，但沒有給出好的反假頻方法。Zwartjes和Sachhi^［6］提出了使用非二次型正則化項的稀疏約束傅立葉重建方法，以改善地震數據含較寬的空道時的重建效果，並較好地解決了含有空間假頻的地震數據的重建問題。傅立葉重建方法不但可以重建規則采樣的地震數據，而且可以重建非規則和隨機采樣的地震數據，但是不能很好地重建含有空間假頻的地震數據。

本文對基於最小范數解的傅立葉地震數據重建方法的研究分析，通過最小二乘反演方法得到傅立葉域的系數來進行地震數據重建。為了改進最小范數傅立葉重建方法不能重建空道間距過大的地震數據和無法重建含有空間假頻的地震數據的缺點，本文採用了最小范數傅立葉重建方法和多步自回歸方法相結合的思想進行地震數據重建，該方法不但能重建空道間距大的地震數據，而且可以重建含有空間假頻的地震數據。

1 最小范數傅立葉重建方法

傅立葉重建是從非規則采樣數據上恢復信號的一種方法，它是基於采樣定理的，也就是說一個帶限的連續信號能夠從規則采樣數據中恢復。如果非規則采樣信號的平均采樣率超過Nyquist采樣率，則非規則采樣的信號也可以重建。在規則采樣的情況下，離散傅立葉變換是正交變換。但是當采樣是非規則時，傅立葉變換的基函數不再是正交的，這就意味著直接用離散傅立葉變換計算傅立葉系數將產生誤差。利用最小二乘反演計算傅立葉系數就是一種補救措施^［7］。

假設數據是在空間方向上是不規則采樣的，每個采樣點的位置分別為［x₀，…，x_n，…，x_N－1］。使用真實的采樣位置和采樣間隔的中點法則，非規則采樣數據的離散傅立葉變換可由以下離散求和的形式表達：

油氣成藏理論與勘探開發技術（五）

上式為非均勻離散傅立葉變換。其中，空間采樣間隔△x_n定義為：

油氣成藏理論與勘探開發技術（五）

在波數域規則采樣意味著數據在空間域是周期性的，所以 X為非規則采樣數據的長度。如果直接用NDFT（Non－uniform Discrete Fourier Transform）計算波數，則由於采樣非規則而會引起極大的誤差，因此實際計算時通常採用最小二乘反演來計算波數。

首先定義由規則采樣波數計算任意空間位置采樣數據的數學變換，把它當作正演模型。假設帶限數據的波數域帶寬為［－M△k，M△k］，在波數域規則采樣，△k為空間波數采樣間隔，則由波數域重建任意空間位置x_n的離散傅立葉反變換為

油氣成藏理論與勘探開發技術（五）

記系數矩陣為 不規則采樣數據為d_n＝P（x_n，ω），待求的規則波數為

油氣成藏理論與勘探開發技術（五）

油氣成藏理論與勘探開發技術（五）

在實際的地震數據處理中，由於數據可能不完全是帶限的，所以部分空間波數成分會超出定義的頻帶范圍，這些超出的成分構成了上述正演模型的誤差和噪音，因此在上式中需要雜訊項：

油氣成藏理論與勘探開發技術（五）

Duijndam等^［3］通過最小二乘反演估計得到非規則采樣數據d（x_n，t）的空間波數 從非規則采樣數據向量d中計算出未知的規則采樣的傅立葉系數向量 可以歸結為求解一個不適定線性反演問題，需要對其進行正則化，藉助一些先驗信息構建出合適的解。可以使用任何所需的參數估計技術，首先我們假設噪音n＝N（0，C_n）和先驗信息

油氣成藏理論與勘探開發技術（五）

油氣成藏理論與勘探開發技術（五）

的最大值來進行反演，其中 是似然函數， 表示模型向量的先驗分布。分別滿足

油氣成藏理論與勘探開發技術（五）

油氣成藏理論與勘探開發技術（五）

求 的最大後驗概率解轉化為求下面目標函數的最小化解，建立目標函數

油氣成藏理論與勘探開發技術（五）

最小化目標函數得：

油氣成藏理論與勘探開發技術（五）

這里， 為計算要得到的規則采樣波數，A^H為矩陣A的共軛轉置矩陣， 為先驗模型的協方差矩陣。

下面我們對（9）式進行簡化。首先對於地震數據，通常沒有先驗模型信息，因此 一般沒有理由假設空間波數之間的相關性，所以 是對角陣，通常的形式為 是先驗模型的方差。准確地表達噪音的協方差矩陣C_n是不現實的，因為關於噪音詳細的信息是未知的。Duijndam等^［3］給出的噪音協方差矩陣為C_n ＝c²W^－1，c是常數；W為權系數組成的對角陣，即W＝diag（△x_n）。根據離散傅立葉變換理論，應選擇△k≤2π/X，這里X＝∑_n△x_n，為數據的長度，即X＝x_N－1－x₀，則（9）式變為

油氣成藏理論與勘探開發技術（五）

其中， 稱為阻尼因子。λ可以通過L－curve或者廣義交叉驗證（GCV）方法確定，最佳的選取方法是^［4］：

油氣成藏理論與勘探開發技術（五）

式中：F為用戶給定的常數，表示期望的數據信噪比值。但在實際地震數據重建過程中，λ一般取A^HWA矩陣主對角元素的1％。

方程（10）的解稱為最小范數解，也稱為阻尼最小二乘解，該重建方法稱為最小范數傅立葉重建方法（Fourierreconstruction with minimum norminversion，FRMN）^［8］。通常非規則采樣時，式（10）的系數矩陣AHWA為病態的Toeplitz矩陣。當不加權矩陣W時，A^HA形成的Toeplitz矩陣病態程度受非規則采樣數據之間的緻密程度控制。非規則采樣地震數據中地震道靠得越近，間距△x越小，則Toeplitz矩陣的條件數就越大，求解越困難；加上權系數矩陣W後，A^HWA形成的Toeplitz矩陣病態程度受各數據之間的最大空隙△x_a的大小控制，△x_a＝max（△x_n）。系數矩陣A^HWA的條件數與最大空隙△x_a的關系如下^［7］：

油氣成藏理論與勘探開發技術（五）

由上式可見，最大空隙△x_a越大，矩陣A^HWA病態程度越大，求解方程時就越難以收斂。如果定義空間Nyquist采樣間隔為

油氣成藏理論與勘探開發技術（五）

則當△x_a≥3△x_Nyq時，系數矩陣A^HWA已經無法保證迭代收斂^［3］。也就是說當非規則采樣地震數據的空隙太大時，不能得到滿意的重建效果。這是傅立葉重建方法的固有弊病。

方程（10）實際求解時一般在頻率域逐頻率求解。在求解方程時，由於低頻部分只需要很小的波數帶寬就能完整重建數據，因此求解方程（10）的規模小，求解相對容易；而高頻部分則需要較大的波數帶寬，因此求解式（10）中的未知數多，求解需要更多的計算時間，而且解也不穩定。因此，利用最小范數傅立葉方法重建的地震數據低頻部分有較高的精度。

2 多步自回歸方法

自回歸模型（預測濾波器）在信號處理領域具有廣泛的應用，它是一種模擬信號演化的技術^［9］。自回歸模型可以應用於信號預測和噪音消除^［10］、地震道內插^{［11，12］}以及參數頻譜分析^［13］等方面。t－x域的線性同相軸變換到f－x域是復正弦函數，該函數可以通過自回歸運算元來模擬。Spitz^［11］和Porsani^［12］提出了自回歸的重建方法，成功地解決了規則采樣含空間假頻地震數據的插值問題，這些方法是利用低頻信息來恢復數據的高頻部分。但這種方法只適用原始地震數據是空間規則采樣的情況，而且只能用於加密插值。

多步自回歸方法（multistep autoregressive，MSAR）^［14］是對Spitz單步預測方法的拓展，使其應用范圍從只能進行道加密插值擴展到能對不規則缺道地震數據進行插值重建。假設地震數據包含有限個線性同相軸，由N個等間距的地震道組成，部分地震道是缺失的。首先將地震數據從時間域變換到頻率域，在f－x域，地震數據可以用向量x（f）表示，x^T（f）＝［x₁（f），x₂（f），x₃（f），…，x_N（f）］，其中只有M道數據是已知的。分別用n＝｛n（1），n（2），n（3），…，n（M）｝和m＝｛m（1），m（2），m（3），…，m（N－M）｝表示已知數據和未知數據（缺失道）的下標，目標是從x_n（f）中恢復出x_m（f）。

由L個近似線性的同相軸構成的地震數據在f－x域可表示為

油氣成藏理論與勘探開發技術（五）

式中：△x和△f分別表示空間域和頻率域采樣間隔；p_j表示第j個線性同相軸的斜率；A_j表示振幅。對於每個頻率成分f，上式表明在f－x域每個線性同相軸都可以用復諧波函數來表示。考慮當△x′＝α△x，△f′＝△f/α時，得到：

油氣成藏理論與勘探開發技術（五）

此外，通過自回歸模型的形式，可將L個諧波函數的疊加表達為

油氣成藏理論與勘探開發技術（五）

其中P（j，n△f）表示預測濾波因子。同樣的，對於△x′和△f′，有

油氣成藏理論與勘探開發技術（五）

比較表達式（15）、（16）和（17），可得：

油氣成藏理論與勘探開發技術（五）

該式即為多步自回歸方法的基礎。它表明在頻率軸上，對於預測濾波器的每個成分都是可預測的。這就意味著，如果已知某些頻率的預測濾波器，可以預測得到其他頻率的預測濾波器。也就是說，我們可以從傅立葉方法重建得到的無空間假頻的低頻成分的預測濾波器中提取高頻成分的預測濾波器，進而重建得到缺失地震道的高頻成分。

假設用最小范數傅立葉方法重建得到的低頻數據的頻率范圍為f∈［f_minr，f_maxr］，在f－x域線性同相軸向前和向後預測的多步預測濾波器可以由下列方程組確定：

油氣成藏理論與勘探開發技術（五）

式中：*表示復共軛；L表示預測濾波器的長度；P_j（f）表示預測濾波器。這些方程對應一種特殊類型的自回歸模型，向前自回歸方程（19）和向後自回歸方程（20）是通過每次向前和向後跳α步來實現的。通過自回歸方程（19）和（20）可以計算出在α步時的預測濾波器P_j（f）。參數α＝1，2，…，α_max是步長因子，用於從頻率f中提取頻率αf的預測濾波器。由於步長因子是一個正整數，很顯然低頻部分為數據重建演算法提供了重要的信息。步長上限α_max依賴於地震道數N和預測濾波器的長度L，該參數由下式給出

油氣成藏理論與勘探開發技術（五）

這里［.］表示取整數部分。

當用多步自回歸方法從已重建的低頻數據x（f）中計算出高頻數據x（f′）的預測濾波器時，同Spitz插值方法相似，可以通過已知的數據和預測濾波器重建出缺失的數據。向前和向後自回歸重建方程為

油氣成藏理論與勘探開發技術（五）

設地震數據中含有L個不同斜率的線性同相軸，地震數據的有效頻帶范圍為［f_min，f_max］，含空間假頻的不規則道缺失的地震數據的重建實施步驟為：(1)首先將原始地震數據變換到f－x域，用最小范數傅立葉方法重建無空間假頻的低頻段［f_minr，f_maxr］的地震數據，得到低頻段地震數據，其中f_minr＝f_minr。對於不含空間假頻的有限帶寬信號而言，FRMN重建得到的地震數據精度較高；(2)運用方程（19）和（20），從低頻段［f_minr，f_maxr］中提取高頻成分的預測濾波器P_j（f′）；(3)利用已知道數據和預測濾波器P_j（f′）重建缺失的地震數據；(4)最後將重建後的地震數據反變換回t－x域。遇到復雜地震數據時，同相軸可能不滿足線性假設，可將地震數據劃分成多個小時空窗，分窗口進行重建。綜上所述，從無空間假頻低頻段［f_minr，f_maxr］數據中提取缺失數據高頻成分f′＝αf的預測濾波器，然後利用已知數據和預測濾波器計算缺失數據的高頻成分，最終完成多步自回歸重建。

3 理論數據算例

為了驗證多步自回歸演算法的有效性，本節中我們將該演算法應用於理論數據，進行缺失道的重建以及加密插值。第一個理論數據如圖1（a）所示，是由7個不同斜率的線性同相軸組成，其f－k譜含有嚴重的空間假頻（如圖1（c）所示）。共有81道，道間距為5m，時間采樣間隔為2ms，采樣點數為901。圖1（b）是從原始數據中隨機抽去了40％的地震道後得到的數據。圖1（d）是圖1（b）對應的f－k譜。從圖1（d）中可以看出，由於地震道的缺失而導致f－k譜上產生嚴重的噪音。

圖1 多步自回歸法理論算例

圖2 最小范數傅立葉重建方法與多步自回歸法的理論聯合應用（一）

圖2（a）是利用FRMN方法重建出的低頻數據，其f－k譜如圖2（c）所示。重建出的低頻數據被MSAR演算法用於提取預測濾波器來重建數據的高頻部分。對於數據低頻端的預測濾波器是通過預測濾波器的外推來估計。通過FRMN ＋ MSAR方法重建後的完整數據如圖2（b）所示，其對應的f－k譜如圖2（d）所示，與原始數據的f－k譜（圖1（c））相對比，幾乎完全一樣，由采樣缺失引起的噪音已被消除。與原始數據（圖1（a））相對比，缺失的地震道被填充，線性同相軸的連續性也很好。

圖3 最小范數傅立葉重建方法與多步自回歸法的理論聯合應用（二）

圖4 圖3中數據對應的f－k譜

圖5 最小范數傅立葉重建方法與多步自回歸方法的實際應用

為了進一步驗證演算法在復雜情況下的適用性，我們選取了Marmousi模型數據中的一個單炮數據（圖3（a）），共有96道數據，道間距為25m，時間采樣間隔為4ms，采樣點數為750。隨機抽去了其中的27道數據（圖3（b）），用FRMN ＋ MSAR方法對該數據進行重建，圖3（c）顯示的是用FRMN方法重建的低頻段的數據，圖3（d）顯示的是用FRMN＋MSAR方法重建的完整單炮數據。由於模型很復雜，所以原始單炮數據的f－k譜有空間假頻的存在（圖4（a））。圖4（b）是圖3（b）對應的f－k譜，可以看出含有嚴重的噪音。圖4（c）和圖4（d）分別是3（c）和圖3（d）對應的f－k譜。重建後的數據f－k譜中的噪音消除了，缺失的道也得到了填充，而且同相軸也保持很好的連續性。

圖6 圖5中數據對應的f－k譜

4 實際數據算例

本節我們將對實際數據進行重建，以驗證FRMN ＋MSAR方法的適用性。選取一個共偏移距地震剖面的部分數據（圖5（a）），總共有201道，道間距為12.5m，時間采樣間隔為2ms。隨機抽去其中30％的地震道（圖5（b））進行重建，圖5（c）展示的是FRMN方法重建的低頻段的數據，圖5（d）展示的是FRMN＋MSAR重建的完整數據。圖6（a）、圖6（b）、圖6（c）和圖6（d）分別是圖5（a）、圖5（d）、圖5（c）和圖5（d）對應的f－k譜。可以看出，重建前後數據f－k譜的變化很小。重建後數據的缺失道得到了恢復，且同相軸連續，重建的結果接近於原始數據。

5 結論

本文在最小范數傅立葉重建方法的基礎上，結合多步自回歸方法進行含空間假頻地震數據的重建。多步自回歸方法是對Spitz方法的拓展，也是基於近似線性同相軸的假設。因此在處理復雜地震數據的時候一般難以滿足這個假設，這時可採用小時空窗的方法來進行計算，在小時空窗中可以認為滿足近似線性的假設。但是時空窗太小會使數據量不足，反而會導致重建的結果不好或可能無法重建。眾所周知，為了能夠求解大多數的地球物理問題，必須基於某些假設條件。一般在處理實際數據時，都是部分地違背這些假設的。事實上，對於中等程度彎曲的同相軸本方法同樣能取得比較理想的重建結果，說明本文的重建方法具有很好的穩定性。實際上，對於含有大間距空道的地震數據，該方法同樣取得了較好的重建結果。通過對一些理論數據和實際數據進行重建實驗，驗證了本文中重建方法的有效性和實用性。另外，地震數據的重建效果同原始數據的復雜程度以及譜的性質、缺失地震道的數量及位置和缺失道間距的大小等多方面原因有關，需要進一步研究這些因素對重建演算法的影響。

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㈤ 實體模型的構建

系統提供了根據鑽孔數據來構建地下水三維模型的功能，也提供了根據多源數據（剖面圖、等值線、鑽孔、離散點）構建三維實體模型的功能，但目前多源數據構建三維實體模型的方法還不夠成熟和完善。

圖5—131 從剖面圖中整理提取得鑽孔數據

圖5—132 剖面圖重構前後示意圖

圖5—133 剖面圖的三維顯示

圖5—134 剖面圖的三維查詢

1.基於鑽孔數據的實體模型的構建

根據研究區的鑽孔數據以及從剖面上提取的虛擬鑽孔數據可以很方便的構建地下水三維模型，如果虛擬鑽孔越能夠反映剖面上邊界線的變化趨勢，那麼構建的三維實體模型精度就越高，基於鑽孔數據的實體建模流程如圖5—135所示。

下面詳細論述該建模過程：

（1）選擇鑽孔，提取鑽孔數據，構建構建含水組層面初始DEM三角網。對於特定的建模區域，可能會有數目眾多的鑽孔，這些鑽孔能夠提供的信息包括各個鑽孔的位置（地理坐標）、鑽孔的類型以及含水組的分層信息等。這些信息雖然繁多但相對規整，可以存貯在資料庫中，形成特定區域的鑽孔屬性資料庫以備重復使用。當用戶構建研究區的三維含水組模型時，首先可選取研究區一定數目的鑽孔，然後從鑽孔資料庫中提取各個鑽孔的含水組分層信息作為建模的原始數據，供下面的各個建模步驟使用。

圖5—135 基於鑽孔數據的華北地下水建模流程

圖5—136 含水組骨架模型示意圖

然後從原始鑽孔資料庫中獲取各鑽孔的孔口位置，構建含水組層面初始DEM三角網。這個初始DEM三角網是構建含水組各個層面的基礎，可根據其生成三維含水組模型的骨架結構。但顯然，並非研究區內所有含水組在各個鑽孔中都有揭露（如：圖5—136中鑽孔ZK02就缺失了含水組C—3）。對缺失含水組的處理方法有兩種：①一般的多層DEM建模法是將其當作尖滅含水組進行處理（如圖5—136（a）所示），假定缺失含水組在鑽孔位置處尖滅，那麼該含水組分界面的控制點應該與該層上一層的層底或下一層的層頂（如圖5—136（a）中的P0點）重合。②另一種處理方式認為缺失含水組並非一定在鑽孔位置處尖滅，該含水組可能被流水侵蝕掉一部分後在其他位置而非鑽孔處發生尖滅，因此，可採用一定的插值演算法求出缺失含水組在鑽孔位置處的初始高程（即未被侵蝕前的含水組分界面高程），然後再作相應的調整處理。本文採用後一種方法構建華北地下水的模型。

（2）插值缺失含水組在鑽孔位置處的初始高程。為求出缺失含水組在鑽孔位置處的初始高程，可採用特定的插值演算法（如距離反比加權法、自然鄰近點法、克立格法等）進行計算。

（3）調整高程。對於插值出來的含水組面高程，需要與原始鑽孔數據比較，並進行適當的調整處理。以圖5—136（b）所示的情況為例，含水組面3在鑽孔ZK02處的插值結果既有可能高於點P0（如點P1），也有可能低於點P0（如點P2）；這取決於含水組面上已知控制點的高程和使用的插值演算法。對於插值出來的含水組面高程高於點P0的情況，不需要進行任何特殊的處理，因為在建模的第（7）步（見下文）可以將其調整回來；對於插值結果低於點P0的情況，需要強行將其設定為與點P0的高程相等，因為插值出來的含水組面高程雖然與原始鑽孔數據不符，但建模的第（7）步卻不能將其調整回來，只能在第（3）步先進行高程調整處理。這樣，經過第（2）、（3）步的工作，求出了缺失含水組在鑽孔位置處的初始高程，為下面的建模工作（如含水組加密、插值等）奠定了基礎。

（4）加密初始DEM三角網。對初始DEM三角網進行加密，生成「主TIN」（加密後的含水組層面DEM三角網）。所謂「主TIN」（Primary TIN），是指以鑽孔孔口坐標為基準，結合建模區域邊界條件，採用標準的三角網加密演算法加密後生成的一個三角網。「主TIN」不僅定義了待構建的三維含水組模型的外邊界，還能夠表達建模區域各個含水組層面的拓撲關系。「主TIN」可以看做是確定建模區域含水組拓撲關系的一個「模板」，它可以沿著鑽孔深度自上而下推延至建模區域的全部含水組。這樣可以保證各個含水組層面具有確定的、上下一致的拓撲關系，能夠極大地簡化後續處理的復雜度，增強演算法的穩健性。

（5）對加密後的含水組層面高程進行插值。分別提取各個含水組層面的控制點高程信息（包括鑽孔資料庫中的數據、地質剖面中的控制點數據、含水組等值線數據、含水組高程點數據），然後利用這些點插值求「主TIN」上各個未知點的高程值；如果「主TIN」上的點與鑽孔的坐標（指二維平面坐標）一致，則該點的高程不需要插值，直接與鑽孔所揭示的含水組控制點高程（在建模的第（3）步已經確定）一致。

（6）含水組層面相交處理。經過第（3）步和第（5）步插值處理後的TIN面可能會出現上下含水組層面交叉的情況，這需要通過含水組層面相交處理來消除。在上下含水組層面求交時，由於第（4）步所定義的「主TIN」具有上下嚴格一致的拓撲關系，這導致每個TIN面中特定位置的三角形只能與另一個TIN中對應位置的三角形相交，利用這一特性可大大減少TIN面求交的時間復雜度。

（7）調整含水組高程。經過含水組層面相交處理後的「主TIN」可能會出現本應位於下部含水組上的點的高程卻高於其上部含水組的情況，這需要調整含水組高程，強行將其拉回到與其上一層相等的高程上。這一工作是通過比較「主TIN」中各個含水組層面對應的頂點高程來完成的。

（8）構建三維含水組模型。前面已經完成了生成各個含水組層面三角網的工作，現在只需要將上下相鄰的含水組層面的三角網在豎向上「縫合」起來，即可以構成完整的三維含水組實體模型。這是一個相對簡單的過程，只需以頂層（或底層）TIN中的一個三角形為起點，然後循環處理各個含水組以及各個含水組TIN面上的所有三角形即可完成。

2.基於多源數據的實體模型的構建

基於多源數據構建實體模型時首先構建各層的初始底界面模型，如圖5-137所示；然後再與斷層格局模型及其他底界面模型切割調整，最終形成與斷層格局模型拓撲一致的含水組實體模型。

圖5—137 基於多源數據的第三含水組底界面初始模型的構建

㈥ 插值加密什麼意思

舉一個例子，你已經有了一組數據，他是[(1,2),(3,5)(5,9)(7,10)],你會需要用這組數據輸入到一個坐標系裡面，但是這個坐標系，需要x是從1到7每個都有的，我們怎麼辦呢，一般就是採用插入的方法，在（1，2）和（3，5）之間插入（2，（2+5）/2），在（3，5）和（5，9）之間插入（4，（5+9）/2），在(5,9)和(7,10)之間插入（6，（9+10）/2).這個就是插值加密了。

㈦ 土壤碳儲量計算方法

一、數據來源及處理

本研究數據一是本次多目標區域地球化學調查數據。樣品採集於2007年，土壤樣品採用網格布樣法採集，表層土壤采樣密度為1件/km²；同時採集深層土壤樣品，采樣密度為1點/4km²，平原區采樣深度1.5～2.0m，山地丘陵區採集的是1.2m以下土柱；共採集表層土壤樣品55 370件，深層土壤樣品12 540件。按4個相鄰網格（表層樣4km²，深層樣16km²）的樣品組合為一個樣品進行分析。採用X射線熒光光譜、等離子光譜、氫化物原子熒光光譜、發射光譜等大型精密儀器分析54項元素（指標），其中土壤有機碳、全碳採用經硫酸、重鉻酸鉀消解後，硫酸亞鐵銨容量法進行測定，分析檢出限0.02%，准確度和精密度合格率均為100%。樣品採集、分析及質量監控按中國地質調查局《多目標區域地球化學調查規范（DD2005—01）》執行。二是山東省第二次土壤普查數據，山東省於20世紀80年代中期（1985～1986年）進行了全省第二次土壤普查，從中收集了表層不同類型土壤的879個有機質數據。

將山東省第二次土壤普查獲得的1：50萬土壤有機質含量分布圖矢量化。利用MapGIS軟體對所收集的879個有機質數據進行空間加密插值重新成圖，利用MapGIS空間分析功能把多目標調查分析點位與「新圖」進行相交分析，提取山東省第二次土壤普查時期與多目標調查同點位的有機質含量數據，再除以Bemmelen系數1.724得到山東省第二次土壤普查有機碳含量數據。

二、插值數據誤差統計

多目標區域地球化學調查獲得的土壤地球化學數據，使計算的土壤碳密度及儲量可以客觀地反映研究區土壤中碳的分布現狀。但是，在用山東省第二次土壤普查土壤有機質數據來估算1985年土壤有機碳儲量的過程中，運用了人為加密插值方法，插值過程不可避免的產生誤差，只有誤差較小的情況下，插值數據才有意義。本研究以山東省第二次土壤普查實測數據為參照，對插值後提取的879個數據所產生的誤差進行了分析。

利用MapGIS軟體提取插值後879個實測點位在山東省第二次土壤普查時期的土壤有機碳含量數據，並與實測含量數據比較（表6-1）。實測土壤有機碳含量范圍為0.023%～2.129%，均值為0.533%；插值後所提取的879個點位的土壤有機碳含量范圍為0.141%～1.336%，均值為0.534%。雖然提取的插值數據極值較實測值極值有很大變化，插值極差值是實測的56.74%，但含量均值僅變化了0.19%，中位數僅變化了0.59%。可認為，插值過程中產生一定的誤差，運用插值獲得的表層土壤有機碳數據在一定程度上能反映1985年的土壤有機碳含量狀況，在沒有更准確的資料情況下，利用這些數據也使研究土壤有機碳時空變化得以實現。

表6-1 山東省第二次土壤普查實測與插值有機碳數據特徵參數對比表

三、土壤碳儲量計算方法

單位面積一定深度的土體中碳（包括有機碳和無機碳）儲量為土壤碳密度（soil carbondensity，簡稱為SCD），4km²范圍內，一定深度土體中碳的儲量為單位土壤碳量（unit soil carbon amount，簡稱為USCA）；一定面積和深度土體中碳的總量為土壤碳儲量（soil carbon reserve，簡稱為SCR）。本研究採用了0～0.2m，0～1.0m和0～1.5m 3種不同的土層深度分別代表表層、中上層和全層土壤。

根據中國地質調查局《基於多目標調查的土壤碳儲量估算方法》，土壤有機碳和無機碳密度計算應採用不同的計算公式，這一方法認為土壤有機碳含量符合從表層到深層逐漸遞減的指數曲線模型（y=αe^bx）空間變化規律，其計算土壤碳密度的本質是對土壤剖面在垂直（z）方向上的積分，結果相當於土壤碳含量曲線與坐標軸圍成的面積，採用該方法計算的有機碳密度誤差最小。而土壤無機碳含量剖面接近直線模型（y=αx＋b），從表層到深層含量均勻遞減，故採用直線模型法計算無機碳在任意深度（0～1.5m）內的平均含量，進而求取土壤無機碳密度。

土壤有機碳密度（soil organic carbon density，簡稱為SOCD）計算公式為

SOCD=D×ρ×TOC×10 （6-1）

魯東地區農業生態地球化學研究

土壤無機碳密度（soil inorganic carbon density，簡稱為SICD）計算公式為

SICD=D×ρ×TIC×10 （6-3）

魯東地區農業生態地球化學研究

式中：SOCD和 SICD分別為土壤有機碳和無機碳密度，kg/m²；TOC 和 TIC 分別為一定深度內土壤有機碳和無機碳平均含量，%；TOC₁和 TOC₂分別為表層土壤和深層土壤有機碳實測含量，%；TIC₁和 TIC₂分別為表層土壤和深層土壤無機碳含量，%；由全碳實測數據減有機碳取得；d₁取表層土壤取樣中間深度，數值為0.1m；d₂為深層土壤取樣實際深度，范圍為1.2～1.8m，平均為 1.6m；D 為所要計算碳量的深度，分別取0.2m，1.0m和1.6m；ρ為土壤容重，g/cm³；10 為單位換算系數。土壤容重數據取自閆鵬等（1994）。

使用以上求出的「土壤碳密度」乘4×10³，即為單位土壤碳量（USCA），單位為t；對統計范圍內的所有單位土壤碳量求和，即為土壤碳儲量（SCR），單位為 t。土壤有機碳量（SOCR）與無機碳量（SICR）之和為土壤全碳量（USCR）。

㈧ 分析加密技術在信息安全體系中的地位和作用

加密技術（Cryptography）已經為人們所熟悉，廣泛應用於各行各業。加密技術研究已有多年，有許多加密方法，但是由於加密明確的告知用戶，此文件或其他媒介已經進行過加密，竊密者必將利用各種破解工具進行破解，得到密文。雖然加密長度和強度一再增加，但破解工具也在加強。並且由於計算機性能的飛速發展，使解密時間縮短，所以加密術的使用局限性已見一斑。

信息隱藏，信息隱藏可以追溯到公元1499年，它的歷史久遠。但是直到20世紀90年代，在IT界，人們才賦予了它新的內容，使之成為繼加密技術之後，保護信息的又一強有力的工具。信息隱藏與傳統的信息加密的明顯區別在於，傳統的加密技術以隱藏信息的內容為目的，使加密後的文件變得難以理解，而信息隱藏是以隱藏秘密信息的存在為目標。所以科學技術的發展使信息隱藏技術在信息時代又成為新的研究熱點。它既發揚了傳統隱藏技術的優勢，又具有了現代的獨有特性。對於研究信息安全方向的學者而言，研究信息隱藏是很有意義的，也是刻不容緩的。

信息隱藏的相關研究

在信息隱藏的研究中，主要研究信息隱藏演算法與隱蔽通信。在信息隱藏演算法中，主要有空間域演算法和變換域演算法。最典型的空間域信息隱藏演算法為LSB演算法，最典型的變換域演算法是小波變換演算法。由於LSB演算法的魯棒性比較差，相關的研究改進工作都是提高其魯棒性。對於小波變換演算法，由於小波變換具有良好的視頻局部特性，加上JPEG2000和MPEG4壓縮標准使用小波變換演算法取得了更高的壓縮率，使得基於小波的變換的信息隱藏技術成為目前研究的熱點。一般根據人類的視覺特點，對秘密信息用一定的比例進行小波壓縮，壓縮過程增加了數據的嵌入容量。然後量化小波系數並轉換為二進制流數據。對載體信號同樣進行小波變換，選擇適當的小波系數及嵌入參數嵌入信息。因為小波有幾十種，每種小波的特性不同，參數的選取也不同，所以必須通過實驗，篩選出隱蔽性較好、容量較大的方法，從而使不可感知性、魯棒性與容量三者之間達到平衡。另外，還可以先對偶數點的小波系數與之相鄰的兩點的小波系數的平均值來替換，這個平均值稱為插值，作為秘密數據嵌入的位置。

信息隱藏的實施階段

一般而言，信息隱藏是分為四個階段：預處理階段、嵌入階段、傳輸階段和提取階段。為了使每個階段都達到安全，所以必須在預處理階段，引入加密術中的加密演算法。在嵌入階段，使用基於小波的隱藏信息的演算法，在傳輸階段，進行隱蔽通信，從而使用傳輸階段也是安全的。所以這套信息隱藏的處理方案，將形成一個安全的體系，因此即能隱藏秘密信息的內容，也能隱蔽通信的接收方和發送方，從而建立隱藏通信。

信息隱藏的應用范圍

信息隱藏的優勢決定了其具有廣泛的應用前景，它的應用范圍包括：電子商務中的電子交易保護、保密通信、版權保護、拷貝控制和操作跟蹤、認證和簽名等各個方面。信息隱藏主要分為隱寫術和數字水印，數字水印技術主要用於版權保護以及拷貝控制和操作跟蹤。在版權保護中，將版權信息嵌入到多媒體中（包括圖像、音頻、視頻、文本），來達到標識、注釋以及版權保護。數字水印技術的應用已經很成熟。信息隱藏的另一個分支為隱寫術，隱寫術的分類的依據不同：可以按隱寫系統結構分類：分為純隱寫術、密鑰隱寫術和公鑰隱寫術；按隱寫空間分類：可以分為信道隱秘、空域隱寫、變換域隱寫；按隱寫載體分類可以分為文本隱寫、語音隱寫、視頻隱寫和二進制隱寫。

㈨ 什麼是插值演算法

插值法又稱「內插法」，是利用函數f (x)在某區間中插入若干點的函數值，作出適當的特定函數，在這些點上取已知值，在區間的其他點上用這特定函數的值作為函數f (x)的近似值，這種方法稱為插值法。如果這特定函數是多項式，就稱它為插值多項式。
1、Lagrange插值：
Lagrange插值是n次多項式插值，其成功地用構造插值基函數的 方法解決了求n次多項式插值函數問題；
★基本思想將待求的n次多項式插值函數pn(x）改寫成另一種表示方式，再利 用插值條件⑴確定其中的待定函數，從而求出插值多項式。

2、Newton插值：
Newton插值也是n次多項式插值，它提出另一種構造插值多項式的方法，與Lagrange插值相比，具有承襲性和易於變動節點的特點；
★基本思想將待求的n次插值多項式Pn（x）改寫為具有承襲性的形式，然後利用插值條件⑴確定Pn（x）的待定系數，以求出所要的插值函數。

3、Hermite插值：
Hermite插值是利用未知函數f(x）在插值節點上的函數值及導數值來構造插值多項式的，其提法為：給定n+1個互異的節點x0,x1，……,xn上的函數值和導數值
求一個2n+1次多項式H2n+1(x）滿足插值條件
H2n+1(xk)=yk
H'2n+1(xk)=y'k k=0,1,2，……，n ⒀
如上求出的H2n+1(x）稱為2n+1次Hermite插值函數，它與被插函數
一般有更好的密合度；
★基本思想
利用Lagrange插值函數的構造方法，先設定函數形式，再利
用插值條件⒀求出插值函數.

4、分段插值：
插值多項式余項公式說明插值節點越多，誤差越小，函數逐近越好，但後來人們發現，事實並非如此，例如：取被插函數，在[-5，5]上的n+1個等距節點：計算出f(xk）後得到Lagrange插值多項式Ln(x），考慮[-5,5]上的一點x=5-5/n，分別取n=2,6,10,14,18計算f(x),Ln(x）及對應的誤差Rn(x），得下表
從表中可知，隨節點個數n的增加，誤差lRn(x)l不但沒減小，反而不斷的增大.這個例子最早是由Runge研究，後來人們把這種節點加密但誤差增大的現象稱為Runge現象.出現Runge現象的原因主要是當節點n較大時，對應
的是高次插值多項式，此差得積累"淹沒"了增加節點減少的精度.Runge現象否定了用高次插值公式提高逼近精度的想法，本節的分段插值就是克服Runge現象引入的一種插值方法.
分段多項式插值的定義為
定義2: a=x0<x1<…<xn=b: 取[a,b]上n+1個節點 並給定在這些節點 上的函數值f(xR)=yR R=0,1，…，n
如果函數Φ（x）滿足條件
i) Φ（x）在[a,b]上連續
ii) Φ（xr)=yR,R =0,1，…，n
iii) Φ（x)zai 每個小區間[xR,xR+1]是m次多項式，
R=0,1，…，n-1則稱Φ（x）為f(x）在[a,b]上的分段m次插值多項式
實用中，常用次數不超過5的底次分段插值多項式，本節只介紹分段線性插值和分段三次Hermite插值，其中分段三次Hermite插值還額外要求分段插值函數Φ（x)
在節點上與被插值函數f(x）有相同的導數值，即
★基本思想將被插值函數f〔x〕的插值節點 由小到大 排序，然後每對相鄰的兩個節點為端點的區間上用m 次多項式去近似f〔x〕.
例題
例1 已知f（x）=ln（x）的函數表為：
試用線性插值和拋物線插值分別計算f（3.27）的近似值並估計相應的誤差。
解：線性插值需要兩個節點，內插比外插好因為3.27 （3.2，3.3），故選x0=3.2，x1=3.3，由n=1的lagrange插值公式，有
所以有，為保證內插對拋物線插值，選取三個節點為x0=3.2,x1=3.3,x2=3.4，由n=2的lagrange插值公式有
故有
所以線性插值計算ln3.27的誤差估計為
故拋物線插值計算ln3.27的誤差估計為：
顯然拋物線插值比線性插值精確；

5、樣條插值：
樣條插值是一種改進的分段插值。
定義 若函數在區間〖a，b〗上給定節點a=x0<x1<；…<xn=b及其函數值yj，若函數S（x）滿足
⒈ S（xj）=yj，j=0,1,2，…，n；
插值法主要用於道路橋梁，機械設計，電子信息工程等 很多工科領域的優化方法。